第二章行列式练习题

第二章行列式 练习题

在本节中，设12...12...n i i i n 是的一个排列，h(k)表示该排列中位于k 后面且比小的数的个数；q(k) 表示该排列中位于k 前面且比k 大的数的个数。 1. 求以下9 级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性 1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1;

解:1) 所求排列的逆序数为:

τ(134782695) =h(1)+h(3)+h(4)+h(7)+h(8)+h(2)+h(6)+h(9)+h(5)=0 +1+1+ 3 + 3 + 0 +1+1 = 10 所以此排列为偶排列. 2) 所求排列的逆序数为:

τ(217986354) = h(2)+h(1)+h(7)+h(9)+h(8)+h(6)+h(3)+h(5)+h(4)1+ 0 + 4 + 5 + 4 + 3 + 0 +1 = 18 所以此排列为偶排列. 3) 所求排列的逆序数为:

τ(987654321)=q(9)+q(8)+q(7)+q(6)+q(5)+q(4)+q(3)+q(2)+q(1)=0+1+2+3+4+5+6+7+8=9(91)

2-=36

所以此排列为偶排列. 2.选择i 与k 使

1) 1274i 56 k 9成偶排列; 2) 1i 25 k 4897成奇排列.

解: 1) 当i = 8, k = 3时, 所求排列的逆序数为: τ(1274 i56k 9)=τ(1274 8563 9)=10.

当i = 3, k = 8时, 所求排列的逆序数为: τ(1274 i56k 9)=τ(1274 3568 9)=1=3. 故当i = 3, k = 8时，该排列为偶排列. 2)当i = 3, k = 6时, 所求排列的逆序数为: τ(1i25k4897 )=τ(132564897 ) = 0+1 +0 + 1+ 1+ 0+1 +1 =5

故当i = 3, k = 6时的排列为奇排列.

3.写出把排列 12345 变成排列25341 的那些对换. 解: 12435(1,2)→21435(2,5)→25431(3,4)→25341.

4.决定排列n(n −1)…21的逆序数,并讨论它的奇偶性.

τ(n(n −1)…21)=q(n) +q(n -1) + …+q(3) +q(2)+q(1)=1+2+3+…+n -1=

(1)

2

n n -.故当n=4k,4k+1时，排列为偶排列；当n=4k+2,4k+3时，排列为奇排列. 5.如果排列12n x x x ⋅⋅⋅的逆序数为k ,排列11n n x x x -⋅⋅⋅的逆序数是多少?

解法1: 因为在12n ⋅⋅⋅中，比x 大的数有n −x 个,而这n −x 个数会出现在这两个排列中x 的前面，所以在这两个排列中，与x 构成逆序的数一共有n −x 个，于是，两个排列的逆序总

数为12(1)

(12)2

n n n n x n x n x n n n --+-+⋅⋅⋅+-=⋅-++⋅⋅⋅+=

. 而排列12n x x x ⋅⋅⋅的逆序为k, 所以排列11n n x x x -⋅⋅⋅的逆序为(1)

2n n --k.

解法2：首先看第4题，排列n(n −1)…21中任意两个元都构成一个逆序，所以其逆序总数为2

)

1(2

-=

n n C n . 再同时考虑两个排列12n x x x ⋅⋅⋅和11n n x x x -⋅⋅⋅，对于任意两个元xi 和xj, 它们在这两个排列中必构成且只构成一个逆序，事实上，若这两个数在12n x x x ⋅⋅⋅中不构成逆序，则必在11n n x x x -⋅⋅⋅中构成逆序，反之亦然，从而这两个排列的逆序数之和为2

)

1(2

-=

n n C n . 6.在6 阶行列式中,233142561465324314516625,a a a a a a a a a a a a 这两项应带有什么符号? 解：两者的符号均为“+”，因为

τ(234516)+τ(312645)=(1+1+1+1+0+0)+(2+0+0+2+0+0)=8. τ(341562)+τ(234165)=(2+2+0+1+1)+(1+1+1+0+1+0)=10. 7．写出4 阶行列式中所有带有负号并且因子a23的项。 解：所求的各项应是

−a11 a23 a32 a44，−a 12a23 a34 a 41，−a14 a23 a31 a42.8．按定义计算行列式：

(1)

n

1n 2

1- n

n n

n 0

10

20

1)3(,0

1020

10)

2(--

解：(1)考虑行列式的通项n

nj j j n j j j a a a 2211)

21()

1(τ-.,...,2,1,0n i a iji =≠ 于是的

1,...,1,21=-==n j n j n j ，所给行列式的展开式中只含有一个非零项 1

121n n n a a a -，它前面的符号为，所以2)

1()21)1(()1()1(---=-n n n n τ原行列式的值等于

!.)1(2)

1(n n n --

(2)所给行列式的展开式中只含有一个非零项112312n n n a a a a - ，它前面的符号为

，所以1)123()1()1(--=-n n τ原行列式的值等于!.)1(1n n --

(3)所给行列式的展开式中只含有一个非零项nn n n n a a a a 112211--- ，它前面的符号为