2019-2020学年高二数学直线和圆的方程复习学案-人教版

2019-2020学年高二数学直线和圆的方程复习学案 人教版
【预习思考】
1．若α∈[6
π，2
π]，则直线2xcos α＋3y ＋1=0的倾斜角的取值范围是（ ）
A ．[ 6
π，2
π] B ．[ 6
5π，π] C ．[ 0， 6
π] D ．[2
π，6
5π]
2．(2001年天津高考)设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA
的方程为x －y ＋1=0，则直线PB 的方程是（ ）
A ．x ＋y －5=0
B ．2x －y －1=0
C ．x －2y ＋4=0
D ．2x ＋y －7=0 3．(2000年上海春季高考)若直线的倾斜角为π－arctan 2
1，且过点(1，0)，则直线L 的方
程 ．
4．m 为任意实数时，直线（m －1）x ＋(2m －1)y=m －5必过定点( )． 5．已知点A （2，3），B （－3，－2），若直线l 过点P （1，1），且与线段AB 相交，则直线l 的
斜率k 的取值范围为
． 【例题讲评】
例1 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a=0(a ∈R)． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若L 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 例2 一条直线经过P （3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程． (1)倾斜角是直线x －4y ＋3=0的倾斜角的2倍； (2)夹在两坐标轴间的线段被P 分成1：2．
(3)与x 轴，y 轴正半轴交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小． 例3 ( 1992年全国高考)在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1=0，∠A 的平分线所在直线方程为y=0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标． 【训练反馈】
1．下列命题中正确的是( )
A. 经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0=k(x －x 0)表示
B. 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx ＋b 表示．
C. 经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)=(y 2－y 1)(x
－x 1)表示． D. 不经过原点的直线都可以用方程a
x ＋b
y =1表示．
2．设点P(a ，b)，Q(c ，d)是直线y=mx ＋k 上两点，则︱PQ ︱等于 ( )
A ．︱a －c ︱21m +
B ．︱a ＋c ︱21m +
C ．︱b －d ︱21m +
D ．︱b ＋d ︱21m + 3．直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则 （ ）
A. ksin α>0
B. kcos α>0
C. ksin α<0
D. kcos α≤0
4
5．一直线过点A （－3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程为 ． 6．直线l 1，l 2的方程分别为y=mx ，y=nx(m ，n ≠0)，l 1的倾斜角是l 2倾斜角的2倍，l 1倾斜率
是l 2的斜率的4倍，则mn= ．
7．已知直线l ：y=ax ＋2和A(1，4)，B(3，1)两点，当直线l 与线段AB 相交时，则实数a 的
取值范围为 ．
8．平面上有相异两点A(cos θ，sin 2
θ)和B(0，1)，求经过A 、B 两点直线的斜率及倾斜角的
范围．
9．已知P （2，1），过P 作一直线，使它夹在已知直线x ＋2y －3=0，2x ＋5y －10=0间的线段被
点P 平分，求直线方程．
10．已知点P （6，4）和直线l 1：y=4x ，求过P 的直线l ，使它和L 1以及x 轴在第一象限内围
成的三角形的面积最小．
第2课 两直线的位置关系
【预习思考】 1．（2005北京） “
21
=
m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”
的 （ ）
A ．充分必要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 2．（1998上海高考）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x
＋ay ＋c ＝0与bx －sinB ·y ＋sinC ＝0的位置关系是 （ ） A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．相交但不垂直 3．（2000全国高考）已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的
夹角在（0，π
12
）内变动时，a 的取值范围是（ ）
A ．（0，1）
B ．（ 33 ， 3 ）
C ．（ 3
3
，1）∪(1， 3 ) D ．（1， 3 ）
4．已知A （3，0），B （0，4），则过B 且与A 的距离为3的直线方程为 .
5．已知直线l 和直线m 的方程分别为2x －y ＋1＝0，3x －y ＝0，则直线m 关于直线l 的对称直
线m ’
的方程为 ． 【例题讲评】
例1 正方形中心在M （－1，0），一条边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边的所在直线的方程．
例2 光线从点A （－3，5）射到直线l ：3x －4y ＋4＝0以后，再反射到一点B （2，15）．
（1）求入射线与反射线的方程； （2）求这条光线从A 到B 的长度．
例3一直线过点P （2，3），且和两平行直线3x ＋4y ＋8＝0及3x ＋4y －7＝0都相交，两交点间线段长3 2 ，求这直线方程．
例4在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图５所示）
．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．
若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；
【训练反馈】
1． 两直线ax ＋y －4＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．－1＜a ＜2
B ．a ＞－1
C ．a ＜2
D ．a ＜－1或a ＞2 2． （2005全国）已知过点A （-2,m ）和B （m ，4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值
为（ ）
A.0
B.-8
C.2
D.10
3． 设a ，b ，k ，p 分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有（ ）
A ．a 2k 2＝p 2(1＋k 2
) B ．k ＝b a C ．1a ＋1b
＝p D ．a ＝－kb
4． 若点（1，1）到直线xcos α＋ysin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是 ．
5． 一束光线经过点A （－2，1），由直线l ：x －3y ＋2＝0反射后，经过点B （3，5）射出，
则反射光线所在直线的方程为 ．
6． 直线2x －y －4＝0上有一点P ，它与两定点A （4，－1）、B （3，4）距离之差最大，则P
点坐标是 ．
7．在△ABC 中，|AB|＝|AC|，∠A ＝120°，A （0，2），BC 所在直线方程为 3 x －y －1＝0，
求边AB 、AC 所在直线方程．
8．已知△ABC 中，点A （3，－1），AB 边上的中线所在直线的方程为6x ＋10y －59＝0，∠B
的平分线所在直线的方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程．
9．如图，足球比赛场地宽为a 米，球门宽b 米，在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门附近带
球过人沿直线l （贴近球场边线）向前推进，试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门的可命中角最大？ （注：图中AB 表示乙方所守球门；AB 所在直线为乙方底线；l 表示甲方边锋前进的直线）
第3课 简单的线性规划
【预习思考】
1．在直角坐标系中，满足不等式x 2－y 2
≥0的点（x ，y ）的集合的阴影部分是（ ） 2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z=x －y 的最大值是 （ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2
3．在如上图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)， 目标函数z=x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为（ ）
A ．－3
B ．3
C ．－1
D ．1
4．已知函数f(x)=ax 2
－ c 满足－4≤f(1)≤－1， －1≤f(2)≤5， 则
f(3)的取值范围为 ．
5．已知x ∈R ，f(x)是4x ， x ＋2， －2x ＋4三者中的最小值，则f(x)
的最大值是 ． 【例题讲评】
例1 已知线性约束条件
x －y ＋3≥0， x ＋y －5≤0
2x －y －4≤0， 求目标函数z=x ＋2y 的最大值． x ≥0， y ≥0．
例2 点（x ，y ）是区域|x|＋|y|≤1内的动点，求ax －y(a>0)的最大值及最小值．
例3 某厂有一批长为2．5m 的条形钢材，要截成60cm 和43cm 两种规格的零件毛坯，试找出最佳的下料方案，并计算材料的利用率．
例4 某运输公司有7辆载重6t 的A 型卡车，4辆载重10t 的B 型卡车，有9名驾驶员，在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青360t 的任务．已知每辆卡车每天往返次数为A 型8次，B 型6次，每次运输成本为A 型160元，B 型252元．每天应派出A 型、B 型车各多少辆，能使公司总成本最低？ 【训练反馈】
1．(2005全国)在坐标平面上，不等式组1
3||1
y x y x ≥-⎧⎨
≤-+⎩所表示的平面区域的面积为（ ） A.2 B.32
C.
32
2
D.2 2．(2005江西)设实数x ，y 满足20240
230
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则y x 的最大值是 。

3． （2005湖北）某实验室需购某种化工原料106kg ，现市场上该原料有两种包装，一种是每
袋35kg ，价格为140元，另一种是每袋24kg ，价格120元，在满足需要的条件下，最少要花费 元。

2x ＋y －2≥0
4．已知平面区域 x －2y ＋4≥0， 函数z=x 2＋y 2
，则z 的最大值是 最小值 ． 3x －y －3≤0
5．三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数有 个．
6．某家具厂有方木料90m 3，五合板600m 2
，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需
方木料0．1 m 3，五合板2 m 2；生产每个书橱需方木料0．2 m 3，五合板1 m 2
，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利120元．怎样安排生产，可使获利最大?
7．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才合适？
8．有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于
3
1
配套，问怎样截最合理？
第4课 圆的方程
【预习思考】
1．( 2005全国高考)圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为 。

2．(02全国春)圆2x 2＋2y 2
＝1与直线xsin θ＋y －1＝0（θ∈R ，θ≠π2 ＋k π，k ∈Z ）的位置
关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定 3．x 2＋y 2
＋4kx －2y －k ＝0所表示的曲线是圆的充要条件是（ ） A ．14 ＜k ＜1 B ．k ＜14 或k>1 C ．k ＝1
4
或k ＝1 D ．k ∈R
4．若两直线y ＝x ＋2a 和y ＝2x ＋a ＋1的交点为P ，P 在圆x 2
＋y 2
＝4的内部，则a 的取值范围是 ．
5．(00上海春季)集合A ＝｛（x ，y ）|x 2＋y 2=4｝，B ＝｛（x ，y ）|（x －3）2＋（y －4）2=r 2
｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是 ． 【例题讲评】
例1 一圆经过A （4，2），B （－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆方程．
例2 已知圆和直线x －6y －10＝0相切于（4，－1），且经过点（9，6）．求圆的方程．
例3 已知C ：（x －1）2＋(y －2)2
=25，直线l ：（2m ＋1）x ＋（m ＋1）y －7m －4＝0(m ∈R)． (1)求证：不论m 取什么实数时，直线l 与圆恒交于两点；
(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及这时直线l 的方程．
例4 某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300km 处，以40km/h 的速度向西偏北30°方向移动，据测定，距台风中心250km 的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间（精确到分钟）
【训练反馈】
1．圆x 2＋y 2
＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2 的点有（ ）
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
2． （2005北京）从原点向圆x 2+y 2
-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（ ）
A.π
B.2π
C.4π
D.6π 3．设直线2x －y － 3 ＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆（x ＋1）2
＋y 2
＝25的直径分为两段，则其长度之比为（ ）
A ． 73 或37
B ． 74 或47
C ． 75 或57
D ． 76 或67
4．一束光线从点A （－1，1）出发经x 轴反射到圆C ：（x －2）2
＋（y －3）2
＝1的最短路程
是 ． 5．已知三角形三边所在直线的方程为y ＝0，x ＝2，x ＋y －4－ 2 ＝0，则这个三角形内切圆的方程为 ．
6．（1）圆C ：x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的外部有一点P （x 0，y 0），求由点P 向圆引切线的长度．
（2）在直线2x ＋y ＋3＝0上求一点P ，使由P 向圆x 2＋y 2
－4x ＝0引得的切线长长度为最小．
7．已知三角形三边所在直线的方程为x －y ＋2＝0，x －3y ＋4＝0，x ＋y －4 = 0求三角形外接
圆的方程．
8．已知圆C 与圆x 2
＋y 2
－2x ＝0相外切，并和直线L ：x ＋ 3 y ＝0相切于点（3，－ 3 ），求
圆的方程．
9．曲线x 2＋y 2
＋x －6y ＋3＝0上两点P 、Q 满足： （1）关于直线kx －y ＋4＝0对称，（2）OP ⊥OQ ，求直线PQ 的方程．
10．已知圆x 2＋y 2
－6x －4y ＋10＝0，直线L 1：y=kx ，L 2：3x ＋2y ＋4＝0，x 在什么范围内取值
时，圆与L 1交于两点？又设L 1与L 2交于P ，L 1与圆的相交弦中点为Q ，当k 于上述范围内变化时，求证：|OP|·|OQ|为定值．
第5 直线与圆的方程
【预习思考】
1．圆x 2+y 2
=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是（ ） A ．6 B ．4 C ．5 D ．1
2．已知圆(x-2)2+(y+1)2
=16的一条直径通过直线x-2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（ ）
A ．2x+y-5=0
B ．x-2y=0
C ．2x+y-3=0
D ．x-2y+4=0 3．曲线)2|(|412≤-+=x x y 与直线4)2(+-=x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是（ ）
A ．]43,125(
B ．),125(+∞
C ．)4
3
,31( D ．)125,0(
4．若实数x,y 满足x 2
+y 2
-2x+4y=0，则x-2y=0的最大值为 ．
5．（2002·北京高考）已知P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB 是圆x 2+y 2
-2x-2y+1=0的两条
切线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ． 【例题讲评】
例1 （1）求过点M （2，4）向圆(x-1)2+(y+3)2
=1所引切线方程；
（2）过点M （2，4）向圆引两条切线，切点为P 、Q ，求P 、Q 所在直线方程（简称切点弦）．
例2 已知两圆C 1:x 2+y 2-2x+10y-24=0,C 2:x 2+y 2
+2x+2y-8=0， （1）求两圆公共弦的长；（2）求以公共弦为直径的圆的方程．
例3 （1997·全国高考） 设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线02:=-y x l 的距离最小的圆的方程．
【训练反馈】
1．如果
四点共圆，则m 的值是（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
2．若圆(x-3)2+(y+5)2=r 2
上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）
A ．（4，6）
B ．)6,4[
C ．]6,4(
D ．[4，6] 3．如果实数y x ,满足等式3)1(22=+-y x ，那么
x
y
的最大值是（ ） A ．
21 B ．3
3 C ． 23 D ．3 4．已知圆x 2
+y 2
=R 2
，则被此圆内一点A(a,b)（a,b 不同时为0）平分的弦所在的直线方程为 ．
5．已知直线x+2y-3=0交圆x 2+y 2
+x-6y+F=0于点P,Q ，O 为坐标原点，且OP ⊥OQ ，则F 的值为 ．
6．由点A(-3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，若反射光线所在直线与圆x 2+y 2
-4x-4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程．
7．已知圆上的点A(2,-3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆的方程．
8．已知圆C ′的方程是x 2+(y-1)2
=4，圆C 的圆心坐标为（－2，1），若圆C 与圆C ′交于B A ,两点，且22||=AB ，求圆C 的方程．
9．圆M:2x 2+2y 2
-8x-8y-1=0，直线09:=-+y x l ，过l 上一点A 作△ABC ，使AB 边过圆心M ，点C B ,在圆M 上，且4
π
=
∠BAC ，求：
（1）点A 横坐标4=a 时的直线AC 的方程；（2）点A 横坐标a 的取值范围．
参考答案
第一课
【预习思考】１.B 2．A 3．x+2y –1=0 － 4．(9,–4). 5．k ≤4
3
或k ≥2 . 【例题讲评】
1．解 （1）当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴2－a=0， ∴a=2， 方程为 3x ＋y=0； 当直线不过原点时，a ≠2，由
1
2
+-a a =a －2，得a=0，方程为x ＋y ＋2=0， 故所求的方程为3x ＋y=0或x ＋y ＋2=0．
(2)将l 的方程化为y=－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当
－（a ＋1）≥0
a －2≤0
∴a ≤－1 故所求a 的取值范围为a ≤－1．
2．解 （1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ=2α ∵tan α=
41 ，∴tan θ=tan2α= 15
8， 从而方程为8x －15y ＋6=0． (2)由题意，设直线交x 轴于A ，交y 轴于B
当
PB AP =21时，A(29，0)，B(0，6)．方程为92x ＋6
y =1 当PA BP =2
1
时，A(9，0)，B(0，3)，方程为9x ＋3y =1．
(3)设直线方程为
a x ＋b
y
=1，代入P(3，2)，得
a 3＋b
2
=1≥2
ab 6，
得ab ≥24，从而S △AOB =
21ab ≥12，此时a 3=b 2，k=－a b =－3
2
， ∴方程为2x ＋3y －12=0．
3．解 A 点既在BC 边的高线上，又在∠A 的平分线上， x －2y ＋1=0
由 得A(－1，0)， y=0
∴k AB =1，而x 轴是角A 的平分线， ∴k AC = －1， ∴AC 边所在直线方程为y= －(x ＋1) ①
又k BC = －2， ∴BC 边所在直线方程为y －2= －2(x －1) ② 联立① ②得 C 的坐标为(5，－6)． 【训练反馈】
1.C 2．A 3．B 4．D 5． 4x －y+16=0或x+3y －9=0 6． 2 7．－
3
1
≤a ≤2 8．由题意得 cos θ≠0.∴AB 斜率存在，k AB
=
θ
θcos 0sin 12--=－cos θ, 设直线倾斜角为α，tan α=－cos θ.∵－
1≤－cos θ≤1且－cos θ≠0 ∴－1≤tan α≤1且tan α≠0又0≤α≤π.∴倾斜角α的范围为（0，4
π]∪[
4
3
π,π).
9．设l 3与l 1,l 2交点为A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)由
221x x +=2，2
2
1y y +=2，得x 1
=4－x 2
,y 1
=2－y 2
， ∵A ∈l 1
, B ∈l 2， ∴⎩⎨⎧=-+=--+-0
105203)2(2)4(2221y x y x ∴0522==y x ∴所求直线方程为3y+x －5=0. 10．设l 与l 1的交点为Q （x 1,4x 1）,( x 1>0),则l ：y －4=
64411--x x (x －6),令y=0,得x=1
511
-x x , ∴l 与
x 轴的交点R （
1
511
-x x ，0）∴S
ΔOQR
=21∣y Q
∣·∣OR ∣=2
1
∣4x 1
∣·∣1511-x x ∣=110121-x x (其中x 1
>1)．令S=110121-x x ，
则10x 12
－sx 1+s=0，∵ x 1∈R ，∴△=s 2
－4os ≥0．又S>0, ∴s ≥40,当s=40时，x 1=2．∴当x 1=2时，△OQR 的面积最大，其值为40，此时l 1：y －4=6
24
8--(x －6),即x+y －10=0. 第二课
【预习思考】1．B 2．C 3．C 4．7x+24y －96＝0或x ＝0 5．13x －9y+14＝0. 【例题讲评】
1．解 2x －y ＋2＝0 x ＝－1
由 得 x ＋y ＋1＝0 y ＝0
即该正方形的中心为（－1，0），设所求正方形相邻两边方程为3x －y ＋P=0，和x ＋3y ＋q=0 ∵中心（－1，0）到四边距离相等， ∴|－3+P| 10 ＝|－1+q| 10 ＝6
10
解得P 1＝－3，P 2＝9和q 1＝－5，q 2＝7
∴所求方程为3x －y －3＝0，3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0
2．解 设A 点关于直线l 的对称点A ′（x 0，y 0）由直线AA ′与已知直线垂直，且AA ′中点也在直线上，则有
y 0－5x 0+3 ＝－4
3
3 x 0－32 －
4 y 0+52
＋4＝0
解得x 0＝3， y 0＝－3 ，即A ′（3，－3）．
于是反射光线方程为y+315+3 ＝x －3
2－3 ， 即18x ＋y －51＝0．
同理B ′（14，－1），入射光线方程为 6x ＋17y －67＝0．
（1） 光线从A 到B 的长度，利用线段的垂直平分线性质，即得
｜AP ｜＋｜PB ｜＝｜A ′P ｜＋｜PB ｜＝｜A ′B ｜＝(3－2)2
+(－3－15)2
=513 ． 3．解 两平行线间的距离为
|8－(－7)|
32+4
2
＝3 设直线交两平行线于A 、B ，直线与平行线的夹角为α，则｜AB ｜＝3 2 ∴sin α＝33 2 ＝ 2
2 ∴α＝45°，tan α＝1，设所求直线的斜率为k ，
则tan α＝｜k+
341－ 34
k
|＝1，解得k ＝1
7 或k ＝－7
∴所求直线的方程为x －7y ＋19＝0或7x ＋y －17＝0 4. 解： ( i ) 当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程2
1=
y ， ( ii ) 当0≠k
时，设A 点落在线段DC 上的点)1,(0x A '，
)20(0≤≤x ，则直线A O '的斜率0
01x A k =
'，
∵,A O '折痕所在直线垂直平分∴1-=⋅'
k k A O ，∴
11
-=⋅k x ，∴k x -=0 又∵折痕所在的直线与A O '的交点坐标（线段A O '的中点）
为)2
1,2(k M -，
∴折痕所在的直线方程)2(21k x k y +=-，即2
122
k y kx =++，
由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为：2
122
k y kx =++)02(≤≤-k
【训练反馈】
1．A 2．B 3．A 4．2＋ 2 5．29x －22y+23＝0 6．（5，6）
7．由题意得∠B ＝∠C ＝30°，设AB 边斜率的夹角公式得|
k
k 313+-|＝
33 ，从而得k = 3
3
又AB 斜率不存在时也适合题意，∴AB 边所在直线方程为y ＝ 3
3
x+2和x ＝0.
8．设B （a,b ），则AB 边中点为（a+32 , b －12 ）在AB 边中线上，∴6·a+32 +10·b －1
2 －59＝0，① 又
点B 在∠B 的平分线上，∴a －4b+10＝0 ②由①②得 a ＝10 ，b ＝5．由题意得 14－k 1+ 14k ＝ 67－ 1
4
1+
314 ，
∴k ＝－2
9
从而BC 边所在直线方程为2x+9y －65＝0.
9．以l 与直线AB 的交点D 为原点，l 为x 轴， DA 为y 轴，建立直角坐标系 设AB 中点为M ，则 DA ＝DM ＋MA ＝a 2 +b 2 ＝a+b 2 DB ＝DM －BM ＝a －b 2 故定点A 、B 坐标分别为（0，a+b 2 ），（0，a －b
2 ）（显然a ＞b
＞0），设动点C （边锋起脚处）坐标为（x ，0）（x ＞0）tan ∠ACB ＝tan （∠ACO －∠BCO ）＝tan （α－β）， 其中α=∠ACO ，β=∠BCD 且α、β∈（0，π
2
）
tan （α－β）＝
β
αβαtan tan 1tan tan •+-＝ a+b 2x － a －b 2x 1+ a+b 2x · a －b 2x ＝b x+
a 2－
b 24x
∵ x+a 2－b 2
4x
≥2
x · a 2－b 2
4x ＝a 2－b 2
∴ tan ∠ACB ≤b a 2－b
2
由正切函数在（0，π2 ）是增函数，知∠ACB ≤arctan b a 2－b 2
，当且仅当x ＝a 2
－b
2
4x 时，∠ACB 达最大角，即x ＝ a 2
－b 2
2 ，∴C （ a 2
－b
2
2
，0）
即该边锋在距乙方底线 a 2
－b
2
2
米时起脚射门，可命中角最大．
第三课 【预习思考】
1．B 2．B 3．A 4.－1≤f(3) ≤20 . 5．3
8 【例题讲评】
1．解 画出可行域(如图阴影部分，即五边形ABCD)．由z=x ＋2y 得y=－21x ＋2
1
z ，其图象是斜率k=－
21的一组平行直线，y 轴截距b=2
1
z ，从图上可知，当直线l 过点C(1，4)时，y 轴截距b 最大，即z 最大． ∴当x=1，y=4时，z max =1＋2×4=9． 2．解 区域|x|＋|y|≤1为四条直线x ＋y=1，x －y=1，－x ＋y=1，－x －y=1所围成的区域，如图1和
图2中的阴影部分．
设z=ax －y(a>0)，当a ≥1时，设直线l 0：ax －y=0，并作一组平行于l 0的直线ax －y=t ，当直线位于l 1
位置时，即l 1过点（－1，0）时，t 取最小值．
当0<a<1时，设直线l 0‘
：ax －y=0，作一组平行于l 0’
的直线ax －y=t ，当直线位于l 1’
的位置时，即l 1’
的位置时，即l 1‘
过点（0，－1）时，取最小值－1．
当直线位于l 2‘
的位置时，即过点l 2‘
(0，1)时，t 取最大值1．
综上所述，当a ≥1时，ax －y 的最大值为a ，最小值为－a ，当0<a<1时，ax －y 的最大值为1，最小值为－1．
3．解 假设在截口处的损耗是0，所谓最佳下料方案，就是要将一根钢材截出两种规格的零件毛坯，其用料的和最接近2．5m ．
设每根钢材可截成60cm 和43cm 长的毛坯各为x 根，y 根，则本题的数学模型为：求余料z=2．5－0．6x －0．43y 在约束条件
图 1
图 2
6x ＋0．43y ≤2．5
下的最小值．
X ，y 是非负整数．
作出0．6x ＋0．43y ≤2．5(x ，y ≥0)所确定的平面区域，如右图所示．由图易知，当直线z=2．5－0．6x
－0．43y 在如图所示区域内经过的整数点中，点M （2，3）使z=2．5－0．6x －0．43y 取得最小值．此时，材料的利用率是
5
.23
43.026.0⨯+⨯⨯100﹪=99．6﹪，余料z=0．01m ．
故将每根钢材截成60cm 长的零件毛坯2根，截成43cm 长的零件毛坯3根是最佳的下料方案，此时材料的利用率是99．6﹪．
4．解 设派A 型车x 辆，B 型车y 辆． 则线性约束条件为
x ＋y ≤9，
8·6x ＋6·10y ≥360(即4x ＋5y ≥30)， 0≤x ≤7， 0≤y ≤4．
画出可行域（如图阴影部分，即四边形ABCD ）．总成本z=160x ＋252y ，即y=－6340x ＋252
1
z ．从图上可知，当直线L 过点A 时，y 轴截距b 最小，即z 最小．
解⎩
⎨⎧==+730
54x y x 得点A （7，0．4）．但因x 、y z ∈，取平面区域内最靠近直线4x ＋5y=30的整点（3，4）、
（4，3）、（5，2）、（6，2）、（7，1）代入z=160x ＋252y 验证．
当x=5，y=2时，总成本z min =160×5＋252×2=1304(元)，此时运输沥青吨数为8×6×5＋6×10×2=360（吨）． 答：每天应派出A 型车5辆，B 型车2辆，总成本1304元最低，并能运沥青360t ． 【训练反馈】
1．C 2．A 3．B 4．13，5
4
5．36 6.设生产书桌x 张,书橱y 个.
0.1x+0.2y ≤90, 则线性约束条件为 2x+1y ≤600, x ≥0,
y ≥0.
画出可行域(如图阴影部分,即四边形ABCD).利润
z=80x+120y,即y=－32x+120
1
z,从图上可知,当直线l 过点
B 时,y 轴截距b 最大,即z 最大. 解 x+2y=900,
得点B(100,400). 2x+y=600,
∴当x=100,y=400时,z max =80×100+120×400=56000(元). 答:应生产书桌100张,书橱400个,获利56000元最大. 7. 0≤x ≤y, 解：设桌椅分别买x,y 张，依题意有 y ≤1.5x, 50x+20y=2000.
X=y, x=
7
200
, 由 解得
50x+20y=2000, y=
7
200
所以点A （7200，
7
200）.
y=1.5x, x=25 由 解得
50x+20y=2000, y=
2
75. 满足以上不等式组所表示的区域如图所示,即以A(7200,7200)， B(25, 2
75
),O(0,0)为顶点的△AOB 及其内部.
对△AOB 内的点P(x,y),设x+y=z,即y=－x+z,这是斜率为－1,在y 轴的截距为z 的平行直线系.要使z 最大,只有点P 与点B 重合时,即取x=25,y=
2
75
,因为y ∈z,所以y=37. 所以买桌子25张、椅子37张时，是最优选择．
8． 解：设截500mm 的x 根，60mm 的y 根，根据题意，得
≤40 y<3x x>0 y>0
且x,y ∈z.作出可行域，如图中阴影部分．
目标函数为z=x+y,作一组平行直线x+y=t,经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B(8,0)的直线，
这时x+y=8 ∵x,y 为正整数， ∴(8,0)不是最优解． 在可行域内找整点，使x+y=7
可知点(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)均为最优解．
答：每根钢管截500mm 的两根，600mm 的五根，或截500mm 的三根，600mm 的四根或500mm 的四根，600mm
的三根或截500mm 的五根，600mm 的二根或500mm 的六根，600mm 的一根最合理． 第四课
【预习思考】1．(x-1)2+(y-2)2
=4 2．C 3．D 4．－15 ＜a ＜1 5． 3或7
【例题讲评】
1．解 设所求圆方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F=0，
∵圆过A 、B ∴4D ＋2E ＋F ＋20 = 0 ①－D ＋3E ＋F ＋10＝0 ②
在圆方程中令y=0 ，得x 2＋Dx ＋F=0，设圆在x 轴上截距为x 1、x 2 则x 1＋x 2＝－D 令x = 0得y 2
＋Ey ＋F=0，设圆在y 轴上截距为y 1、y 2，则y 1＋y 2= －E ∴由题意－D ＋（－E ）＝2 ③ 解①②③得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， ∴所求圆的方程为x 2
＋y 2
－2x －12＝0．
2．解 设所求圆方程为（x －a ）2＋(y －b)2=r 2
b+1
a －4
＝－6
由题意 （4－a ）2
＋（－1－b ）2
＝r 2
解得
（9－a ）2
＋（6－b ）2
＝r
2
a ＝ 3，
b ＝ 5，r 2 ＝ 37
∴圆方程为（x －3）2
＋(y －5)2
=37．
3．解 （1）将l 的方程整理为（x ＋y －4）＋m （2x ＋y －7）＝0． 因为对于任意实数m ，方程都成立，
所以⎩⎨⎧=-+=-+.072,04y x y x ⎩⎨⎧==.
1,3y x
所以对于任意实数m ，直线l 恒过定点P （3，1），又圆心C （1，2），r ＝5，而｜PC ｜＝
5 ＜5，即｜PC ｜＜r ，所以P 点在圆内，即证．
（2）l 被圆截得弦最短时，l ⊥PC ．
因为k pc ＝2－13－1 ＝－12 ，所以k l ＝2，所以l 的方程为2x －y －5＝0为所求，此时，最短的弦长为2 25－5 ＝
4
5 ．
4．解 以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B （300，
0）处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y ＝－
3
3 （x －300）(x ≤300)
该市受台风影响时，台风中心在圆x 2
＋y 2
＝2
250内，设射线与圆交于C 、D ，则｜CA ｜＝｜AD ｜＝250，
所以台风中心到达C 点时，开始影响该市，中心移至D 点时，影响结束，作AH ⊥CD 于H ，则｜AH ｜＝｜AB ｜·sin30°＝150，｜HB ｜＝150 3 ，｜CH ｜=｜HD ｜=|AC|2－|AH|2
=200，∴｜BC ｜＝150 3 －200，则该市受台风影响的起始时间t 1＝150 3－200
40 ＝1．5(h)，即约90分钟后台风影响该市，台
风影响的持续时间t 2＝200+200
40
＝10（h ），即台风对该市的影响持续时间为10小时．
【训练反馈】
1．C 2．B 3．A 4．4 5．(x －3)2
+(y －1)2
=1.
6．（1）切点、圆心及点P 三点连线可构一个RT △，其中切线是一条直角边，利用勾股定理可得切线长＝x 02
+y 02
+Dx 0+Ey 0+F , （2）设P （x,y ），由（1）结论得切线长S ＝x 2
+y 2
－4x ＝5x 2
+8x+9 ，当且仅当x ＝－45 ，即P （－45 ,－75 ）时，切线长长度最小，最小值是 3055
. 7．先求得三角形三顶点A （－1,1）、B （2,2，）、C （1,3），代入x 2
+y 2
+Dx+Ey+F ＝0，得D ＝－1，E ＝－3，F ＝0
∴方程为x 2+y 2
－x －3y ＝0
8．设圆方程为(x －a)2+(y －b)2＝r 2，(a －1)2+b 2
=r+1．由r ＝ │a + 3b │2 ，3
3-+a b ·(－ 33 )＝－1
得 (a －1)2
+3(a －4)2
＝2｜a －3｜＋1
① 当a ≥3时，解得a ＝4，∴b ＝0，r ＝2，圆方程(x －4)2
+y 2
＝4
② 当a ＜3时，解得a ＝0，∴b ＝－4 3 ，r ＝6，圆方程x 2
+(y+4 3 )2
＝36.
9．由①得 直线kx －y+4＝0过圆心，∴k ＝2 k PQ ＝－1
2
，故设直线PQ 的方程为
y ＝－12 x+b ，与圆方程联立消去y 得54 x 2+(4－b)x+b 2
－6b+3＝0
设 P(x 1 , y 1), Q(x 2 , y 2)，由于OP ⊥OQ ∴x 1x 2＋y 1 y 2＝0
即x 1x 2＋（－12 x 1+b ）(－12 x 2+b)＝0 结合韦达定理可得b ＝32 或b ＝54
从而直线PQ 的方程为y ＝－12 x+32 或y ＝－12 x+5
4 .
10． x 2
+y 2
－6x －4y+10＝0 即 (x －3)2
+(y －2)2
＝3
由题知|3k －2| 1+k 2
＜ 3 解之得 6－ 306 ＜K ＜6+ 30
6 又可求P(－43+2k ，－4k 3+2k )，Q （3k+3k 2+1 ,k(2k+3)
k 2+1 ）
∴｜OP ｜·｜OQ ｜＝42k+3 ·1+k 2 ·2k+3k 2+1
·1+k 2
＝4（定值）. 第五课 【预习思考】
1．B 2．C 3．A 4．10 5．22． 【例题讲评】
1．解 （1）设过点M （2，4）向圆所引的切线为)2(4-=-x k y （倾斜角2
π
α≠
） 即7
24
,11|
423|,0422
=
=++-+=
=+--k k k k d k y kx ∴切线为020724=--y x ，当2πα=时，还有切线
2=x ∴过点M 得切线为020724=--y x 及2=x
（2）设P （x ，y ）为切点，圆心)3,1(-C ，则2
22
||||
|CM PM CP =+
即2222)34()12()4()2(1++-=-+-+y x 即029842
2=---+y x y x ①
又),(y x p 为圆上的点，∴1)3()1(22=++-y x 即09622
2=++-+y x y x ②
②－①得 038142=++y x 即0197=++y x
说明：也可以作以M 点为圆心，||MP 为半径的圆，它的方程是：49)4()2(2
2=-+-y x ①，又
1)3()1(22=++-y x ②，①－②整理得 0197=++y x ，就是所求的切点弦方程．
2．解 （1）两圆方程相减得042=+-y x ，此即公共弦所在直线方程，又圆2C 的圆心)1,1(2--C 到公共弦的距离5|5
4
21|
=++-=d ，且l r L d ()2
(2222=+为公共弦长）
，∴52222
2=-=d r L ，即公共弦长为52．
（2）方法一：连心线21C C 的方程为032=++y x ，它与公共弦的交点（－2，1）即为所求圆的圆心，又所求圆半径为
52
=L
，∴圆方程为5)1()2(22=-++y x ． 方法二：因为所求圆经过两圆交点，设圆方程为
0)822()24102(2222=-++++-+-+y x y x y x y x λ
即0248)102()22()1()1(2
2=--++-++++λλλλλy x y x ①其圆心为)15,11(
λ
λ
λλ+--+- ∵圆心在公共弦042=+-y x 上，∴
04121011=+++++-λ
λ
λλ，解得：3-=λ，代入①并整理得所求圆方程为02422=-++y x y x ．
3．解 方法一：设圆的圆心为),(b a P ，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|||,|a b ．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对的圆心角为90o
，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2，故222b r =．又点)
,(b a P 到直线02=-y x 的距离为5
|
2|b a d -=
，所以
12)(2444)2(52222222222=-=+-+≥-+=-=a b b a b a ab b a b a d ，
当且仅当b a =时上式等号成立，此时152=d ，从而d 取得最小值．
由此有⎩⎨
⎧=-=1
22
2a b b a ，解得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11
b a ．因为222b r = 所以2=r ．于是，所求圆的方程为
2)1()1(,2)1()1(2222=+++=-+-y x y x 或．
方法二：同解法1，得5
|
2|b a d -=
，所以2
225544,52d bd b a d b a +±=±=- ①
将122
2-=b a 代入①式，整理得01554222=++±d bd b ② 把它看做关于b 的二次方程，由于方程有
实根，故判别式非负，即≥-=∆)15(82d ，得152≥d ．可见2
5d 有最小值1，从而d 有最小值
5
5
．将其代
入②式得1,02422±==+±b b b ．1,11,222222±==-===a r a b r 所以．由1|2|=-b a 知b a ,同号．于
是所求圆的方程是2)1()1(,2)1()1(2
222=+++=-+-y x y x 或．
方法三：同解法1，由2
2
21b a =+，得12
122=-a b ，令θθsec 22,tan ==b a ，代入p 点到直线02=-y x 的距离公式θθcos 2
sin 5
15
|
2|-=
-=
b a d 令2
cos sin ,cos 2
sin =--=
θθθ
θt t ，即
2)sin(12=-+ϕθt ，其中2
2
11cos ,1sin t t t ++=
ϕ
ϕ因为,112
)sin(2
≤+=
-t
ϕθ所以.1,2122≥≥+t t 因此5
5
≥
d ，当1||=t 时取等号． 当1=t 时，1)4
sin(,2cos sin =-
=
-π
θθθ，取4
3πθ=
； 当1-=t 时，1)4
sin(,2cos sin =+=+π
θθθ，取4
πθ=
； 解出2,1,1,2,1,1====
-=-=r b a r b a 或．
因此所求圆的方程为2)1()1(,2)1()1(2
222=+++=-+-y x y x 或．
【训练反馈】
1．B 2．A 3．D 4．ax+by －a 2
－b 2
=0 . 5．3
6．（1）已知圆1)2()2(22=-+-y x 关于x 轴的对称圆方程为1)2()2(2
2=++-y x ，设光线l 的方程
是)3(3+=-x k y ，由题意，该直线与对称圆相切 ∴
11552
=++k k 解得：3
4
,43-=-=k k 或 ∴直线的方
程是0343=--y x 或0334=++y x
7．设圆心为),2(a a -，由题意得：2222)2
|
13|()2()3()22(+-+=-+--a a a ，解得3-=a 或7-=a ，
此时52=
r 或244=r ∴所求圆的方程为52)3()6(22=++-y x 或244)7()14(22=++-y x
8．设圆C 的方程为222)1()2(R y x =++-，而圆C ′的方程为4)1(2
2=-+y x ，两圆方程相减得公共
弦的方程为08442
=-+-R y x ，过C ′作C ′D ⊥AB 于D ，则2||2
1
||==
AB AD ，故| C ′D|=2 ∴
22
4|12|2=-R ，解得42=R 或202=R ∴圆C 的方程为4)1()2(22=++-y x 或
20)1()2(22=++-y x ．
9．（1）点A （4，5），圆心
2
3)2,2(=
⇒AB k M ，设直线AC 斜率为k ，
510524532322
3123
14tan 2=⇒=-+⇒+-=⋅
+-
=
=k k k k k k k π或5-=k ∴直线AC 方程为)4(515-=-x y 或)4(55--=-x y ，即0215=+-y x 或0255=-+y x .
（2）点)9,(a a A -，圆02144:2
2=-
--+y x y x M ，半径⇒=∠=4
,1217πBAC r 切线长01892
17
214518221)9(44)9(2222≤+-⇒≤-+-⇒≤-
----+a a a a r a a a a ，∴]6,3[∈a .。