高考数学理数立体几何大题训练(含答案)

高考数学理数立体几何大题训练(含答案)

1.（2020·新课标Ⅲ·理）在长方体中，点P、Q分别在棱AB、CD上，且AP=CQ.（1）证明：点PQ平分长方体的体对角线；（2）若PQ在平面BCFE内，求二面角的正弦值．

2.（2020·新课标Ⅱ·理）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1

的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M、N分别为BC、B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面

A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若

AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN 所成角的正弦值.

3.（2020·新课标Ⅰ·理）如图，D为圆锥的顶点，O是圆

锥底面的圆心，底面是内接正三角形ABC，P为上一点，AP

为底面直径，DP⊥底面．（1）证明：DP平分∠ADC；（2）

求二面角平面APD与平面ABC的余弦值．

4.（2020·新高考Ⅰ）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正

方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l

上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

5.（2020·天津）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点P、Q分别在棱AB、A1B1上，且AP=A1Q，平面PQC1为棱

BC1的中垂面，M为棱AC的中点．（Ⅰ）求证：PM∥B1Q，且PM=B1Q；（Ⅱ）求二面角平面PQC1与直线PM所成角的正弦值；（Ⅲ）求直线B1Q与平面PQC1所成角的正弦值．

6.（2020·江苏）在三棱锥ABCD中，已知CB=CD=1，

AC=2，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E

为AC上一点，DE⊥平面BCD，DE=1.（1）求直线AB与

DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，

设二面角F-DE-C的大小为θ，求sinθ的值．

7.（2020·北京）如图，正方体ABCD-EFGH中，E为AD

的中点，P为BF上一点．（Ⅰ）求证：PE∥CG；（Ⅱ）求直线PE与平面CGH所成角的正弦值．

8.（2020·浙江）如图，三棱台DEF-ABC中，面ADFC⊥

面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，XXX．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求DF与面DBC所成角的正弦值．

9.（2020·扬州模拟）如图，在等边三角形ABC的三棱锥ABCD中，D为底面的中点，E为线段AD上一动点，记

DE=λAD.（1）当λ=1时，求证：DE与平面ABC垂直；（2）当λ=2时，求直线BE与平面ACD所成角的正弦值．

求证：直线AD与平面BCD垂直；

2）若平面ABD与平面ACD所成二面角为，求二面角ABC与平面BCD所成二面角的正弦值。

2.当求异面直线与平面所成角的余弦值时，需要用到向量

的点积公式。求得向量的点积后，再用余弦公式求得所需的值。当求异面直线与平面所成角的正弦值时，可以利用正弦公式进行计算。

10.如图1，四边形ABCD为矩形，BC=2AB，E为AD的

中点，沿BE、CE折起得图2，使得平面BCE、平面ABE、DCE分别重合。

1）证明：平面DCE存在；

2）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成

角的正弦值。

11.如图所示，已知平面M，N分别是平面ABC，平面ACD的中点。

1）证明：平面MNC平行于平面ABCD；

2）证明：平面MNC与平面ABCD所成角等于平面MNC 与平面ACD所成角；

3）若直线MN与平面ABCD所成角为，求直线MN与平

面ACD所成角。

12.如图，在四边形ABCD中，将AB、CD连线，将BC、AD连线，交于点P，以AP为折痕把四边形折起，使点A到

达点P的位置，且平面ABP与平面CDP垂直。

1）证明：平面ABP与平面CDP所成角等于平面ABCD

的二面角；

2）若M为BC的中点，二面角等于60°，求直线AM与

平面ABCD所成角的正弦值。

13.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四

边形ABCD中，∠ABC=120°，BC=3，CD=2，AD=4，PA=4.

1）证明：CD⊥平面PAD；

2）求二面角B-PC-D的余弦值。

14.如图，已知平面M，N分别是平面ABC，平面BCD

的中点，直线AD与平面MNC垂直，且直线AD与平面ABC

的交点为E。

1）证明：平面MNC与平面ABC平行；

2）若平面ABD与平面ACD所成二面角为，求二面角MNC与平面BCD所成二面角的余弦值。

15.如图，在四棱柱ABCD-EF中，M，N分别是棱AD，BE的中点，底面ABCD为等腰梯形，且MN=EF。

1）证明：直线MN与平面BCE垂直；

2）若平面ABF与平面ECD所成二面角为，求经过点A，M，N的平面与平面BCE所成二面角的正弦值。

16.如图，在四棱锥ABCD-E中，ABCD为菱形，

AE=BE=CE=DE，且AB=2AD。

1）证明：平面AEB与平面CED平行；

2）设二面角A-BCD-E的大小为，求的取值范围。

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，

PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，PD的中点为F。

②FC与平面ABCD所成的角为

1）在线段AB上不存在一点G，使得AF平面PCG；

2）若，求二面角F-AC-D的余弦值。

18.如图，在三棱锥ABC-P中，平面PBC与平面ABC垂直，平面APC与平面ABC交于直线AD。

1）证明：直线AD与平面BCD垂直；

2）若平面ABD与平面ACD所成二面角为，求二面角ABC与平面BCD所成二面角的正弦值。

1.【答案】（1）解：在长方体ABCD-EFGH中，连接DG、CG、BF、AF，设DG与CG交于点M，BF与AF交于

点N。则由平行四边形的性质可知，四边形DMCG和BNFA

都是平行四边形。因此，DM=CG，MC=DG，BN=AF，

AN=BF。又因为长方体ABCD-EFGH中，AD=BC=EF=GH=a，CD=AB=HG=FE=b，AE=DH=BG=FC=c，所以DM=CG=EF-a，MC=DG=GH-b，BN=AF=CD-c，AN=BF=AB-a。因此，四边

形DMCG和BNFA都是菱形，且它们的对角线相等，即

DM=CG=BN=AF=EF-a=CD-c=b-DC=a-DH。因此，四边形DMCG和BNFA都是菱形，且它们的对角线相等，即

DM=CG=BN=AF=a-DH=EF-b=CD-c。因此，四边形DMCG和