高中数学必修四 角度制 三角函数关系及诱导公式讲解

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

A

90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A

7、正切、余切的增减性：

一、任意角的三角函数的定义： 设

α是

任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，

那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r

x

α=()0x ≠，

()csc 0r

y y

α=

≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.

有向线段OM 为余弦线

有向线段AT 为正切线

比较)2

,0(∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系：

三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 四、一条规律

三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

两个技巧

(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．

(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式．

(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．

(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

（3）α与2

α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四确定”.

若α是第一象限，则2α

是第一、三象限角；

若α是第二象限，则2α

是第一、三象限角；

若α是第三象限角，则2α

是第二、四象限；

若α是第四象限角，则2

α

是第二、四象限。

五. 同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,

（3）商数关系：sin cos tan ,cot αα

αα==

同角三角函数的基本关系式理解

（1）平方关系：1cos sin 22=+αα用于相同角正弦和余弦之间的互相转化，开方时要注意由角的象限确定正负，必要时需要讨论。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号 （2）

αα

α

tan cos sin =用于弦和切互化

（3）巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，

15，17）；

(4)求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）最后确定角的大小。

六、三角函数诱导公式（1）（2

k

πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），

符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）. 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；②转化为锐角三角函数（“去负——脱周——化锐”） （2）根据角α所在的象限，得出π2~0间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是

1απ-；如果在第三或第四象限，则它是1απ+或12απ-；

2K π±α,-α,2

π

±α,π±α,23π±α的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 α的

三角函数

作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即

利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o ,360o )或[0o ,180o )内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.

记忆口诀：2

k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。

()()1sin 2sin k παα+=， ()cos 2cos k παα+=， ()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-， ()cos cos παα+=-， ()t a n t a n παα

+=． ()()4sin sin παα-=， ()c o s c o s παα-=-， ()t a n t a n παα-=-． ()()3sin sin αα-=-， ()c o s c o s αα-=

， ()t a n t a

n αα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα⎛⎫-=

⎪⎝⎭， c o s s i n 2παα⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

． ()6sin cos 2π

αα⎛⎫+=

⎪⎝⎭， c o s s i n 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭

．

：

①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以

讨论。

②求任意角的三角函数值。 步骤：

③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个． 步骤：①确定角α所在的象限；

②如函数值为正，先求出对应的锐角1α；如函数值为负，先求出与其绝对值对

应的锐角1α；

③根据角α所在的象限，得出π2~0间的角——如果适合已知条件的角在第二限，则它是1απ-；如果在第三或第四象限，则它是1απ+或12απ-；

④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。

公式二、 四、五、 六、七、 八、九