高等数学的积分法在概率论中的应用

高等数学的积分法在概率论中的应用

【摘要】本文总结了高等数学的积分法在求解概率论问题中的应用，除了积

分区间的可加性等重要性质、换元积分法和分部积分法等基本方法外，特别地还

介绍了两种重要的积分：函数和泊松积分在化简概率论中复杂积分的重要应用.

【关键词】换元积分法；分布积分法；函数；泊松积分

《高等数学》与《概率论与数理统计》是高等学校理工类专业必修的两门非

常重要的数学学科,都为后续专业课的学习提供必要的数学工具。大学课程里一

般先开设《高等数学》,后开设《概率论与数理统计》,最主要的原因是《概率论

与数理统计》课程中的基本定义、定理、计算公式、定理的推导证明中无时无刻

的渗透着《高等数学》的极限、微分、积分的理论，而这些理论对于很多学生来

说本身就是一大难点，在此基础之上再参杂《概率论与数理统计》的理论，导致

很多学生会感觉《概率论与数理统计》这门课程很难，学习起来较为吃力。

为了学生更好的学习概率论这门课程，本文总结高等数学中的积分法在概率

论课程中的应用，为学生更好的学习《概率论与数理统计》这门课程打下坚实的

基础.

一、积分知识在概率论中的应用

1.一维连续型随机变量的概率密度的定义就是通过变上限积分函数给出的：

如果对于随机变量X的分布函数,存在非负可积函数使对于任意实

数x有

则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数.

由定义可知概率密度f(x)的两个重要的性质也都是通过积分的形式给出来的：

性质2：

性质3：

相应的理论由一维随机变量可直接推广到多维随机变量上，以二维随机变量

为例，它的定义是通过二重积分的变上限积分函数给出的：

如果对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),存在非负可积函数f(x,y)，使得对于任意实数x,y有

则称(X,Y)为连续型随机变量，f(x,y)称为(X,Y)的概率密度函数.

由定义可知概率密度f(x,y)的两个重要的性质也都是通过二重积分的形式给

出来的：

性质2：

性质3：

可以看到，在求连续型随机变的分布函数、求概率密度中所含参数、求随机

变量X的概率分别是通过计算上面的积分得出的.

2.对于二维连续型随机变量设它的概率密度函数为则其边缘概率

密度、条件概率密度与分布函数都转化为下面积分的计算：

随机变量关于X的边缘概率密度函数：

同理，关于Y的边缘概率密度函数：

随机变量在的条件下X的条件概率密度函数

在的条件下X的条件分布函数

同理，随机变量在的条件下Y的条件概率密度函数

在的条件下Y的条件分布函数

3.积分在计算连续型随机变量的数字特征的应用：

(1)一维随机变量X的概率密度函数是则数学期望

若随机变量Y是随机变量X的函数：则

方差通过中间计算涉及相应的定积分的计算.

(2)设X,Y为连续型随机变量，是二元函数，则

特别的

协方差通过相关系数通过

中间计算涉及相应二重积分的计算.

4.积分在两个连续型随机变量函数的分布中的应用

1.Z=X+Y的分布

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y),则Z=X+Y为连续型随机变量，其概率密度函数为：

又若X和Y相互独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度函数分别为则上面两式可化为

这两个公式称为的卷积公式，记为

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y),则仍为连续型随机变量，其概率密度函数为：

又若X和Y相互独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度函数分别为则上面两式可化为

综上可以看出，在概率论中定积分与二重积分发挥了重要的计算工具作用.

有的题目在求解的过程中其实概率论的知识比较简单，无非是公式、定理的应用，而题目难就难在积分的计算上。

二、积分的计算方法在概率论中的作用

概率论的很多问题均转化为积分计算,所以《高等数学》中一些重要的积分

计算方法便在概率论中得到了应用,除了基本的直接积分法、换元积分法、分部

积分法以及积分的性质的广泛应用外，伽马函数及其性质和泊松积分的有效使用，可快速的求解概率论中的复杂积分.

1.积分的性质：积分区间的可加性的重要应用.

首先一维连续型随机变量由概率密度函数求分布函数中最主要地应

用了定积分的积分区间的可加性，例如[1]中43页的例1；同理二维连续型随机

变量由概率密度函数求分布函数时也应用到二重积分的积分区域的

可加性，例如[1]中64页例2，其次，在计算连续型随机变量的数字特征或者在

计算边缘概率密度、条件概率密度、两个连续型随机变量的函数的概率密度时，

涉及积分区间是R或积分区域是R2时，都是利用积分区间或区域的可加性，所求积分直接等于被积函数不为零的区间或者区域的积分值.

2.换元积分法的重要应用：

换元积分法是十分重要的一种积分计算方法，在概率论相关的积分计算中有

着举足轻重的地位，例如[1]中48页的引理，引入变量替换

二重积分的换元积分法，例如[1]中78页卷积公式的证明

中固定z和y对积分

等等.

3.分部积分法的重要应用

分部积分法是另外一种重要的积分计算方法，在有关指数分布，正态分布的相关积分计算中经常会用到.例如[1]中103页例5：求指数分布的数学期望和方差用的就是分部积分法.

但是多次分部积分对高等数学学时较少的学生来说是难点，也易产生计算错误．利用Γ函数可以避免多次分部积分，大大简化了此类问题的计算．

4.伽马函数及其性质[2]：

函数的表达式：

函数的性质：

函数是微积分中的一个重要的函数，它在概率论中的指数分布、正态分布、卷积计算中有着很好的应用，在这些积分的计算过程中通过使用函数的结论，可以大大简化积分过程.

首先来看函数在指数分布的数字特征的计算中的应用.

设随机变量X服从参数为的指数分布，其概率密度函数为：

1)则随机变量X的数学期望：

2)随机变量X的方差:,其中下面计算