北师大版函数的单调性与极值1-1详细解析

北师大版§1 函数的单调性与极值课堂练习与习题详细解析

1.1导数与函数的单调性练习详解

1.求下列函数的单调区间： （1）y=2x ²-5x+4; （2）y=3x-x ²。 解析:利用函数求导法判断即可。

（1） y ’=4x-5,当y ’>0时，即4x-5>0时，x>5

4,函数递增；

当y ’<0时，即4x-5<0时，x<5

4,函数递减；

故函数y=2x ²-5x+4的单调递增区间为（5

4

,+∞），递减区间为（-∞，5

4

,）.

（2） 由y=3x-x ²得，y ’=3-2x,

当y ’>0时，即3-2x>0,x<1.5时，函数递增； 当y<0时，即3-2x<0,x>1.5时，函数递减； 故函数y=3x-x ²的单调递增区间为（-∞，1.5），递减区间为（1.5，+∞）。

2.讨论函数y=2x-sinx 在（0,2π）上的单调性. 解析：求导得，y ’=2-cosx,

当x ∈(0,2π)时，cosx ∈（-1,1），所以y ’=2-cosx>0,故函数在（0，2π）单调递增，

§1.2函数的极值P83

练习

1.求下列函数的极值：

（1）y=3x-x3；

（2）y=x4−8x3+18x²−1；

解析:（1）定义域为R，y’=3-3x²，

令3-3x²=0，得x=1或者-1，

画出导函数的图像如下:

当x=1时，f(x)的极小值f(1)=3-1=2.

(2)y’=4x3−24x2+36x=4x(x−3)²，定义域为R ,

令y’=0,得x=0,3,

画出导函数的图像如下:

X (-∞，0) 0 （0,3） 3 （3，+∞）

习题4-1 A 组

1.求下列函数的单调区间： （1）y =−x 3−2x 2-4x+5; （2）y=(x+1)(x ²-1)； （3）y =4x 2+1

x

（4）y=xlnx 解析：（1）y ′=−3x 2−4x −4=−(3x 2+4x +4),x ∈R ， Δ=16-48<0,开口向下，y ’<0,故函数在R 上单调递增； (2)y ’=(x ²-1)+(x+1)·2x=3x ²+2x-1=（3x-1）（x+1）, x ∈R ， 当y ’>0时，x>1

3,或者x<-1;当y ’<0时，-1

3;

故在（-∞，-1）和（1

3

,+∞）时，函数递增；在（-1，,1

3

）时，函数递减。

（3） y ’=8x −1

x 2=

8x 3−1x 2

，

当y ’>0时，8x 3−1>0,即x>12

; 当y ’<0时，x<1

2;

故函数的递增区间为（12

,+∞），递减区间为(-∞，1

2

)。

（4） y=xlnx,y ’=lnx+1,函数定义域（0，+∞）， 当y ’>0,lnx+1>0,lnx>-1,x>1

e ; 当y ’<0,0

e ;

故函数的递增区间为（1

e

，+∞），递减区间为（0，1

e

）。

2.讨论函数f(x)=x+1

x 的单调性。

解析：函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）， f ′(

x )=1−

1x 2

=x 2−1x 2

,

当f ’(x)>0时，即x ²-1>0,x>1或者x<-1; 当f ’(x)<0时，-1

3.讨论下列函数的单调性与极值： （1）y=6x ²-x-2; （2）y=2-x-x ²； （3）y=x 3−3x 2;

（4）y=2x 3+12x −5. 解析：（1）函数的定义域为R ，y ’=12x-1， 当y ’>0时，12x-1>0时，x>1

12; 当y ’<0时，x<1

12;

当y ’=0时，x=112

.

故函数在(-∞，112

)递减，（112

.+∞）递增，x=112

为函数的极小值点，极小值为f(112

)=-24

49

;

（2）函数的定义域为R ，y ’=-1-2x, 当y ’>0时，-1-2x>0时，x<-1

2;

当y ’<0时，x>-1

2

;

当y ’=0时，x=−1

2.

故函数在(-∞，−1

2)递增，（−1

2.+∞）递减，x=−1

2为函数的极大值点，极大值为f(−1

2)=9

4; （3）函数的定义域为R ，y ’=3x ²-6x=3x(x-2) 当y ’>0时，x>2或者x<0; 当y ’<0时，0

当y ’=0时，x=0,或者x=2,

故函数在(-∞，0),(2,+∞)递增，（0，2）递减，x=0为函数的极大值点，极大值为f(0)=0， X=2为函数的极小值点，极小值为f(2)=-4.

(4)函数的定义域为R ，y ’=6x ²+12>0, 故函数在R 上递增，无极值点。

4.下列函数中，随着自变量的变化，函数值是怎样变化的？ （1）s(t)=2t 3-5t ²；

（2）y=x+√2+x . 解析：（1）s ’(t)=6t ²-10t=2t(3t-5),

当s ’(t)>0时，t>5

3

或者t<0, 当s ’(t)<0时，0

3

,

故函数在(-∞，0)，（53

,+∞）递增，（0,5

3

）递减，图像如下：

（2）函数的定义域为（-2,+∞），y ’=1+22+x

>0,

故函数递增，图像如下：