用导数法求函数最值
函数极值求法及应用
函数极值求法及应用本文将介绍函数极值求法及其应用。
一、函数极值的定义函数极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。
在函数的导数为0或不存在的点处，函数可能取得极值。
二、求函数极值的方法1. 导数法首先，将函数y=f(x)对x求导得到其导函数y'=f'(x)。
然后，解以下方程组：y'=0或y'不存在求得的解即为函数的极值点。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其导函数y'=2x-2。
令y'=0，得到x=1。
此时，函数取得极小值y=0。
注意：在求解时需要注意导数不存在的情况，例如绝对值函数。
2. 二次函数法对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，该函数的最小值为c-b^2/(4a)，当a<0时，该函数的最大值也为c-b^2/(4a)。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其a=1，b=-2，c=1。
因为a>0，所以y的最小值为1-(-2)^2/(4×1)=0。
3. 边界法当函数在一定区间内连续时，其取得极值的点只可能在该区间的边界处或导数不存在的点处。
因此，我们只需要求出函数在该区间的两个端点处的函数值，再比较这两个值和导数不存在的值的大小即可确定极值点。
例如，对于函数y=x^3-3x，当x∈[-1,2]时，极值点只可能在x=-1、x=2或导数不存在的点处。
函数在端点处的值为y(-1)=-2和y(2)=2，导数不存在的点为x=0。
因此，函数在x=0处取得极大值y=0，而在x=-1处取得极小值y=-4。
三、应用函数极值可以在优化问题中起到重要作用。
例如，在最小化成本的问题中，需要确定产量x的大小使得成本最小化。
假设某企业的生产成本函数为y=3x^2-4x+8，其中x为产量，y为成本。
该问题可以转化为求函数y的最小值。
通过求出函数的导数为0的点，我们发现函数在x=2/3处取得最小值y=6.67。
因此，该企业应该保持产量在2/3时，成本会最小。
高中数学讲义：利用导数解函数的最值
函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x £，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x ³，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =Î，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z pp =+Î，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ³=，即不等式ln 1x x £-二、典型例题：例1：求函数()x f x xe -=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x \的单调区间为：x (),1-¥()1,+¥'()f x +-()f x Z ]()()max 11f x f e\==，无最小值小炼有话说：函数()xf x xe-=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
导数求极值经典例题
导数求极值经典例题
导数求极值理论是数学中极为重要的一个概念，它可以用来解决各种数学问题，是应用数学和科学计算的重要方法之一。
本文以两个经典例题为例，介绍一下导数求极值理论及其在解决问题上的应用。
首先来看第一个例题：求函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的极值。
首先，要求函数f(x)的导数：
f′(x)=2ax+b
然后，求f′(x)的极值：
2ax+b=0，即x=-b/2a
知道x=-b/2a以后，再将x带入原函数f(x)，即可得出极值：f(-b/2a)=(-b2/4a)+cb/a+c
接下来，我们来看第二个例题：求函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的极值。
同样，首先求函数f(x)的导数：
f′(x)=3ax2+2bx+c
再求f′(x)的极值：
3ax2+2bx+c=0，即x=-b/3a
知道x=-b/3a以后，再将x带入原函数f(x)，即可得出极值：f(-b/3a)=(-b3/27a)+cb2/6a+cd/3a+d
以上两个例题，简述了导数求极值的一般步骤，即求函数的导数，求导数的极值，将极值带入原函数即可求出原函数的极值。
此外，我们还可以用一阶导数法和二阶导数法来近似求解极值问题，也就是说
在计算极值时，可以用一些近似的方法来求解，而不必要求出精确的极值，从而有效提高求解效率。
总之，导数求极值理论是一种有效而又简单的方法，它可以有效地帮助我们解决一些数学问题。
指数函数最值的4种解法
指数函数最值的4种解法
指数函数是一类在数学中非常常见的函数，求其最值是一个经典的问题。
以下是4种解法：
1. 导数法
通过对指数函数求导，得到其上升（或下降）的那一段区间，以及端点处是否取极值，判断最大值和最小值。
该方法简单直接，适用于初学者。
2. 对数法
对于底数为 $a > 0$ ($a\ne 1$) 的指数函数 $y = a^x$，可以将其转化为以 $e$ 为底的指数函数 $y = e^{\ln a \cdot x}$。
由于
$e^x$ 的最大值为 $e^1$，因此 $a^x$ 的最大值为 $e^{\ln a}$。
同理可以判断最小值。
该方法需要一定的对数知识。
3. 利用不等式
由于指数函数满足 $a^x > 0$，因此可以结合一些基本的不等式，求解其最值。
有时候，也可以将指数函数转化为其他函数，比如和
式或积式，在此基础上利用不等式求解。
4. 完全平方法
该方法常用于证明一些数学恒等式，不过也可以用来求解指数
函数最值。
具体方法是，将指数函数表示为完全平方后的形式，利
用完全平方公式，求解最值。
无论采用哪种方法，都需要掌握基本的指数函数性质，理解函
数图像，特别是对数函数的图像。
熟练掌握这些知识，才能准确地
判断并解决指数函数求最值的问题。
求极值的若干方法
求极值的若干方法求解函数的极值是数学分析中重要的问题之一、找出函数的极值可以帮助我们确定函数的最大值或最小值，并且有助于解决各种实际问题。
本文将介绍常见的求解极值的若干方法。
一、导数法（一阶导数法、二阶导数法）导数是函数在其中一点的变化率，求导数的过程可以帮助我们确定函数的增减性，从而找出函数的极值点。
常见的导数法包括一阶导数法和二阶导数法。
1.一阶导数法：首先求函数的一阶导函数，然后将导函数等于零，解出方程得到函数的临界点，再将临界点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。
2.二阶导数法：首先求函数的二阶导函数，然后将二阶导函数等于零，解出方程得到函数的拐点，再将拐点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。
二阶导数法可以帮助我们判断函数的临界点是极值点还是拐点。
二、边界法（最大最小值定理）边界法是基于最大最小值定理求解函数极值的方法。
最大最小值定理指出，在闭区间内的连续函数中，最大值和最小值一定存在。
因此，我们可以通过求解函数在闭区间端点和临界点处的函数值，找出函数的最大值或最小值。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是用于求解带约束条件的极值问题的方法。
在求解极值问题时，如果还存在一些约束条件，可以引入拉格朗日乘数，通过构建拉格朗日函数，将约束条件加入目标函数中，然后求解拉格朗日函数的极值点。
最终，通过求解得到的极值点，再进行函数值的比较，找出最大值或最小值。
四、二分法二分法是一种在有序列表中查找特定元素的方法，也可以用于求解函数的极值。
二分法的基本思想是通过将区间一分为二，然后比较中间点与两侧点的大小关系，逐步缩小范围，最终找出函数的极值点。
二分法的效率较高，适用于一些连续单调函数。
五、牛顿法牛顿法是一种用于求解多项式函数的根的方法，也可以用于求解函数的极值。
牛顿法的基本思想是通过构建一个逼近曲线，以曲线与函数的交点为新的逼近值。
然后不断迭代逼近，最终找到函数的极值点。
利用导数求解函数的单调性与最值问题
利用导数求解函数的单调性与最值问题在微积分学中，导数是一个重要的概念，它被应用于许多实际问题的解决中。
本文将重点讨论如何利用导数来求解函数的单调性及最值问题。
1. 导数的定义导数描述了函数f(x)在某一点x处的变化率。
它的定义为：f'(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)]/Δx其中Δx表示x的增量，f(x+Δx)-f(x)表示y的增量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 求解单调性问题当函数f(x)单调递增时，其导数f'(x)>0；当函数f(x)单调递减时，其导数f'(x)<0。
因此，我们可以利用导数的正负性来判断函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x^2，在x>0时它单调递增，而在x<0时它单调递减。
我们可以通过求导得到它的导数：f'(x) = 2x当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。
因此，函数f(x)=x^2在x>0时单调递增，在x<0时单调递减。
3. 求解最值问题函数f(x)在x处取得最大值或最小值，等价于在点x处的导数为0，或者在点x处的导数不存在。
因此，求解函数f(x)的最值问题，我们需要先求出它的导数f'(x)，然后令f'(x)=0求出x的值，即可得到函数f(x)的极值点。
最后，再对这些极值点进行比较，就可以确定函数f(x)的最大值和最小值。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+5，我们可以先求出它的导数：f'(x) = 3x^2-3令f'(x)=0，解得x=±1。
这两个点即为函数f(x)的极值点。
我们还需要判断它们是否是函数的最值点。
当x=1时，f''(x)=6>0，说明f(x)在x=1处取得极小值；当x=-1时，f''(x)=-6<0，说明f(x)在x=-1处取得极大值。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧求极值（即最大值或最小值）是数学中的一个重要问题，对于实际问题的解决非常有帮助。
在解决求极值问题时，有几种方法和技巧可以帮助我们找到最优解。
一、导数法导数法是求取函数极值的一种重要方法。
它的基本思想是通过求取函数的导数来研究函数的增减性，从而得到函数的最值。
1.确定函数的定义域：首先需要确定函数的自变量范围，即函数是定义在哪个区间上的。
2.求导数：对于给定的函数，求取其导函数。
3.找到导数为零的点：求解导函数等于零的方程，在这些点处函数的导数为零，也就是函数的极值点。
4.检查极值：计算极值点的函数值，比较得出最大值或最小值。
例如，对于函数f(x)=x^2-4x+3，我们可以通过求导数的方法来求取极值。
首先求导函数f'(x)=2x-4，然后将导函数等于零，得到方程2x-4=0，解出x=2接下来，将x=2代入原函数中，得到f(2)=(2)^2-4(2)+3=-1所以，函数f(x)的极小值为-1，当且仅当x=2时。
二、二次型矩阵法对于二次型矩阵，我们可以通过计算其特征值和特征向量来求取极值。
1.构造二次型矩阵：将函数转化为一个二次型矩阵，即通过展开函数，并将其写成矩阵的形式。
2.求取特征值和特征向量：计算二次型矩阵的特征值和特征向量。
3.判断极值：根据特征值的正负情况来判断函数的极值。
如果特征值都大于零，那么函数有一个极小值。
如果特征值都小于零，那么函数有一个极大值。
如果特征值既有正数又有负数，那么函数没有极值。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解约束问题的极值方法，可用于求解带有约束条件的极值问题。
1.确定函数和约束条件：首先需要将函数和约束条件写出来。
2.构造拉格朗日函数：将约束条件乘以一个拉格朗日乘子，并与原函数相加，形成一个新的函数。
3.求取梯度：对构造的拉格朗日函数求取梯度，得到等于零的方程组。
4.解方程组：求解方程组，得到自变量的值。
5.检查极值：将求得的自变量代入原函数中，求取函数的极值。
导数求最值方法
导数求最值方法
求最值是数学中常见的问题，导数是求解最值的有效方法之一。
导数是函数在某一点处的斜率，可以帮助我们判断函数在该点处的最值情况。
以下是导数求最值的方法：
1. 求函数的导数
先求出函数的导数，然后找到导数的零点和间断点。
导数的零点是函数的极值点，间断点也可能是函数的极值点。
2. 分析导数的符号
在导数零点和间断点的左右两侧分别取一个测试点，带入导数中分析符号。
如果导数的符号从正变负，那么函数在该点处有一个局部最大值；如果导数的符号从负变正，那么函数在该点处有一个局部最小值。
3. 判断全局最值
对于一个函数，可能有多个局部极值点，但并不一定就是函数的全局最值。
要找到函数在定义域内的全局最值，需要进行比较。
比较函数在端点处的函数值和局部极值点的函数值，最终确定全局最值的位置。
以上是导数求最值的方法，有助于我们更好地解决数学中的最值问题。
- 1 -。
利用导数求函数的极值(最值)的几个特例
Ｂｆ （。不存在 ． ）
垒 二
一
二ｏ ： 一 ） ２ …（ 一０ ） （ １（ 一 ） ５ ） △
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，
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ｃ 。 ０ 。 ． （ ） 或厂（ ） 在 ｆ ＝ 不存
答 案 ： Ｃ
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＜ 即０ ０， ＜ ４
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观 察 函数 在 各段 上 导数 的符 号 ．从 而 准确 判 断 各 段 上 函数 的 单
调 性 ． 定 函数 的极 值 和 最值 ． 确
当 ０ ，＝ ， ２ ， ， ＝ 时 ｙ Ｏ 即一 ≤） ≤２ 函数有最大值２ 最小值 一 ． ， ２
特例２ 设 函数 厂 ＝ 一 ） １下列结论正确的是（ （ （ １ｚ ， ） ＋ Ａｘ ｌ 函数 的极小值点 ，＝ 是极大值点 ． 是 ＝ ｘ０
Ｂ ＝ 及 ０ 是 函数 的 极 大 值 点 ． １ ＝均 Ｃｘ ｌ ＝ 均 是 函数 的 极 小 值 点 ．＝ 及ｘ ０ Ｄ １ 函数 的极 小 值 点 ， ． 是 ＝ 函数 无 极 大 值 点
答案 ： Ｄ
） ．
数 的公 式 求 解 即 可．
特 例４ 函 数ｙ ＝
（
） ．
Ａ 有最大值２ 无最小值 ． ，
Ｂ无最大值 ， ． 有最小值一 ２
ｃ最大值２ 最小值一 ． ， ２
答 案 ： Ｃ
Ｄ无最值 ．
解析： ）６ｘ １Ｘ ０解得 ＝ ， ＝． 令厂（ ＝（３ ） ＝ ， － ２ ． ｘ１ ０ ２ 列出表格如下
用导数法求函数最值
用导数法求函数最值中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础，因此最值问题历来是各类考试的热点。
利用中学数学知识解决最值问题方法很多，如：配方法、不等式法、数形结合法、换元法、判别式法等等，但在我们学习了导数知识后，发现用导数法来求函数的最值要比初等方法快捷简便，因此导数法求最值也是一种不可忽视方法：在闭区间[,]a b 上连续的函数()f x 在[,]a b 上必有最大值与最小值。
设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，求()f x 的最大值与最小值的步骤如下：(1) 求()f x 在(,)a b 内的极值；(2) 将()f x 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值。
应注意：（1）()f x 的极值是局部概念，而最大(小)是值则可看作整体概念，即在定义域内最大或最小如图所示 : （2）求函数的最值与求函数极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可。
（3）可利用函数的单调性求()f x 在区间上的最值，若()f x 在[a,b]上单调增加，则()f x 的最大值为()f b ，最小值为()f a ；若()f x 在[a,b]上单调减少，则()f a 为函数最大值，()f b 为最小值。
例1：求函数53231y x x x =--+在[2,2]-上的最大值与最小值。
解：由 53231y x x x =--+得'42221091(101)(1)y x x x x =--=+-令'0y =解得121,1x x =-=，列表讨论如下：又因为当1x =-时y =532(1)3(1)(1)1-----+ =3 当1x =时5213111y =--+ =1-而函数在两个端点的函数值分别为37-，39，因此函数y 的最大值为39，最小值为37- 例2：(1)求函数()f x 3211232x x x =--在闭区间[1,1]-最小值及[2,3]-上的最大值。
利用导数研究函数的极值最值
利用导数研究函数的极值最值导数是研究函数的极值、最值的重要工具之一、通过计算函数的导数，我们可以找到函数的临界点，进而确定函数的极值和最值。
极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
极大值是函数在其中一点上取得的最大值，极小值是函数在其中一点上取得的最小值。
首先，我们可以通过计算函数的导数来找到函数的临界点。
临界点是函数导数等于0的点，也包括导数不存在的点。
然后，通过进一步的分析，可以确定临界点中的极值点。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
首先，我们需要计算函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找出导数f'(x)等于0的点，这些点就是函数f(x)的临界点。
接下来，我们进一步分析导数f'(x)的符号。
在临界点两侧，如果导数f'(x)由正变负，则表明在该点上函数f(x)取得极大值；如果导数f'(x)由负变正，则表明在该点上函数f(x)取得极小值。
当然，也可能存在导数f'(x)不存在的点，这些点也是函数的临界点。
最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
最大值是函数在定义域内所有点上取得的最大值，最小值是函数在定义域内所有点上取得的最小值。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的临界点。
然后，通过分析函数在临界点、定义域的边界点和导数不存在的点上的取值，可以确定函数的最值。
当函数在闭区间[a,b]上连续时，最大值和最小值一定在定义域的边界点上或者在临界点上取得。
因此，在求解函数最值时，我们需要计算函数在闭区间的端点上的取值，并将其和临界点上的取值相比较。
需要注意的是，导数仅能帮助我们找到函数的临界点，但临界点未必都是极值点。
为了判断极值点是否为极大值或极小值，我们还需要进行二阶导数测试。
如果二阶导数大于0，则表示该点为极小值；如果二阶导数小于0，则表示该点为极大值；如果二阶导数等于0，则需要进行其他方法的分析。
总之，利用导数研究函数的极值、最值是一种有效的方法。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧求极值是数学中的重要问题，涉及到函数的最大值和最小值。
在解决求极值的问题时，有一些常用的方法和技巧可以帮助我们更好地处理。
一、导数法求极值最常用的方法之一就是导数法。
导数是函数变化率的一种测量方式，通过求函数的导数，可以找到函数的临界点，即函数取得极值的点。
1.寻找导数为零的点极值点在导函数为零的点上，因此可以通过求导数，令导数等于零并解方程，得到函数的极值点。
求导数时，需要注意函数定义域和导数存在的条件。
2.寻找导数不存在的点导数不存在的点也可能是函数的极值点，可以通过求导数，找到函数导数不存在的点。
3.寻找导数符号变化的点如果函数在其中一区间内导数的符号发生变化，那么这个区间内一定存在极值点。
可以通过列出导数符号变化的条件，找到极值点所在的区间。
二、函数图像法函数图像是函数性质的直观表达。
通过观察函数的图像特征，可以找到函数的极值点。
1.求函数的零点函数零点是函数与横轴交点的横坐标，也是函数的极值点。
可以通过求解函数的零点，得到函数的极值点。
2.寻找函数上下凹区域函数在上凹区域和下凹区域会有极值点存在。
可以通过函数的二阶导数（二阶导数大于零的区域为上凹区域，小于零的区域为下凹区域）找到函数的凹凸性，从而确定极值点所在的区域。
3.观察振荡特征如果函数在其中一区间内振荡变化，那么该区间内一定存在极值点。
可以通过观察函数的振荡特征，找到函数的极值点。
三、辅助工具法除了导数法和函数图像法外，还可以借助辅助工具来求极值。
1.使用微积分软件微积分软件可以帮助我们对函数进行求导和求积等计算，大大简化了求极值的过程。
可以通过微积分软件的计算功能，得出函数的极值点。
2.英文和图表分析有时，通过阅读相关文献或分析数据图表，我们可以发现规律，从而找到函数的极值点。
这种方法可以在应用领域中得到广泛应用。
总结起来，求取极值的方法与技巧主要包括导数法、函数图像法和辅助工具法。
其中，导数法是求解极值最常用的方法，通过求函数的导数，找到其临界点即为极值点；函数图像法通过观察函数图像特征、求函数的零点和凹凸区域来找到极值点；辅助工具法则借助于微积分软件、英文和图表分析等辅助工具来求解极值。
用导数求函数的最大值与最小值_2022年学习资料
一般地，在闭区间[α ，b]上的连续函数fx必有最大值与最小值-在开区间a,b内的连续函数fx不一定有最大值 最小值.-=x-y=f-若函数x在所给的区间I内有唯一的极值，则它是函数的-最值
例2求函数f=1x2-4x+40,3上的最大值与最小值-解：-令f'x=x2-4=0,x∈[0,3]-解得 =2.-当0sx<2时，fx<0;当2<x≤3时，f”☒>0-所以当x=2时，函数fx有极小值f2=一-又 于f0=4,f3=1,-所以，函数f=1x3-4x+4在0,3上的最大值是4，-最小值是一
观察下面函数y=fc在区间[a,b]上的图象，回答：-1在哪一点处函数y=fx有极大值和极小值？-极大：x x1x=X3x=x5-极小：x=x2x=x4-2函数y=fx在[a,b]上有最大值和最小值吗？如果有，-最 值和最小值分别是什么？-ymnx =fx3-y=fo-ymin =fx-:-1x29x3-xsb
练习-y=Ix+-x-1-3-函数-十-x2,在-4-[-1,1]上的最小值为A-A.0-B.-2-0.-D.13/12
4x-2、函数y=-c-x2+1-A.有最大值2，无最小值-B.无最大值，有最小值-2-C.最大值为2，最 值-2-D.无最值-3、函数fx=2x-cosx在-0，+0上-A.是增函数-B.是减函数-C有最大值-D 最小值
求函数y=fx在[a,b]上的最大值与-最小值的步骤如下：-1求函数y=fx在a,b内的极值；-2将函数y fx的各极值点与端-点处的函数值fa,fb比较，其中最-大的一个是最大值，最小的一个是最-小值.
例1、求函数fx=x2-4x+6在区间[1，-5]内的最大值和最小值-解：f′x=2x-4-令f′x=0, 2x-4=0,得x=2-X-1,2-2,5-f'x-f x-3-11-故函数fx在区间[1,5]内的最大值 为11，最小值为2
导数求最值的方法
导数求最值的方法
导数可是数学中的大宝贝呀！它在求最值方面那可是有着超级厉害的本事呢！
咱就说，函数就像一条弯弯曲曲的路，而导数就像是给咱配了个导航，能告诉咱这条路哪里是上坡，哪里是下坡。
当我们想找这条路的最高点或者最低点，也就是最值的时候，导数就能大显身手啦！
比如说，一个函数图像一会儿高一会儿低，那怎么找它的最大值或者最小值呢？这时候就该导数出马啦！它能帮我们快速定位到那些关键的点。
就好像我们在茫茫人海中一下子就找到了那个最重要的人一样。
你看啊，通过求导，我们能找到函数的斜率为零的点，这些点可就很有可能是最值点哦。
这不是很神奇吗？就像在黑暗中突然看到了一束光，指明了方向。
而且哦，我们还可以通过导数的正负来判断函数是在上升还是在下降。
如果导数是正的，那函数就在上升；要是导数是负的，那函数就在下降。
这多清楚明白呀！这不就跟我们知道前面是上坡路还是下坡路一样嘛。
再想想，导数就像是一个聪明的小精灵，默默地在背后帮我们指引着方向，让我们能顺利地找到最值。
这感觉多棒啊！
有时候，面对那些复杂的函数，我们可能会觉得头疼，但是一旦我们掌握了导数求最值的方法，就好像有了一把万能钥匙，什么难题都能迎刃而解。
总之呢，导数求最值的方法真的是太好用啦！它让我们在数学的海洋中畅游无阻，能轻松应对各种函数问题。
难道你不觉得这很神奇吗？不觉得这是数学送给我们的一份超级大礼吗？所以呀，我们一定要好好掌握这个厉害的方法，让它为我们的数学学习增添更多的乐趣和成果！。
求函数最小值的方法
求函数最小值的方法
求函数最小值的方法有以下几种：
1. 导数法：对给定的函数求导并令导数等于零，解得的点即为函数的驻点。
然后可以通过二阶导数判断驻点是极大还是极小值。
若二阶导数大于零，则驻点为函数的极小值点。
2. 配方法：将给定函数转化成一些平凡的形式，如二次函数（配方法）、分式函数（消去分式等）。
通过转化后的形式，可以直接得到函数的最小值。
3. 定义法：对于闭区间上的连续函数，根据最大最小值定理可以得到函数在该区间上的最小值存在，可以通过对区间的各点进行计算和比较，找到函数的最小值。
4. 图像法：通过绘制函数的图像，观察函数图像的形状和特点，可以估计函数的最小值所在位置。
5. 数值计算法：通过数值方法，如牛顿法、黄金分割法、弦截法等，逐步逼近函数的极小值点，找到函数的最小值。
函数最值的求法
函数最值的求法函数最值的求法函数最值即为函数的最大值和最小值，求函数最值有多种方法，以下将介绍其中的几种方法。
一、导数法1. 对于连续的函数$f(x)$，求其导数$f'(x)$2. 导数为0的点即是函数的极值点，求其极值点3. 极值点中的最大值和最小值即为函数的最大值和最小值4. 注意：还要考虑定义域的端点是否为最值二、区间法1. 将函数的定义域分为若干个闭区间2. 分别求出每个区间内函数的最大值和最小值3. 比较所有区间内的最大值和最小值，找出函数的最大值和最小值4. 注意：该方法适用于函数处于定义域的情况，且函数在每个区间内均连续三、二次函数法1. 对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，求出其顶点坐标2. 若$a>0$，则顶点为函数的最小值，若$a<0$，则顶点为函数的最大值3. 注意：该方法只适用于二次函数四、拉格朗日乘数法1. 对于$f(x,y)$在$g(x,y)=0$的约束条件下求最值，设$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$2. 求$L(x,y,\lambda)$的偏导数并令其为0，得到方程组$$\left\{\begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial x}=0\\\frac{\partial L}{\partial y}=0\\\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0\end{aligned}\right.$$3. 解方程组，得到最值点五、动态规划法1. 将原问题分解为若干个子问题，按顺序求解子问题，保存子问题的解2. 将子问题的解组合起来，得到原问题的解3. 注意：该方法适用于问题满足最优子结构和重叠子问题性质的情况综上所述，求函数最值有多种方法，需要根据具体情况选择合适的方法。
需要提醒的是，在使用方法时，要仔细分析函数的各项特征，注意判定每一步所求的是否为最值。
求极值的若干方法
求极值的若干方法一、导数法导数法是求函数极值最常用的方法之一、通过计算函数的导数并将其置为0，可以找到函数的驻点。
驻点即为函数可能的极值点。
对驻点进行二阶导数测试，如果二阶导数为正则为极小值点，如果二阶导数为负则为极大值点。
二、边界点法对于定义在一定范围内的函数，其极值点可能出现在这个范围的边界上。
因此，通过计算函数在边界点处的值，并与内部驻点的值进行比较，可以得到函数的极值。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法适用于带有约束条件的优化问题。
对于求解函数在约束条件下的极值问题，通过引入拉格朗日乘数，将约束条件加入到目标函数中，然后对引入的约束条件和目标函数进行求导，可以得到关于约束条件和目标函数的一组方程，通过求解这组方程可以得到极值点。
四、牛顿法牛顿法是一种迭代法，通过不断地进行线性逼近来逐步逼近极值点。
该方法通过迭代逼近函数的根，利用函数的一阶导数和二阶导数进行求解。
通过不断迭代，可以逐步逼近极值点。
五、切线法切线法是一种简单但有效的求解极值的方法。
切线法基于函数在极值点处的切线垂直于函数曲线的性质。
首先选择一个初始点，然后沿着函数曲线进行迭代，在每一步迭代中，找到当前点处的切线，然后将切线与坐标轴相交的点作为下一步的迭代点，直至找到极值点。
六、割线法割线法是一种介于切线法和牛顿法之间的方法。
该方法适用于函数的导数不能很容易地求解的情况。
割线法通过选择两个初始点，然后计算这两个点处的斜率，使用割线的性质来逼近极值点。
通过不断迭代计算新的割线与x轴相交的点，可以逐步逼近极值点。
七、二分法二分法适用于具有单调性的函数的极值求解。
该方法通过选择一个区间，然后将其一分为二，比较中点和两个区间端点处函数的值，缩小区间范围，直至找到极值点。
八、遗传算法遗传算法是一种模拟进化过程的优化算法，常用于求解复杂问题中的极值。
该方法模拟生物进化的过程，通过随机生成一组初始解，然后通过交叉、变异等操作对解进行改进和演化，最终得到一个相对较优的解。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。
函数最值的求解方法及应用
函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。
函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。
本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。
一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。
对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。
-首先，求出f(x)的导数f'(x)。
-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。
-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。
2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。
- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。
-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。
-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。
3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。
-首先，选择任意一个起始点x_0。
-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。
-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。
二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。
例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。
供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。
2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。
例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。
3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。
似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。
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用导数法求函数最值
中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础，因此最值问题历来是各类考试的热点。
利用中学数学知识解决最值问题方法很多，如：配方法、不等式法、数形结合法、换元法、判别式法等等，但在我们学习了导数知识后，发现用导数法来求函数的最值要比初等方法快捷简便，因此导数法求最值也是一种不可忽视方法：
在闭区间[,]a b 上连续的函数()f x 在[,]a b 上必有最大值与最小值。
设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，求()f x 的最大值与最小值的步骤如下：
(1) 求()f x 在(,)a b 内的极值；
(2) 将()f x 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值。
应注意：（1）()f x 的极值是局部概念，而最大(小)是值
则可看作整体概念，即在定义域内最大或最小如图所示 : （2）求函数的最值与求函数极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可。
（3）可利用函数的单调性求()f x 在区间上的最值，若()f x 在[a,b]上单调增加，则()f x 的最大值为()f b ，最小值为()f a ；若()f x 在[a,b]上单调减少，则()f a 为函数最大值，()f b 为最小值。
例1：求函数53231y x x x =--+在[2,2]-上的最大值与最小值。
解：由 53231y x x x =--+得'42221091(101)(1)y x x x x =--=+-令'0y =解得
121,1x x =-=，列表讨论如下：
又因为当1x =-时y =532(1)3(1)(1)1-----+ =3 当1x =时5213111y =--+ =1-
而函数在两个端点的函数值分别为37-，39，因此函数y 的最大值为39，最小值为37- 例2：(1)求函数()f x 32
11232
x x x =
--在闭区间[1,1]-最小值及[2,3]-上的最大值。
(2)求函数2()(10),f x x x x N +=-∈的最大值。
解：(1) 对于()f x 32
11232
x x x =
--'2()2f x x x =--(1)(2).x x =+- 当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，所以函数在区间 [1,1]-上为减函数， ∴函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值在1x =处取得，最小值是13
6
-
， 当(2,3)x ∈-时，函数有两个极值点710
(1),(2)63
f f -=
=-，而区间两个端点处的函数值为 23(2),(3)32f f -=-=-，∴函数()f x 在[2,3]-上的最大值在1x =-处取得，最大值为7
6
(3) 对于函数2()(10) (0),f x x x x =->'2()203(203).f x x x x x =-=-
由'()0f x >，得2003x <<
；'()0f x <，得203x >，从而()f x 在20
(0,)3
上是增函数，在 20(
,)3+∞上是减函数，故当20
3
x =时，()f x 取最大值，对于x N +∈，我们只要检验6x =与 7x =，函数值(6)144,(7)147f f ==
，故函数2()(10),f x x x x N +=-∈的最大值为147
评注：(1)求闭区间上可微函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不再判断，只须直接与端点的函数值比较即可获得
(4) 当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值。