(完整版)数列应用题专题训练

数列应用题专题训练

高三数学备课组

以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。

一、储蓄问题

对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。

单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。

复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。

例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式：

(1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)；

(2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。

问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？

分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。

解：若不计复利，5年的零存整取本利是

2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950；

若计复利，则

2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。

所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。

二、等差、等比数列问题

等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。

例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第

一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？

解：购买时付出150元，余欠款1000元，按题意应分20次付清。

设每次所付欠款顺次构成数列{a n}，则

a1=50+1000×0.01=60元，

a2=50+(1000-50)×0.01=59.5元，

a3=50+(1000-50×2)×0.01=59，

……

a n=60-(n-1)·0.5

所以{a n}是以60为首项，-0.5为公差的等差数列，

故a10=60-9×0.5=55.5元

20次分期付款总和

S20=

25.

50

60

×20=1105元，

实际付款1105+150=1255(元)

答：第10个月该付55.5元，全部付清后实际共付额1255元。

例3、（疾病控制问题）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。

分析：设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。

略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列a n，a1=20,d1=50,11月n 日新感染者人数a n=50n—30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n,b1=50n-60,d2=—30，b n=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.

故共感染者人数为：

2

)

30)](57020(6050[2)305020(n n n n n -+-+-+

-+=8670，化简得：n 2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。 例4（住房问题）某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市每年人口

平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m 2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m 2？(精确到0.01)

解：1991年、1992年、……2000年住房面积总数成AP a 1 = 6×500 = 3000万m 2，d = 30万m 2，

a 10 = 3000 + 9×30 = 3270

1990年、1991年、……2000年人口数成GP

b 1 = 500 , q = 1% , 8.5460937.150001.15009

10≈⨯≈⨯=b

∴2000年底该城市人均住房面积为：

298.58

.5463270

m ≈ 点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。 例5 （浓度问题） 从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg 的容器中倒出1 kg 盐水，然后加入1 kg

水，以后每次都倒出1 kg 盐水，然后再加入1 kg 水， 问：1.第5次倒出的的1 kg 盐水中含盐多少g ？

2.经6次倒出后，一共倒出多少kg 盐？此时加1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n }，则：

a 1= 0.2 kg , a 2=

21×0.2 kg , a 3= (21)2×0.2 kg 由此可见：a n = (21)n -1×0.2 kg , a 5= (21)5-1×0.2= (2

1

)4×0.2=0.0125 kg

2.由1.得{a n }是等比数列 a 1=0.2 , q =2

1

kg q

q a S 39375.02

11)21

1(2.01)1(6616=--=

--=∴ 00625.039375.04.0=- 003125.0200625.0=÷

点评：掌握浓度问题中的数列知识。

例6．（减员增效问题）某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的

2

3

领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元， （1）求{}n a 的通项公式；