信息论与编码(第二版)曹雪虹(最全版本)答案
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《信息论与编码(第二版)》曹雪虹答案
第二章
2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ,转移概率为:()11|1/2p u u =,()21|1/2p u u =,
()31|0p u u =,()12|1/3p u u =,()22|0p u u =,()32|2/3p u u =,()13|1/3p u u =,()23|2/3p u u =,()33|0p u u =,画出状态图并求出各符号稳态概率。
解:状态图如下
状态转移矩阵为:
1/21/2
01/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
设状态u 1,u 2,u 3稳定后的概率分别为W 1,W 2、W 3
由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231
112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩
计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪
=⎨
⎪
⎪=⎪⎩ 2.2 由符号集{0,1}组成的二阶马尔可夫链,其转移概率为:(0|00)p =0.8,(0|11)p =0.2,
(1|00)p =0.2,(1|11)p =0.8,(0|01)p =0.5,(0|10)p =0.5,(1|01)p =0.5,(1|10)p =0.5。画出
状态图,并计算各状态的稳态概率。
解:(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)0.5p p ==
(0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)0.5p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)0.5p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10)0.5p p ==
于是可以列出转移概率矩阵:0.80.20
0000.50.50.50.500000.20.8p ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
状态图为:
设各状态00,01,10,11的稳态分布
概率为W 1,W 2,W 3,W 4 有
41
1i i WP W W ==⎧⎪⎨=⎪⎩∑ 得 131
132
24324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+++=⎪⎩ 计算得到123451417
175
14W W W W ⎧
=⎪⎪
⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=
⎩
2.3 同时掷出两个正常的骰子,也就是各面呈现的概率都为1/6,求: (1) “3和5同时出现”这事件的自信息; (2) “两个1同时出现”这事件的自信息;
(3) 两个点数的各种组合(无序)对的熵和平均信息量; (4) 两个点数之和(即2, 3, … , 12构成的子集)的熵; (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
解:(1)bit x p x I x p i i i 170.418
1
log
)(log )(181
61616161)(=-=-==
⨯+⨯= (2)bit x p x I x p i i i 170.536
1
log
)(log )(361
6161)(=-=-==
⨯=
(3)
两个点数的排列如下: 11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
共有21种组合:
其中11,22,33,44,55,66的概率是3616
161=
⨯ 其他15个组合的概率是18
161612=⨯⨯ symbol bit x p x
p X H i
i i / 337.4181log 18115361log 3616)(log )()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛
⨯+⨯-=-=∑
(4)参考上面的两个点数的排列,可以得出两个点数求和的概率分布如下:
symbol bit x p x p X H X P X i
i i / 274.3 61log 61365log 365291log 912121log 1212181log 1812361log 36
12 )
(log )()(36112181111211091936586173656915121418133612)(=⎪
⎭⎫ ⎝⎛
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡∑(5)
bit x p x I x p i i i 710.136
11
log
)(log )(3611116161)(=-=-==
⨯⨯=
2-4
2.5 居住某地区的女孩子有25%是大学生,在女大学生中有75%是身高160厘米以上的,
而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息,问获得多少信息量? 解:
设随机变量X 代表女孩子学历
X x 1(是大学生) x 2(不是大学生) P(X)
0.25
0.75
设随机变量Y 代表女孩子身高
Y y 1(身高>160cm ) y 2(身高<160cm ) P(Y)
0.5 0.5
已知:在女大学生中有75%是身高160厘米以上的 即:bit x y p 75.0)/(11=
求:身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量 即:bit y p x y p x p y x p y x I 415.15
.075
.025.0log )()/()(log
)/(log )/(11111111=⨯-=-=-=
2.6 掷两颗骰子,当其向上的面的小圆点之和是3时,该消息包含的信息量是多少?当小圆点之和是7时,该消息所包含的信息量又是多少? 解:
1)因圆点之和为3的概率1()(1,2)(2,1)18
p x p p =+= 该消息自信息量()log ()log18 4.170I x p x bit =-== 2)因圆点之和为7的概率
1
()(1,6)(6,1)(2,5)(5,2)(3,4)(4,3)6p x p p p p p p =+++++=
该消息自信息量()log ()log6 2.585I x p x bit =-== 2.7 设有一离散无记忆信源,其概率空间为123401233/8
1/41/41/8X x x x x P ====⎛⎫⎛⎫
= ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭