现代控制理论-第7章

第六次课小结

一、 Lyapunov 意义下的稳定性问题基本概念

● 平衡状态的概念

● Lyapunov 意义下的稳定性定义（稳定，一致稳定，渐进稳定，一致渐进稳定，大范围渐进稳定等）

● 纯量函数的正定性，负定性，正半定性，负半定性，不定性 ● 二次型，复二次型（Hermite 型）

二、 Lyapunov 稳定性理论

● 第一方法 ● 第二方法

三、 线性定常系统的Lyapunov 稳定性分析

● 应用Lyapunov 方程

Q PA P A

H

-=+

来进行判别稳定性

四、 线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计

● 衰减系数，一旦定出min η，则可定出)(x V 随时间t 衰减上界。 ● 计算min η的关系式

五、 离散时间系统的状态运动稳定性及其判据

● 离散系统的大范围淅近稳定判据，Lyapunov 稳定判据在离散系统中的应用

六、 线性多变量系统的综合与设计的基本问题

●问题的提法

●性能指标的类型

●研究的主要内容七、极点配置问题

●问题的提出

●可配置条件

●极点配置算法

5.2.5 爱克曼公式(Ackermann ’s Formula) 考虑由式（5.1）给出的系统，重写为

Bu Ax x +=

假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为n s s s μμμ===,,,21 。 利用线性状态反馈控制律

Kx u -=

将系统状态方程改写为

x BK A x )(-=

(5.14)

定义

BK A A -=~

则所期望的特征方程为

)

())((~

11

121=++++=---=-=+-*

*--*

n n n n

n a s a s

a s s s s A sI BK A sI μμμ

由于凯莱-哈密尔顿定理指出A ~

应满足其自身的特征

方程，所以

0~~~)~(*

*11*1*

=++++=--I a A a A a A A n n n n φ (5.15)

我们用式（5.15）来推导爱克曼公式。为简化推导，考虑n = 3的情况。需要指出的是，对任意正整数，下面

的推导可方便地加以推广。 考虑下列恒等式

22

3332

22~~)(~~)(~~

A

BK A ABK BK A A BK A A A BK ABK A BK A A BK

A A I I ---=-=--=-=-== 将上述方程分别乘以)1(,,,*

0*0*1*2*3=a a a a a ，

并相加，则可得

32

*1*

2*

3~~~A

A a A a I a +++

-+--+-+=3

2

*

1*

2*

3)~()(A A BK ABK A a BK A a I a

2

2~~A

BK A ABK BK A ---

-

----+++=BK A A BK a ABK a BK a A A a A a I a 2

*

1*

1*

23

2

*

1*

2*

3~2

~~A BK A ABK -- （5.16）

参照式（5.15）可得

0)~

(~~~*32*1*

2*

3==+++A A A a A a I a φ

也可得到

0)(*

3

2

*

1*

2*

3≠=+++A A A a A a I a φ

将上述两式代入式（5.16），可得

BK

A A ABK ABK a A BK A BK a BK a A A 2

*

12

*

1*2**

~

~~)()~

(------=φφ

由于0)~

(*

=A φ，故

BK

A A K K a A

B A K A K a K a B A 2

*12*

1*

2*

)~()~~()(+++++=φ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=K A K K a A K A K a K a B A AB B ~~~][*

12*

1*22 （5.17）

由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵

][2

B A AB B Q =

的逆存在。在式（5.17）的两端均左乘能控性矩阵Q 的逆，可得

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=-K A K K a A K A K a K a A B A AB B ~~~)(][*

12

*

1*

2*12φ

上式两端左乘[0 0 1]，可得

K

K A K K a A K A K a K a A B A AB B =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=-~~~]100[)(]][100[*

12*

1*2*12φ

重写为

)(][]100[*

1

2

A B A AB B K φ-=

从而给出了所需的状态反馈增益矩阵K 。