北师大版函数的单调性与极值1-1详细解析
北师大版高中数学必修一《3函数的单调性和最值》新课件(69页)
答案：A
3. 函 数f(x)=—2x+1(x∈[ -2,2])的最小、最大值分别为( )
A.3,5 B.—3,5 C.1,5 D.—5,3
解析：因为f(x)=—2x+1(x∈ [-2,2])是单调递减函数，所以当 x=2 时，函数的最小值为一3.当x=—2 时，函数的最大值为5.
答案：B
4. 函数f(x)在[一2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、
综上，函
间(Vk, 十一)上为增函数.
在区间(0, √k )上为减函数，在区
状元随笔 此题中函数f(x)是一种特殊函数(对勾函数),用
定 义法证明时通常需要进行因式分解，由于x₁x₂-k(k>0) 与0的大
小 关系是不明确的，因此要分类讨论.
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
取值 设 x₁,x₂ 是该区间内的任意两个值，且x₁<x₂
A. (一一，0)U[0,1]B.(—1,0)U[0,1]
C.(0, 十 一 )
D.[0,1]
解析：函数f(x)=—x²+4mx 的图象开口向下，且以直线x=2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2, 解得m≤1,g(x)
的图象由
的图象向左平移一个单位长度得到的，若在
区间[2,4]上是减函数，则2m>0, 解得m>0.综上可得m 的取值范围
A.m>0
B.
C.—1<m<3
D.
解析：由题意知 答案：B
解得
状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数 的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所
有自变量都必须在函数的定义域内.
2.3函数的单调性和最值(第1课时函数的单调性)课件高一上学期数学北师大版
(-2), ≥ 2,
解 f(x)=x|x-2|=
(2-), < 2,
图象如图所示.
由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.
角度2利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
【例1-2】
解
2 2 -3
判断函数f(x)=
的单调性.
2.[探究点一·2024陕西咸阳高一期末]函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间
是( C )
A.(-∞,0)
B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0)和(2,+∞)
D.(2,+∞)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 -4, ≥ 0,
解析 由于 f(x)=(x-4)·|x|= 2
知识点2 增函数、减函数的定义
函数 增函数
条件
减函数
设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2)
结论 称函数y=f(x)是增函数
f(x1)>f(x2)
称函数y=f(x)是减函数
名师点睛
1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]
和[-1,1]上单调递减.
- 2 + 2 + 1, ≥ 0,
(2)y= 2
- -2 + 1, < 0,
-(-1)2 + 2, ≥ 0,
41函数的单调性与极值(第二课时)课件(北师大选修1-1)
3 3
y + 0
0+
3 3
,
y f (x) 极
极
大
小
根据上表 x1可 3知 3为函f(数 x)3x33x1的极大 值点 ,函数在该点的: f极 大 33值 1为 233;
x2
3为函f数 (x)3x33x1的极小 3
值点 ,函数在该点的:极 f 大 33值 1为 233;
函数的图像如下页图:
y
注：导数为0的点不一定是极值点．
用图表示如下:
x (a, x0)
x0
f (x)
0
y f(x)递增 极大 递减
值
x (a, x0)
x0
f (x)
0
y f(x)递减 极小 递增
值
y
( x0 , b)
O a x0 b x
y
( x0 , b)
O a x0 b x
例题讲解
例 2求函 f(x) 数 2x33x23x65的极 . 值
例 3求函 f(x)数 3x33x1的极 . 值
解:首先求出导,由函导数数公式表和则求可导得 : 法 f(x)9x2 3.
解方程 : f(x)0,得:x1
3, 3
x2
3. 3
根x1据 ,x2列出 ,分 下 f析 (x表 )的符 ,f(x)的 号单调
极值 . 点
x ,
41函数的单调性与极值第一课时课件北师大选修1-1
yห้องสมุดไป่ตู้
40 20
2
O
f(x)2x33x23x616
3 x
方法归纳
由导数来求函数的单调区间步骤: 1,先求出函数的导函数. 2,由导函数得到相应的不等式. 3,由不等式得相应的单调区间.
课堂练习
1,确定函数 f(x)x22x4在哪个区间内是增函数， 哪个区间内是减函数．
解： f(x)2x2 令 2x20，解得 x1，因此， 当 x(1, )时，f (x)是增函数；
41函数的单调性与极值第一课时课件北师大选修1-1
以上几个函,(1数 )(3)中 无论 x取定义域内的什都么有实
f(x)0,函数 y f(x)是递增;对 的函(数 2)(4),无论 x取定
义域内的什么实f(数 x)都0,函 有数 y f(x)是递减, 的
8
图像如: 下 8
8 6
y 2x
6
当x(2,3)时, f(x)0,因此 ,在这个区间内函 是递减 . 的 所,函 以y数 2x33x23x61的 6 递增 (区 , 2)间 和 (3, )递 ; 减区 (2,3间 ). 为
函数的单调性决定数了图函像的大致.形 因状 此,当 确定了函数的单调后区 ,再间通过描出一些特, 殊点 就可以画出一个函大数致的图.像 下图即为 f (x) 2x3 3x2 36x16的图像 .
再令 2x20，解得 x1，因此， 当 x( ,1)时，f (x)是减函数；
2,确定函数 f(x)x36x27在哪个区间内是增函数， 哪个区间内是减函数．
解：f(x)6x21x 2 令 6x21x 20，解得 x2或 x0， 因此，当 x( ,0)时，f (x)是增函数； 当 x(2, )时，f (x)是增函数； 再令 6x21x 20，解得 0x2， 因此，当 x(0,2)时，f (x)是减函数；
北师大版高中数学选修1-1课件1.1导数与函数的单调性
§1 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性
观察图 1 表示高台跳水运动员的高度 h随时 间变化的函数 h t 4.9t 6.5t 10的图像,
2
图 2 表示高台跳水运动员的速度v随时间t变 化的函数v t h
'
t 9.8t 6.5的图像.运动员
探究点2
y
利用导数讨论函数单调性
单调函数的图像特征
y
f ( x ) 0
o a b x o a b
f ( x ) 0
x
若 f(x) 在G上是增加的或减少的则G称为f(x)的单调
区间.
用单调性定义及函数图像讨论函数单调性虽然可行，
但比较麻烦，利用导数讨论函数单调性更方便.
思考：观察图中的函数y=f(x)的图像，对f′(2)， f′(3)，f(3)-f(2)与0的大小进行排序. 提示：f′(2)，f′(3)是x分别为 2，3时对应图像上点的切线斜率，
应地v（t）=
h(t ) >0.
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间 t的增加而减小，即h（t）在定义域上是减少的，相 应地v（t）=
h(t ) <0.
这种情况是否具有一般性呢？
1.正确理解利用导数判断函数单调性的原理.
2.会利用导数判断函数单调性，并求函数单调区间.
（重点）
3. 探索导数特征与函数性质之间的关系.（难点）
加的；
当x∈(-∞,0)时, f (x) 2x 0,
函数y=x2在区间(-∞,0)上是
o
1 1 -1
x
减少的.
思考：通过上面三个实例思考导函数的符号与函数的单 调性之间具有什么关系？ 提示：如果在某个区间内，函数y=f(x)的导数_______ f (x) 0 , 则在这个区间上，函数y=f(x)是_______; 增加的 个区间上，函数y=f(x)是_______. 减少的
第二章-§3-函数的单调性和最值高中数学必修第一册北师大版
1
是增函数.
知识点4 复合函数的单调性
例4-7 (2024·山东省高密市期中)已知函数 在定义域[0, +∞)上单调递减，则
[−, ]
[−, ]
1 − 2 的定义域是________，单调递减区间是________.
【解析】∵ 的定义域为[0, +∞),
∴ 1 − 2 ≥ 0,即 2 ≤ 1,故−1 ≤ ≤ 1.
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,
即 1 > 2 ,
∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.
同理可得，函数 =
综上可得，函数 =
+
+
+
+
> > 0 在 −∞, − 上单调递减.
方法帮|关键能力构建
题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解
例8 函数 =
+
+
−∞, − 和 −, +∞
> > 0 的单调递减区间为____________________.
【解析】（定义法） 由题意知函数 的定义域是(−∞, −) ∪ −, +∞
（［大前提］研究函数的单调性时，一定要坚持定义域优先原则）.
1 > 2 ,
又等价于ቊ
或ቊ
即ቊ
或
1 < 2
1 − 2 < 0
1 − 2 > 0,
ቊ
1 < 2 ,
北师大版高中数学必修1第2章3函数的单调性和最值(第一课时)课件
（瞬时变化率）
？
f ( x2 ) f ( x1 )
x2 x1
0
y
0
即：
x
（函数的平均变化率）
探索新知
基
本
初
等
函
数
函数
图像
yx
y x2
1
y
x
y2
增区间
R
0,
无
x
y log 1 x
2
R
无
增区间上
导数符号
+
+
+
减区间
减区间上
导数符号
无
-,0
- , 0
用导数求单调区间的方法：
例1 求出函数 f ( x) 2 x 3 x 36 x 16
画出函数的大致图象.
3
2
的单调区间，
解：函数 f ( x) 的定义域为 R
f '( x) 6 x 2 6 x 36 6( x 2)( x 3)
令 f '( x) 0 ，则 x 2 或 x 3 ，
−2 −
−3
f′(x)＝
＝
−2 2
−2 2
.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
单调性与导数的关系
数形结合
用导数求单调性
高二数学-1第四章 第1节 函数的单调性与极值北师大版选修知识精讲
高二数学－1第四章第1节函数的单调性与极值北师大版选修1【本讲教育信息】一、教学内容第四章第1节函数的单调性与极值二、教学目标1、理解可导函数的单调性与其导数的关系；2、理解并掌握极值的概念。
了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分必要条件。
3、能利用函数导数判断简单函数的单调性，会求简单的函数的单调区间和极值。
三、教学重、难点函数的单调性与其导数的关系的理解、极值的概念的理解是教学的重点，判断函数的单调性，求函数的极值是教学的难点。
四、知识要点分析：（一）函数的单调性与函数的导数的关系函数。
某个区间内，函数f （x ）的导数f '（x ）>0，则在这个区间上f （x ）单调递增。
某个区间内，函数f （x ）的导数f '（x ）<0，则在这个区间上f （x ）单调递减。
反之，某个区间内，函数f （x ）单调递增，则在这个区间上f （x ）的导数f '（x ）≥0； 某个区间内，函数f （x ）单调递减，则在这个区间上f （x ）的导数f '（x ）≤0 例如函数f （x ）=x 3，在R 上单调递增，其导函数在R 上，f '（x ）≥0.（二）求可导函数y=f （x ）的单调区间的步骤：（1）确定函数定义域（2）求f '（x ）并将f '（x ）通分或分解因式，将之化为乘积或商的形式。
（3）解不等式f '（x ）≥0（或f '（x ）≤0） （4）确认并写出单调区间（三）极值的定义：一般地，设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说 f （0x ）是函数)(x f y =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f （0x ）是函数)(x f y =的一个极小值。
极大值与极小值统称极值。
取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
《函数单调性北师大》PPT课件
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8
练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间, 并指明其单调性.
图（1）
图（2）
注意：单调区间不能求并集
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9
[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上是增加的 [-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上是减少的
1.3.1.1函数的单调性
y
0
精选课件ppt
x
1
【教材分析】
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数 的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理 论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数 大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中 对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利 用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我 们整个高中数学教学。
yB
A
1
0 x1 x2
1
Ay
B
1
x x1 x2 0 1 x
y
B A
1
1 0 x 1 x1 x2
1
精选课件ppt
5
思考交流
对于下图的函数,你能说出它的函数值y随自变 量x值的变化情况吗?
问题2：如何描述函数图像的上升和下降趋势？
图像上升：y随x的增大而增大 图像下降：y随x的增大而减少
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借助多媒体动态地展示图象的上升与下 降过程，完成从感性认识到理性思维的质 的飞跃．注重学生的参与意识，让学生从 问题中发现、归纳、总结，最终运用概 念．同时，潜移默化地渗透各种数学思想 方法．精选课件ppt Nhomakorabea4
高中数学第四章导数应用1函数的单调性与极值1.2函数的极值课件北师大版选修1-1
－1a，且极大值为ln－1a－1.
对于含参数函数的极值，若参数对函数的单调性(即导数的正负)有影响，需对参数分类 讨论．
3．已知函数f(x)＝x－2x＋a(2－ln x)(a>0)，求函数f(x)的单调区间与极值点． 解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋x22－ax＝x2－xa2x＋2. 设g(x)＝x2－ax＋2，对于二次方程g(x)＝0, 判别式Δ＝a2－8. ①当Δ＝a2－8<0，即0<a<2 2 时，对一切x>0都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上是 增函数，无极值点． ②当Δ＝a2－8＝0，即a＝2 2 时，仅对x＝ 2 有f′(x)＝0，对其余的x>0都有 f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上也是增函数，无极值点．
[解析] 由已知得f(x)的定义域为{x|x>0}， f′(x)＝2ax＋2x＝2axx2＋1. ①当a>0时，f′(x)>0， ∴y＝f(x)为(0，＋∞)上的增函数， 此时f(x)无极值．
②当a<0时， 令f′(x)＝0可得：2axx2＋1＝0， 即ax2＋1＝0， ∴x2＝－1a， ∴x＝ －1a或－ －1a. 又∵－ －1a∉(0，＋∞)， ∴x＝ －1a.
＝ 33时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为x＝ 33，无极大值点，选B. 答案：B
4．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的极大值为________，极小值为________． 解析：y′＝6x2－30x＋36，即y′＝6(x－2)(x－3)，令y′＝0，得x＝2或x＝3， 经判断极大值为f(2)＝4，极小值为f(3)＝3. 答案：4 3
2．在f(x0)存在时，f′(x0)＝0只是函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件，必须 再加上在x0左右两侧导数的符号相反，才能断定函数在x0处取得极值，反映在解题 上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的错误．
北师大版数学高二课件 函数的极值
12345
4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围
为( D )
A.－1＜a＜2
B.－3＜a＜6
C.a＜－1或a＞2
D.a＜－3或a＞6
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，
防范措施
解析答案
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12345
1.已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增
区间是( B )
A.(2,3)
B.(3，＋∞)
C.(2，＋∞)
D.(－∞，3)
解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，
且在x＝2处Βιβλιοθήκη 极值，∴f′(2)＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15，
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本课结束
解析答案
题型二 利用函数极值确定参数的取值范围(或值) 例2 已知函数f(x)＝6ln x－ax2－8x＋b(a，b为常数)，且x＝3为f(x)的一个 极值点. (1)求a的值； 解 ∵f′(x)＝6x－2ax－8， ∴f′(3)＝2－6a－8＝0，解得a＝－1.
解析答案
(2)求函数f(x)的单调区间； 解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 由(1)知f(x)＝6ln x＋x2－8x＋b. ∴f′(x)＝6x＋2x－8＝2x2－x4x＋3. 由f′(x)＞0可得x＞3或0＜x＜1， 由f′(x)＜0可得1＜x＜3(x＜0舍去). ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3).
解析答案
(3)若y＝f(x)的图像与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围.
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北师大版§1 函数的单调性与极值课堂练习与习题详细解析
1.1导数与函数的单调性练习详解
1.求下列函数的单调区间： （1）y=2x ²-5x+4; （2）y=3x-x ²。
解析:利用函数求导法判断即可。
（1） y ’=4x-5,当y ’>0时，即4x-5>0时，x>5
4,函数递增；
当y ’<0时，即4x-5<0时，x<5
4,函数递减；
故函数y=2x ²-5x+4的单调递增区间为（5
4
,+∞），递减区间为（-∞，5
4
,）.
（2） 由y=3x-x ²得，y ’=3-2x,
当y ’>0时，即3-2x>0,x<1.5时，函数递增； 当y<0时，即3-2x<0,x>1.5时，函数递减； 故函数y=3x-x ²的单调递增区间为（-∞，1.5），递减区间为（1.5，+∞）。
2.讨论函数y=2x-sinx 在（0,2π）上的单调性. 解析：求导得，y ’=2-cosx,
当x ∈(0,2π)时，cosx ∈（-1,1），所以y ’=2-cosx>0,故函数在（0，2π）单调递增，
§1.2函数的极值P83
练习
1.求下列函数的极值：
（1）y=3x-x3；
（2）y=x4−8x3+18x²−1；
解析:（1）定义域为R，y’=3-3x²，
令3-3x²=0，得x=1或者-1，
画出导函数的图像如下:
当x=1时，f(x)的极小值f(1)=3-1=2.
(2)y’=4x3−24x2+36x=4x(x−3)²，定义域为R ,
令y’=0,得x=0,3,
画出导函数的图像如下:
X (-∞，0) 0 （0,3） 3 （3，+∞）
习题4-1 A 组
1.求下列函数的单调区间： （1）y =−x 3−2x 2-4x+5; （2）y=(x+1)(x ²-1)； （3）y =4x 2+1
x
（4）y=xlnx 解析：（1）y ′=−3x 2−4x −4=−(3x 2+4x +4),x ∈R ， Δ=16-48<0,开口向下，y ’<0,故函数在R 上单调递增； (2)y ’=(x ²-1)+(x+1)·2x=3x ²+2x-1=（3x-1）（x+1）, x ∈R ， 当y ’>0时，x>1
3,或者x<-1;当y ’<0时，-1<x<1
3;
故在（-∞，-1）和（1
3
,+∞）时，函数递增；在（-1，,1
3
）时，函数递减。
（3） y ’=8x −1
x 2=
8x 3−1x 2
，
当y ’>0时，8x 3−1>0,即x>12
; 当y ’<0时，x<1
2;
故函数的递增区间为（12
,+∞），递减区间为(-∞，1
2
)。
（4） y=xlnx,y ’=lnx+1,函数定义域（0，+∞）， 当y ’>0,lnx+1>0,lnx>-1,x>1
e ; 当y ’<0,0<x<1
e ;
故函数的递增区间为（1
e
，+∞），递减区间为（0，1
e
）。
2.讨论函数f(x)=x+1
x 的单调性。
解析：函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）， f ′(
x )=1−
1x 2
=x 2−1x 2
,
当f ’(x)>0时，即x ²-1>0,x>1或者x<-1; 当f ’(x)<0时，-1<x<1,且x ≠0； 故当x ∈（-∞，-1），（1，+∞）时，函数递增； 当x ∈（-1,0），（0,1）时，函数递减。
3.讨论下列函数的单调性与极值： （1）y=6x ²-x-2; （2）y=2-x-x ²； （3）y=x 3−3x 2;
（4）y=2x 3+12x −5. 解析：（1）函数的定义域为R ，y ’=12x-1， 当y ’>0时，12x-1>0时，x>1
12; 当y ’<0时，x<1
12;
当y ’=0时，x=112
.
故函数在(-∞，112
)递减，（112
.+∞）递增，x=112
为函数的极小值点，极小值为f(112
)=-24
49
;
（2）函数的定义域为R ，y ’=-1-2x, 当y ’>0时，-1-2x>0时，x<-1
2;
当y ’<0时，x>-1
2
;
当y ’=0时，x=−1
2.
故函数在(-∞，−1
2)递增，（−1
2.+∞）递减，x=−1
2为函数的极大值点，极大值为f(−1
2)=9
4; （3）函数的定义域为R ，y ’=3x ²-6x=3x(x-2) 当y ’>0时，x>2或者x<0; 当y ’<0时，0<x<2;
当y ’=0时，x=0,或者x=2,
故函数在(-∞，0),(2,+∞)递增，（0，2）递减，x=0为函数的极大值点，极大值为f(0)=0， X=2为函数的极小值点，极小值为f(2)=-4.
(4)函数的定义域为R ，y ’=6x ²+12>0, 故函数在R 上递增，无极值点。
4.下列函数中，随着自变量的变化，函数值是怎样变化的？ （1）s(t)=2t 3-5t ²；
（2）y=x+√2+x . 解析：（1）s ’(t)=6t ²-10t=2t(3t-5),
当s ’(t)>0时，t>5
3
或者t<0, 当s ’(t)<0时，0<t<5
3
,
故函数在(-∞，0)，（53
,+∞）递增，（0,5
3
）递减，图像如下：
（2）函数的定义域为（-2,+∞），y ’=1+22+x
>0,
故函数递增，图像如下：
B组
已知数a1, a2, a3, a4,求x的值，使得函数f(x)=(x-a1)²+（x-a2)²+（x-a3)²+ （x-a4)²的值最小。
解析：f’(x)=2(x-a1)+2（x-a2)+2（x-a3)+ 2（x-a4)=8x-2(a1+a2+a3+a4),
(a1+a2+a3+a4)时，函数f’(x)>0,f(x)递增；
当x>1
4
(a1+a2+a3+a4)时，函数f’(x)<0,f(x)递减；
当x<1
4
(a1+a2+a3+a4)时，f(x)有最大值。
故当x=1
4。