007——微专题七：立体几何选择填空多选题中档题-解析

微专题七：立体几何选择填空多选题中档题

一、单选题

1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是11A B 的中点，点P 是侧面11CDD C 上的动点，且MP ∥截面1AB C ，则线段MP 长度的取值范围是（ ）.

A ．[2,6]

B ．[6,22]

C ．[6,23]

D ．[6,3]

【答案】B 【分析】

取CD 的中点为N,1CC 的中点为R,11B C 的中点为H,证明平面MNRH//平面1AB C ,MP ⊂平面MNRH ,线段MP 扫过的图形为MNR ∆,通过证明222MN NR MR =+,说明MRN ∠为直角,得线段MP 长度的取值范围为[]

,MR MN 即可得解. 【详解】

取CD 的中点为N,1CC 的中点为R,11B C 的中点为H,作图如下:

由图可知,11//,MB NC MB NC =,所以四边形1MNCB 为平行四边形, 所以1//MN B C ,因为1111//,//MH A C A C AC ,所以//MH AC , 因为1,MN

MH M AC

B C C ==, 故平面MNRH//平面1AB C ,

因为MP ∥截面1AB C ,所以MP ⊂平面MNRH ,线段MP 扫过的图形为MNR ∆,

由2AB =知,22,2MN NR ==,

在1Rt MC R ∆中,222

11MR C R C M =+,

即()

2

22156MR =+

=,所以6MR =，

所以222MN NR MR =+,即MRN ∠为直角,

故线段MP 长度的取值范围为[]

,MR MN ,即6,22⎡⎤⎣⎦,

故选:B

【点睛】

本题考查面面平行的判定定理与性质定理及空间两点间的距离;重点考查转化与化归的思想;属于难度大、抽象型试题.

2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 平面1D AE ，

则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合是（ ）

A ．25

|

235

t t B ．25

|

25

t t C ．|223t t D ．|222t t

【答案】D 【分析】

为确定F 点位置，先找过1A 与平面1D AE 平行且与平面11B BCC 相交的平面，分别取111,B B B C 的中点

,M N ，连接11,,A M MN A N ，可知平面1//A MN 平面1D AE ，故F 在线段MN 上，可知线面角为11A FB ∠，

分析其正切值即可求出.

【详解】设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接,AG EG ，则G 为BC 的中点. 分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，则11//A M D E ， ∵1A M

平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，

∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE . ∵1,A M MN 是平面1A MN 内的两条相交直线， ∴平面1//A MN 平面1D AE ，且1//A F 平面1D AE ， 可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上的动点.

设直线1A F 与平面11BCC B 所成角为θ，运动点F 并加以观察，可得：

当点F 与点M （或N ）重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角等于11A MB ，此时所成角θ达到最小值，满足111tan 2A B B M

θ

；

当点F 与MN 中点重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角达到最大值，

此时

111111tan 22

22

A B A B B F

B M θ

，∴1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合为

|222t t ，故选D.

【点睛】

本题主要考查了面面平行的判定与性质，线面角，及线面角正切的最值问题，属于难题.

3．如图，PO 是平面α的斜线，O 是斜足，PA α⊥于点A ，BC 是α内过点O 的直线．若POB ∠是锐角，则有（ ）．

A ．POC COA ∠>∠

B ．POA BOA ∠<∠

C ．POC COA ∠<∠

D ．POB AOB ∠<∠

【答案】C 【解析】【分析】

由三余弦定理可得POB AOB ∠>∠，即POC COA ∠<∠，再逐一检验A,B,D 选项即可得解. 【详解】

解：由三余弦定理可得：cos cos cos POB POA AOB ∠=∠∠， 又,,POB POA AOB ∠∠∠为锐角，所以cos cos POB AOB ∠<∠， 所以POB AOB ∠>∠，所以POB AOB ππ-∠<-∠， 即POC COA ∠<∠，故C 正确，则选项A 错误， 同理POB AOB ∠>∠，则选项D 错误，

又,POA BOA ∠∠大小无法确定，则不能比较大小，即选项B 错误， 故选C.【点睛】本题考查了三余弦定理，属中档题.

4．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面

ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为

A ．

22

B ．1

C 2

D ．2

【答案】C 【分析】

延展平面EFG ，可得截面EFGHOR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点，可得1//D P 平面

EFGHQR ,再证明平面1//D AC 平面EFGHQR ,可知P 在AC 上时，符合题意，从而得到P 与O 重合时

三角形1PBB 的面积最小，进而可得结果. 【详解】