007——微专题七：立体几何选择填空多选题中档题-解析

微专题七：立体几何选择填空多选题中档题
一、单选题
1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是11A B 的中点，点P 是侧面11CDD C 上的动点，且MP ∥截面1AB C ，则线段MP 长度的取值范围是（ ）.
A ．[2,6]
B ．[6,22]
C ．[6,23]
D ．[6,3]
【答案】B 【分析】
取CD 的中点为N,1CC 的中点为R,11B C 的中点为H,证明平面MNRH//平面1AB C ,MP ⊂平面MNRH ,线段MP 扫过的图形为MNR ∆,通过证明222MN NR MR =+,说明MRN ∠为直角,得线段MP 长度的取值范围为[]
,MR MN 即可得解. 【详解】
取CD 的中点为N,1CC 的中点为R,11B C 的中点为H,作图如下:
由图可知,11//,MB NC MB NC =,所以四边形1MNCB 为平行四边形, 所以1//MN B C ,因为1111//,//MH A C A C AC ,所以//MH AC , 因为1,MN
MH M AC
B C C ==, 故平面MNRH//平面1AB C ,
因为MP ∥截面1AB C ,所以MP ⊂平面MNRH ,线段MP 扫过的图形为MNR ∆,
由2AB =知,22,2MN NR ==,
在1Rt MC R ∆中,222
11MR C R C M =+,
即()
2
22156MR =+
=,所以6MR =，
所以222MN NR MR =+,即MRN ∠为直角,
故线段MP 长度的取值范围为[]
,MR MN ,即6,22⎡⎤⎣⎦,
故选:B
【点睛】
本题考查面面平行的判定定理与性质定理及空间两点间的距离;重点考查转化与化归的思想;属于难度大、抽象型试题.
2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 平面1D AE ，
则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合是（ ）
A ．25
|
235
t t B ．25
|
25
t t C ．|223t t D ．|222t t
【答案】D 【分析】
为确定F 点位置，先找过1A 与平面1D AE 平行且与平面11B BCC 相交的平面，分别取111,B B B C 的中点
,M N ，连接11,,A M MN A N ，可知平面1//A MN 平面1D AE ，故F 在线段MN 上，可知线面角为11A FB ∠，
分析其正切值即可求出.
【详解】设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接,AG EG ，则G 为BC 的中点. 分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，则11//A M D E ， ∵1A M
平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，
∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE . ∵1,A M MN 是平面1A MN 内的两条相交直线， ∴平面1//A MN 平面1D AE ，且1//A F 平面1D AE ， 可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上的动点.
设直线1A F 与平面11BCC B 所成角为θ，运动点F 并加以观察，可得：
当点F 与点M （或N ）重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角等于11A MB ，此时所成角θ达到最小值，满足111tan 2A B B M
θ
；
当点F 与MN 中点重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角达到最大值，
此时
111111tan 22
22
A B A B B F
B M θ
，∴1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合为
|222t t ，故选D.
【点睛】
本题主要考查了面面平行的判定与性质，线面角，及线面角正切的最值问题，属于难题.
3．如图，PO 是平面α的斜线，O 是斜足，PA α⊥于点A ，BC 是α内过点O 的直线．若POB ∠是锐角，则有（ ）．
A ．POC COA ∠>∠
B ．POA BOA ∠<∠
C ．POC COA ∠<∠
D ．POB AOB ∠<∠
【答案】C 【解析】【分析】
由三余弦定理可得POB AOB ∠>∠，即POC COA ∠<∠，再逐一检验A,B,D 选项即可得解. 【详解】
解：由三余弦定理可得：cos cos cos POB POA AOB ∠=∠∠， 又,,POB POA AOB ∠∠∠为锐角，所以cos cos POB AOB ∠<∠， 所以POB AOB ∠>∠，所以POB AOB ππ-∠<-∠， 即POC COA ∠<∠，故C 正确，则选项A 错误， 同理POB AOB ∠>∠，则选项D 错误，
又,POA BOA ∠∠大小无法确定，则不能比较大小，即选项B 错误， 故选C.【点睛】本题考查了三余弦定理，属中档题.
4．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面
ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为
A ．
22
B ．1
C 2
D ．2
【答案】C 【分析】
延展平面EFG ，可得截面EFGHOR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点，可得1//D P 平面
EFGHQR ,再证明平面1//D AC 平面EFGHQR ,可知P 在AC 上时，符合题意，从而得到P 与O 重合时
三角形1PBB 的面积最小，进而可得结果. 【详解】
延展平面EFG ，可得截面EFGHQR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点， 直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，所以1//D P 平面EFGHQR ,
由中位线定理可得AC//EF ,EF 在平面EFGHQR 内，AC 在平面EFGHQR 外， 所以AC //平面EFGHQR ,因为1D P 与AC 在平面1D AC 内相交，
所以平面1//D AC 平面EFGHQR ,所以P 在AC 上时，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点， 因为B O 与AC 垂直，所以P 与O 重合时BP 最小， 此时，三角形1PBB 的面积最小，最小值为
1
2222
⨯⨯=，故选C.【点睛】 本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
5．已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD ∆与Rt BCD ∆）组成的三角形，如左下图所示.其中，45,60CAD BCD ∠=∠=.现将Rt ACD ∆沿斜边AC 进行翻折成1D AC ∆（1D 不在平面
ABC 上）.若,M N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD ∆翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）
A ．在线段BD 上存在一定点E ，使得EN 的长度是定值
B ．点N 在某个球面上运动
C ．存在某个位置，使得直线1A
D 与DM 所成角为60
D ．对于任意位置，二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A -- 【答案】D 【分析】
由题意，可得二面角1D AC B --和二面角1D BC A --有共同的平面角ABC ∠,
且另一个面都过点1D ，过点1D 作平面ABC 的垂线，即可得到二面角1D AC B --和二面角1D BC A --的平面角，进而得大小关系即可. 【详解】
不妨设1AD =，取AB 中点E ，易知E 落在线段BD 上，且111
22
EN AD ==, 所以点N 到点E 的距离始终为12，即点N 在以点E 为球心，半径为1
2
的球面上运动， 因此A 、B 选项不正确；
对于C 选项，作1//,AP DM AD 可以看成以AC 为轴线，以45为平面角的圆锥的母线，易知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠ 取得最大值，则1PAD ∠的最大值为60，此时1D 落在平面ABC 上，所以160PAD ∠<，即1AD 与DM 所成的角始终小于60，所以C 选项不正确；
对于D 选项，易知二面角1D AC B --为直二面角时，二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A --，当二面角1D AC B --为锐二面角时，如图所示作1D R ⊥平面ABC 与点R ，然后作,RO AC RS BC ⊥⊥分别交,AC BC 于,O S ，
则二面角1D AC B --的平面角为1D OR ∠，二面角1D BC A --的平面角为1D SR ∠， 且1111tan ,tan D R D R
D OR D SR OR SR
∠=
∠=，又因为OR SR <，所以11D OR D SR ∠>∠， 所以二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A --，故选D.
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及空间角的求解，其中解答中正确确定二面角的的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题综合性强，难度大，属于难题，着重考查了空间想象能力，以及分析问题和解答问题的能力.
6．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面
11BCC B 内一点，若1A P //平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）
A ．325
(
,)42
B ．325
[
,]42
C ．5
[1,
]2
D ．5[0,
]2
【答案】B 【解析】
分析：先判断出点P 的位置，确定使得1A P 取得最大值和最小值时点P 的位置，然后再通过计算可求得线段1A P 长度的取值范围．
详解：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点M 、N ，连MN ，1BC ，
∵,,,M N E F 分别为所在棱的中点，则11,MN
BC EF BC ，
∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，∴MN ∥平面AEF ．∵1
1,AA NE AA NE =，
∴四边形1AENA 为平行四边形，∴1A N AE ∥，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， ∴1A N ∥平面AEF ，又1A N
MN N =，∴平面1A MN ∥平面AEF ．∵P 是侧面11BCC B 内一点，且
1A P ∥平面AEF ，∴点P 必在线段MN 上．在11Rt A B M ∆中，2221111151()2
A M A
B B M ++．
同理，在11Rt A B N ∆中，可得15
A N =
∴1A MN ∆为等腰三角形． 当点P 为MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；点P 位于M 、N 处时，1A P 最长． ∵22221
15232(
)()244
AO A M OM =-=-=
，
115A M A N ==．
∴线段1A P 长度的取值范围是325
[
,]42
．故选B ．点睛：本题难度较大，解题时要借助几何图形判断得出使得1A P 取得最值时的点P 的位置，然后再根据勾股定理进行计算． 7．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂
足为点H ．则以下命题中，错误的命题是
A ．点H 是△A 1BD 的垂心
B ．AH 垂直平面CB 1D 1
C ．AH 的延长线经过点C 1
D ．直线AH 和BB 1所成角为45°
【答案】D 【详解】
因为三棱锥A －A 1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，
而AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1，B 正确；根据对称性知C 正确，故选D.
二、多选题
8．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE △是正三角形，
M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A ．若BC DE ⊥，则平面CDE ⊥平面ABCD
B ．若B
C DE ⊥，则直线EA 与平面ABC
D 所成的角的正弦值为
64
C ．若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面ABC
D 的中心
D ．若平面CD
E ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心，则BM EN = 【答案】ABC 【分析】
根据面面垂直的判定，线面夹角的求解办法，以及异面直线的定义，结合面面垂直的性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】 ∵BC CD ⊥，BC DE ⊥，CD
DE D =，,CD DE ⊂平面CDE ，
∴BC ⊥平面CDE ，
∵BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；
设CD 的中点为F ，连接EF ､AF ，则EF CD ⊥.
∵平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD 平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE ∴EF ⊥平面ABCD ，设EA 与平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠，
223EF CE CF =-=，225AF AD FD =+=，2222AE EF AF =+=，
则6
sin 4
EF AE θ=
=
，B 项正确； 连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B ､M ､E 确定的面即为平面BDE ，
当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈， 又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确；
连接FN ，∵FN ⊂平面ABCD ，EF ⊥平面ABCD ，∴EF FN ⊥， ∵F ､N 分别为CD ､BD 的中点，则1
12
FN BC ==， 又3EF
=，故222EN EF FN =+=，227BM BC CM =+=，
则BM EN ≠，D 项错误. 故选：ABC . 【点睛】
本题综合考查面面垂直的判定以及性质、异面直线的定义、线面夹角的求解，属综合困难题.
9．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）
A ．()
1112DA A A B A BC =
-+B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于22
AC C ．异面直线AD 与1BC 6
D ．若点
E 到平面11ACC A
EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】
根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】
解析：对于选项A ，()
111
2
AD A A B A BC =
-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．
以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．
设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,
，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,
，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫
- ⎪⎝⎭,,，
所以12a BC b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,
，12a AB b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=
，即2
2
2
02a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，解得2b a =． 因为//DE 平面11ABB A ，则动点E
的轨迹的长度等于1BB =
．选项B 正确． 对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫
⎪⎝⎭,,
，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫
= ⎪⎝⎭,,
，12a BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
因为2
111cos ,6||||
a BC DA BC DA BC DA a ⎛⎫
- ⎪
⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA
所成角的余弦值为6，
选项C 正确．
对于选项D ，设点
E 在底面ABC 的射影为1E ，作1E
F 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11
ACC A 的，即有12
E F EB =，
又因为在1CE F ∆中，112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.
故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.
三、填空题
10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面γ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当323[,]33x a a ∈时，函数()y f x =的值域为______． 【答案】{}32a
【分析】 当323,33x a a ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦
时，截面多边形是六边形HIJKLM ，利用相似比可知邻边长之和为定值即可得到结果. 【详解】当323,3
3x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，截面多边形是六边形HIJKLM ，
设11HI AC =111B I B C =λ，则1IJ B C =111
C I B C =1﹣λ， ∴HI +2a ，∴截面六边形的周长为32a ；故答案为{}
32a
【点睛】
本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题,考查了空间想象力，属于中档题.
11．如图，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，则三棱锥A BMN -的体积是__________．
【答案】38375R 【分析】 2AB R =，BC R =，5AC R =，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，ABC AMB ∆∽，
45
AM AC =，类似有45AN AD =，24()5A BMN AMN A BCD ABC
V S V S -∆-∆==，由此能求出三棱锥A BMN -的体积． 【详解】 2AB R =，BC R =，5AC R =，
半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形， 线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，
BAM BAC ∴∠=∠，90AMB ABC ∠=∠=︒，
ABC AMB ∴∆∆∽，
∴
AB AC AM AB =，455AM R ∴=， ∴
45AM AC =，类似有45AN AD =， ∴2416()525
A BMN AMN A BCD ABC V S V S -∆-∆===，∴三棱锥A BMN -的体积： 231613832253475A BMN V R R R -=⨯⨯⨯⨯=．故答案为：38375
R ．
【点睛】
本题考查三棱锥的体积的求法，考查球、三棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 12．如图，已知：在ABC 中，3CA CB ==，3AB =，点F 是BC 边上异于点B ，C 的一个动点，EF AB ⊥于点E ，现沿EF 将BEF 折起到PEF 的位置，使PE AC ⊥，则四棱锥P ACFE -的体积的最大值为________．
2 过点D 作CD AB ⊥，由EF AB ⊥可知//EF CD ，进而证明PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P ACFE -的高，设BE PE x ==，通过题设条件分别求出BEF S 和ABC S 的表达式，进而得出ACFE S 四边形的表达式，记四棱锥P ACFE -的体积为(x)V ，由四棱锥的体积公式可得333()418
V x x x =-（302
x <<
），然后利用导数求得(x)V 的最大值即可. 【详解】过点D 作CD AB ⊥，由EF AB ⊥可知//EF CD ，
因为EF AB ⊥，所以翻折后PE EF ⊥，所以PE CD ⊥，
又PE AC ⊥，AC CD D =，AC ，CD ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ，
所以PE 为四棱锥P ACFE -的高， 因为3CA CB ==3AB =，CD AB ⊥，所以可得：
()2
2223332CD AC AD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 设BE PE x ==，所以EF BE CD BD =332x =，即3EF x =， 所以2132BEF S BE EF x =⋅=△，又1332ABC S AB CD =⋅=△， 所以2333ACFE S x =
四边形，记四棱锥P ACFE -的体积为(x)V ， 所以323334133()34618x V x x x x ⎛⎫=⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭
-（302x <<），
2()V x x '=，令()0V x '=可得x =或x =（舍去），
所以当0,2x ⎛∈ ⎝⎭
时，
()0V x '>，()V x '单调递增；当322x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0V x '<，()V x '单调递减，
因此当2x =时，(x)V 取得最大值，最大值为24V ⎛= ⎝⎭
.故答案为：4. 【点睛】
本题考查棱锥体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.。