专题35动态几何之动点形成的全等相似三角形存在性问题(压轴题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘资料

一、选择题

10.1. （2011年江苏徐州2分）平面直角坐标系中，已知点O (0，0)、A (0，2)、B (1，0)，点P 是反比例函数1y x

=-图象上的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为点Q 。若以点O 、P 、Q 为顶点的三角形与∆OAB 相似，则相应的点P 共有【 】

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题

三、解答题

1. （2013年山东日照14分）已知，如图(a )，抛物线2y ax bx c =++经过点A (x 1，0)，B (x 2，0)，C (0，－

2)，其顶点为D .以AB 为直径的⊙M 交y 轴于点E 、F ，过点E 作⊙M 的切线交x 轴于点N 。∠ONE =30°，12x x 8-=。

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）连结AD 、BD ,在（1）中的抛物线上是否存在一点P ，使得△ABP 与△ADB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图（b ）,点Q 为EBF 上的动点（Q 不与E 、F 重合），连结AQ 交y 轴于点H ，问：AH ·AQ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

（2）如图，由抛物线的对称性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA。

若在抛物线对称性的右侧图象上存在点P，使△ABP与△ADB相似，

必须有∠BAP=∠BPA=∠BPD。

∴在该抛物线上不存在点P，使得△ABP与△ADB相似。

【考点】二次函数综合题，单动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，切线的性质，含30度角直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，反证法和分类思想的应用。

【分析】（1）由切线的性质和含30度角直角三角形的性质，求出点A、B的坐标，从而应用待定系数法

求出抛物线的解析式，化为顶点式即可得到抛物线的顶点D 的坐标。

（2）应用反证法分抛物线对称性的右侧和抛物线对称性的左侧两种情况说明在该抛物线上不存在点P ，使得△ABP 与△ADB 相似。

（3）由垂径定理和相似三角形的判定和性质，可得2AH AQ AF ⋅=，在Rt △AOF 中，应用勾股定理可得2AF 16=，从而得出AH ·AQ 为定值的结论。

2. （2013年贵州黔西南16分）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形，求点D 的坐标．

（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），

将点A （﹣2，0），B （﹣3，3），O （0，0），代入可得：

4a 2b c 09a 3b c 0c 0-+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：a 1b 2c 0=⎧⎪=⎨⎪=⎩

。

∴函数解析式为：y =x 2+2x 。

（2）当AO 为平行四边形的边时，DE ∥AO ，DE =AO ，由A （﹣

2，0）知：DE =AO =2，

若D 在对称轴直线x =﹣1左侧，则D 横坐标为﹣3，代入抛

物线解析式得D 1（﹣3，3）；

若D 在对称轴直线x =﹣1右侧，则D 横坐标为1，代入抛物线解析式得D 2（1，3）。

综上所述，点D 的坐标为：（﹣3，3）或（1，3）。

3. （2013年福建南平14分）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段OA交于点C．

①求线段AC的长；（用含m的式子表示）

②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．

∵在△ACM与△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，

∴当△ACM与△AMO相似时，假设△ACM∽△AMO。

∴AC AM

AM AO

＝

5m

5m

＝。

整理，得9m2﹣8m=0，解得m=8

9

或m=0（舍去），

∴存在一时刻使得△ACM与△AMO相似，此时m=8

9

。

4. （2013年云南曲靖12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+C．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式．

（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．

（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）。

∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，

∴

164b c0

c4

--+=

⎧

⎨

=

⎩

，解得：

b3

c4

=-

⎧

⎨

=

⎩

。

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4。

【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定，转换思想和分类思想的应用。

【分析】（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式。