函数的定义域、解析式、值域

函数的定义域

一、几类函数的定义域

（1）如果f(x ）是整式，那么函数的定义域是实数集R ；

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

（3）如果f(x ）是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合。

（4）如果2[()]

f x ，那么函数的定义域是使f(x)不等于0的实数的集合。 （5）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即求各集合的交集）

（6）满足实际问题的意义。

二、例题讲解

例1 求下列函数的定义域：

① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x

x x f -++=211)(

例2 求下列函数的定义域： ①14)(2--=x x f ②2

143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x 1

11

11

++ ④x x x x f -+=

)1()( ⑤373132+++-=x x y

例3 若函数a ax ax y 1

2+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围

例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41

(+=x f y )41

(-⋅x f 的定义域

例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。

练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域

例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （

） Ａ．[]1,1- Ｂ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-21,21 Ｃ．⎥⎦⎤

⎢⎣⎡1,21 Ｄ．10,2⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

已知函数()11x

f x x +=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则

（ ）

Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =

例8、若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3

的定义域为R ，求实数m 的取值范围

练习、若函数222(1)(1)1

y a x a x a =

-+-++的定义域为R ，求实数a 的取值范围

例9、（1）设二次函数f （x ）满足f （x-2）=f （-x-2），且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求f （x ）的解析式；

（2）已知,2)1(x x x f +=+求f （x ）

（3）已知f （x ）满足x x

f x f 3)1()(2=+，求f （x ）

例10、若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()

()g x f x f x =--的定义域是_______________________

例11. 已知函数m mx mx y ++-=862的定义域为R.

(1)求实数m 的取值范围;

(2)当m 变化时,若y 的最小值为f(m),求函数f(m)的值域.

例12. 若函数y=x 2-6x-16的定义域为[0,m],值域为[-25,-16],则m 的取值范围

( )

A.(0,8]

B.[3,8]

C.[3,6]

D.[3,+∞)

例13. 已知1()1

f x x =+，则函数(())f f x 的定义域是( ). A ．{|1}x x ≠- B ．{|2}x x ≠-

C ．{|12}x x x ≠-≠-且

D ．{|12}x x x ≠-≠-或

函数的解析式

我们知道，把两个变量的函数关系用一个等式表示，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式.下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法

（一）待定系数法

待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

例1、已知()

f x是二次函数，若(0)0,

f=且(1)()1

f x f x x

+=++试求()

f x的表达式。

小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例

函数时，可设f(x)=k

x

(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设

①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)

③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

例2、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)；例3、设f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,求f(x)

例4、二次函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且()0f x =的两实根平方和为10，图像过点(0,3)，求()f x 解析式

（二）换元法

换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

例5、已知(1)21,f x x x +=++求()f x 的解析式。

例6、已知f(x 1)=x

x -1求f(x)的解析式

例7、2134(31)x x

f x +-+=

，求()f x 解析式