数值分析第一章作业

习题（一）
1. 指出四舍五入得到的下列各数有几位有效数字：
x 1∗=7.8673,x 2∗=8.0916,x 3∗=0.06213,x 4∗=0.07800,x 5∗=90×103,x 6∗=2.0×10−4
解：由有效数字定义得：
x 1∗，x 2∗具有5位有效数字
x 3∗，x 4∗具有4位有效数字
x 5∗，x 6∗具有2位有效数字.
2. 设准确值为x=
3.78695，y=10,它们的近似值分别为x 1∗=3.7869，x 2∗=3.7870及y 1∗=
9.9999，y 2∗=10.1，y 3∗=10.0001，试分析x 1∗，x 2∗，y 1∗，y 2∗，y 3∗分别具有几位有效数字. 解：x 1∗=3.7869=x 1∗=0.37869×101，k 1=1
|x 1∗−x|=|3.7869−3.78695|=0.00005≤0.5×10−4=0.5×101−5, 即x 1∗具有5位有效数字；
同理，x 2∗=3.7870=0.37870×101，k 2=1
|x 2∗−x|=|3.7870−3.78695|=0.00005≤0.5×101−5，所以x 2∗具有5位有效数字； 将y 1∗，y 2∗，y 3∗分别写成y=±10k ×0.α1α2...αn 的表示形式，有：
y 1∗=9.9999=0.99999×101，k 3=1；
y 2∗=10.1=y 2∗=0.101×102，k 4=2；
y 3∗=10.0001=0.100001×102，k 5=2；
|y 1∗−y |=|9.9999−10|=0.0001=0.1×10−3≤0.5×101−4,n=4;
|y 2∗−y |=|10.1−10|=0.1≤0.5×102−2,n=2;
|y 3∗−y |=|10.0001−10|=0.0001=0.1×10−3≤0.5×102−5,n=5;
所以y 1∗，y 2∗，y 3∗分别具有4，2，5位有效数字.
8.为了使√11的近似值的相对误差不超过0.1%，问至少应取几位有效数字. 解：√11=0.3316624…=0.α1α2...αn ×10k ，α1=3，
设x ∗有n 位有效数字，又因为|E x ∗|比值比较小， 故可用E r ∗(x ∗)= |
E(x ∗)x ∗|代替相对误差E r ∗(x ∗)，用εr ∗=εx ∗代替相对误差限εr 所以εr ∗≤12α1
×10−n+1=16×10−n+1 令16×10−n+1≤0.1%，解得n ≥3.22
即至少应取4位有效数字.
12.如何计算下列函数值才比较精确.
(1)11+2x −
11+x ，对|x|≪1; (2)√x +1x −√x −1x ，对x ≫1;
(3)∫dx 1+x 2N+1N
，其中N 充分大； (4)1−cos x
sin x ，对|x|≪1;
(5)ln(30−√302−1)(开平方用6位函数表)；
解:
(1)原式=
1+x−(1+2x)(1+2x)(1+x)=−x (1+2x)(1+x)； (2)原式=x+1x −(x−1x )
√x+1x +√x−1
x =2x √x+1
x +√x−1x ；
(3)原式=arc tan x|N
N+1=arc tan N +1−arc tan N =arc tan N+1−N 1+N(N+1)=arc tan 11+N(N+1)； (4)原式=2sin
x 222sin x 2cos x 2=tan x
2; (5)原式=30+√302−1=−ln(30+√302−1)
令f(x)=ln(x −√x 2−1)，则f(30)=ln(30−√302−1)=ln(30−√899),记a=30−√899 若用6位开方函数表，则有a ∗=30−29.9833=0.0167,故有ε(a ∗)=0.5×10−4, 而f(30)≈ln a ∗,于是ε(f (30))=ε(ln a ∗)≈|1a ∗|ε(a ∗)=0.50.0167×10−4≈0.003; 又因为f(x)等价于f(x)=-ln(x +√x 2−1)，则f (30)=-ln(30+√899)，记b=30+√899 同理b ∗=59.9833,进而ε(b ∗)=(2×10−4)−1,对f (30)≈ln b ∗
ε(f (30))=ε(ln b ∗)≈|1b ∗|ε(b ∗)=0.559.9833×10−4≈0.834×10−6。