反比例函数经典例题(有答案)

一、反比例函数的对称性

1、直线y=ax (a>0)与双曲线y= 3/x 交于A (x i, y〔)、B (X2, y2)两点，贝U 4x i y2-3x2y i=

2、如图1,直线y=kx (k>0)与双曲线y= 2/x交于A, B两点，若A B两点的坐标分别为

A (x i, y i),

B (x2, y2)，贝U x i y2+x2y i 的值为( )

A 、-8

B 、4

C 、-4

D 、0

解析：直线Y=KX和双曲线Y=2/X图象都关于原点对称

因此两交点A、B也关于原点对称

X2=-Xi, Y2=-Yi

双曲线形式可变化为XY=2即双曲线上点的横纵坐标乘积为 2

因此XiYi=2

XiY2+X2Yi=Xi(-Yi) + (-Xi) Yi=-XiYi-XiYi=-4

图i 图2 图3 图4

二、反比例函数中“ K”的求法

1、如图2,直线l是经过点(i, 0)且与y轴平行的直线.Rt△ ABC中直角边AC=4, BC=3将BC边

在直线l上滑动，使A, B在函数y=k/x的图象上.那么k的值是( )

A、3 B 、6 C 、i2 D 、i5/4

解析：BC 在直线X=i 上，设B(i , M),贝U C(i, M-3), .••A(5, M-3), 又A B都在双曲线上，二i*M=5*(M-3) , M=i5/4 即K=i5/4 2、如图3,已知点A、B在双曲线y= k/x (x>0)上，Adx轴于点C, Bdy轴于点D, AC与BD交

于点P, P是AC的中点，若△ ABP的面积为3,则k=

解析：A(xi,k/xi),B(x2,k/x2)

AC:x=xi BD:y=k/x2

P(xi,k/x2)

k/x2=k/2xi 2xi=x2

BP=x2-xi=xi

AP=k/xi-k/x2=k/2xi

S=xi*k/(2xi)*i/2)=k/4=3 k=i2

3、如图4,双曲线y= k/x (k > 0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D.若梯形ODBC的面积

为3,则双曲线的解析式为( )

A、y=i/x

B、y=2/x

C、y=3/x

D、=6/

解析：设E(x0,k/x0)

E 是BC中点，二B(x0,2k/x0)

B、D两点纵坐标相同，二D(x0/2,2k/x0)

BD=x0/2,OC=x0,BC=2k/x0

梯形面积=(BD+OC/ BC/2=3k/2=3

•,- k=2 .•.双曲线的解析式为：y=2/x

三、反比例函数“ K”与面积的关系

1、如图5,已知双曲线y i=1/x(x >0) , y2=4/x(x >0),点P为双曲线y2=4/x上的一点，且PAlx 轴于点A, PBLy轴于点B, PA PB分别次双曲线y=/x于D C两点，则^ PCD的面积为( ) 图5 图6 图7

解析：假设P的坐标为(a,b )，则C (a/4,b), D(a,b/4),

PC=3/4*a PD=3/4*b

S=1/2*3/4*a*3/4*b

因为点P为双曲线y2=4/x上的一点所以a*b=4

所以S=9/8

2、如图6,直线l和双曲线y=k/x(k >0)交于A B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过

点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为G D、E,连接OA OB 0P,设AAOC勺面积为S、△ BOD

的面积为&、APOE的面积为S3,则( )

A S I

B 、S I>S2>S3

C 、S I=S2>&

D 、S=S< S3

解析：结合题意可得：AB者S在双曲线y=kx上，

则有S1=S2而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=SK S3.

3、如图7,已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y=k/x交于G D两点，且S3O C=&CO D=S\BOD 贝1J k=。解析：，△ AOC=SCOD=SBOD=3/2 所以，CCK点的坐标为(2,1 ) (1,2 ) k=2

4、反比例函数y= 6/x与y= 3/x在第一象限的图象如图8所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A B两点，

连接OA OB则^AOB的面积为( )

A、3/2 B 、2 C 、3 D 、1

解：设直线方程：y=b，则A(6/b,b) B(3/b,b)

|AB|=(6/b-3/b)=3/b ,h(o-AB)=b

s(OAB)=(1/2)*(3/b)*b=3/2

图8 图9 图10 图11

5、如图9,已知梯形ABCO勺底边AO在x轴上，BC// AQ A乩AQ过点C的双曲线y=k/x 交OB于D, 且OD DB=1: 2,若z\OBC勺面积等于3,则k的值( )

A、等于2 B 、等于3/4 C 、等于24/5 D 、无法确定

解析：如图，设点B(a,b),过点D作x轴垂线，垂足为E

则点A(a,0)

点C的纵坐标为b,那么x=k/y=k/b 所以，点C(k/b,b)

这就是点D横坐标

OB所在的直线为y=(b/a)x，它与y=k/x相交所以，

(b/a)x=k/x ===> x A2=ak/b ===> x= V(ak/b) 已知OD/DB=1/2,所

以：OD/OB=1/3 则，OE/OA=OD/OB=1/3

===> V (ak/b)/a=1/3 ===> a=3V (ak/b)

===> aA2=9ak/b ===> ab=9k 又BC=a-(k/b)

所以，，△ OBC=(1/2)*BC*AB=(1/2)*[a -(k/b)]*b=3 ===> ab-k=6

===> 9k-k=6 ===> k=3/4

6、如图10 ,反比例函数y=k/x(x > 0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M ,分别与AB、BC相交于点D、E .若

四边形ODBE的面积为6,则k的值为( )

A、1

B、2

C、3

D、4

解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，贝U S △ OCE= |k|/2 , S △ OAD= |k|/2 ,

又M为矩形ABCO对角线的交点，则矩形ABCO的面积为4|k| , 由于函数图象在第一象限，k> 0,贝U k/2+ k/2+6=4k , k=2 . 故选B

7、如图11 ,梯形AOBC的顶点A, C在反比例函数图象上，OA // BC ,上底边OA在直线y=x上，下底边BC

交x轴于E (2 , 0)，贝U四边形AOEC的面积为( )

A、根号3 B 、3 C 、根号3-1 D 、根号3+1

解析：四边形AOEg梯形，需求出EG OA和高(两平行线的距离)；

必须确认反比例函数是xy=1，否则反比例函数很靠近或远离坐标轴将使所得图形面积变化不定。

直线BEC的方程为：y=x-2，与反比例函数交点坐标C的y坐标满足：(y+2)y=1，解得y=V2 -1 ;

因直线BEC的斜率是1, EO A/2*C点y坐标=V2*( V2 -1)=2- V2;

E到平行线OA的距离h=( V2/2)*OE=( V2/2)*E 点x 坐标=(V2/2)*2 =V2;

A点坐标(1,1)，所以OA或2;

四边形AOEC勺面积=(EC+OA)*h/2=(2- V2+V2)* V2/2= V2;