数学建模案例分析--最优化方法建模7习题六
数学建模的最优化方法
充要条件 : 若f (x*) 0,2 f (x*)正定,则x*是极小点
唯一极小 (全局极小)
f 0.298
f 0
f (x1 x2) 2x12 2x1x2 x22 3x1 x2
多局部极小
f 0.298
求解方法:搜索算法(数值迭代)
在迭代的每一步,确定一个搜索方向和一个步长,使沿此方向和 此步长走一步到达下一点时,函数f(X)的值下降.
3．拟牛顿法
为克服牛顿法的缺点，同时保持较快收敛速度的优点，利用第 k 步 和第 k+1 步得到的X k ，X k1 ，f ( X k ) ，f ( X k1 ) ，构造一个正定
矩阵 G k1 近似代替 2 f ( X k ) ,或用H k1 近似代替( 2 f ( X k )) 1 ，将
牛顿方向改为：
产销量的最佳安排 某厂生产一种产品有
甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何 确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡 指工厂的产量等于市场上的销量.
总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2
符号说明
z(x1,x2)表示总利润；
p1，q1，x1 分别表示甲的价格、成本、销量； p2，q2，x2 分别表示乙的价格、成本、销量； aij，bi，λi,ci（i，j =1，2）是待定系数.
0.9997 0.9998 1E-8
最优点 (1 1) 初始点 (-1 1)
1．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：
无 约
⑴ 给定初始点 X 0 E n ，允许误差 0 ,令 k=0；
束
⑵ 计算f X k ；
优
⑶ 检验是否满足收敛性的判别准则：
化
f X k ，
数学建模培训-最优化方法练习题
练习1、求解下列线性规划问题。
（1）()131********max 43112.22233332436400,1,2,3,4i f x x x s tx x x x x x x x x x i =--++-=+=-+=≥= （2）()123123123max 23.2222320,1,2i f x x x x s tx x x x x x x i =---+≤-+-≤-≥=（3）()1231212312max 564.22553415100,1,2,3i f x x x x s tx x x x x x x x i =+++≤++≤+≤≥=（4）12312312312123min 33..25231612,,0x x x s t x x x x x x x x x x x -++-+≤-+≤+≤≥ （5）1212312412515max 2..506221,,0x x s t x x x x x x x x x x x +++=-++=++=≥ （6）()123412341234max 30354045..34647043658001,2,3,4i x x x x s t x x x x x x x x x i ++++++≤+++≤≥=2、建立线性规划模型，求解下列问题。
（1）某工厂生产甲、乙两种产品。
已知生产甲种产品t 1需耗A 种矿石t 10、B 种矿石t 5、煤t 4；生产乙种产品t 1需耗A 种矿石t 4、B 种矿石t 4、煤t 9。
每t 1甲种产品的利润是600元，每t 1乙种产品的利润是1000元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过t 300、B 种矿石不超过t 200、煤不超过t 360。
甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？（2）设有A 1，A 2两个香蕉基地，产量分别为60吨和80吨，联合供应B 1，B 2，B 3三个销地的销售量经预测分别为50吨、50吨和40吨。
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
最优化方法部分课后习题解答(1-7)
最优化方法部分课后习题解答习题一1.一直优化问题的数学模型为：22121122123142min ()(3)(4)5()02()50..()0()0f x x xg x x x g x x x s t g x x g x x =−+−⎧=−−≥⎪⎪⎪=−−+≥⎨⎪=≥⎪=≥⎪⎩试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出最优值。
（2）约束最优点，并求出其最优值。
（3）如果加一个等式约束，其约束最优解是什么？12()0h x x x =−=解：（1）在无约束条件下，的可行域在整个平面上，不难看出，当=（3，4）()f x 120x x *x 时，取最小值，即，最优点为=（3，4）：且最优值为：=0()f x *x *()f x （2）在约束条件下，的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是()f x 在约束集合即可行域中找一点，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可12(,)x x 以看出，当时，所在的圆的半径最小。
*155(,)44x =()f x 其中：点为和的交点，令求解得到：1()g x 2()g x 1122125()02()50g x x x g x x x ⎧=−−=⎪⎨⎪=−−+=⎩1215454x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即最优点为：最优值为：=*155(,)44x =*()f x 658（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：该优化问题属于三维的优化问题。
123122313123max ()220..00f x x x x x x x x x x S x s t x x =++≤⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎩32123sx y z v⎛⎞=====⎜⎟⎝⎠习题二3.计算一般二次函数的梯度。
数学建模---最优化的有效切割问题
约束 满足需求 4 x1 3x2 2 x3 x4 x5 50
x2 2 x4 x5 3x6 20 x3 x5 2 x7 15
26 x1 x2 x3 31
x1 x2 x3
模式排列顺序可任定
计算结果
• 模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6 米钢管，共10根； • 模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5 米和1根6米钢管，共10根； • 模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管， 共8根。 • 原料钢管总根数为28根。
整数非线性规划模型
钢管下料问题2
增加约束，缩小可行域，便于求解
每根原料钢管长19米
需求：4米50根，5米10 根，6米20根，8米15根
4 50 5 10 6 20 8 15 26 原料钢管总根数下界： 19
特殊生产计划：对每根原料钢管 模式1：切割成4根4米钢管，需13根； 模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根； 模式3：切割成2根8米钢管，需8根。 原料钢管总根数上界：13+10+8=31
钢管下料问题2 目标函数（总根数）
Min x1 x2 x3
模式合理：每根 余料不超过3米
约束 条件
满足需求
r11 x1 r12 x2 r13 x3 50
r21 x1 r22 x2 r23 x3 10
16 4r11 5r21 6r31 8r41 19
数学建模案例分析__最优化方法建模6动态规划模型举例
§6 动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。
多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。
例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。
因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。
（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。
（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。
随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。
使用时间俞长，处理价值也俞低。
另外，每次更新都要付出更新费用。
因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。
动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。
（1）阶段 整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。
通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k 。
（2）状态 状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。
各阶段的状态通常用状态变量描述。
常用k x 表示第k 阶段的状态变量。
n 个阶段的决策过程有1+n 个状态。
用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。
即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。
（3）决策 某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。
描述决策的变量称为决策变量。
决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。
用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数，用)(k k x D 表示k x 的允许决策集合。
数学建模案例之多变量最优化
数学建模案例之多变量无约束最优化问题1[1]：某家液晶电视机制造商计划推出两种产品：一种47英寸液晶电视机，制造商建议零售价每台7900元。
另一种42英寸液晶电视机，零售价6500元。
公司付出的成本为47英寸液晶电视机每台4500元，42英寸液晶电视机每台3800元，再加上3200000元的固定成本。
在竞争的销售市场中，每年售出的液晶电视机数量会影响液晶电视机的平均售。
据估计，对每种类型的电视，每多售出一台，平均销售价格会下降0.08元。
而且47英寸液晶电视机的销售量会影响42英寸液晶电视机的销售，反之也是如此。
据估计，每售出一台47英寸液晶电视机，42英寸的液晶电视机平均售价会下降0.024元，而每售出一台42英寸的液晶电视机，47英寸液晶电视机的平均售价会下降0.032元。
问：（1）问每种电视应该各生产多少台，使总利润最大？（2）对你在（1）中求出的结果讨论42英寸液晶电视机的价格弹性系数的灵敏性。
1．问题分析、假设与符号说明这里涉及较多的变量：s：47英寸液晶电视机的售出数量（台）；t：42英寸液晶电视机的售出数量（台）；p：47英寸液晶电视机的售出价格（元/台）；q：42英寸液晶电视机的售出价格（元/台）；C：生产液晶电视机的成本（元）；R：液晶电视机销售的收入（元）；P：液晶电视机销售的利润（元）这里涉及的常量有：两种液晶电视机的初始定价分别为：339元和399元，成本分别为：195元和225元；每种液晶电视机每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01元（称为价格弹性系数）；两种液晶电视机之间的销售相互影响系数分别为0.04元和0.03元；固定成本400000元。
变量之间的相互关系确定：假设1：对每种类型的液晶电视机，每多售出一台，平均销售价格会下降1元。
假设2：据估计，每售出一台42英寸液晶电视机，47英寸的液晶电视机平均售价会下降0.3元，而每售出一台47英寸的液晶电视机，42英寸液晶电视机的平均售价会下降0.4元。
数学建模最优化模型
解 设剪去的正方形的边长为 x ，则水槽的容积为： (3 2x)2 x
建立无约束优化模型为：min y =- (3 2x)2 x ， 0< x <1.5
先编写M文件fun0.m如下:
function f=fun0(x)
f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m:
[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);
计算机技术的出现，使得数学家研究出了许 多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问 题。
最优化：在一定的条件下，寻求 使得目标最大（最小）的策略
• 约一半以上的问题与最优化问题有关。如： 飞行管理问题（95A） 最优捕鱼策略（96A） 节水洗衣机（96B） 零件的参数设计(97A) 投资收益和风险(98A) 钢管订购和运输(2000B)
一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数线性化。 （3）删除一些非主要约束条件。
建立最优化问题数学模型的三要素：
（1）决策变量和参数。
决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表 示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。
（2）约束或限制条件。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括 把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这 通常是用约束的数学函数形式来表示的。
min f (x) x
2、约束条件下极值问题的数学模型
min f (x) x
s.t. gi (x) 0, i 1, 2,..., m hi (x) 0, i 1, 2,..., n
其中，极大值问题可以转化为极小值问题来
进行求解。如求： max f (x) x 可以转化为：min f (x) x
数学建模最优化模型 ppt课件
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
2020/4/13
最优化问题的数学模型
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练 的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模 型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2） 的等式右边.
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.
2020/4/13
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划
对策论
2020/4/13
最优化问题的一般算法
最优化问题的一般数学模型
minfx
s.t.
hi x0
i1,2,L,m
(P)
gj(x)0 j1,2,Lp
2020/4/13
整体（全局）最优解：若 x* D，对于一切 x D ，恒有
fx*fx则称 x * 是最优化问题的整体最优解。
2020/4/13
整体最优解
求解 P 的基本方法（迭代算法）：
1 给定一个初始可行点 x0 D；
2 产生可行点 x1，x2，…，xk ，…，记为 xk ；
3 使得或者某个 xk 恰好是问题的一个最优
解，或者该点列xk 收敛到问题的一个最优解 x*。
2020/4/13
数学建模讲座之七最优化模型
什么是七最优化模型
七最优化模型是一种数学建模方法，旨在解决具有多个决策 变量和约束条件的优化问题。它通过寻找满足一定条件下的 最优解，为实际问题的解决提供数学模型。
七最优化模型的核心思想是在给定的约束条件下，寻找使目 标函数达到最优值的决策变量值。这个过程涉及到对数学方 程、不等式以及函数的运用，通过建立数学模型来描述实际 问题中的最优化问题。
物流优化
总结词
物流优化是利用七最优化模型来规划物流运输和配送路线，以最小化运输成本、 最大化运输效率的过程。
详细描述
通过数学建模，将物流问题转化为最优化问题，利用七最优化模型求解，可以找 到最优的运输和配送路线，包括车辆调度、货物配载、路径规划等，从而实现运 输成本最小化、运输效率最大化的目标。
物流优化
线性规划的解法包括单纯形法、 对偶理论和分解算法等。
非线性规划
非线性规划是优化技术中的一种， 它处理的是目标函数或约束条件
是非线性的问题。
非线性规划的应用领域包括机器 学习、图像处理、化学工程等。
非线性规划的解法包括梯度下降 法、牛顿法、拟牛顿法等。
非线性规划
非线性规划是优化技术中的一种， 它处理的是目标函数或约束条件
动态规划的解法包括递归法、自底向 上法等。
动态规划的应用领域包括机器学习、 控制系统、生物信息学等。
动态规划
动态规划是数学优化技术中的一种， 它处理的是决策过程具有时间顺序或 阶段性的问题。
动态规划的解法包括递归法、自底向 上法等。
动态规划的应用领域包括机器学习、 控制系统、生物信息学等。
启发式算法
详细描述
人工智能优化主要考虑算法复杂度、计算精 度、系统稳定性等多个因素，通过建立数学 模型，对算法进行优化，提高人工智能系统 的性能和效率。具体来说，可以采用遗传算 法、模拟退火算法、粒子群算法等方法，对
数学建模-最优化
min cij xij Fi yi i i, j
掌握建立和分析规划模型的方法
• 例2 加工问题 m台机床，n种零件在机床加工，工时 为a1, a2, …, an。问如何分配使各机床的总 加工任务尽可能均衡。
掌握建立和分析规划模型的方法
• 设aj在机床i上加工，有xij=1； aj在机床i上加工，有xij=0 。
i 1 i 1 i 1
1000
1000
10000
知道线性规划的求解方法
• • • • • • • Lindo程序 min0x1-1x2+2x3 subject to 1x1-2x2+1x3=2 0x1+1x2-3x3<1 0x1+1x2-1x3<2 end
知道线性规划的求解方法
• • • • • • • • • • Lingo程序 model: sets: E/1..5/:c,x; F/1..3/:b; link(F,E):a; endsets min=@sum(E(j):c(j)*x(j)); @for(F(i):@sum(E(j):a(i,j)*x(j))=b(i)); @for(E(j):x(j)>0);
掌握非线性问题线性化的技巧
• 2、会员租赁数量的约束 ： • 因为会员在一个月内的租赁DVD的数量只 能为0、3、6。 • 若用Zi表示第个会员在第i个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ期中是否被 服务， 则有
掌握非线性问题线性化的技巧
x
j 1
100
ij
3(1 yi )Zi
非线性方程 引入0-1变量 pi和qi ，有
data: • c=0,-1,2,0,0; • b=2,1,2; • a=1,-2,1,0,0, • 0,1,-3,1,0, • 0,1,-1,0,1; • enddata • end
数学建模 最优化方法建模及实现
max Z 400 x1 900 x2 500 x3 200 x4 40 x1 75 x2 30 x3 15 x4 800 300 x 400 x 200 x 100 x 2000 1 2 3 4 s.t. 40 x1 75 x2 500 x1 3, x2 2, 5 x3 10, 5 x4 10
实际问题中的优化模型maxminx决策变量fx目标函数x0约束条件数学规划线性规划lp二次规划qp非线性规划nlp纯整数规划pip混合整数规划mip整数规划ip01整数规划一般整数规划连续规划优化模型的分类线性规划问题的求解在理论上有单纯形法在实际建模中常用以下解法
实验07 最优化方法建模及实现
实验目的
优化模型的分类
实际问题中 Min(或Max) z f ( x), x ( x1 , x n )T 的优化模型 s.t. g i ( x) 0, i 1,2, m x~决策变量 线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP) f(x)~目标函数 数学规划 0-1整数规划 一般整数规划 纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP) gi(x)0~约束条件
例3： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加 工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900， 三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车 床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。 问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求， 又使加工费用最低？
1、了解最优化问题的基本内容。
2、掌握线性规划及非线性规划建模及其MATLAB实现。 3、基于最优化方法建模及实现、论文写作。
实验内容
1、基础知识、例子。
05 第五节数学建模——最优化
第五节数学建模——最优化在实际应用中，常常会遇到最大值和最小值的问题．如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等．此类问题在数学上往往可归纳为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题．分布图示★ 最大值最小值的求法★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6★例7★ 对抛射体运动建模 ★例8 ★例9★ 在经济学中的应用★例10★例11★例12★例13★例14★例15★例16★ 内容小结★课堂练习★ 习题3-5返回内容要点一、求函数的最大值与最小值在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在],[b a 上的最大（小）值的步骤如下：（1）计算函数)(x f 在一切可能极值点的函数值，并将它们与),(a f )(b f 相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2）对于闭区间],[b a 上的连续函数)(x f ，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.二、对抛射体运动建模 三、光的折射原理四、在经济学中的应用例题选讲例1(E01)求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值.解),1)(2(6)(-+='x x x f 解方程,0)(='x f 得.1,221=-=x x 计算;23)3(=-f ;34)2(=-f ;7)1(=f ;142)4(=f 比较得最大值,142)4(=f 最小值.7)1(=f例2求函数x x y -=2sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的最大值及最小值.解函数x x y -=2sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,,12cos 2)(-='='x y x f令,0='y 得.6π±=x,22ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,6236ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .6236ππ+-=⎪⎭⎫⎝⎛-f故y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上最大值为,2π最小值为.2π-例3(E02)设工厂A 到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B .铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C ,如图3-5-4.现在要在铁路BC 中间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每km 的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省?解x BD =(km),x CD -=100(km),.2022x AD +=铁路每公里运费,3k 公路每公里,5k 记那里目标函数(总运费)y 的函数关系式:CD k AD k y ⋅+⋅=35即).1000()100(340052≤≤-++⋅=x x k x k y 问题归结为：x 取何值时目标函数y 最小.求导得,340052⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+='x xk y 令0='y 得15=x (km). 因为.26100)100(,380)15(,400)0(k y k y k y ===从而当15=BD (km)时，总运费最省.例4(E03)某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?解设房租为每月x 元，租出去的房子有⎪⎭⎫⎝⎛--1018050x 套，每月总收入为,1068)20(1018050)20()(⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=x x x x x R,570101)20(1068)(x x x x R -=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='解,0)(='x R 得350=x (唯一驻点).故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为10890)350(=R (元). 求函数的最大值最小值例5求内接于椭圆12222=+by a x 而面积最大的矩形的各边之长.解设),(y x M 为椭圆上第一象限内任意一点，则 以点M 为一顶点的内接矩形的面积为,0,422)(22a x x a x aby x x S ≤≤-=⋅= 且.0)()0(==a S S22222222244)(x a x a a b x a x xx a a b x S --=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=' 由,0)(='x S 求得驻点20a x =为唯一的极值可疑点.依题意,)(x S 存在最大值,故20a x =是)(x S 的最大值,最大值ab a a aa b S 222422max=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=对应的y 值为,2b 即当矩形的边长分别为,2a b 2时面积最大.例6由直线8,0==x y 及抛物线2x y =围成一个曲边三角形,在曲边2x y =上求一点,使曲线在该点处的切线与直线0=y 及8=x 所围成三角形面积最大.解根据几何分析,所求三角形面积为),80)(16(2182102000≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x S由,0)1616643(41020=⨯+-='x x S解得,3160=x 160=x (舍去). ,08316<-=⎪⎭⎫⎝⎛n S274096316=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴S 为极大值.故274096316=⎪⎭⎫ ⎝⎛S 三角形为所有中面积的最大者.例7求数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=n n e n n a 122}{2的最大项(已知3723>e ). 解令,1),122()(22+∞≤≤--=-x x x e x f x则)86(21)(22---='-x x e x f x由,0)(='x f 得唯一驻点.173+=x当)173,1(+∈x 时,;0)(>'x f 当),173(+∞+∈x 时,;0)(<'x f 所以当时,173+=x 时,函数)(x f 取得极大值, 因为,81737<+<又,23)7(7e f =,36)8(4ef =,136373623)8()7(>>=e f f 因此当7=n 时,得数列的最大项,7a .23)7(77ef a ==例8(E04)在地面上以400m/s 的初速度和3π的抛射角发射一个抛射体.求发射10秒后抛射体的位置.解由400=v m/s ，3πα=，10=t ，则()2000103cos 40010=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=πx()2974108.921103sin 400102≈⨯⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=πy即发射10秒后抛射体离开发射点的水平距离为2000米，在空中的高度为2974米.虽然由参数方程确定的运动轨迹能够解决理想抛射体的大部分问题.但是有时我们还需要知道关于它的飞行时间、射程（即从发射点到水平地面的碰撞点的距离）和最大高度.由抛射体在时刻0≥t 的竖直位置解出t .021sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-gt v t α⇒0=t ，g v t αsin 2=． 因为抛射体在时刻0=t 发射，故gv t αsin 2=必然是抛射体碰到地面的时刻.此时抛射体的水平距离，即射程为()()αααα2sin cos 2sin 2sin 2gv tv t x gv t gv t ====. 当12sin =α时即4πα=时射程最大.抛射体在它的竖直速度为零时，即()0sin =-='gt v x y α从而gv t αsin =，故最大高度 ()()()g v g v g g v v x y gv t 2sin sin 21sin sin 22sin ααααα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==. 根据以上分析，不难求得例８中的抛射体的飞行时间、射程和最大高度： 飞行时间70.703sin 8.94002sin 2≈⨯==παg v t （秒） 射程1413932sin 8.94002sin 22max≈==παg v x （米） 最大高度()()61228.923sin 4002sin 22max≈⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==παgv x y （米）例9(E05)在1992年巴塞罗那夏季奥运会开幕式上的奥运火炬是由射箭铜牌获得者安东尼奥·雷波罗用一枝燃烧的箭点燃的,奥运火炬位于高约21米的火炬台顶端的圆盘中,假定雷波罗在地面以上2米距火炬台顶端圆盘约70米处的位置射出火箭,若火箭恰好在达到其最大飞行高度1秒后落入火炬圆盘中,试确定火箭的发射角α和初速度0v .(假定火箭射出后在空中的运动过程中受到的阻力为零,且，2/10s m g =， 5.469.2022arctan ≈≈ 5.46sin 0.725) 解建立如图所示坐标系,设火箭被射向空中的初速度为0v 米/秒,即）（ααsin ,cos 000v v v =,则火箭在空中运动t 秒后的位移方程为()()()()t y t x t s ,==），（2005sin 2cos t t v t v -+αα.火箭在其速度的竖直分量为零时达到最高点,故有()()010sin 5sin 2020=-='-+=t v t t v dt t dy αααsin 100v t =⇒,于是可得出当火箭达到最高点1秒后的时刻其水平位移和竖直位移分别为22000110sin 2170cos 2.31sin 10cos )(0-==+=+=ααααv vv t x v t ）（21320sin )(220110sin 0=-=+=ααv t y v t解得：22sin 0≈αv ,9.20cos 0≈αv ,从而9.2022tan =α⇒ 5.46≈α 又5.4622sin 0≈≈αα，v ⇒3.300≈v (米/秒)所以,火箭的发射角α和初速度0v 分别约为5.46和3.30米/秒. 例10(E06)设每月产量为x 吨时,总成本函数为4900841)(2++=x x x C (元)， 求最低平均成本和相应产量的边际成本.解又.09800)140(3>=''xC 故140=x 是)(x C 的极小值点，也是最低平均成本为7814049008)140(41)140(=++⨯=C (元).边际成本函数为.821)(+='x x C故当产量为140吨时，边际成本为78)140(='C (元).例11(E07)某人利用原材料每天要制作5个贮藏橱.假设外来木材的运送成本为6000元，而贮存每个单位材料的成本为8元.为使他在两次运送期间的制作周期内平均每天的成本最小，每次他应该订多少原材料以及多长时间订一次货？解设每x 天订一次货，那么在运送周期内必须订x 5单位材料.而平均贮存量大约为运送数量的一半，即25x.因此每个周期的成本=运送成本+贮存成本=8256000⋅⋅+x x平均成本()x xx x C 206000+==每个周期的成本，0>x由()2060002+-='x x C 解方程()0='x C ，得驻点 32.173101≈=x ，32.173102-≈-=x （舍去）.因()312000xx C =''，则()01>''x C ，所以在32.173101≈=x 天处取得最小值. 贮藏橱制作者应该安排每隔17天运送外来木材85175=⨯单位材料.例12（E08）某计算器零售商店每年销售360台计算器.库存一台计算器一年的费用是8元.为再订购，需付10元的固定成本，以及每台计算器另加8元.为最小化存贷成本，商店每年应订购计算器几次？每次批量是多少？解设x 表示批量.存货成本表示为=)(x C (年度持产成本)+(年度再订购成本).我们分别讨论年度持产成本和年度再订购成本.现有平均存货量是2/x ,并且每台库存花费10元.因而.428)()(x x=⋅=⋅=平均台数每台年度成本年度持产成本 已知x 表示批量.又假定每年再订购n 次.于是⇒=360nx ./360x n =因而 年度再订购成本=(每次订购成本)∙(再订购次数).28803600360)810(+=+=x x x因此.288036004)(++=xx x C 令,036004)(2=-='xx C 解得驻点.30±=x又.0100000)(3>=''x x C 因为在区间[1,360]内只有一个驻点,即,30=x 所以在30=x 处有最小值.因此,为了最小化存货成本,商店应每年订货1230360=（次）. 例13（E09）再讨论例12,除了把存货成本8元改为9元,采用例3给出的所有数据.为使存货成本最小化,商店应按多大的批量再订购计算器且每年应订购几次?解把这个例子与例6作比较,求其存货成本,它变成.3240360029360)910(29)(++=++⋅=xx x x x x C 然后求),(x C '令它等于0来求解:x0360029)(2=-='xx C .2.28800≈=⇒x 因为每次再订购28.2台没有意义,考虑与28.2最接近的两个整数,它们是28和29.现在有57.3494)28(≈C 元和64.3494)29(≈C 元.由此可得,最小化存货成本的批量是28,尽管相差0.07元并不重要.(注意:这一步骤不是对所有类型的函数都能行得通,但是对于这里正在讨论的函数是可行的.)应再订购的次数是,1328/360≈所以仍然涉及某个近似值.例14（E10）某服装有限公司确定，为卖出x 套服装,其单价应为x p 5.0150-=.同时还确定，生产x 套服装的总成本可表示成225.04000)(x x C +=.(1)求总收入).(x R (2)求总利润).(x L(3)为使利润最大化,公司必须生产并销售多少套服装? (4)最大利润是多少?(5)为实现这一最大利润,其服装的单价应定为多少?解（1）总收入p x x R ⋅=⋅=单价服装套数)()(.5.0150)5.0150(2x x x x -=-= （2）总利润.400015075.0)25.04000()5.0150()()()(222-+-=+--=-=x x x x x x C x R x L（3）为求)(x L 的最大值,先求.1505.1)(+-='x x L 解方程0)(='x L ，得.100=x注意到05.1)(<-=''x P ,因为只有一个驻点,所以)100(L 是最大值.（4）最大利润是3500400010015010075.0)100(2=-⨯+⨯-=L （元）由此公司必须生产并销售100套服装来实现3500元的最大利润.（5）实现最大利润所需单价是1001005.0150=⨯-=p （元）.例15（E11）某大学正试图为足球票定价.如果每张票价为6元，则平均每场比赛有70000名观众.每提高1元，就要从平均人数中失去10000名观众.每名观众在让价上平均花费1.5元.为使收入最大化，每张票应定价多少？按该票定价，将有多少名观众观看比赛？解设每张票应提价的金额x (如果x 是负值,则票价下跌).首先把总收入R 表示成x 的函数.)(5.1)()()()()(人数票价人数让价收益票价收益+⋅=+=x R)1000070000(5.1)6)(1000070000(x x x -++-= 5250005000100002+--=x x .为求使)(x R 最大的,x 先求:)(x R '.500020000)(--='x x R解方程0)(='x R ，得25.0-=x 元.注意到020000)(<-=''x R ，因为这是唯一的驻点,所以)25.0(-R 是最大值.因此,为使收入最大化,足球票定价为75.525.06=-元.也就是说，下调后的票价将吸引更多的观众去看球赛，其人数是72500)25.0(1000070000=-⨯-这将带来最大的收入.例16（E12）录像带商店设计出一个关于其录像带租金的需求函数，并把它表示为P Q 20120-=其中Q 是当每盒租金是P 元时每天出租录像带的数量.求解下列各题： （1） 求当2=P 元和4=P 元时的弹性，并说明其经济意义. （2） 求()1=P η时P 的值，并说明其经济意义. （3） 求总收益最大时的价格P . 解（1）首先求出需求弹性()PP P P Q Q P P --=--⋅='⋅=62012020η当2=P 元，有()212622-=--=η. ()1212<=η，表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率小于1.价格的小幅度增加所引起出租数量百分比的减少小于价格改变量的百分比. 当4=P 元，有()24644-=--=η. ()122>=η，表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率大于1.价格的小幅度增加所引起出租数量百分比的减少大于价格改变量的百分比. （2）令()1=P η，即316=⇒=--P PP因此，当每盒租金是3元时，出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率是1.（3）总收益是()220120P P PQ P R -==()P P R 40120-='，()40-=''P R令()0='P R ，解得3=P .又()040<-=''P R ，所以3=P 为()2P R 的极大值点，也是最大值点.即当每盒租金是3元时，总收益最大.在上例中得到，使()1=P η的P 值与使总收益最大的P 值是相同的.这一事实总是成立的.课堂练习1.下列命题正确吗?若0x 为)(x f 的极小值点,则必存在0x 的某领域,在此领域内,)(x f 在0x 的左侧下降,而在0x 的右侧上升.2.若)(a f 是)(x f 在[a ,b ]上的最大值或最小值,且)(a f '存在,是否一定有0)(='a f ?。
不确定条件下的最优化问题数学建模方法
不确定条件下的最优化问题数学建模方法说到“不确定条件下的最优化问题”，你可能会觉得这个话题像是从高楼上丢下来的一个复杂的数学公式，砸得你头晕眼花。
但别急，咱们先深吸一口气，稳住，一点点往前走。
这不就是生活中的“抉择问题”嘛！你想想看，每天我们不是都在面对各种选择吗？是吃个炸鸡，还是去健身房？是买彩票，还是存钱养老？这不就是典型的不确定条件下的最优化问题嘛，选择多了，怎么做才能最好？好吧，咱们的生活已经充满了不确定性了，再加上数学的加入，简直是“添油加醋”，让人脑袋转不过弯。
我们说的“不确定性”，就是你做决策时，根本不知道结果是什么。
比方说，你今天去参加一个聚会，不知道会不会碰到老同学，也不知道会不会遇到一个投资机会，甚至连今天的天气都不确定。
这不就相当于你要在一个迷雾中行走，根本不知道前方是光明的草原，还是泥泞的陷阱。
咱们要说的是最优化。
嘿，说白了就是你要做选择时，怎么能做到最好。
就像你去超市买东西，最优化的目标是：在有限的钱包里买到最有价值的商品。
如果钱不够，就得掂量掂量，是选择那袋价值更高的牛肉，还是更多的水果？这就是优化问题的缩影。
关键就是你要做出选择，而选择的背后，恰恰是“怎么做能最好”的思考。
可是，搞定这些可不容易。
你得根据实际情况，抛开那些看似完美但不切实际的理想模型，找到一个能够在不确定的情况下，也能拿到最大收益的答案。
可能有人会想：“哎，这不就是投机取巧嘛。
”嘿，不！你得知道，“投机取巧”和“最优化”可不是一回事。
最优化的精髓在于，我们要用尽可能少的资源，达到最好的效果。
用一个简单的例子来说，你去爬山，山顶的风景是最美的，但你得想好怎么爬上去。
是走小路，绕一绕，还是直接选择一条大路，快速上去？每条路的风险和成本不一样。
可是最优化就是要让你在各种不确定的情况下找到最合适的选择。
关键是，谁能找到最短的路，谁就能登顶，别再东张西望，纠结到底是哪条路才是最好的。
要相信自己能在不断的试错中，找到一条最适合自己的路。
数学建模案例分析--最优化方法建模7习题六
数学建模案例分析--最优化⽅法建模7习题六习题六1、某⼯⼚⽣产四种不同型号的产品，⽽每件产品的⽣产要经过三个车间进⾏加⼯，根据该⼚现有的设备和劳动⼒等⽣产条件，可以确定各车间每⽇的⽣产能⼒（折合成有效⼯时来表⽰）。
现将各车间每⽇可利⽤的有效⼯时数，每个产品在各车间加⼯所花费的⼯时数及每件产品可获得利润列成下表：试确定四种型号的产品每⽇⽣产件数,,,,4321x x x x 使⼯⼚获利润最⼤。
2、在车辆拥挤的交叉路⼝，需要合理地调节各车道安置的红绿灯时间，使车辆能顺利、有效地通过。
在下图所⽰的⼗字路⼝共有6条车道，其中d c b a ,,,是4条直⾏道，f e ,是两条左转弯道，每条车道都设有红绿灯。
按要求制定这6组红绿灯的调节⽅案。
⾸先应使各车道的车辆互不冲突地顺利驶过路⼝，其次希望⽅案的效能尽量地⾼。
即各车道总的绿灯时间最长，使尽可能多的车辆通过。
da bc 提⽰：将⼀分钟时间间隔划分为4321,,,d d d d 共4个时段，()()()f J b J a J ,,, 为相应车道的绿灯时间。
()d J3、某两个煤⼚A 和B 每⽉进煤量分别为60吨和100吨，联合供应三个居民区C 、D 、E 。
这三个居民区每⽉对煤的需求量依次分别是50吨、70吨、40吨。
煤⼚A 与三个居民区C 、D 、E 的距离分别为10公⾥、5公⾥和6公⾥。
煤⼚B 与三个居民区C、D 、E 的距离分别为4公⾥、8公⾥和12公⾥。
问如何分配供煤量可使运输总量达到最⼩？4、某⼯⼚制造甲、⼄两种产品，每种产品消耗煤、电、⼯作⽇及获利润如下表所⽰。
现有煤360吨，电⼒200KW.h ，⼯作⽇300个。
请制定⼀个使总利润最⼤的⽣产计划。
5、棉纺⼚的主要原料是棉花，⼀般要占总成本的70%左右。
所谓配棉问题，就是要根据棉纱的质量指标，采⽤各种价格不同的棉花，按⼀定的⽐例配制成纱，使其既达到质量指标，⼜使总成本最低。
棉纱的质量指标⼀般由棉结和品质指标来决定。
数学建模优化建模实例【精选】
x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610 8
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
方法2：引入0-1变量，化为整数规划
x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80
x1 My1, x1 80 y1, y1 {0,1} M为大的正数，
x2 My2, x2 80 y2, y2 {0,1} 可取1000
4
25
20
合计
100
135
成本(千元/千箱)
5.0 5.1 5.4 5.5
• 剩余产品需要支付贮存费，每周0.2千元/千箱；
应如何安排计划，在满足每周市场需求的条件下，使 四周的总费用最小 ？
11
问题分析
周次 1 2 3 4
合计
需求 15 25 35 25 100
能力 30 40 45 20 135
现有量 600 60000
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，则至少 要生产80辆，那么最优的生产计划应作如何改变。
6
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
成本 5.0 5.1 5.4 5.5
• 除第4周外每周的生产 能力超过每周的需求； • 生产成本逐周上升； •前几周应多生产一些。
模 • 饮料厂在第1周开始时没有库存；
型 • 从费用最小考虑, 第4周末不能有库存；
假 设
• 周末有库存时需支出一周的存贮费；
3500
2850
如何装运， 使本次飞行 获利最大？
常用数学建模方法及实例
常用数学建模方法及实例数学建模是将实际问题转化为数学模型，通过数学方法进行求解和分析的过程。
常用的数学建模方法包括线性规划、整数规划、非线性规划、图论、动态规划等。
一、线性规划线性规划是一种用于求解线性约束下目标函数的最优值的方法。
它常用于资源分配、生产计划、供应链管理等领域。
例1：公司有两个工厂生产产品A和产品B，两种产品的生产过程需要使用原材料X和Y。
产品A和产品B的利润分别为10和8、工厂1每小时生产产品A需要1个单位的X和2个单位的Y，每小时生产产品B需要2个单位的X和1个单位的Y。
工厂2每小时生产产品A需要2个单位的X和1个单位的Y，每小时生产产品B需要1个单位的X和3个单位的Y。
公司给定了每种原材料的供应量，求使公司利润最大化的生产计划。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展，要求变量的取值为整数。
整数规划常用于离散决策问题。
例2：公司有5个项目需要投资，每个项目的投资金额和预期回报率如下表所示。
公司有100万元的投资资金，为了最大化总回报率，应该选择哪几个项目进行投资？项目投资金额（万元）预期回报率1207%2306%3409%4104%5508%三、非线性规划非线性规划是一种求解非线性目标函数下约束条件的最优值的方法。
它广泛应用于经济、金融和工程等领域。
例3：公司通过降低售价和增加广告费用来提高销售额。
已知当售价为p时，销量为q=5000-20p，广告费用为a时，销售额为s=p*q-2000a。
已知售价的范围为0≤p≤100，广告费用的范围为0≤a≤200，公司希望最大化销售额，求最优的售价和广告费用。
四、图论图论是一种用于研究图（由节点和边组成）之间关系和性质的数学方法，常用于网络分析、路径优化、社交网络等领域。
例4：求解最短路径问题。
已知一个有向图，图中每个节点表示一个城市，每条边表示两个城市之间的道路，边上的权重表示两个城市之间的距离。
求从起始城市到目标城市的最短路径。
五、动态规划动态规划是一种通过将问题划分为子问题进行求解的方法，常用于求解最优化问题。
数学建模讲座之七---最优化模型
综上得，
函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
2013-8-6 数学建模
2013-8-6
数学建模
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…）
2013-8-6 数学建模
x
1、无约束极值问题的求解
例1：求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值与最小值。 解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14 f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) 解方程f’(x)=0，得到x1= -2，x2=1，又 由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142，
0.5x1 0.2 x2 8 x1 , x2 0
2013-8-6
数学建模
用Matlab编程求解程序如下：
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) f = -[10 5]; A = [0.3 0.4;0.5 0.2]; B = [9;8];
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b)
数学建模
s.t.
2013-8-6
问题二： 某厂每日8小时的产量不低于1800件.为了进行质量
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习题六
1、某工厂生产四种不同型号的产品，而每件产品的生产要经过三个车间进行加工，根据该厂现有的设备和劳动力等生产条件，可以确定各车间每日的生产能力（折合成有效工时来表示）。
现将各车间每日可利用的有效工时数，每个产品在各车间加工所花费的工时数及每件产品可获得利润列成下表：
试确定四种型号的产品每日生产件数,,,,4321x x x x 使工厂获利润最大。
2、在车辆拥挤的交叉路口，需要合理地调节各车道安置的红绿灯时间，使车辆能顺利、有效地通过。
在下图所示的十字路口共有6条车道，其中d c b a ,,,是4条直行道，f e ,是两条左转弯道，每条车道都设有红绿灯。
按要求制定这6组红绿灯的调节方案。
首先应使各车道的车辆互不冲突地顺利驶过路口，其次希望方案的效能尽量地高。
即各车道总的绿灯时间最长，使尽可能多的车辆通过。
d
a b
c 提示：将一分钟时间间隔划分为4321,,,
d d d d 共4个时段，()()()f J b J a J ,,, 为相应车道的绿灯时间。
()d J
3、某两个煤厂A 和B 每月进煤量分别为60吨和100吨，联合供应三个居民区C 、D 、E 。
这三个居民区每月对煤的需求量依次分别是50吨、70吨、40吨。
煤厂A 与三个居民区C 、D 、E 的距离分别为10公里、5公里和6公里。
煤厂B 与三个居民区C 、D 、E 的距离分别为4公里、8公里和12公里。
问如何分配供煤量可使运输总量达到最小？
4、某工厂制造甲、乙两种产品，每种产品消耗煤、电、工作日及获利润如下表所示。
现有煤360吨，电力200KW.h ，工作日300个。
请制定一个使总利润最大的生产计划。
5、棉纺厂的主要原料是棉花，一般要占总成本的70%左右。
所谓配棉问题，就是要根据棉纱的质量指标，采用各种价格不同的棉花，按一定的比例配制成纱，使其既达到质量指标，又使总成本最低。
棉纱的质量指标一般由棉结和品质指标来决定。
这两项指标都可用数量形式来表示。
棉结粒数越少越好，品质指标越大越好。
一个年纺纱能力为15000锭的小厂在采用最优化方法配棉前，某一种产品32D 纯棉纱的棉花配比、质量指标及单价见下表：
有关部门对32D 吨棉纱规定的质量指标为棉结不多于70粒，品质指标不小于2900。
请给出配棉方案。
6、某公司经营两种物品，第一种物品每吨售价30元，第二种物品每吨售价450元。
根据统计，售出第一种物品每吨所需要的营业时间平均是0.5小时，每二种物品是2+0.252x 小时，其中2x 是第二种物品的数量。
已知该公司在这段时间内的总营业时间为800小时，试决定使其营业额最大的营业计划。
7、设有400万元资金，要求4年内用完，若在一年内使用资金x 元，可得到利润x 万元（利润不能再使用），当年不用的资金可存入银行，年利率为10%。
试制定出资金的使用计划，以使4年利润为最大。
8、某工厂向用户提供一种产品，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40吨，第二季度末交60吨，第三季度末交80吨。
工厂的最大生产能力为每季度100吨，每季度的生产费用是2
2.050)(x x x f +=（元），其中x 为该季度生产该产品的吨数。
若工厂生产的多，多余的产品可移到下季度向用户交货，这样，工厂就要支付存储费，每吨该产品每季度的存储费为4元。
问该厂每季度应生产多少吨该产品，才能既满足交货合同，又使工厂所花的费用最少（假设第一季度开始时该产品无存货）。
9、现有一节铁路货车，车箱长10米，最大载重量为40吨，可以运载7类货物包装箱。
包装箱的长度和重量不同，但宽和高相同且适合装车，每件包装箱不能拆开装卸，只能装或不装。
每件货物的重量、长度与价值如下表所示：
请给出装货方案，使总的价值最大.
10、某厂拟用集装箱托运两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示，问两种货物各托运多少箱，可使获得利润最大？
11、一架货运飞机，有效载重量为24吨，可运输物品的重量及运费收入如下表所示，其中各物品只有一件可供选择。
问如何选运物品可使运费总收入最多？
12、某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置点)7,,2,1( i A i 可供选择。
规定：在东区，由三个点321,,A A A 中至多选两个；在西区，由两个点54,A A 中至少选一个；在南区，由两个点76,A A 中至少选一个。
投资总额不能超过70万元。
设备投资费与每年可获利润见下表。
问应选择哪几个点可使年利润为最大？
13产量最高？。