概率论中的随机过程与随机变量的关系

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随机过程基本概念

随机过程基本概念1. 随机变量（数学定义）：设随机试验的样本空间为{}S e =.()X X e =是定义在样本空间S 上的实值单值函数。

称()X X e =为随机变量。

随机变量（描述性定义）：随机试验中定义在样本空间上的单值函数。

随机变量与普通函数本质差异：取值不可预测，具有概率性。

随机变量与随机过程的差异：随机变量是单值函数，即只有一个值；随机过程是一簇随机变量，即有一系列值。

2. 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间。

对于E 的每一个事件A 赋予一个实数，记为()P A ，称为事件A 的概率。

3. 要掌握一个离散型随机变量X 的统计规律，必须且只需知道X 的所有可能取值以及取每一个可能值的概率。

4. 概率函数：离散型随机变量从样本空间中取各值的概率。

5. 概率分布函数：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数(){},F x P X x x =≤-∞<<+∞，称为X 的分布函数。

6. 概率密度函数：概率分布函数的导数。

表示概率分布的增长率。

（连续型随机变量才有意义）概率密度函数非负，且有()()X p x dx Px X x dx =≤≤+，此即概率与概率密度函数的关系。

7. 二维随机变量：一般，设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}S e =，设()X X e =和()Y Y e =是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个向量(),X Y ，叫做二维随机向量或二维随机变量。

8. 二维联合概率分布函数：设(),X Y 是二维随机变量，对于任意实数,x y ,二元函数： ()()(){}{},,F x y P X x Y y P X x Y y =≤⋂≤=≤≤称为二维随机变量(),X Y 的分布函数，或称为随机变量(),X Y 的联合分布函数。

9. 联合概率分布函数的性质：（1）()()(),,,0XY XY XY F F y F x -∞-∞=-∞=-∞=（2）(),1;XY F ∞∞=（3）()(),;XY X F x F x ∞=（4）()(),;XY Y F y F y ∞=10. 联合概率密度函数：对于二维随机变量(),X Y 的联合概率分布函数(),F x y ，如果存在非负函数(),f x y 使对于任意,x y 有：()(),,,y x F x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰ 则称(),X Y 是连续型的二维随机变量，函数(),f x y 称为二维随机变量(),X Y 的联合概率密度。

概率论与随机过程考点总结

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量X , 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度协方差两个随机变量Y X ,：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数两个随机变量Y X ,：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ,则称Y X ,不相关;独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k)( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ,1)(≤t g ,)()(t g t g =-,k k k EX i g =)0( 母函数：∑∞===0)()(k kk kzp z E z g!)0()(k g p k k =)1()('g X E =2''")]1([)1()1()(g g g X D -+=５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N 222)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N XT n a a a a ),,,(21 =,T n x x x x ),,,(21 =,n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵3.随机向量的变换二．随机过程的基本概念１．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间,T 是给定的参数集,若对每个T t ∈,都有一个随机变量X 与之对应,则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程;简记为{}T t t X ∈),(;含义：随机过程是随机现象的变化过程,用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性;另一方面,它是某种随机实验的结果,而实验出现的样本函数是随机的;当t 固定时,),(e t X 是随机变量;当e 固定时,),(e t X 时普通函数,称为随机过程的一个样本函数或轨道;分类：根据参数集T 和状态空间I 是否可列,分四类; 也可以根据)(t X 之间的概率关系分类,如独立增量过程,马尔可夫过程,平稳过程等; ２．随机过程的分布律和数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性;随机过程{}T t t X ∈),(的一维分布,二维分布,…,n 维分布的全体称为有限维分布函数族;随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述;在实际中,要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的,因此用某些统计特征来取代;１均值函数)()(t EX t m X = 表示随机过程{}T t t X ∈),(在时刻t 的平均值; ２方差函数2)]()([)(t m t X E t D X X -=表示随机过程在时刻t 对均值的偏离程度; ３协方差函数)()()]()([))]()())(()([(),(t m s m t X s X E t m t X s m s X E t s B X X X X X -=--= 且有)(),(t D t t B X X =４相关函数)]()([),(t X s X E t s R X = 3和4表示随机过程在时刻s ,t 时的线性相关程度;５互相关函数：{}T t t X ∈),(,{}T t t Y ∈),(是两个二阶距过程,则下式称为它们的互协方差函数;)()()]()([))]()())(()([(),(t m s m t Y s X E t m t Y s m s X E t s B Y X Y X Y X -=--=,那么)]()([),(t Y s X E t s R XY =,称为互相关函数;若)()()]()([t m s m t Y s X E Y X =,则称两个随机过程不相关; ３．复随机过程 t t t jY X Z += 均值函数tt Z jEY EX t m +=)( 方差函数]))(())([(|])([|)(2t m Z t m Z E t m Z E t D Z t Z t Z t Z --=-=协方差函数)()(][]))(())([(),(t m s m Z Z E t m Z s m Z E t s B Z Z t s Z t Z s Z -=--=相关函数][),(t s Z Z Z E t s R =４．常用的随机过程１二阶距过程：实或复随机过程{}T t t X ∈),(,若对每一个T t ∈,都有∞<2)(t X E 二阶距存在,则称该随机过程为二阶距过程;2正交增量过程：设{}T t t X ∈),(是零均值的二阶距过程,对任意的T t t t t ∈<<<4321,有0]))()(())()([(3412=--t X t X t X t X E ,则称该随机过程为正交增量过程;其协方差函数)),(m in(),(),(2t s t s R t s B XX X σ== 3独立增量过程：随机过程{}T t t X ∈),(,若对任意正整数2≥n ,以及任意的T t t t n ∈<<< 21,随机变量)()(,),()(),()(13412----n n t X t X t X t X t X t X 是相互独立的,则称{}T t t X ∈),(是独立增量过程; 进一步,如{}T t t X ∈),(是独立增量过程,对任意t s <,随机变量)()(s X t X -的分布仅依赖于s t -,则称{}T t t X ∈),(是平稳独立增量过程;4马尔可夫过程：如果随机过程{}T t t X ∈),(具有马尔可夫性,即对任意正整数n 及T t t t n ∈<<< 21,0))(,,)((1111>==--n n x t X x t X P ,都有{}{}111111)()()(,,)()(----=≤===≤n n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X P ,则则称{}T t t X ∈),(是马尔可夫过程;5正态过程：随机过程{}T t t X ∈),(,若对任意正整数n 及T t t t n ∈,,,21 ,)()(),(21n t X t X t X 是n 维正态随机变量,其联合分布函数是n 维正态分布函数,则称{}T t t X ∈),(是正态过程或高斯过程; 6维纳过程：是正态过程的一种特殊情形;设{}∞<<-∞t t W ),(为实随机过程,如果,①0)0(=W ；②是平稳独立增量过程；③对任意t s ,增量)()(s W t W -服从正态分布,即0),0(~)()(22>--σσs t N s W t W ;则称{}∞<<-∞t t W ),(为维纳过程,或布朗运动过程;另外：①它是一个Markov 过程;因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息;②维纳过程具有独立增量;该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率;③它在任何有限时间上的变化服从正态分布,其方差随时间区间的长度呈线性增加; 7平稳过程：严狭义平稳过程：{}T t t X ∈),(,如果对任意常数τ和正整数n 及Tt t t n ∈,,,21 ,Tt t t n ∈+++τττ,,,21 ,)()(),(21n t X t X t X 与)()(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的联合分布,则称{}T t t X ∈),(是严狭义平稳过程;广义平稳过程：随机过程{}T t t X ∈),(,如果①{}T t t X ∈),(是二阶距过程；②对任意的T t ∈, 常数==)()(t EX t m X ；③对任意T t s ∈，,)()]()([),(s t R t X s X E t s R X X -==,或仅与时间差s t -有关;则满足这三个条件的随机过程就称为广义平稳过程,或宽平稳过程,简称平稳过程;第三章泊松过程一．泊松过程的定义两种定义方法１,设随机计数过程{}(),0X t t ≥,其状态仅取非负整数值,若满足以下三个条件,则称：{}T t t X ∈),(是具有参数λ的泊松过程;①(0)0X =；②独立增量过程,对任意正整数n ,以及任意的T t t t n ∈<<< 21)()(,),()(),()(12312----n n t X t X t X t X t X t X 相互独立,即不同时间间隔的计数相互独立；③在任一长度为t 的区间中,事件Ａ发生的次数服从参数0t λ>的的泊松分布,即对任意,0t s >,有{}()()()0,1,!ntt P X t s X s n en n λλ-+-===[()]E X t t λ=,[()]E X t tλ=,表示单位时间内时间Ａ发生的平均个数,也称速率或强度;２,设随机计数过程{}(),0X t t ≥,其状态仅取非负整数值,若满足以下三个条件,则称：{}(),0X t t ≥是具有参数λ的泊松过程;①(0)0X =；②独立、平稳增量过程；③{}{}()()1()()()2()P X t h X t h o h P X t h X t o h λ+-==+⎧⎪⎨+-≥=⎪⎩; 第三个条件说明,在充分小的时间间隔内,最多有一个事件发生,而不可能有两个或两个以上事件同时发生,也称为单跳性; 二．基本性质１,数字特征 ()[()][()]X m t E X t t D X t λ=== (1)(,)(1)X s t s t R s t t s s tλλλλ+<⎧=⎨+≥⎩(,)(,)()()min(,)X X X X B s t R s t m s m t s t λ=-= 推导过程要非常熟悉２,n T 表示第1n -事件Ａ发生到第n 次事件发生的时间间隔,{},1n T n ≥是时间序列,随机变量n T 服从参数为λ的指数分布;概率密度为,0()0,0t e t f t t λλ-⎧≥=⎨<⎩,分布函数1,0()0,0n t T e t F t t λ-⎧-≥=⎨<⎩均值为1n ET λ=证明过程也要很熟悉到达时间的分布略三．非齐次泊松过程到达强度是t 的函数①(0)0X =；②独立增量过程；③{}{}()()1()()()()2()P X t h X t t h o h P X t h X t o h λ+-==+⎧⎪⎨+-≥=⎪⎩; 不具有平稳增量性;均值函数0()[()]()tX m t E X t s ds λ==⎰定理：{}(),0X t t ≥是具有均值为0()()tX m t s ds λ=⎰的非齐次泊松过程,则有四．复合泊松过程设{}(),0N t t ≥是强度为λ的泊松过程,{},1,2,k Y k =是一列独立同分布的随机变量,且与{}(),0N t t ≥独立,令()1()N t kk X t Y==∑ 则称{}(),0X t t ≥为复合泊松过程;重要结论：{}(),0X t t ≥是独立增量过程；若21()E Y <∞,则1[()]()E X t tE Y λ=,21[()]()D X t tE Y λ=第四章马尔可夫链泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程,维纳过程是时间状态都连续的马氏过程;时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链;马尔可夫过程的特性：马尔可夫性或无后效性;即：在过程时刻0t 所处的状态为已知的条件下,过程在时刻0t t >所处状态的条件分布与过程在时刻0t 之前所处的状态无关;也就是说,将来只与现在有关,而与过去无关;表示为{}{}111111)()()(,,)()(----=≤===≤n n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X P一．马尔可夫链的概念及转移概率1．定义：设随机过程{},∈n X n T ,对任意的整数∈n T 和任意的011,,,n i i i I +∈,条件概率满足{}{}11001111,,,n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======,则称{},∈n X n T 为马尔可夫链;马尔可夫链的统计特性完全由条件概率{}11n n n n P X i X i ++==所决定;2．转移概率 {}1n n P X j X i +==相当于随机游动的质点在时刻n 处于状态i 的条件下,下一步转移到j 的概率;记为()ij p n ;则()ij p n {}1n n P X j X i +===称为马尔可夫链在时刻n 的一步转移概率;若齐次马尔可夫链,则()ij p n 与n 无关,记为ij p ;[],1,2,ij P p i j II =∈= 称为系统的一步转移矩阵;性质：每个元素0ij p ≥,每行的和为1;3．n 步转移概率()n ij p ={}m n m P X j X i +== ；()()[],1,2,n n ij P p i j II =∈=称为n步转移矩阵;重要性质：①()()()n l n l ij ik kj k Ip p p -∈=∑ 称为C K -方程,证明中用到条件概率的乘法公式、马尔可夫性、齐次性;掌握证明方法：{}{}{}{}{}{}{}{}{}()()()()(),,,,,,,()()m m n n ijm nm m m m l m n k Tm m m l m n m m l k Tm m l m n l l l n l kj ik ik kj k Ik IP X i X j p P X j X i P X i P X i X k X j P X i P X i X k X j P X i X k P X i X k P X i p m l p m p p ++++∈+++∈+--∈∈==================⋅====+⋅=⋅∑∑∑∑②()n n P P = 说明n 步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵的n 次乘方;4．{},∈n X n T 是马尔可夫链,称{}0j p P X j ==为初始概率,即0时刻状态为j 的概率；称{}()j n p n P X j ==为绝对概率,即n 时刻状态为j 的概率;{}12(0),,T P p p =为初始概率向量,{}12()(),(),T P n p n p n =为绝对概率向量;定理：①()()n j i ij i Ip n p p ∈=∑矩阵形式：()()(0)T T n P n P P =②()(1)j i ij i Ip n p n p ∈=-∑定理：{}111122,,,n n n n i iii i i IP X i X i X i p p p -∈====∑ 说明马氏链的有限维分布完全由它的初始概率和一步转移概率所决定; 二．马尔可夫链的状态分类1．周期：自某状态出发,再返回某状态的所有可能步数最大公约数,即{}():0n ii d GC D n p ⋅⋅=>;若1d >,则称该状态是周期的；若1d =,则称该状态是非周期的;2．首中概率：()n ij f 表示由i 出发经n 步首次到达j 的概率; 3．()1n ij ij n f f ∞==∑表示由i 出发经终于迟早要到达j 的概率;4．如果1ii f =,则状态i 是常返态；如果1ii f <,状态i 是非常返滑过态;5．()1n i ii n nf μ∞==∑表示由i 出发再返回到i 的平均返回时间;若i μ<∞,则称i 是正常返态；若i μ=∞,则称i 是零常返态;非周期的正常返态是遍历状态; 6．状态i 是常返充要条件是()0iin n p∞==∞∑；状态i 是非常返充要条件是()11iin n iip f ∞==-∑; 7．称状态i 与j 互通,,i j i j j i ↔→→即且;如果i j ↔,则他们同为常返态或非常返态,；若i ,j 同为常返态,则他们同为正常返态或零常返态,且i ,j 有相同的周期;8．状态i 是遍历状态的充要条件是()1lim 0n iin ip μ→∞=>;一个不可约的、非周期的、有限状态的马尔可夫链是遍历的;9．要求：熟悉定义定理,能由一步转移概率矩阵画出状态转移图,从而识别各状态; 三．状态空间的分解1．设C 是状态空间I 的一个闭集,如果对任意的状态i C ∈,状态j C ∉,都有0ij p =即从i 出发经一步转移不能到达j ,则称C 为闭集;如果C 的状态互通,则称C 是不可约的;如果状态空间不可约,则马尔可夫链{},∈n X n T 不可约;或者说除了C 之外没有其他闭集,则称马尔可夫链{},∈n X n T 不可约;2．C 为闭集的充要条件是：对任意的状态i C ∈,状态j C ∉,都有()0ijn p =;所以闭集的意思是自C 的内部不能到达C 的外部;意味着一旦质点进入闭集C 中,它将永远留在C 中运动;如果1ii p =,则状态i 为吸收的;等价于单点{}i 为闭集;3．马尔可夫链的分解定理：任一马尔可夫链的状态空间I ,必可唯一地分解成有限个互不相交的子集12,,,nD C C C 的和,①每一个n C 都是常返态组成的不可约闭集；②n C 中的状态同类,或全是正常返态,或全是零常返态,有相同的周期,且1ij f =;③D 是由全体非常返态组成; 分解定理说明：状态空间的状态可按常返与非常返分为两类,非常返态组成集合D ,常返态组成一个闭集C ;闭集C 又可按互通关系分为若干个互不相交的基本常返闭集12,,nC C C ; 含义：一个马尔可夫链如果从D 中某个非常返态出发,它或者一直停留在D 中,或某一时刻进入某个基本常返闭集n C ,一旦进入就永不离开;一个马尔可夫链如果从某一常返态出发,必属于某个基本常返闭集n C ,永远在该闭集n C 中运动;4．有限马尔可夫链：一个马尔可夫链的状态空间是一个有限集合;性质：①所有非常返态组成的集合不是闭集；②没有零常返态；③必有正常返态；④状态空间12n I D C C C =++++,D 是非常返集合,12,,n C C C 是正常返集合;不可约有限马尔可夫链只有正常返态;四．()n ij p 的渐近性质与平稳分布 1．为什么要研究转移概率()n ij p 的遍历性研究()n ij p 当n →∞时的极限性质,即{}0n P X j X i ==的极限分布,包含两个问题：一是()lim n ij n p →∞是否存在；二是如果存在,是否与初始状态有关;这一类问题称作遍历性定理;如果对,i j I ∈,存在不依赖于i 的极限()lim n ijn p →∞0j p =>,则称马尔可夫链具有遍历性; 一个不可约的马尔可夫链,如果它的状态是非周期的正常返态,则它就是一个遍历链; 具有遍历性的马尔可夫链,无论系统从哪个状态出发,当转移步数n 充分大时,转移到状态j 的概率都近似等于j p ,这时可以用j p 作为()n ij p 的近似值;2．研究平稳分布有什么意义判别一个不可约的、非周期的、常返态的马尔可夫链是否为遍历的,可以通过讨论()lim n ij n p →∞来解决,但求极限时困难的;所以,我们通过研究平稳分布是否存在来判别齐次马尔可夫链是否为遍历链;一个不可约非周期常返态的马尔可夫链是遍历的充要条件是存在平稳分布,且平稳分布即极限分布()lim n ij n p →∞=1,jj I μ∈;3．{},0≥n X n 是齐次马尔可夫链,状态空间为I ,一步转移概率为ij p ,概率分布{},j j I π∈称为马尔可夫链的平稳分布,满足1j i iji Ijj Ip πππ∈∈==∑∑4．定理：不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布,且此平稳分布就是极限分布1,jj I μ∈; 推论：有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布;5．在工程技术中,当马尔可夫链极限分布存在,它的遍历性表示一个系统经过相当长时间后达到平衡状态,此时系统各状态的概率分布不随时间而变,也不依赖于初始状态;6．对有限马尔可夫链,如果存在正整数k ,使()0k ij p >,即k 步转移矩阵中没有零元素,则该链是遍历的;第六章平稳随机过程一．定义第一章严平稳过程：有限维分布函数沿时间轴平移时不发生变化;宽平稳过程：满足三个条件：二阶矩过程2[()]E X t <∞；均值为常数[()]E X t =常数；相关函数只与时间差有关,即(,)()()()X X R t t E X t X t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦;宽平稳过程不一定是严平稳过程,而严平稳过程一定是宽平稳过程; 二．联合平稳过程及相关函数的性质1．定义：设{}(),X t t T ∈和{}(),X t t T ∈是两个平稳过程,若它们的互相关函数()()E X t Y t τ⎡⎤-⎣⎦及()()E Y t X t τ⎡⎤-⎣⎦仅与时间差τ有关,而与起点t 无关,则称()X t 和()Y t 是联合平稳随机过程;即,(,)()()()XY XY R t t E X t Y t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦ (,)()()()YX YX R t t E Y t X t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦当然,当两个平稳过程联合平稳时,其和也是平稳过程;２．相关函数的性质：①(0)0X R ≥；②()()X X R R ττ≥,对于实平稳过程,()X R τ是偶函数;③()(0)X X R R τ≤④非负定;⑤若()X t 是周期的,则相关函数()X R τ也是周期的,且周期相同;⑥如果()X t 是不含周期分量的非周期过程,()X t 与()X t τ+相互独立,则||()lim X X X R m m ττ→∞=;联合平稳过程()X t 和()Y t 的互相关函数,()(0)(0)XY X Y R R R τ≤,()(0)(0)YX X Y R R R τ≤；()()XY YX R R ττ-=;()X t 和()Y t 是实联合平稳过程时,则,()()XY YX R R ττ-=;三．随机分析略四．平稳过程的各态历经性１．时间均值1()..()2TTT X t l i mX t dt T-→∞=⎰时间相关函数1()()..()()2TTT X t X t l i mX t X t dt Tττ-→∞-=-⎰２．如果()[()]()X X t E X t m t ==以概率１成立,则称均方连续的平稳过程的均值有各态历经性;如果()()[()()]()X X t X t E X t X t R τττ-=-= 以概率１成立,则称均方连续的平稳过程的相关函数有各态历经性;如果均方连续的平稳过程的均值和相关函数都有各态历经性,则称该平稳过程是各态历经的或遍历的;一方面表明各态历经过程各样本函数的时间平均实际上可以认为是相同的；另一方面也表明[()]E X t 与[()()]E X t X t τ-必定与t 无关,即各态历经过程必是平稳过程;３．讨论平稳过程的历经性,就是讨论能否在较宽松的条件下,用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值、协方差函数等数字特征,即用时间平均代替统计平均; 只在一定条件下的平稳过程,才具有各态历经性;４．均值各态历经性定理：均方连续的平稳过程的均值具有各态历经的充要条件是５．相关函数各态历经性定理：均方连续的平稳过程的相关函数具有各态历经的充要条件是第七章平稳过程的谱分析一．平稳过程的谱密度推导过程：随机过程{}(),X t t -∞<<∞为均方连续过程,作截尾处理(),()0,T X t t TX t t T ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,由于()T X t 均方可积,所以存在FT,得(,)()()Tj tj t T TF T X t edt X t e dt ωωω∞---∞-==⎰⎰,利用paserval 定理及IFT 定义得2221()()(,)2TT TX t dt X t dt F T d ωωπ∞∞-∞--∞==⎰⎰⎰该式两边都是随机变量,取平均值,这时不仅要对时间区间[,]T T -取,还要取概率意义下的统计平均,即定义221()2lim TTT E X t dt Tψ-→∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰为{}(),X t t -∞<<∞平均功率;21()(,)2limX T s E F T T ωω→∞⎡⎤=⎣⎦为{}(),X t t -∞<<∞功率谱密度,简称谱密度; 可以推出当{}(),X t t -∞<<∞是均方连续平稳过程时,有 21()2X s d ψωωπ∞-∞=⎰说明平稳过程的平均功率等于过程的均方值,或等于谱密度在频域上的积分;２．平稳过程的谱密度和相关函数构成FT 对;若平稳随机序列{},0,1,2,n X n =±±,则其谱密度和相关函数构成FT 对二．谱密度的性质１．①()X s ω是()X R τ的FT;()()j X X s R e d ωτωττ∞--∞=⎰如果{}(),X t t -∞<<∞是均方连续的实平稳过程,有()()X X R R ττ=-,()X s ω是也实的非负偶函数,则②()X s ω是ω的有理分式,分母无实根;２．谱密度的物理含义,()X s ω是一个频率函数,从频率域来描绘()X t 统计规律的数字特征,而()X t 是各种频率简谐波的叠加,()X s ω就反映了各种频率成分所具有的能量大小;３．计算可以按照定义计算,也可以利用常用的变换对()1t δ↔ 12()πδω↔ 2220a ae a a τω-↔>+22τω↔-00()()j X X R e s ωττωω⋅↔- ()()j T X X R T s e ωτω+↔⋅001,sin 0,ωωωτωωπτ⎧<⎪↔⎨≥⎪⎩等三．窄带过程及白噪声过程的功率谱密度１．窄带随机过程：随机过程的谱密度限制在很窄的一段频率范围内;２．白噪声过程：设{}(),X t t -∞<<∞为实值平稳过程,若它的均值为零,且谱密度在所有的频率范围内为非零的常数,即0()X s N ω=,则称{}(),X t t -∞<<∞为白噪声过程; 是平稳过程;其相关函数为0()()X R N τδτ=;表明在任意两个时刻1t 和2t ,1()X t 和2()X t 不相关,即白噪声随时间的变换起伏极快,而过程的功率谱极宽,对不同输入频率的信号都有可能产生干扰;四．联合平稳过程的互谱密度互谱密度没有明确的物理意义,引入它主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性;１．互谱密度与互相关函数成ＦＴ对关系２．性质()()XY XY s s ωω= ()XY s ω的实部是ω的偶函数,虚部是ω的奇函数,()YX s ω也是; 2()()()XY X Y s s s ωωω≤；若()X t 和()Y t 相互正交,有()0XY R τ=,则()()0XY YX s s ωω== ;五．平稳过程通过线性系统１．系统的频率响应函数()H ω也可以写成()H j ω一般是一个复值函数,是系统单位脉冲响应的FT;２．系统输入()X t 为实平稳随机过程,则输出()Y t 也是实平稳随机过程;即输出过程的均值为常数,相关函数是时间差的函数;且有()()()()()()Y XY X R R h R h h ττττττ=*-=**-说明输出过程的相关函数可以通过两次卷积产生;()()()XY X R R h τττ=*的应用：给系统一个白噪声过程()X t ,可以从实测的互相关资料估计线性系统的未知脉冲响应;因为0()()X R N τδτ=,00()()()()()()XY X R R h N u h u du N h τττδττ∞-∞=*=-=⎰,从而３．输入输出谱密度之间的关系 2()()()Y X s H s ωωω=2()()()H H H ωωω=称为系统的频率增益因子或频率传输函数;有时,采用时域卷积的方法计算输出的相关函数比较烦琐,可以先计算输出过程的谱密度,然后反FT 计算出相关函数;2()()()()()X Y X Y R s H s R τωωωτ→=→另外()()()XY X R R h τττ=*,所以()()()XY X s H s ωωω= ,()()()YX X s H s ωωω= 补充：排队轮平均间隔时间=总时间/到达顾客总数平均服务时间=服务时间总和/顾客总数平均到达率=到达顾客总数/总时间平均服务率=顾客总数/服务时间总和一．当顾客到达符合泊松过程时,顾客相继到达的间隔时间T 必服从负指数分布;对于泊松分布,λ表示单位时间平均到达的顾客数,所以1λ表示顾客相继到达的平均间隔时间;服务时间符合负指数分布时,设它的概率密度函数和分布函数分别为()(){}[]1tttt t tf t e F t P T t e dt d e e μμμμμμ----==≤==-=-⎰⎰ 其中μ表示单位时间能够服务完的顾客数,为服务率；而1μ表示一个顾客的平均服务时间; 二．排队模型的求解把系统中的顾客数称为系统的状态;若系统中有n 个顾客,则称系统的状态是n ;瞬态和稳态：考虑在t 时刻系统的状态为n 的概率,它是随时刻t 而变化的,用()n P t 表示,称为系统的瞬态;求瞬态解是很不容易的,求出也很难利用;因此我们常用稳态概率n P ,表示系统中有n 个顾客的概率; 各运行指标：1队长：把系统中的顾客数称为队长,它的期望值记作s L ,也叫平均队长,即系统中的平均顾客数;而把系统中排队等待服务的顾客数称为排队长队列长,它的期望值记作q L ,也叫平均排队长,即系统中的排队的平均顾客数; 显然有队长＝排队长＋正被服务的顾客数;2逗留时间：一个顾客从到达排队系统到服务完毕离去的总停留时间称为逗留时间,它的期望值记作s W ;一个顾客在系统中排队等待的时间称为等待时间,它的期望值记作q W ;逗留时间＝等待时间＋服务时间;3忙期：从顾客到达空闲服务机构起,到服务台再次变为空闲为止; 4顾客损失率：由于服务能力不足而造成顾客损失的比率;5服务强度服务机构利用率：指服务设备工作时间占总时间的比例; 三．几种典型的排队模型1．//1//M M ∞∞：单服务台,系统容量无限,顾客源无限;λ到达率,μ服务率,λρμ=服务强度; 状态转移图 , 稳态概率方程得系统中无顾客的01P ρ=- 系统中有n 个顾客的概率0(1)n n n P P ρρρ=-=且必有s q L L uλ=+qq L W λ=1s q W W μ=+2．//1//M M N ∞：单服务台,系统容量为N 说明若到了系统最大容量,顾客将不能进入系统,顾客源无限;λ到达率,μ服务率,λρμ=服务强度;☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆状态转移图 , 稳态概率方程得系统中无顾客的0111N P ρρ+-=- 系统中有n 个顾客的概率0n n P P ρ= 3．//1//M M m ∞：单服务台,系统容量无限,顾客源m;λ到达率,μ服务率;状态转移图 , 稳态概率方程得系统中无顾☆客的001!()!()mii P m m i λμ==-∑系统中有n 个顾客的概率0!()()!n n m P P m n λμ=-1n m ≤≤0(1)s L m P μλ=--；00()(1)(1)q s P L m L P λμλ+-=-=--01(1)s m W P μλ=--1q s W W μ=-4. ////M M c ∞∞：多服务台,系统容量无限,顾客源无限;λ到达率,μ服务率,c λρμ=服务强度; 状态转移图 , 稳态概率方程得☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆系统中无顾客的110011!!1k c c k P k c λλμμρ--=⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑系统中有n 个顾客的概率001()!1()!nn n n c P n c n P P n c c cλμλμ-⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩。

随机过程的基本概念

随机过程的基本概念随机过程是随机现象的数学模型，是一种以时间为自变量而取随机数值的函数族，是概率论和数理统计中的重要工具之一。

本文将从定义、性质、分类等方面论述随机过程的基本概念。

一、随机过程的定义随机过程是由一个随机变量族{Xt}（t∈T）所组成的集合的统称，其中T为时间参数集合。

换言之，随机过程是时间与随机变量的集合关系，其中随机变量的取值是时间变化的函数。

随机过程可以用X(t)表示，其中t表示时间，X表示在时间t处的随机变量。

简单来说，随机过程就是为一组日期指定随机变量，使得这些随机变量与其日期相关联。

每个随机变量表示特定日期发生的随机事件。

二、随机过程的性质1. 一般随机过程：随机变量群体的每个成员都需要一个完整的概率空间，并且具有一个抽象的时间参数集合。

因此，一般随机过程的样本空间往往是所有该样本空间下所有概率空间的笛卡尔积。

2. 同伦：如果存在同伦t:s→t+s（s∈S）,使得随机过程{Xt}具有相同的联合概率分布，则称该随机过程在t上存在同伦。

3. 马尔科夫性质：在一个离散时间的随机过程中，前时刻的状态随后时刻的状态条件独立，且只与当前状态有关，而与以前的任何状态无关，称之为马尔科夫性质。

三、随机过程的分类1. 离散时间：随机变量在离散位置上取值，时间参数集合为整数集，可表示为{Xn}。

2. 连续时间：随机变量在连续位置上取值，时间参数集合为实数集，可表示为{X(t)}3. 马尔科夫过程：随机过程满足马尔科夫性质的过程，由此得名。

4. 二元过程：仅具有两个状态变量，称之为二元过程。

四、随机过程的应用随机过程广泛应用于电信、生物工程、金融、天气预报等领域。

其中，离散时间的随机过程广泛应用于通信领域，如编码、压缩、调制等；连续时间的随机过程用于天气预报、环境工程、资产定价等领域。

在工程领域，随机过程也有广泛应用。

例如，可以使用随机过程模型预测质量的保证水平。

需要重视的是，应用随机过程模型时，要注意模型的精度和可行性，避免虚假模型带来的风险。

概率随机变量与随机过程

概率随机变量与随机过程概率随机变量与随机过程是概率论与数理统计中重要的概念和工具。

它们是描述随机现象的数学模型，用于研究和分析事件发生的规律和性质。

本文将从人类视角出发，以生动的语言描述概率随机变量与随机过程的概念、特点和应用。

一、概率随机变量概率随机变量是指在特定条件下，可能取不同取值的变量，并且每个取值都对应一个概率。

例如，掷骰子时，点数的取值范围是1到6，每个点数出现的概率相等。

这里的点数就是一个概率随机变量。

概率随机变量可以用来描述各种随机事件的结果。

例如，模拟投掷硬币的结果，可以定义一个概率随机变量表示正面朝上的概率；模拟抛硬币的次数，可以定义一个概率随机变量表示连续出现正面的次数。

概率随机变量的应用非常广泛，涉及到统计学、金融学、工程学等领域。

二、随机过程随机过程是指随机变量随时间变化的过程。

它可以用来描述随机事件的演变和发展规律。

例如，天气的变化可以看作是一个随机过程，每个时间点的天气状况是一个随机变量；股票价格的变化也可以看作是一个随机过程，每个时间点的股票价格是一个随机变量。

随机过程可以分为离散型和连续型两种。

离散型随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如抛硬币的结果；连续型随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如股票价格的变化。

随机过程在信号处理、通信系统、物理学等领域有广泛的应用。

三、概率随机变量与随机过程的关系概率随机变量和随机过程都是用来描述随机事件的数学模型，它们之间存在密切的联系。

概率随机变量可以看作是随机过程在某个时间点上的取值，而随机过程可以看作是概率随机变量随时间变化的过程。

概率随机变量和随机过程都可以用概率分布函数来描述。

概率分布函数是一个函数，描述了随机变量或随机过程在不同取值上的概率。

例如，对于一个概率随机变量，可以通过概率分布函数得到每个取值的概率；对于一个随机过程，可以通过概率分布函数得到每个时间点上取值的概率。

四、概率随机变量与随机过程的应用概率随机变量和随机过程在各个领域都有重要的应用。

数学专业的随机过程与随机分析

数学专业的随机过程与随机分析在数学专业中，随机过程与随机分析是重要的研究领域。

本文将从数学专业的角度出发，对随机过程与随机分析进行探讨并介绍其应用领域。

一、随机过程的概念与基本性质随机过程是随机变量的一族，这些随机变量是定义在一定的概率空间上的。

随机过程可以用来描述随机事件在时间上的演变。

它有两个索引：时间参数和状态空间参数。

在随机过程中，常用的描述方法是概率分布函数、概率密度函数、随机变量的累积分布函数等。

此外，还可以通过研究均值、方差、协方差等统计量来揭示随机过程的性质。

随机过程的基本性质包括两个方面，即自相关性和平稳性。

自相关性是指随机过程在不同时间点上的取值之间的相关性，可以通过计算自相关函数来衡量。

平稳性是指随机过程的统计特性与时间的平移无关，包括弱平稳和严平稳两种形式。

二、随机分析的基础理论随机分析是处理随机过程的数学工具，主要依赖于测度论和概率论的基础知识。

它是对随机过程进行微积分和积分学的推广，可以用来研究随机过程的性质和行为。

在随机分析中，常用的方法包括随机微分方程、伊藤引理、伊藤积分等。

这些工具可以帮助我们描述和求解随机过程的演化规律，并且在金融工程、信号处理、统计学等领域中有广泛的应用。

三、应用领域1. 金融工程：随机过程与随机分析在金融领域中具有重要的应用价值。

比如，随机微分方程可以用来描述金融市场中的价格变动，通过分析随机过程的统计特性，可以制定合理的投资策略和风险管理方案。

2. 信号处理：随机过程与随机分析在信号处理中也起到关键的作用。

比如，通过对随机过程的频谱分析和相关性分析，可以提高信号的识别和恢复能力，改善通信系统的性能。

3. 统计学：随机过程与随机分析是统计学中的重要工具之一。

通过对随机过程的建模和参数估计，可以进行数据分析和预测。

此外，随机过程还可以用来研究随机实验和随机现象，揭示其背后的规律。

四、发展趋势随机过程与随机分析作为数学专业的重要分支，正不断发展和完善。

概率论与随机过程第2章(15)

解3, 雅各比行列式的方法
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
统计平均描述法：
统计平均描述法所关心的是: 随机过程在某时刻或不同时刻的平均特征—均值；偏离均值的程度—方差，不同时刻随机变量之间的相关程度 —相关函数，等数字特征。总之，统计平均描述法是从统计平均的意义上研究随机过程的宏观特性。
X (t , 2 ) x2 ( kt s )
t1
经过判别电路, 大于门限电压为 “1”,小于门限电压为“0”
X (t , 1 ) x1 ( kt s )
t1
t
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程

按样本函数形式分类
类别不确定随机过程确定随机过程

过去观测值与未来值的关系结果不可预测（不能描述成t的函数）可预测（可描述成t的函数）
随机过程的分类

按时间和状态分类类别连续随机过程离散随机过程连续随机序列离散随机序列
电压噪声 X ( t 1 , )
X( t )
状态连续离散连续离散 X( t )
时间连续连续离散离散
X ( t 1 , )
t
t1
X( t )
经过采样 X ( t 1 , )
样本函数
X (t , 3 ) x3 ( kt s )
2 X
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程

2. 均方值与方差
2 X (t ) [ X 2 (t )]
原点矩：
方差：

2

x p X ( x, t )dx
2
2 X ( t ) D X ( t ) E X ( t ) m X ( t )

第二章随机变量与随机过程

E[ X Y ] E[ X ] E[Y ], E[ XY ] E[ X ] E[Y ]
如果 f(x) =x，数学期望（均值Байду номын сангаас如下：
x E[ x] xp(x)dx

与此类似，如果f(x)=x2，定义x的均方值如下
x E[ x ] x 2 p(x)dx
2.6.1
随机过程的数字特征
数学期望：
设X(t)是一随机过程，固定t1，则 X (t1)是一随机变量。其数学期望：
[ X (t1 )] E[ X (t1 )]
x E[ X ] xp( x)dx

x1 p1 ( x1 , t1 )dx1
E[X(t)]是随机过程X(t)的所有样本函数在时刻t
度不会是一样的，而是在某一个平均值附近波动。像钢的拉伸强度这样的量，它们的值并不能准确预测，称为随机变量。如：在一批废品率为p的产品中，任取两件，所取两件中，废品数可能是0、1、2。在取出之前无法预测。取出的废品数称为随机变量
随机变量的分类
离散随机变量：
仅可能在某一数值序列中取得有限个或无

数学期望
举例：车间检验员每天随机抽取n个零件，
查出的废品数X为随机变量，若检查N天，出现废品为0、1、2……n个的天数为u1， u2……. un;则N天出现废品的算术平均值为：
0 u 0 1 u1 2 u 2 ...n u n N
Ku
k 0
n
k
N
uk K N k 0
概率密度函数的性质
1) 2) 3)
p( x) 0
P{x1 X x2} p( x)dx

数学中的随机过程基础

数学中的随机过程基础随机过程是数学中的一个重要概念，它描述的是在一定时间范围内随机发生的事件。

在实际应用中，随机过程往往用来描述一些不确定性的现象，比如经济学中的金融价格变化，物理学中的随机震动等。

在本文中，我们将介绍一些基本的随机过程概念，包括随机变量、概率分布、随机过程以及随时间变化的均值和方差等。

1. 随机变量与概率分布在随机过程的理论中，我们首先需要了解的是随机变量和概率分布。

所谓随机变量，就是一个取值是随机的变量，它可以是离散的也可以是连续的。

离散随机变量是指只能取有限个或无限可数个值的随机变量，比如掷硬币的结果、抛骰子的点数等。

而连续随机变量则是指取值可以是任意实数的随机变量，比如时间、温度等。

概率分布则是指随机变量在各个取值上的概率分布情况。

针对离散和连续随机变量，我们分别可以定义概率质量函数和概率密度函数。

概率质量函数定义为在各个取值上的概率，而概率密度函数则是在某个区间内的概率密度。

其中，概率密度函数的积分就是对应区间的概率。

2. 随机过程的定义与表述随机过程则是指在一定时间内随机发生的事件的统称，它包括一个或多个随机变量。

随机过程通常通过一个函数来描述，这个函数就是时间函数。

在该函数中，随机变量的取值与时间的变化相联系。

随机过程的表示可以分为两类：离散时间随机过程和连续时间随机过程。

离散时间随机过程是指时间变量是非连续的，比如时间单位可以是秒、分钟等。

连续时间随机过程则是指时间变量是连续的，比如时间单位可以是秒、微秒等。

3. 随时间变化的均值和方差对于随机过程中的随机变量，我们通常可以定义均值和方差等统计指标。

这些统计指标可以用来描述随机过程在时间上的变化情况。

随时间变化的均值是指某个时间段内随机变量取值的平均值，它可以用来评估随机过程的趋势。

方差则是指随机变量取值与均值之差的平方的期望值，它可以用来评估随机过程的波动情况。

当随机过程为马尔可夫过程时，我们还可以定义瞬时均值和瞬时方差。

第一讲随机过程的概念

第十章
随机过程的基本知识
引例：热噪声电压
一、随机过程的定义
定义1 设E是一随机实验,样本空间S={e}，T为参数集
若对每个eS ,X(e,t)都是实值函数, 则称{X(e,t),t T}
为随机过程，简记为X(t),t T 或X(t),也可记为X(t).
称族中每一个函数称为这个随机过程的样本函数。
样本函数： xi (t ) a cos( t i ) , i (0 , 2 )
状态空间:I=（-a，a）
例3: 掷骰子试验
伯努利过程（伯努利随机序列）
以上都是随机过程，状态空间都是:I={1，2，3，4，5，6}
二、随机过程的分类
离散型随机过程
1. 依状态离散还是连续分为：
s, t 0, C X ( s, t ) DX [min{s, t }].
④ C X ( s, t ) Cov( X ( s), X (t ))
E[ X ( s) X ( s)][X (t ) X (t )]
为{X(t),tT}的协方差函数.
⑤ Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]为{X(t),tT}的自相关函数, 简称相关函数
诸数字特征的关系：
X (t ) f ( x, t )
称 f ( x, t ) 为随机过程的一维密度函数称{ f ( x, t ), t T } 为一维密度函数族.
X t 0 ，其中 X Y ( t ) te 例4 设随机过程
e( ) ，求
{Y (t ),t 0}的一维密度函数
y P( X ln ) , t 解： F ( y; t ) P[Y (t ) y ] P(te y ) 0 ,

概率随机变量与随机过程

概率随机变量与随机过程
概率随机变量与随机过程
概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性。

在概率
论中，概率随机变量和随机过程是两个重要的概念。

概率随机变量是指在一定条件下，可能取不同值的变量。

例如，掷骰
子时，点数就是一个概率随机变量，因为它可能取1、2、3、4、5或
6这六个值中的任意一个。

概率随机变量的取值是有一定概率分布的，这个分布可以用概率密度函数或累积分布函数来描述。

随机过程是指在一定条件下，随时间变化的随机现象。

例如，天气的
变化就是一个随机过程，因为它在不同的时间可能出现不同的天气状况。

随机过程可以用概率分布函数或条件概率分布函数来描述。

概率随机变量和随机过程在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在金
融领域中，股票价格的变化就是一个随机过程，而股票价格的波动就
是一个概率随机变量。

在通信领域中，信号的传输也是一个随机过程，而信号的强度就是一个概率随机变量。

在研究概率随机变量和随机过程时，我们需要掌握一些基本的概念和
方法。

例如，期望、方差、协方差、相关系数等都是非常重要的概念。

此外，我们还需要掌握一些概率分布的性质，例如正态分布、泊松分布、指数分布等。

总之，概率随机变量和随机过程是概率论中的两个重要概念，它们在
实际应用中有着广泛的应用。

掌握这些概念和方法，可以帮助我们更
好地理解和分析随机现象的规律性，为实际问题的解决提供有力的支持。

随机变量和随机过程定义

• 随机向量是一元/维随机变量，数字特征等前面讲过了，现在只讲多维随机变量。 • (X,Y)是二维随机变量，F x, y = P(X ≤ ��, �� ≤ ��)为二维随机变量的联合分布函数，表示两个事件同时发生的概率。F x, y 的边际分布函数是F(∞,y)和F x, ∞ 。联合概率密度函数是 F x, y 的二阶偏导，边际密度函数是边际分布函数的导数。 • 多维随机变量：一般不研究其数学期望和方差等。
• 假设X 和Y 是随机变量，X可取值为{1,2,3,4}，Y可取值为{2,4,6,8}. • 多维随机变量是随机向量。随机向量是样本空间到实数组集合的映射。例如（X,Y）是二维随机变量，对应的是实数对，可以取值为（1,2）。 • 多元随机变量是一个随机变量，只不过是多元的。例如XY是二元随机变量，可以取值为1 × 2=2.函数 f(XY)是XY的函数。 • 总结：维是代表r.v.维度增多了，元代表r.v.个数增多了。 • 无论是多元随机变量还是多维随机变量都是事件的交集，同时发生。

• 随机过程中不研究分布函数，研究谱分布函数和谱密度函数。 • 随机过程的各阶导数也是随机过程，随机过程的积分一般为一个数，有另外的积分形式仍然是一个随机过程，也就是滤波（可理解为：一种把一个随机过程转换为另一种随机过程的算子）。
• 随机过程：多元随机过程和多维随机过程。
• 多元随机过程，是一个随机过程。如 X(t)Y(t),X(t)+Y(t)等，参数相同，也就是指标集相同。不是所有的随机过程之间的运算都是有现实意义的。
• 多维随机过程是多个随机过程的向量。例如(X(t),Y(s))，指标集可以相同也可以不同。 X(t)和Y(s)同时发生，进行预测和研究。

什么是随机过程(一)

什么是随机过程（一）引言概述:随机过程是概率论和数学统计学中的重要概念，用于描述随机事件在时间和空间上的演化规律。

它在实际问题建模和分析中具有广泛的应用，涵盖了大量的领域，如通信系统、金融市场、生物学等。

本文将介绍随机过程的基本概念和特征，并探讨其在实际中的应用。

正文:1. 随机过程的定义1.1 随机过程的基本概念1.2 随机变量与随机过程的关系1.3 不同类型的随机过程（如离散随机过程、连续随机过程等）2. 随机过程的特征2.1 随机过程的时间域特征2.2 随机过程的统计特征2.3 随机过程的独立性和相关性2.4 随机过程的平稳性2.5 随机过程的马尔可夫性质3. 随机过程的应用3.1 通信系统中的随机过程3.2 金融市场中的随机过程3.3 生物学中的随机过程3.4 物理学中的随机过程3.5 工程控制中的随机过程4. 随机过程的建模和分析方法4.1 马尔可夫链模型4.2 随机演化方程模型4.3 随机微分方程模型4.4 随机过程的仿真方法4.5 随机过程的参数估计方法5. 随机过程的未来发展5.1 随机过程在人工智能中的应用5.2 随机过程在时空数据分析中的应用5.3 随机过程在大数据分析中的应用5.4 新兴领域中的随机过程研究5.5 随机过程理论与实际应用的结合总结:本文介绍了随机过程的定义、特征和应用，并讨论了随机过程的建模和分析方法。

随机过程作为概率论和数学统计学的重要分支，具有广泛的应用前景。

随着人工智能和大数据分析的发展，随机过程在各个领域中的应用将进一步扩展。

值得期待的是，未来随机过程理论和实际应用的结合将推动该领域的进一步发展。

数学中的随机过程与随机变量

数学中的随机过程与随机变量随机过程与随机变量是数学中的两个基本概念，涉及到概率论、统计学等领域。

随机过程是指一个随机变量的集合，表示一个未知的随机现象在时间上的演化过程。

随机变量则是指所有可能出现的结果都对应一个具体数值的随机实验。

本文将就随机过程与随机变量的基本概念、性质、分类等方面进行简要介绍。

一、随机过程随机过程可分为离散随机过程和连续随机过程两种。

离散随机过程是在离散时间点上的随机现象的演化，如投掷硬币、色子等；连续随机过程则是在连续时间上的随机现象的演化，例如天气变化、股票价格波动等。

随机过程的性质包括：状态空间、状态转移概率、起始状态概率和时间参数等。

其中，状态空间是指所有可能的结果的有限或无限集合；状态转移概率是指在一个状态下，转移到其他状态的概率；起始状态概率是指在某一时刻，特定状态的出现概率；时间参数是指随机过程的时间变量是离散的还是连续的。

在实际应用中，随机过程在交通运输、金融、工程物理等领域广泛应用。

例如，在交通运输中，随机过程可用于模拟车流量等交通状况的随机变化。

在金融领域中，随机过程可用于模拟股票价格的随机波动，从而预测投资风险。

二、随机变量随机变量可分为离散随机变量和连续随机变量两种。

离散随机变量是只能取有限或可数个不同取值的随机变量，例如投掷硬币时正面朝上的次数、掷骰子得到的点数等；而连续随机变量则是可以取无限个不同取值的随机变量，例如人的身高、气温等。

随机变量的性质包括：概率分布函数（概率密度函数）、期望、方差等。

其中，概率分布函数描述了随机变量取各个值的概率大小；期望是指随机变量在一个样本空间中所有可能结果的平均值，反映出这个随机变量的中心位置；方差则是指随机变量离其期望值的距离的平方的期望值，反映出其分散程度。

在实际应用中，随机变量在概率论、统计学、信息论等领域得到广泛应用。

例如，在概率论中，随机变量可用于描述随机事件的性质，如成功率、失败率等。

在统计学中，随机变量可用于对样本数据的描述和建模，如对一组数据的分布做出估计。

从随机变量到随机过程ppt

➢ 连续随机序列
随机过程X(t)在任一离散时刻的状态是连续型随机变量，即时间是离散的，状态是连续的情况，称这类随机过程为连续随机序列。
➢ 离散随机过程
随机过程X(t)对于任意时刻 ti T ， X(ti) 都是离散型随机变量，即时间是连续的，状态是离散的情况。
➢ 离散随机序列
对应于时间和状态都是离散的情况，即随机数字信号。
自然界中变化的过程可分为两大类：确定性过程和随机过程
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2) 按照随机过程的分布函数（或概率密度）的不同特性进行分类
按照这种分类法，最重要的就是平稳随机过程，其次是马尔可夫过程等等。
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第2章随机性分析基础-1

五、乘法公式
设概率空间(Ω,F,P)，如果A,BF，且P(AB)>0，则下述乘法公式成立： P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B) 推广：设概率空间 (Ω,F,P) ，如果 AiF ， i=1,2,…,n 且 P(A1A2…An)>0，则下述推广的乘法公式成立： P(A1A2…An) ＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)
四、条件概率
设概率空间(Ω,F,P)，AF，BF，且P(A)>0，在事件A已经发生的条件下，事件B发生的条件概率定义为：
P( AB ) P( B | A ) P( A )
给定概率空间 (Ω,F,P) ， AF ，且 P(B)>0 ，对任意 BF 有 P(B|A) 对应，则条件概率 P(B|A) 是 (Ω,F) 上的概率，记 P(B|A) ＝ PA ，则 (Ω,F,PA) 也是一个概率空间，称为条件概率空间。
六、事件的独立性

如果事件A,BF，满足
P(AB)＝P(A)P(B)，
则称事件A与B相互独立。

如果事件A1,A2,…,AnF，且对任意s(2≤s≤n)和任
意的1≤i1<i2<…<is<n，有
P(Ai1Ai2…Ais)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Ais)，
则称事件事件A1,A2,…,An相互独立。
⑵由贝叶斯公式
P( A | B1 ) P( B1 ) 0.02 0.15 P{B1 | A) 0.24 P( A) 0.0125
P( B2 | A) 0.64
P( B3 | A) 0.12
先验概率和后验概率？

贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的假定B1，B2，…是导致试验结果的“原因”，

随机变量和随机过程

随机变量和随机过程随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它是随机试验结果的数值化表达。

在统计学中，随机变量是指可以取不同值的变量，并且取值的概率是事先已知的。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。

1. 离散型随机变量离散型随机变量的取值有限或可数。

它的概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。

离散型随机变量的概率质量函数满足以下条件：- 对于任意离散点k，有P(X=k)>=0；- 所有离散点的概率之和等于1，即∑P(X=k)=1。

2. 连续型随机变量连续型随机变量的取值在某一区间内连续变化。

它的概率分布可以通过概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。

对于连续型随机变量X，它的概率密度函数f(x)满足以下条件：- 对于任意实数x，有f(x)>=0；- 在它的取值区间内，概率密度函数的积分等于1，即∫f(x)dx=1。

随机过程是一类重要的随机模型，它可以用来描述由随机变量构成的随机现象的演化过程。

随机过程可以用数学方式定义为一个参数化空间上的一族随机变量的集合。

它的演化可以是离散的，也可以是连续的。

1. 离散时间离散状态的随机过程离散时间离散状态的随机过程也称为马尔可夫链（Markov Chain）。

在离散时间点上，随机过程的状态只能取有限个或可数个值。

马尔可夫链具有以下特点：- 当前状态的概率只与前一个状态有关，与历史状态无关；- 状态转移的概率具有确定性。

2. 连续时间离散状态的随机过程连续时间离散状态的随机过程称为连续时间马尔可夫链。

它在连续时间上定义了一系列的随机变量，并且这些随机变量只能取有限个或可数个值。

连续时间马尔可夫链具有以下特点：- 当前状态的概率只与前一个状态有关，与历史状态无关；- 状态转移的概率具有确定性；- 增加了时间维度，使得状态的转移可以在任意时间点发生。

第四讲从随机变量到随机过程

RXY (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]

xyf XY ( x, y; t1, t2 )dxdy
类似地，定义两个随机过程的互协方差函数为
C XY (t1, t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]}
称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。
若 FX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 对x1,x2的偏导数存在，则定义
FX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) x1x2
2
为随机过程X(t)的二维概率密度。
对于任意的时刻t1,t2,…, tn， X(t1),X(t2),…, X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程X(t)的n维概率分布，即定义
X ( , t ) E[e
e

jX ( t ) jx
]
f X ( x, t )dx
一维特征函数与一维概率密度有类似傅立叶变换对的关系
1 f X ( x, t ) 2

X ( , t )e
jx
d
随机过程的二维特征函数：随机过程在任意两个时刻t1和t2的取值构成一个二维随机变量{X(t1),X(t2)},它的特征函数
FX ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn }
为随机过程X(t)的n维概率分布函数。
FX ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) f X ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) x1x2 xn

二.随机变量到随机过程

n 0
1 2
3 4
5 6 7
8 9 10
X (n, 2 )
1 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（2）随机信号可视为所有样本函数的集合
X(t,ξ)
X(t,ξ1) X(t,ξ2) X(t,ξ3) X(t,ξ4)
t
X (n, 1 )
1 n 0
1 2
3 4
5 6 7
8 9 10
X (n, 2 )
t
X (t )
①
A,－常数 w－R .V.
t
X (t )
A, w－常数 ② －R .V. w,－常数 A－R .V.
t
③
（4）时间离散、取值连续 C.R.Seq. 例：每隔单位时间对噪声电压抽样
X ( n)
2 0
n
1 2 3 4 5
按照样本函数的形式分类可预测过程：对于任一条样本函数的未来取值可由过去值准确预测。
随机变量到随机过程
2014-10-16
1
4.1 从随机变量到随机过程
4.1.1 随机过程的定义
自然界中变化的过程可分为两大类：确定性过程：就是事物的变化过程可以用一个（或几个）时间t的确定的函数来描绘。随机过程：就是事物变化的过程不能用一个（或几个）时间t的确定的函数来加以描述。
随机过程例子
＝
1 2

1 E[1 cos(20t 2 )] 2
可知
E[sin 2 ] E[cos 2 ] 0
1 2
2 x (t )
（3）自相关函数
Rx(t1, t 2) ＝ E[ x(t1) x(t 2)]
＝
E sin(0t1 )sin(0t 2 )]

概率论中的随机过程与随机变量的关系

随机过程基本概念

概率论与随机过程考点总结

随机过程的基本概念

概率随机变量与随机过程

数学专业的随机过程与随机分析

概率论与随机过程第2章(15)

第二章随机变量与随机过程

数学中的随机过程基础

第一讲随机过程的概念

概率随机变量与随机过程

随机变量和随机过程定义

什么是随机过程(一)

数学中的随机过程与随机变量

从随机变量到随机过程ppt

第2章 随机性分析基础-1

随机变量和随机过程

第四讲 从随机变量到随机过程

二.随机变量到随机过程

第2章随机性分析基础-1

第四讲从随机变量到随机过程