第24章圆第2课时 垂径定理-人教版九年级数学上册讲义(机构专用)
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
人教版九年级上册第24章圆专训2-垂径定理的四种应用技巧课件数学
解：如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H. ∵四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8，0)， ∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN. 又∵MN⊥CD， ∴CN＝DN＝ 1 CD＝4. 易知OA＝10，2∴MO＝MC＝5. 在Rt△MNC中， MN＝ CM2 CN 2 52 42 3 ∴CH＝3，又OH＝OM－MH＝5－4＝1. ∴点C的坐标为(1，3)．
本题运用了转化思想，将分散的线段转 化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股 定理求出线段的长度．
技巧 3 巧用垂径定理计算
3．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F， AO⊥BC，垂足为E，BC＝2 3 . (1)求AB的长； (2)求⊙O的半径．
解：(1)连接AC， ∵CD为⊙的直径，CD⊥AB， ∴AF＝BF， ∴AC＝BC.延长AO交⊙O于G， 则AG为⊙O的直径，又AO⊥BC， ∴BE＝CE， ∴AC＝AB. ∴AB＝BC＝2 3 .
(2)由(1)知AB＝BC＝AC， ∴△ABC为等边三角形， ∵AE⊥BC， ∴∠EAB＝∠CAE＝ 1 ∠CAB＝30°. 2 即∠OAF＝30°， 在Rt△OAF中，AF＝ 3 ， 易得OA＝2，即⊙O的半径为2.
技巧 4 巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)
4．某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的 水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有 一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱 桥吗？
技巧 2 巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)
人教版九年级上册数学课件：24.垂径垂径定理
O B
O ●C
垂径定理的应用：
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则
下列结论不正确的是（ C ）
A、A⌒C=A⌒D B、⌒BC=⌒BD
C、AM=OM D、CM=DM
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD
A
C M└
D
●O
⊥AB，垂足为M，OM=3，则
CD= 8 .
B
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10， AM=1，则⊙O的半径是 13 .
B
。圆的任意一条直径的两个端
O
点把圆分成两条弧,每一条
A
弧叫做半圆.
大于半圆的弧（用三个点表示，如：ACB 或 BCA ）， 叫做优弧；
小于半圆的弧叫做劣弧. 如: AB BC
3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆A， 半径相等的两个圆也是等圆；反过来， 同圆或等圆的半径相等。
B
M
●O
C
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
解这个方程,得R 545.
这段弯路的半径约为545m .
小结: 垂径定理
解决有关弦的问题，经常是
过圆心作弦的垂线，
A
或作垂直于弦的直径，
连结半径等辅助线，
B
.
O
构成直角三角形,为应用垂径定理创 造条件。
挑 战自我
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用 方程的思想来解决问题.
37.4m
7.2m
C
A
E
B
O
赵州石拱桥
解：如图，用 A表B 示桥拱，A所B在圆的圆心为O，半径为Rm，
过圆心O作弦AB的垂线OD，与 A相B 交于点C. CD就是拱高. 根据垂径定理得：AD=BD。
九年级数学上册垂经定理课件人教新课标版
活动二
（1）是轴对称图形．直径 CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 相等的线段：
相等的弧：
A
C
·O
E B
D
C
垂径定理： 垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
·O
E
A
B
推判论断：对错：
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧．
解决求赵州桥拱半径的问题
如图：用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O，半径为 R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交 于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是弧AB的中点， CD 就是拱高．
在图 AAD B? =13A7B.4?，1 C? 3D7 =. 4 7? .128 ，. 7 ,
中
2
2
OD=OC－CD=R－
在Rt△OAD7中.2，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B
即
R2=18.7 2+（R－7.2 ）2
R
R≈27．9（m）
O
∴ 赵州桥的主桥拱半径约为 27.9m.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形, 它的跨度( 弧所对的弦的长) 为37.4m, 拱高( 弧的中点到 弦的距离) 为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
可以发现实：践探究
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线 都是它的对称轴．
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 垂径定理解读及应用PPT
③：平分弦 ④：平分弦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对的劣弧 ⑤：平分弦所对优弧
②垂直弦 ④平分劣弧
D
②：垂直弦
可得
③：平分弦
④：平分弦所对的劣弧
可得
③：平分弦
......
被平分的被 弦有什么
特殊情况吗？
⑤平分优弧 .
①：过圆心
④：平分弦所对的劣弧 ⑤：平分弦所对优弧 ①：过圆心 ②：垂直弦
⑤：平分弦所对优弧
垂径定理的应用
例 如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则
EB ·O
●方法提炼：涉及圆中半径、弦长、圆心到弦距离的 计算时，常通过作半径，作垂线构造直角三角形， 利用垂径定理和勾股定理解决。
C
·O
AE
B
D
练 一 练 ： 如图，⊙O中AB是的一条弦，且AE=BE, CD ⊥AB于点E，
CE=16,AB=16.则⊙O 的半径是___1__0.
C
O
A
E ∟
B
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,
③
①②
并且平分弦所对的两条弧.
④⑤
C
A
●
B ①过圆心 （CD是直径） 可得
┗M
③ 平分弦（AM=BM）
●O
②垂直弦 CD⊥AB, ④平分劣弧A⌒C=B⌒C, ⑤平分优弧A⌒D=⌒BD.
D
知二推三
C
①：过圆心
可得
A
B
┗M
②：垂直弦
●O
①过圆心
可得
③ 平分弦（不是直径）
垂径定理
垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
②
①
③
④⑤
CD是直径（过圆心 ）
人教版九年级数学上册：24.1 圆(第二课时 )
24.1 圆（第二课时 ）------ 垂径定理知识点1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。
2、推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 。
【特别注意：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3、垂径定理常用作计算，在半径r 、弦a 、弦心d 、和拱高h 中已知两个可求另外两个】 一、选择题1.如图，在⊙O 中，OC⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，则OB 的长是（ ）2.如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）． A.2 B.3 C.4 D.53.在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ,AB =6cm ，CD =8cm ，则AB 和CD 的距离是（ ）． A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm 或1cm4.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（）．B （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）535.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．CB DBC．∠ACD=∠ADCD．OM=MD6．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3 B．4 C．D．7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．208、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 二、填空题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC ，垂足为D ，已知OD =5，则弦AC = ．2、如图AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点D 是弦AC 的中点，则∠DOC 的度数是 度．3、如图，M 是CD 的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为 ．4、如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为2，则弦AB 的长为 ．5、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O,A 两点，点A 的坐标为（6,0），P Θ的半径为13，则点P 的坐标为 ____________.6．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB ，垂足为E ，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为 ．7．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ．若0C=1，则半径OB 的长为 ．8.如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是 ．9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是 m.D10.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 cm ．三、解答题1．如图，AB 和CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ， E 、F 分别为弦AB 、CD 的中点， 证明：OE=OF 。
24.1.2 垂径定理 人教版九年级上册数学课件
r2
d2
a 2
2
O
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 5cm .
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°，则弦AC= 1_0__3 cm .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，
且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 _1_4_c_m或2cm .
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关 系？为什么？
解：AC＝BD.理由如下：
过点O作则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE，
A CED B
即 AC＝BD.
24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理及其推论
★垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
★推导格式
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE，A⌒C
=B⌒C，A⌒D
⌒ =BD.
·O
AE B D
垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转 化，形成整体，才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
同时，我们可以得到一条重要定理----垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直 于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动 点，那么OP长的取值范围 3cm≤OP ≤5cm.
初中数学人教九年级上册第二十四章圆垂径定理的应用PPT
过圆
∴ AB=2AE=16cm.
归纳：没半径，连半径；没垂直，作垂直。 得“王者”直角三角形，用勾股定理求弦长。
练1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
AB=6cm,求OE的长
AEB
O·
归纳：没半径，连半径；没垂直，作垂直。 得“王者”直角三角形，用勾股定理求弦长。
A C
D B
例3：如图，AB是圆O的直径，弦CD交AB于 点P，AP=2，BP=6，角APC=30度。求CD 的长
D
A C
PO
B
例4：如图是以点O为圆心的两个同心圆， 大圆的弦交小圆于C、D两点，求证： AC=BD
O
AC
DB
小结：本节课我们学习了垂径定理的应用，知道 了“没半径，连半径；没垂直，作垂直。得“王 者”直角三角形，用勾股定理求弦长。”
一、叙述垂径定理及推论
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条弧．条件是: 2.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 条件是:
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,求AB的长
AEB
解：连接OA，∵ OE⊥AB，OE
练2、如图，若⊙O的弦AB=8cm,点E是AB的中点
OE=3cm,求半径
AEB
O·
归纳：没半径，连半径；没垂直，作垂直。 得“王者”直角三角形，用勾股定理求弦长。
例2：如图AB是圆O的直径，AB垂直于CD 于E，CD=6，EB=1求圆O的半径
C
E
A
●
B
O
D
练习：如图是劣弧AB形成的弓形，已知AB=8 米，弓形高CD=2米，求弓形的半径
人教版九年级数学上册：24.1 圆(第二课时 )
24.1 圆（第二课时 ）------ 垂径定理知识点1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。
2、推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 。
【特别注意：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3、垂径定理常用作计算，在半径r 、弦a 、弦心d 、和拱高h 中已知两个可求另外两个】 一、选择题1.如图，在⊙O 中，OC⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，则OB 的长是（ ）2.如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）． A.2 B.3 C.4 D.53.在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ,AB =6cm ，CD =8cm ，则AB 和CD 的距离是（ ）． A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm 或1cm4.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（）．B （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）535.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．CB DBC．∠ACD=∠ADCD．OM=MD6．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3 B．4 C．D．7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．208、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 二、填空题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC ，垂足为D ，已知OD =5，则弦AC = ．2、如图AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点D 是弦AC 的中点，则∠DOC 的度数是 度．3、如图，M 是CD 的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为 ．4、如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为2，则弦AB 的长为 ．5、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O,A 两点，点A 的坐标为（6,0），P Θ的半径为13，则点P 的坐标为 ____________.6．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB ，垂足为E ，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为 ．7．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ．若0C=1，则半径OB 的长为 ．8.如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是 ．9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是 m.D10.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 cm ．三、解答题1．如图，AB 和CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ， E 、F 分别为弦AB 、CD 的中点， 证明：OE=OF 。
人教版数学九年级上册24.垂径定理课件
自学指点
认真学习课本p81—83练习上方完。 1.完成“探究”中的问题。 2.垂径定理的内容是什么？如何证明？
如何用几何语言表示？
3.垂径定理的推论是什么？如何证明？ 如何用几何语言表示？
4.注意例2的格式和步骤。 6分钟后，比一比谁能正确的做出检测题
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心
O
到A解 B的距 ： 离O为 E3AcmB，求⊙O的半径．
A E21A B2184 在 Rt△ AO 中
A
E
O·
B
O2AEO2E A2E
O AO2 E A2 E3 2 4 2 5c m
答：⊙O的半径为5 cm。
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
符号语言
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
3.辨析定理的应用条件：
下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?
O
O
O
(1)
(2)
(3)
O
O
(4)
(5)
(6)
检测二
C
（2）线段：AE=BE
弧： AC=BC
·O
把圆沿A着D直=径BCDD折叠时，CD两侧的两个半圆
E
重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC、AD A
B
分别与 B、C B重合。
D
D
2.垂径定理的内容是什么?画出合适题意的图形, 用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
人教版九级数学上册教学课件 2412 垂直于弦的 直径 ——垂径定理及其推论(共36张PPT)
8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB, 则AE=BE，CE=DE， ∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
综合应用
9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另 一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦 和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平 分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
推进新课
知识点1 圆的轴对称性
回顾
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重 合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
等腰三角形
圆
归纳
用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直径所在的直 线对折, 重复做几次, 你发现了什么? 由此你能得到什 么结论?
称图形呢？ 则AE=BE，CE=DE，
如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
C 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.
完成练习册本课时的习题.
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半
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人教版九年级数学上册讲义
第二十四章圆
第2课时垂径定理
教学目的1探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；
2能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关的实际问题．
教学重点能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关的实际问题．
教学内容
知识要点
1圆的轴对称性
性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．圆有无数条对称轴．
2垂直于弦的直径
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
3垂径定理的推论
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．拓展：如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个条件中的任意两个，那么它一定满足其余三个：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦；④直线平分弦所对的优弧；⑤直线平分弦所对的劣弧．
对应练习
1．半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是( )
A．3 B．4 C. 5 D.7
2．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6 cm，则AB的长为( ) A．4 cm B．3 2 cm
C．2 3 cm D．2 6 cm
3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝6 cm，则OE＝cm.
5．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为．
6．下列说法正确的是( )
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
7．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )
A．8 B．2 C．10 D．5
8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB＝5，截面圆圆心为O，当水面宽AB＝8时，水位高为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB 为( )
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
11．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为米．
课堂总结
作垂直于弦的半径或连接半径，构造直角三角形是利用垂径定理解题的常用方法．
课后练习
1．如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB＝120°，则弦AB的长为
2．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8 cm，AC ＝6 cm，那么⊙O的半径OA长为cm.
3．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为．
4．如图，AD 是⊙O 的直径，弦BC ⊥AD 于E ，AB ＝BC ＝12，则OC ＝ ．
5．如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，
请帮工程师求出AB ︵所在圆O 的半径r.
6．如图，⊙O 的直径为10 cm ，弦AB ＝8 cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．
7．已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图所示)．
(1)求证：AC ＝BD ；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.4 5 . 5 2
6. D
7. D
8. B
9. B
10.D
11.0.5
作业参考答案
1.4 3
2.5
3.4
4.43．
5.解：由题意知OA＝OE＝r. ∵EF＝1，∴OF＝r－1.
∵OE⊥AB，。