拉普拉斯定理k阶子式

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§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则

这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列按照原来次序组成一个，称为行列级子式；式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级行列余子式；式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换：又对作初等行变换：作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.

拉普拉斯展开定理(课堂PPT)

§ 2.3 拉普拉斯展开定理
一、k阶子式的概念二、拉普拉斯展开定理三、举例
1
一、k阶子式的概念定义在n阶行列D式中，任k行取k列(1kn)，
位于k这行k列的交点k上 2个的元素按原来的相置组成k阶的行列S，式称D为的一k个阶子式。
在行列 D中式划S所去在k行的 k列，余下的元原来的相对位 nk置阶组行成列余块子块都为,零且矩非阵
零子块都是.即方阵
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对角阵.
6
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2 A s.
若 A i 0 i 1 , 2 , , s , 则 A 0 , 并
设S的各行D中位第 i于 1,i2,,ik(i1i2ik)， S的各列D中位第 j于 1, j2,, jk(j1j2jk)，那么
A(1)(i1i2ik)(j1j2jk)M为S的代数余子
2
二、拉普拉斯展开定理
若在行列D式中任意取k个定行(1kn1)，则有这 k个行组成的k所阶有子式与它们的代数子式的乘积之和D.等于
设 D 的k行某组成 k阶的子所式 S1,S2有 , 分 ,St(t 别 C n k)，为它们相应分的别 A 1,A 代 2, 为 ,A 数 t,则余子式
D S1A 1S2A 2A tSt。
3
例1 计算 2 1 0 0 0 12100
D0 1 2 1 0 0 01 21 0 0 01 2
A1 1
A1
A1 2
o
o
.
A1 s

一、k 级子式余子式代数余子式

中所在的行、若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
i1 , i2 ,L , ik ; j1 , j2 ,L , jk ，则在 M 的余子式 M ′ 前
( −1)i1 + i2 +L+ ik + j1 + j2 +L+ jk 后称之为 M 的代数后称之为加上符号
余子式，余子式，记为 A = ( −1)
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 0 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
Laplace 定理
设在行列式 D 中任意取 k ( 1 ≤ k ≤ n − 1 )行，行元素所组成的一切k级子式与它们的由这 k 行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积和等于 D．即．若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式行后，为 M 1 , M 2 ,L , M t ，它们对应的代数余子式分别为它们对应的代数余子式分别为
M 3 = 1 4 = −1, 1 3 M 5 = 2 4 = 6, 0 3
它们的代数余子式为
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
2 1 = 2, M4 = 0 1 M 6 = 1 4 = −1 1 3
A1 = ( −1)

2-3.1(k阶子式、余子式、代数余子式)--线性代数PPT

S的余子式:
在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的相对位置组成的n-k阶行列式M, 称为S的余子式.
S的代数余子式: 设S的各行位于A中第i1,…,ik, S的各列位于A中第 j1,…, jk列，称
A (1)(i1 ik )( j1 M jk )
为S的代数余子式.
§2.3 拉普拉斯展开定理
[结]
20 1 02 1 0 1 0 1
01 S1 1 1
A 0 1 1 2 1 0 2 2 1 2 0 1 1 1 1
101 M1 0 1 2
011
012 S2 1 1 1
2 2 2
A1 1 1 3 2 3 M1 M1 ,
10 M2 0 1
第二章行列式
§2.3 拉普拉斯展开定理
一. k阶子式、余子式、代数余子式二. 拉普拉斯定理
电子科技大学黄廷祝
§2.3 拉普拉斯展开定理
一. k阶子式、余子式、代数余子式
k阶子式：矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k2 个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的一个k阶子式.
A2 1 1 34 2 35 M 2 M 2 .
§2.3 拉普拉斯展开定理
例如，5阶行列式detA中，取子式
S a22 a52
a24 a54
则其代数余子式为
a11 a13 a15
(1)(25)(24) a31 a33 a35
a41 a43 a45
§2.3 拉普拉斯展开定理

pdf2.3Laplace定理(线性代数)

1+ 2+ 2+ 4
A6 = (1)
1+ 2+3+ 4
因此 D = M 1 A1 + M 2 A2 + M 3 A3 + M 4 A4 + M 5 A5 + M 6 A6 = 4.
例3.1 计算行列式
x 2y
x y
x 2y
x 3y
2x 2 y 2x y 2x 2 y 2x 3y D= . 3x 3 y 3x 2 y 4 x 5 y 3x 5 y 4x 4 x 3 y 5x 7 y 4 x 3 y
+ anj Ank = 0, 1 ≤ j , k ≤ n
现在引入Kronecker符号,其定义为
1, i = j δ ij = 0, i ≠ j
使用Kronecker符号,我们有定理3.1对于 n 阶行列式 D = det(aij )
恒有
a1i A1 j + a2i A2 j +
ai1 A j1 + ai 2 A j 2 +
+ ( j2 2) +
+ ( jk k )
= i1 + i2 +
+ ik + j1 + j2 +
+ jk 2(1 +
+ k)
设经上述行、列互换后得到的行列式为 D1 ,并令 t = i1 + + ik + j1 + + jk ,则
.
D = (1)t 2(1+ + k ) D1 = (1)t D1 , 因此 D 和 D1 的一般项之间仅相差一个 (1)t . 注意到, M 位于 D1 的左上角, 符号并且上述行、列互换的方式并未改变其余诸列的相对位置, 故 M ′ 恰好位于 D1 的右下角.

§2.8拉普拉斯(Laplace)定理

从而
a ij b ij c ij ,
c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b n j ,
i , j 1, 2 , , n .
§2.8 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx1 cx 1 dx1 bx2 ax2 dx2 cx 2 cx 3 dx3 ax3 bx3 dx4 cx 4 bx4 ax4 0 0 0 0
A 1 , A 2 , , A t , 则 D M 1 A 1 M 2 A 2 M t A t. .
§2.8 Laplace定理
注：
① k 1 时，D M 1 A1 M 2 A 2 M t A t 即为行列式 D 按某行展开；
a11 a1 k 0 a k 1 a kk 0 D b1 1 * br 1 0 a 1 1 a 1 k b1 1 b1 r 0 b1 r a k 1 a k k b r 1 b rr b rr
只有零解．其中 a , b , c , d 不全为0．
§2.8 Laplace定理
证：系数行列式
a b c d b a d c D c d a b d c b a a b c d b a d c c d a b d c b a
D
2
a b c d b a d c DD c d a b d c b a
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致．
§2.8 Laplace定理

拉普拉斯展开定理

设 D 的k行某组成 k阶的子所式 S1,S2有 , 分 ,St(t 别 C n k)，为它们相应分的别 A 1,A 代 2, 为 ,A 数 t,则余子式
D S1A 1S2A 2A tSt。
例1 计算 2 1 0 0 0
12100 D0 1 2 1 0
0 01 21
0 0 01 2
设S的各行D中位第 i于 1,i2,,ik(i1i2ik)， S的各列D中位第 j于 1, j2,, jk(j1j2jk)，那么
A(1)(i1i2ik)(j1j2jk)M为S的代数余子
二、拉普拉斯展开定理
若在行列D式中任意取k个定行(1kn1)，则有这 k个行组成的k所阶有子式与它们的代数子式的乘积之和D.等于
A1 1
A1
A1 2
o
o
.
A1 s
小结
1.k阶子式的概念 2.拉普拉斯展开定理
角线上有非零 ,其子余块子块都为,零且矩非阵
零子块都是.即方阵
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对角阵.
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2 A s.
若 A i 0 i 1 , 2 , , s , 则 A 0 , 并
利用拉普拉斯定理（P68）可得：
a11 a1k
0
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1nLeabharlann cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 deati(j)
,D2 debti(j)

第8节拉普拉斯定理

它们的代数余子式为
A1 ( 1)1 31 2 0 1 0, 0 1 A3 ( 1)
1 3 2 3
A2 ( 1)1 3 2 4 1 1 2, 1 1 A4 ( 1)
1 31 2
1 2 5, 1 3
0 1 0, 0 1
A5 ( 1)411 3 0 2 0, 0 3
a11 a1n 0 an1 ann 0 1 b11 1 bn1

0 0 0 0 0 0 1 b1n 1 bnn
c11 c n1 b11 bn1

c1n cn1 b1n bnn
注释1 ① 一个行列式的k 级子式和余子式有很多。 ② k=1时A的行列式的每个元素都是一个1级子式， k=n时A本身是一个n级子式（没有余子式）。
二、Laplace定理
定理8.3 在矩阵A中取定k行，则这k行确定的所有k
阶子式和它们的代数余子式的乘积和等于 A .
注释2
① 理解引理和Laplace定理以及会用定理即可 ② k=1时Laplace定理就是行列式按行(列)展开法则 ③ Laplace定理不适合计算一般行列式（见下例）
2 2 2 D a11 a12 a1n 2 2 2 a21 a22 a2n
n
作业：P130 Ex 1 (2), (4), 2 (1)(3)

2 2 2 an1 an 2 ann
2 nD aij 0. i 1 j 1
n
n
因此，由上面两方面知，结论成立。
到第k 行, j , k 1,2,, n.
a11 a1n 0 an1 ann 0 1 b11 1 bn1 0 0 0 0 0 0 1 b1n 1 bnn c11 c n1 b11 bn1 c1n cn1 b1n bnn

2.8 Laplace定理(简介)

a
k 1
n
ik kj
b
(i, j 1, 2, , n) .

cij ai1b1 j ai 2b2 j ainbnj aik bkj ，即乘积为 n 级行列式，其第 i
k 1
n
行、 j 列上元素 cij 为行列式 D1 中第 i 行元素与行列式 D2 中第 j 行对应第元素乘积的和. 该定理也称为行列式的乘法定理，其意义在第四章讨论.
1 0 例 1： D 0 0 2 1 0 0 1 2 2 1 4 1 中选定第 1，3 行，第 2，4 列得 2 级子式： 1 3

M
2 0
4 , 1
M 的余子式：M /
a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a14 a24 a34 a44 a54
D
3. 定理 7
a11 D1 ai1 an1
a12 a1n a11 a1 j a1n a21 a2 j a2 n ai 2 ain , D2 an1 anj ann an 2 ann
c11 c1 j c1n D1 D2 C ci1 cij cin , 其中 cij cn1 cnj cnn
k级（代数）余子式的概念 Laplace定理行列式乘法规则
拉普拉斯（749-1827）：法国数学家，物理学家,16岁入开恩大学学习数学，后为巴黎军事学院教授. 曾任拿破仑的内政部长,后被拿破仑革职.也曾担任过法兰西学院院长. 写了《天体力学》（共5卷）,《关于几率的分析理论》的不朽著作，赢得‚法兰西的牛顿‛的美誉.拉普拉斯的成就巨大，现在数学中有所谓的拉普拉斯变换、拉普拉斯方程、拉普拉斯展开式等. 他正好死于牛顿死亡的第100年，他的最后一句话是‘我们知之甚少，不知道的却甚多’.

2-3(拉普拉斯展开定理)

21
a2 b2 a2 b3 a2 bn 0 b1 a2 a2 b3 a2 bn Dn 0 b1 an an b3 an bn a b a b a b
n 2 n 3 n n
a1 b2 a1 b3 a1 bn
__ a 23 d , 则 2a21 2a22 2a23 6d a11 a12 a13 a 33
2
§ 2.3 拉普拉斯展开定理
1. k阶子式：
在 n 阶行列式D 中任取k 行 k 列（ k n), 1
位于这行k列交叉处的个元素 ( 不改变它们 k k
2
的相对位置 ) 所构成的行列式S, 称为D的一个 k 阶子式.
BZ DY DC
W 0,
1
Z B 1 DC 1 ,
Y C 1 ,
B 1 B 1 DC 1 1 A . 1 C O
14
作业 P74 1.(1)
15
计算行列式常用方法
1.利用行列式性质化为三角行列式.
2.降阶法---按某一行(列)展开. 3.升阶法---加边法. 4.利用范德蒙德行列式. 5.递推法. 6.数学归纳法.(通常用在证明题中)
1
A1 1 ， 1 At
1 At . 1 A1
A1 A t
1
12
小结 1. 拉普拉斯定理在行列式D中任取k(1≤k≤n-1)行（列），由这k行（列）元所组成的一切k阶子式分别与它们的代数余子式的乘积之和，等于行列式D. 2. 分块行列式
左 ( 1)
1 2 m ( n 1 ) ( n 2 ) ( n m )

拉普拉斯(Laplace)定理

行运用Laplace 定理结果．定理结果．为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 ： 0
M 1 = 1 2 = −2, 解： 1 0
2 1 4 −1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组：
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 − ax2 + dx3 − cx4 cx − dx − ax + bx dx1 + cx2 − bx3 − ax4 2 3 4 1
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
级子式与余子式、一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n)，位于这些行和列的交叉点上的位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列按照原来次序组成一个，称为行列级子式；式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级行列余子式；式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；

1.6Laplace 展开定理

A1 2 1 0 12, A2 2 2 1 6, A3 0 4 1 3
所以 D=12-6=6
3 4 1
a1
例 1.16
a2
计算2 n阶行列式
b2 an 1 bn 1 an bn bn 1 bn an an 1 a2
b1
D2 n
b2 b1
a1
解对的第n, n+1行应用Laplace定理（按第n, n+1行展开）得
§1.6 Laplace 展开定理
定义：在D中,划去k阶子式N所在的k行k 列,剩余元素按原行列式D中的相对位置排成的n -k阶行列式M称为k阶子式N 的余子式. 例1 在5阶行列式 D aij 5中,取第 2,4 行和第1,4 列,
a21 a24 N a41 a44
是 D 的一个二阶子式,
选例
计算行列式
D
1 2 a s d f
3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 t 1 2 1 3 g 1 2 2 1 h 1 5 3 5 j 3 5 6 7 1 2 1 3
解
1 2 D a s d f 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 t 1 2 1 3 g 1 2 2 1 h 1 5 3 5 j 3 5 6 7
如果子式N的k行k列在D中的行标与列标分别为
i1 , i2 ,, ik , j1 , j2 ,, jk
则称 A (1)(i1 i2 ik )( j1 j2 jk ) M 为 N 的代数余子式. 例1中 N 的余子式为： a12
a13 a33 a53
a15 a35 a55
a1 a2 an D2 n bn bn an b2 b1
2 2 ( an bn ) D2 n 2

拉普拉斯定律

0 1 2 1
0 0 1 由第1,2两行可以得到c
s1 s4 2 1 1 2 1 2 0 1 3, s 2 1, s 5 2 1 1 2 0 1 0 0
=6个2阶子式:
2 1 0 1 0 0 0 0 0. 0,
2, s3 0, s6
i1 i 2 ... i k , j1 j 2 ... j k ,
列，这里
，我们把
A ( 1)
( i1 i 2 ... i k ) ( j1 j 2 ... j k )
M
称为S的代数余子式。
定理1(拉普拉斯定理)
在n阶行列式D中任取K个行(或K个列) (1≤K<n),由这K行(列)元素构成的K阶
定理2
的乘积等于一个n阶行列式
D1
c11 c 21 ... c n1
其中 c ij 是 D 1的第i行元素与
D2
的第j列对应元素的乘积之和,
即 c ij a i1b1 j a i 2 b 2 j ... a in b nj (1 i , j n ).
证明:
作2n阶行列式
第七节拉普拉斯定理、行列式的乘法
一、拉普照拉斯定理定义1 在n阶行列式D=
a ij 中任取K行、K列，位于这些行、
列相交处的元素按原来的相对次序构成的K阶行列式S称为D的
一个K阶子式；在D中去掉S所在的行与列，剩下的元素按原来的相对次序构成的n-k阶行列式M称为S的余子式；设S来自D的第 i1 , i 2 ,..., i k 行和第 j1 , j 2 ,..., j k
因为
s3 s5 s6 0
A1 ( 1)

拉普拉斯行列式公式

关于行列式的拉普拉斯定理又称为子式的代数余子式定理，其内容是：设在n(n≥2)阶行列式D中任取定k(1≤k<n)行(列),且用这k行(列)作出的所有k阶子式为N1,N2,…, Nt,相应的代数余子式依次为A1,A2,…,At,则D=N1A1+N2A2+…+NtAt.其中t=C(n,k)=n!/[k!(n-k)!].拉普拉斯定理可以用来求行列式的值。

从定理的内容来看，第一步，也是最重要的一步就是要找到最合适的行列，其这些行或列的所有子式。

这些子式中，当然0越多越好了。

这样就可以大大的减少运算量。

然后分别取定那些非0的子列的代数余子式。

因为从定理的内容来看，等于0的子列和它的代数余子式的积，一定等于0，因此并不需要考虑等于0的子列的代数余子式。

最后将各非0子列分别乘以它们的代数余子式，并求这些积的和，就得到原行列式的值了。

下面举一个运用拉普拉斯定理计算行列式的实例。

计算五阶行列式（元素间用逗号分隔，行与行之间用分号分隔）：D=|2,5,0,0,0；1,3,0,1,0；0,1,1,0,0；0,0,2,1,5；0,0,1,0,3|.我们可以取定第1行和第2行，其非0的子式有N1=|2,5；1,3|=1；N2=|2,0；1,1|=2以及N3=|5,0；3,1|=5。

对应的代数余子式分别为：A1=(-1)^(1+2+1+2)|1,0,0；2,1,5；1,0,3|=3；A2=(-1)^(1+2+1+4)|1,1,0；0,2,5；0,1,3|=1；A3=(-1)^(1+2+2+4)|0,1,0；0,2,5；0,1,3|=0.因此，D=N1A1+N2A2+N3A3=3+2+0=5.想要熟悉掌握运用拉普拉斯定理求行列式的值的方法，还必须多做相关的练习。

虽然我们还有其它更简单便的求行列式的值的方法，但是不能因为这种方法复杂，就不掌握。

因为在运用拉普拉斯定理求行列式的值的过程中，还可以熟练很多与行列式相关的知识。

2(3)拉普拉斯展开定理 - 复制

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拉普拉斯展开定理
拉普拉斯定理在行列式D中任取 k (1 ≤ k ≤ n − 1)行(列), 由这 k行(列)元所组成的一切k阶子式分别与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D. 设D的某k行组成的所有k阶子式分别为S1, S2,
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5
拉普拉斯展开定理
2 0 1 0 2 1 0 − 1 0 1 按1, 2行展开的例计算D = 0 1 − 1 2 1 二阶子式共有 2 0 2 − 2 1 2 C5 = 10个. 0 1 −1 1 1 解按1, 2行展开, 不为零的二阶子式为 2 1 1 2 S1 = , S2 = −1 1 1 −1 1 2 1 0 A1 = ( −1)1+ 2+1+ 3 2 1 2 = 0, A2 = ( −1)1+ 2+ 3+ 5 0 =0 1 1 1 0 所以, D = S1 A1 + S2 A2 = 0.
2⋅ n ( n+1 ) + n×n 2
(det A)(det B )
= ( −1)
n×n
(det A)(det B ).
9
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拉普拉斯展开定理
回忆(要非常熟悉): A1 det O = (det A1 )L(det At ), ( Ai 为方阵 ) A t A1 B1 A1B1 O O O = A B A B t t t t A1 O A t

拉普拉斯定理

a1α1 a 2α 2 " a kα k a k +1, β k +1 a k + 2, β k + 2 " a nβ n
其前面所带符号为 (−1)τ (α1α 2 "α k ) +τ (( β k +1 − k )( β k + 2 − k )"( β n − k )) = (−1)τ (α1α 2 "α k β k +1β k + 2 "β n ) ，于是，这个乘积项是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致。下证一般情形：设子式 M 位于 D 的第 i1 、 i2 、…、 ik 行，第 j1 、 j 2 、…、 j k 列，其中 i1 < i2 < " < ik ；
1
a11 # D= ak1 a k +1,1 # a n1
" M " % "
a1k # a kk # a nk
a1,k +1 # a k ,k +1 a k +1,k +1 # a n ,k +1
" % "
a1n # a kn
" a k +1,k
" a k +1,n # M′ " a nn
此时， M 的代数余子式 A 为 A = (−1) (1+ 2+"+ k ) + (1+ 2+"+ k ) M ′ = M ′ M 的每一项可写作 a1α1 a 2α 2 " a kα k ，其中 α 1 、 α 2 、…、 α k 为 1、2、…、 k 的一个排列，其前面所带符号为 (−1)τ (α1α 2 "α k ) ；

§2.3拉普拉斯展开定理

设D的某k行组成的所有k阶子式分别为S1, S2,, St (t Cnk )，它们相应的代数余子式分别为A1, A2,, At ,则
D S1A1 S2 A2 At St。
例1 计算
21000 12000
D 0 0 2 1 0
0 01 21
0 0 01 2
利用拉普拉斯定理（P71）可得：
角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非
零子块都是方阵.即
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对角阵.
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
若 Ai 0i 1,2,, s,则 A 0,并有
A1 1
A1
设S的各行位于D中第i1, i2 ,,ik (i1 i2 ik )， S的各列位于D中第j1, j2 ,, jk ( j1 j2 jk )，那么称
A (1)(i1i2 ik )( j1 j2 jk ) M为S的代数余子式。
二、拉普拉斯展开定理
若在行列式D中任意取定k个行(1 k n 1)，则有这k个行组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于D.
a11 a1k
0
设
D
ak1 c11
akk c1k
b1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D D1D2 .
分块对角阵的行列式
设A为n阶矩阵, 若A的分块矩阵只有在主对
§ 2.3 拉普拉斯展开定理
一、k阶子式的概念二、拉普拉斯展开定理三、举例

1.6拉普拉斯定理

第一章行列式
第一节、第一节、二阶与三阶行列式第二节、第二节、排列与逆序数第三节、线性相关与线性无关第三节、第四节、第四节、行列式的性质第五节、行列式按行（第五节、行列式按行（列）展开第六节、第六节、拉普拉斯定理第七节、克莱姆法则第七节、
第六节拉普拉斯定理
一、拉普拉斯定理
i = 1, 2,⋯ , t = C
k n
二、例题
例
D=
4 2
1 0 −1 0
0 0
−1 0 5 2 0 −1 1 −1
5 2 4 1 = ⋅ 1 −1 2 −1
= 42
例证明2n阶行列式
a11 a21 ⋯ a n1 c11 c21 ⋯ c n1 a12 a22 ⋯ an 2 c12 c22 ⋯ cn 2 … a1n 0 0 … 0 ⋯ a2 n ⋯ ⋯ ⋯ … ann c1n ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 b11 b21 ⋯ bn1 0 b12 b22 ⋯ ⋯ … 0 b1n ⋯
a11 D= a21 ⋯ an1 a12 … a1n × (−1)
(1+ 2 +…+ n ) + (1+ 2 +…+ n )
b11 b21 ⋯
b12
… b1n
a22 ⋯ a2 n ⋯ ⋯ ⋯ an 2 ⋯ ann
b22 ⋯ b2 n ⋯ ⋯ ⋯
bn1 bn 2 ⋯ bnn
N
定理（拉普拉斯定理）定理（拉普拉斯定理）在行列式D中任意选定k 行（1≤k ≤n）,由这k行元素组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。即
D = M 1 A1 + M 2 A2 + ⋯ + M t At