分段函数的性质、图象以及应用 (1)
函数的概念及其表示(课时4 分段函数及其应用)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
[解析] 当 时， ，可排除 ，C.又当 时， ，排除D.故选B.
4.函数 的定义域为___________________，值域为________________.
探究1 分段函数求值
问题1：.集合 ， ， 中的有理数都对应 中的元素0，无理数都对应 中的元素1，这一对应是函数吗？
[答案] 各段定义域的并集即分段函数的定义域，各段值域的并集即分段函数的值域.
新知生成
1.分段函数的定义若函数 ， ，对于自变量 在 中不同的___________，有着不同的___________，则称这样的函数为分段函数.
取值范围
对应关系
2.分段函数的三要点
（1）分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数.分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围.
（1）设在 俱乐部租一块场地开展活动 小时的收费为 元，在 俱乐部租一块场地开展活动 小时的收费为 元，试求 与 的解析式.
（2）该企业选择哪家俱乐部比较划算，为什么？
[解析] （1）由题意知， ， ， （2）①当 时，令 ，解得 ，即当 时， ，当 时， ，当 时， .②当 时， .故当 时，选A俱乐部划算，当 时，两家俱乐部一样划算，当 ，选B俱乐部划算.
（2）一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.
（3）求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集.
新知运用
例1 已知函数 设 ，则 ( ).A. B. C. D.
A
[解析] ， ，故选A.
[答案] 能.
情境设置
问题2：.画出函数 的图象.
中考知识点分段函数
中考知识点分段函数一、定义域和值域分段函数的定义域和值域是由各个分段的定义域和值域确定的。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，其定义域为整个实数集，值域为 (-∞, +∞)。
二、分段函数的图像对于分段函数，要根据每个分段的函数表达式来绘制图像。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，在x<0时，图像是一条斜率为1的直线，过原点，并且在x=0处有一个开口向上的拐点。
三、分段函数的连续性分段函数在分段点处可能不连续，需要通过计算极限来确定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，分段点x=0处的左极限等于0，右极限等于0，与f(0)=0相符，因此该分段函数在x=0处连续。
四、分段函数的性质1. 分段函数的奇偶性由各个分段的奇偶性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是奇函数，第二段函数2x是偶函数，所以整个分段函数为奇函数。
2. 分段函数的单调性由各个分段的单调性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是递增函数，第二段函数2x也是递增函数，所以整个分段函数是递增函数。
3. 分段函数的最大值和最小值在每个分段函数的最大值和最小值中取得。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，在第一段函数中，最小值为3，最大值不存在；在第二段函数中，最小值不存在，最大值也不存在。
四、分段函数的应用1. 分段函数可以描述现实生活中的一些问题，如电话费计费等。
以电话费计费为例，某通信公司的计费标准为：前50分钟，每分钟0.5元；超过50分钟，每分钟0.3元。
假设通话时长为x分钟，对应的通话费用为函数f(x) = { 0.5x,x<=50 0.3(x-50)+25, x>50 }。
高中数学必修一(人教版)《3.1.2 第二课时 分段函数》课件
题型一 分段函数求值问题
【学透用活】
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(x)>2x，求 x 的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]， 知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋
a)，求 a 的值”的过程：
解：由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即 2－a＝－1－ 3a，∴a＝－32. 上述解题过程是否正确？请说明理由．
[解] 如图，过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC， 垂足分别是 G，H.
因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝ 2 2 cm，所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.
①当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解：(1)由题意得 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x， ＋1520≤ ，x2≤ 0＜20x， ≤30. (2)①当 12≤x≤20 时，令 6x＝90，解得 x＝15. 即当 12≤x＜15 时，f(x)＜g(x)；当 x＝15 时，f(x)＝g(x)；当 15＜x≤20 时，f(x) ＞g(x)． ②当 20＜x≤30 时，f(x)＞g(x)． 综上，当 12≤x＜15 时，选 A 俱乐部合算；当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算； 当 15＜x≤30 时，选 B 俱乐部合算．
3.1.2 第2课时 分段函数
第2课时 分段函数学习目标1．会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题．知识点一 分段函数(1)定义：像y ＝⎩⎨⎧－x ，x <0，x ，x ≥0这样的函数称为分段函数．(2)实质：函数f (x )，x ∈A ，自变量x 在A 中□1不同的取值范围内，有着不同的□2对应关系． 知识点二 分段函数的性质(1)定义域：各段自变量取值范围的□3并集，注意各段自变量取值范围的□4交集为空集，这是由函数定义中的唯一性决定的．(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的□5并集． (3)图象：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．[微练1] (多选题)下列给出的函数是分段函数的是( ) A ．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1B ．f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥4，x 2，x ≤4C ．f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1D ．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5解析：AD B 中的函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥4，x 2，x ≤4中，当x ＝4时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C 中的函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1中，当x ＝1时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A 、D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数．故选AD ．[微练2] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)＝( )A ．0B ．13C ．1D ．2解析：C ∵2＞1，∴f (2)＝2－1＝1.题型一 分段函数求值(范围)问题已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－3)，f (f (32))的值； (2)若f (a )＝2，求a 的值． [解] (1)因为－3<－1， 所以f (－3)＝－3＋2＝－1. 因为－1<32<2，所以f (32)＝2×32＝3. 又3>2，所以f (f (32))＝f (3)＝92.(2)当a ≤－1时，由f (a )＝2，得a ＋2＝2，a ＝0，舍去； 当－1<a <2时，由f (a )＝2，得2a ＝2，a ＝1； 当a ≥2时，由f (a )＝2， 得a 22＝2，a ＝2或a ＝－2(舍去)． 综上所述，a 的值为1或2. [发散思维]若本例函数f (x )不变，求满足f (x )>2x 的x 的取值范围． 解：当x ≤－1时，有x ＋2>2x .解得x <2，∴x ≤－1，当－1<x <2时，2x >2x ，x 无解， 当x ≥2时，x 22>2x .解得x >4， ∴x >4，综上，x 的取值范围为(－∞，－1]∪(4，＋∞)．1．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或不等式求范围的步骤(1)先将参数分情况代入解析式，列出方程(不等式)；(2)解方程(不等式)求参数的值(范围)，并检验是否符合参数的取值范围； (3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求．1．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f (－43)＋f (43)等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4解析：B ∵f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，∴f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，f (43)＝2×43＝83， ∴f (－43)＋f (43)＝43＋83＝4.2．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．(－∞，1]D ．(－∞，2]解析：C 当x ≥0时，x ×1＋x ≤2，解得0≤x ≤1；当x <0时，x ≤2，所以x <0.所以不等式xf (x )＋x ≤2的解集为(－∞，1]．故选C ．3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝9，则α＝________．解析：由题意得⎩⎨⎧α≤0，－α＝9或⎩⎨⎧α>0，α2＝9.∴α＝－9或α＝3. 答案：－9或3题型二 分段函数的图象及应用 角度1 分段函数的图象(1)(2023·许昌市高一六校联考)函数y ＝|x |x ＋x 的大致图象是( )(2)作出下列函数的图象： f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤－1，x 2－x －2，－1<x ≤2，x －2，x >2.(1)[解析] 法一：易得函数y ＝|x |x ＋x 的定义域为{x |x ≠0}，排除A ，B ； 当x ＝－1时，y ＝－2，选项D 中的图象不符合，排除D ．故选C ． 法二：函数y ＝|x |x ＋x 的定义域为{x |x ≠0}，依据绝对值的概念可得y ＝⎩⎨⎧1＋x ，x >0，－1＋x ，x <0，易知选项C 对应的图象正确． [答案] C(2)[解] 画出一次函数y ＝－x －1的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次函数y ＝x 2－x －2的图象，取(－1，2]上的一段；画出一次函数y ＝x －2的图象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．角度2 分段函数图象的应用(链接教材P 68例6)已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝x ，令φ(x )＝min{f (x )，g (x )}(即f (x )和g (x )中的较小者)．(1)分别用图象法和解析式表示φ(x )； (2)求函数φ(x )的定义域，值域．[解] (1)在同一个坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象如图①.由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x )的定义，可得函数φ(x )的图象如图②.令－x 2＋2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.结合图②，得出φ(x )的解析式为φ(x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2，x ≤－2，x ，－2<x <1，－x 2＋2，x ≥1.(2)由图②知，φ(x )的定义域为R ，φ(1)＝1， ∴φ(x )的值域为(－∞，1]．1．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．2．根据分段函数图象求解析式(1)首先从图象上看分段点及各段定义域．(2)其次看各段图象所代表的函数，用待定系数法求解析式，最后写成分段函数．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，x 2＋1，0<x ≤1，则函数f (x )的图象是( )答案：A5．已知函数f (x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．解：当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 将(－1，0)，(0，1)代入解析式， 则⎩⎨⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1. 当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx (k ≠0)， 将(1，－1)代入，则k ＝－1.∴f (x )＝－x . 即f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.题型三 分段函数在实际问题中的应用某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km 以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km 以上，每增加5 km ，票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算)． 如果某条线路的总里程为20 km ，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解] 设票价为y 元，里程为x km.由题意可知，自变量x 的取值范围是(0，20]．由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎨⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图．分段函数应用问题的两个关注点(1)应用情境日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数．(2)注意问题求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”，一定要分得合理．6．(2022·滨州高一检测)某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190 cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm)的函数关系式________．解析：设身高为x cm ，k (x )＝ax ＋b (a ＞0)，x ∈[160，190]， 由⎩⎨⎧160a ＋b ＝0，190a ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝130，b ＝－163.k (x )＝130x －163.故k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤160，130（x －160）， 160<x <190，1， x ≥190.答案：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤160，130（x －160）， 160<x <190，1， x ≥190特别提醒(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数，整体及各段符合函数的定义． (2)分段函数的定义域是各段自变量的并集，值域是各段值域的并集． (3)求解分段函数问题的原则是分段讨论．课时规范训练 A 基础巩固练1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x <2，f （x －1），x ≥2，则f (2)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：A f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.2．著名的Dirichlet 函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则D (D (x ))等于( )A ．0B ．1C ．⎩⎨⎧1，x 为无理数，0，x 为有理数D ．⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数解析：B ∵D (x )∈{0，1}，∴D (x )为有理数， ∴D (D (x ))＝1.3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )A B C D解析：B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D ．然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ．故选B ．4．设f (x )＝⎩⎨⎧－x －3（x ≤－1），x 2（－1<x <2），3x （x ≥2），若f (x )＝9，则x ＝()A ．－12B ．±3C ．－12或±3D ．－12或3解析：Df (x )＝⎩⎨⎧－x －3（x ≤－1），x 2（－1<x <2），3x （x ≥2），f (x )＝9，当x ≤－1时，－x －3＝9，解得x ＝－12；当－1<x <2时，x 2＝9，解得x ＝±3，不成立；当x ≥2时，3x ＝9，解得x ＝3，所以x ＝－12或x ＝3.故选D ．5.(多选题)函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x >0，x ＋1，x ≤0B ．f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x >0，x ＋1，x ≤0C ．f (x )＝－|x |＋1D ．f (x )＝|x ＋1|解析：AC 由题中图象知 当x ≤0时，f (x )＝x ＋1，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，故选AC ．6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋2，x <1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________．解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2，则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ，得a ＝43. 答案：437．某市出租汽车收费标准如下：在3 km 以内(含3 km)路程按起步价9元收费，超过3 km 的路程按2.4元/km 收费．收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式为________．解析：设路程为x km 时，收费额为y 元，则由题意得：当x ≤3时，y ＝9；当x >3时，按2.4元/km 所收费用为2.4×(x －3)，那么有y ＝9＋2.4×(x －3)．于是，收费额关于路程的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，9＋2.4×（x －3），x >3，即y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，2.4x ＋1.8，x >3.答案：y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，2.4x ＋1.8，x >38．函数f (x )的图象如图所示，求函数f (x )的解析式．解：当x <－1时，设f (x )＝ax ＋b ， 则⎩⎨⎧－a ＋b ＝1，－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝x ＋2；当－1≤x ≤2时，设f (x )＝kx 2， 由4＝k ·22得k ＝1，所以f (x )＝x 2； 当x >2时，设f (x )＝cx ＋d ，则⎩⎨⎧2c ＋d ＝4，3c ＋d ＝6，解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝0，所以f (x )＝2x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x <－1，x 2，－1≤x ≤2，2x ，x >2.B 能力进阶练9．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的图象大致是( )A B C D解析：C由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，0，x ＝0，x ，x <0，则f (x )＝x ，则f (x )的图象为C 中图象所示．10．(多选题)已知函数f (x )的图象由如图所示的两条线段组成，则( )A ．f (f (1))＝3B ．f (2)>f (0)C ．f (x )＝－x ＋1＋2|x －1|，x ∈[0，4]D ．∃a >0，不等式f (x )≤a 的解集为[12，2]解析：AC 因为f (1)＝0，f (0)＝3，所以f (f (1))＝3，A 正确；f (0)＝3，0<f (2)<3，所以f (2)<f (0)，B 错误；由题图得，当x ∈[0，1]时，设解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，图象经过(1，0)，(0，3)，所以⎩⎨⎧k 1＋b 1＝0，b 1＝3，解得⎩⎨⎧k 1＝－3，b 1＝3，所以y ＝3－3x ； x ∈[1，4]时，设解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，图象经过(1，0)，(4，3)，所以⎩⎨⎧k 2＋b 2＝0，4k 2＋b 2＝3，解得⎩⎨⎧k 2＝1，b 2＝－1，所以解析式为y ＝x －1；即f (x )＝－x ＋1＋2|x －1|，x ∈[0，4]，C 正确；由C 得f (2)＝2－1＝1，f (12)＝3－32＝32，如图，所以不存在大于零的a ，使得不等式f (x )≤a 的解集为[12，2]，故D 错误．11．(多选题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(－∞，4)C ．若f (x )＝3，则x 的值是 3D ．f (x )<1的解集为(－1，1)解析：BC 由题意知函数f (x )的定义域为(－∞，2)，故A 错误；当x ≤－1时，f (x )的取值范围是(－∞，1]．当－1<x <2时，f (x )的取值范围是[0，4)，因此f (x )的值域为(－∞，4)，故B 正确；当x ≤－1时，x ＋2＝3，解得x ＝1(舍去)，当－1<x <2时，x 2＝3，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)，故C 正确；当x ≤－1时，x ＋2<1，解得x <－1，当－1<x <2时，x 2<1，解得－1<x <1，因此f (x )<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D 错误．故选BC ．12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a )＝________． 解析：若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14，所以f (1a )＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f (1a )＝6.答案：613．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形.。
高考数学微专题4 分段函数(含有绝对值的函数)的图象与性质 课件
实数 m 的最小值为( )
27 A. 8
29 B. 8
13 C. 4
15 D. 4
【思路分析】 根据已知计算出 f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，画出
图象，计算 f(x)＝332，解得 x＝289，从而求出实数 m 的最小值．
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【解析】 由题意，得当 x∈[1,2)时，f(x)＝12×f(x－1)＝12(1－|2x－3|)； 当 x∈[2,3)时，f(x)＝12f(x－1)＝14(1－|2x－5|)；…，可得在区间[n，n＋1)(n ∈Z)上，f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，所以当 n≥4 时，f(x)≤332.作出函 数 y＝f(x)的图象，如图所示，当 x∈72，4时，由 f(x)＝18(1－|2x－7|)＝332， 解得 x＝289，则 m≥289，所以实数 m 的最小值为289.
【答案】 ABD
1234
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－x2＋2， x≤1， 3. (2022 浙江卷)已知函数 f(x)＝x＋1x－1， x>1，
则 ff12＝
________；若当 x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则 b－a 的最大值是________.
1234
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【解析】 f12＝－122＋2＝74，f74＝74＋47－1＝3278，所以 ff12＝3278.当 x≤1 时，由 1≤f(x)≤3，得 1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；当 x>1 时， 由 1≤f(x)≤3 可得 1≤x＋1x－1≤3，所以 1<x≤2＋ 3.综上，由 1≤f(x)≤3， 得－1≤x≤2＋ 3，所以[a，b]⊆[－1,2＋ 3]，所以 b－a 的最大值为 3＋
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专题2 分段函数
专题二│ 专题二│ 要点热点探究
【解答】 (1)由题意： 当 0≤x≤20 时 ，v(x)＝60；当 解答】 由题意： ≤ ≤ ＝ ； 由题意 200a＋b＝0， ห้องสมุดไป่ตู้ ＝ ， 20≤x≤200 时， v(x)＝ax＋b， ≤ ≤ 设 ＝ ＋ ， 再由已知得 20a＋b＝60， ＋ ＝ ， 1 ＝－ a＝－3， 解得 b＝200. ＝ 3 ， ≤ ， 60，0≤x<20， 故函数 v(x)的表达式为 v(x)＝1 的表达式为 ＝ － ) ≤ ≤ 3(200－x)，20≤x≤200.
专题二│ 专题二│ 要点热点探究
【解答】 解答】 ＋ ( ≤ ) x＋8(0<x≤4)， (1)因为 m＝4，所以 y＝ 24 因为 ＝ ， ＝ ) － x－2(x>4).
当 0<x≤4 时，x＋8≥4，显然符合题意； ≤ ＋ ≥ ，显然符合题意； 24 综上， 当 x>4 时， ≥4⇒4<x≤8.综上，0<x≤8. ⇒ ≤ 综上 ≤ x－2 － 所以自来水达到有效净化一共可持续 8 天．
专题二 │ 要点热点探究
【点评】 在处理分段函数的单调性时，易错在当每一段 点评】 在处理分段函数的单调性时， 函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增， 函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增，还需要 看分界点处的函数值的关系，如本题所给图象． 看分界点处的函数值的关系，如本题所给图象．
a . 2
专题二 │ 要点热点探究
(ii)当 1< 当 上大于 0， ， 所以
f(x)在区间1， 在区间 ， a a 上为减函数，在 上为减函数， 上为增函数， ，e上为增函数， 2 2 a 3a a a a <f(e)＝e2； 时，ymin＝ 2 －2ln2，且此时 f ＝ 2 2 a 2 <e， 2<a<2e 时，′(x)在1， f′ 在 ， 即 2 ， a a 上小于 0， ，e ， 在 2 2
分段函数及其图象
例 3．自 98 年 4 月 15 日起本市出租车调价, 桑塔纳车按如下标准收费:起步费 10 元,可行 驶 3 公里;超过 3 公里不超过 10 公里的部分, 单价为每公里 2 元;超过 10 公里的部分,单价 增收 50%。设乘客的车费为 Y 元，路程为 X 公里。
(1) 列出 Y 关于 X 的函数关系式。 (2) 作出函数图象。
的数学模型，从而提高解决问题的 能力。
1. 理解分段函数的基本概念 2. 掌握分段函数的函数表达式 3. 学会分段函数的实际应用,建立数学
模型，提高解决实际问题的能力。
(一） 分段函数的基本概念：
概念:
如果自变量在给定的不同取值范围内,函数是 由不同的关于自变量的对应关系式给出,这样的函 数称为分段函数。
分段函数的表达式必须用大括号集中 起来写！
某地区缴纳个人所得税的规定 是按工资薪金所得分级超额累进 税 率 计 算 ， 即 薪 金 500 元 （ 含 500元）以下部分按5％税率计算； 超过500元到2000元的部分按10 ％ 税 率 计 算 ； 超 过 2000 元 到 5000 元 的 部 分 按 15 ％ 税 率 计 算 。
教学目标:
例 1.
X3-X 画出 Y= X2-1的大致图象。来自 Y1-1 o 1
X
-1
例 2．
函数 f（X）=lgX2 1．求定义域 2．画图象
例 3.
x 函数 f（x）= x ，
g（x）=x2-2x-3 。 F（x）=f（x）*g（x） 画出 F（x）的图象。
Y
-1 1 3
X
归纳:分段函数中隐藏着
分类讨论的思想,它的重点是 合理划分定义域,然后在分段
的定义域上列出表达式。
专题2.1分段函数的性质、图象以及应用(讲) 2019年高考数学(文科)二轮复习含解析
热点一 分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题． 例 1【山东省枣庄第八中学2019届高三1月考前测试】已知函数（ ）A ．8B ．6C ．3D ．1 【答案】C 【解析】 由函数,可得，则，解得.所以.故选C.2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2.已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，化简得，因g x在上都是增函数.又，故选B.此()3 分段函数与方程已知函数值求自变量x或其它参数的值的问题，一般按自变量x的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.数形结合是解答此类问题的重要方法.例3【河北省衡水中学2019届高三上学期五调】已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.4 分段函数与不等式将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例4【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】已知函数若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B5 分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．讨论参数、数形结合是解答此类问题的重要方法.例5【2019年上海市普陀区高考一模】设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若则函数在区间上零点的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】由图可知：直线与在区间上的交点有8个，故选：D ．6 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的.例 6【2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）】已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时，，则不等式()0f x >的解集用区间表示为（ ）A. ()1,1-B.C.D.【答案】D【解析】f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （0）=0．设x ＜0，则-x ＞0，∵当x ＞0时，f （x ）=x 2-x ， ∴f （-x ）=x 2+x ，又f （-x ）=x 2+x=-f （x ），∴f （x ）=-x 2-x ，x ＜0．当x ＞0时，由f （x ）＞0得x 2-x ＞0，解得x ＞1或x ＜0（舍去），此时x ＞1． 当x=0时，f （0）＞0不成立．当x ＜0时，由f （x ）＞0得-x 2-x ＞0，解得-1＜x ＜0． 综上x ∈（-1，0）∪（1，+∞）． 故选D.7 分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例 7【2018届山西省太原十二中高三1月月考】已知8m n -<<，函数若()f x 的值域为[]1,3-，则n m -的最大值与最小值之积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间[)8,m -有最大值3，但无最小值，故函数的最小值1-只能在[],m n 取得，但是，因此[]1,m n ∈且12m ≤-，再根据()f x 的最大值为3，得到，所以n m -的最小值为32，最大值为4，它们的乘积为6. 例 8【2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，，则函数在区间3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，又，所以()f x。
函数及其表示三种表示方法与分段函数
WENKU DESIGN
经济领域中的应用
分段函数在经济领域中常用于描述成本、价格、收益等随数量变化的情况。例如 ，在分析企业的生产成本时，可以根据产量分段计算固定成本和变动成本，从而 更准确地预测总成本。
分段函数还可以用于描述税收政策、补贴政策等随收入或消费量变化的情况，帮 助政府制定更加合理的经济政策。
函数及其表示三种表 示方法与分段函数
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REPORTING
目录
• 函数及其表示方法 • 分段函数 • 函数及其表示三种表示方法与分段函数的应
用 • 分段函数的实际应用
PART 01
函数及其表示方法
REPORTING
WENKU DESIGN
解析法
01
02
图象法的应用
图象法
通过绘制函数的图像来表示函数，直观地展示函 数的形态和变化趋势。
优点
直观易懂，能够清晰地展示函数的形态和变化趋 势。
缺点
对于复杂函数，绘制图像可能比较困难，且无法 精确表示函数的数学关系。
表格法的应用
表格法
通过表格的形式来表示函数，列出函数在不同自变量下的函数值。
优点
简单明了，能够快速查看函数在不同自变量下的值。
03
定义
解析法是一种通过数学表 达式来表示函数的方法。
特点
解析法精确度高，可以表 示任意函数，但形式可能 较为复杂。
示例
$f(x) = x^2 + 2x + 1$ 表示一个二次函数。
图象法
定义
图象法是通过绘制函数的 图形来表示函数的方法。
特点
图象法直观易懂，可以观 察函数的形状、趋势和变 化规律，但精度有限。
分段函数-PPT课件
第三章 函数的概念与性质
(函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集． (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)＝x12，，x－>11或≤xx<≤－11，，则函数的定 义域为________，值域为________． 解析：由已知得定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝ R，又 x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]． 答案：R [0，1]
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
分段函数求值问题 已知函数 f(x)＝xx＋2＋12，x，x≤－－2<2x，<2，试求 f(－5)，
2x－1，x≥2. f(－ 3)，ff－52的值． 【解】 由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2，2)，－52∈(－∞， －2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
为
______________．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
分段函数的定义域、值域
(1)已知函数 f(x)＝|xx|，则其定义域为( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
－x2＋1，0<x<1，
(2)函数 f(x)＝0，x＝0，
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐 标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意 每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个 分段函数的图象． ■名师点拨 在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作 出其图象，再用实线保留其在该段定义区间内的相应图象即可， 即“分段作图”．
分段函数
函数 中 的取值 范 围时 ，要确 保做
赢 熹
的值 域是 （ ）
．
后ｇ － ￣ｆ （ ３ ） 的值代 入 函数ｌ ， （ ） 相应
的解析式中， 求 ３ ） ） ．分段 函数 ｙ ＝ ｔ 与 函数ｙ ） 的图象 自左 向右依 次 交 于 四个 不 同 点Ａ， 曰， Ｃ ， Ｄ ．若 Ａ Ｂ ＝ Ｂ Ｃ ． 则实数ｔ 的值为— 思索 — 一
号 ≤ ６ 觯
增 函数 ．则 实 数 ａ 的取 值 范 围 是
性， 偶 函数 的 图 象 关 于Ｙ 轴对称 ， 抛 物线 的图 象关于对称轴 对称 ， 从而 得 到点 Ｂ 的 坐标 ． 求出 的值 ．
围， 即可得厂 （ ） 的值域．
破解
…
由题 意 ：
思索
分段 函数单 调递增 ， 则
ｂ ＝ ２ ， ｃ 一１ ．Ａ， Ｂ两 点 关 于 ＝ 一 １ 对称 ， 所 以 ＋ Ｂ ＝ 一 ２； Ｂ， Ｃ两 点 关 于 Ｙ 轴 对 称， ＡＢ ＝ Ｂ Ｃ，所 以Ｘ Ｂ ＝ — Ｘ ＿ Ａ ＋ ＝ － Ｘ — ｃｘ ｓ ＋ ｘ ｃ ＝Ｏ，
，
ｆ
＋ ２ ， ∈（ 一 ∞， 一 １ ） ｕ（ ２ ， ＋ 。 。 ） ，
一
１ ． 分段函数 的定义域和值域
分 段 函数 的 定 义 域 为 每一 段 函数定义域的并集 ，在表示每一段
到 定 义 域不 重 不漏 ，即交 集 为 空 集 ，并集 为整个定义域．值域应 是
其 定 义域 内不 同子 集上 各 关 系 式 的值域 的并集．
倒１ 设函数ｇ （ ） ＝ ｚ 一 ２ （ ∈
是几个 函数 ．只不过在定义域 的不
（ ４ ） 画分 段 函数 图象 时一 定要
高数中常见的分段函数
高数中常见的分段函数分段函数是高等数学中非常常见且重要的一个概念。
它在很多实际问题中起着关键的作用。
本文将介绍分段函数的定义、性质、求导方法以及一些常见的应用例子，旨在帮助读者更好地理解和应用分段函数。
首先，什么是分段函数？分段函数是由两个或多个函数在不同的区间内给出的数学表达式。
换句话说，当自变量落在不同的区间时，函数的表达式也随之变化。
这种函数形式可以用于刻画实际问题中存在的多个不同情况或条件下的变化规律。
分段函数的定义如下：设有函数f(x)和非空有限个实数a1，a2，...，an。
则称f(x)在区间(a1，a2]上的定义为一个函数表达式g1(x)，在区间(a2，a3]上的定义为一个函数表达式g2(x)，...，在区间(an-1，an]上的定义为一个函数表达式gn(x)。
分段函数f(x)的定义可以表示为：f(x) = {g1(x)，a1<x≤a2{g2(x)，a2<x≤a3...{gn(x)，an-1<x≤an接下来，我们来探讨分段函数的性质。
首先，分段函数是一个连续函数。
在每个定义区间内，分段函数都是一个连续函数。
其次，分段函数的导数也是一个分段函数。
在每个定义区间内，分段函数的导数都可能存在不连续点。
注意，分段函数在定义区间的端点处可能出现间断点，需要特别关注。
求导是一个重要的数学工具，对于分段函数也不例外。
我们可以按照分段函数的定义域进行求导。
对每个定义区间内的函数表达式分别求导，然后再考虑定义区间的端点。
需要注意的是，对于定义区间的端点处的连续性，一定要使用左导数和右导数进行讨论。
最后，我们来看几个常见的应用例子，以帮助读者更好地理解分段函数的用途。
例子一：某公司的工资表如下：月工资在2000元及以下的职员薪资按月计算，2000元至4000元的按周计算，高于4000元的按天计算。
设计一个分段函数来计算职员的薪资。
例子二：某商品的商业折扣根据购买的数量有所不同，购买1-50件商品不打折，购买51-100件商品打8折，购买101件以上的商品打7折。
分段函数在生活中的应用 (1)
分段函数在生活中的应用安徽省马鞍山市学大教育培训学校花良平分段函数在生活中的应用既能很好地考查学生对一些基本函数、基础知识的掌握情况, 又能考查学生灵活运用知识解决实际问题的能力, 同时又能考查学生是否能运用运动与静止、变化与不变、特殊与一般的辩证思想. 解答这类问题的关键是要紧扣题设条件( 分段函数) , 根据自变量的不同取值范围, 实施分类解答, 做到不重不漏, 分层讨论求解.一、生活中的用水用电问题例1 为了鼓励节能降耗, 某市规定如下用电收费标准: 每户每月的用电量不超过120 度时, 电价为a 元/ 度; 超过120 度时, 不超过部分仍为a元/ 度, 超过部分为b元/ 度. 已知某用户五月份用电115 度, 交电费69 元, 六月份用电140 度, 交电费94 元.(1)求a , b 的值;(2)设该用户每月用电量为x ( 度) , 应付电费为y ( 元) .①分别求出0 ≤x ≤120 和x > 120 时, y与x 之间的函数关系式;②若该用户计划七月份所付电费不超过83 元, 问该用户七月份最多可用电多少度?( 2007 年福建省三明市)解: ( 1) 根据题意, 得115 a = 69 ,120 a + 20 b = 94 .a = 0 . 6解这个方程组, 得b = 1 . 1 .(2) ①当0 ≤x ≤120 时, y = 0 . 6 x .当x > 120 时, y = 120 ×0 . 6 + 1 . 1 ( x2120) ,即y = 1 . 1 x260 .②∵83 > 120 ×0 . 6 = 72 , ∴y 与x 之间的函数关系式为y = 1 . 1 x260 .由题意, 得1 . 1 x260 ≤83 , x ≤130 .∴该用户七月份最多可用电130 度.二、生活中的通讯网络问题例2 某电信部门为了鼓励固定电话消费,推出新的优惠套餐:月租每10 元;每月拔打市内电话在120 分钟内时, 每分钟收费0 . 2 元, 超过120 分钟的每分钟收费0 . 1 元; 不足1 分钟时按1 分钟计费. 则某用户一个月的市内电话费用y ( 元) 与拔打时间t ( 分钟) 的函数关系用图象表示正确的是( )解: ∵固定电话需月租费10 元, ∴排除 A , 又∵每月拔打市内电话在120 分钟内时, 每分钟收费0 . 2 元, 则可排除C ,再根据: 在120 分钟内时, 每分钟收费0 . 2 元, 超过120 分钟的每分钟收费0 . 1 元, 也可排除D , ∴本题应选B .三、生活中的医疗保险问题例3 为了增强农民抵御大病风险的能力, 政府积极推行农村医疗保险制度. 我市某县根据本地的实际情况, 制定了纳入医疗保险的农民住院医疗费用的报销规定: 享受医保的农民可在定点医院住院治疗, 由患者先垫付医疗费用, 住院治疗结束后凭发票到县医保中心报销.住院医疗费用的报销比例标准如下表:(1)设某位享受医保的农民在一次住院治疗中的医疗费用为x 元( x > 100) , 按规定报销的医疗费用为y 元, 试写出y 与x 的函数关系式;(2)若该农民在这次住院治疗中的医疗费用为1000 元, 则他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为多少元. ( 2007 年邵阳市)解: ( 1) y = ( x-100) ×60 % = 0 . 6 x-60 ( x> 100)(2) 当x = 1000 元时, y = 0 . 6 ×1000 260 =600 260 = 540 ( 元)1000 2540 = 460 ( 元)答: 他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为540 元和460 元.四、生活中的义务纳税问题例4 新《个人所得税》规定, 公民全月工薪不超1600 元的部分不必纳税, 超过1600 元的部分为全月应纳税所得税额, 此项税款按下表分段累进计算:1600 < x < 2100,范围内?解( 1) ( 1800 21600) ×5 % = 200 ×5 % =10 ( 元)(2) y = ( x21600) ×5 % = 0 . 05 x280 ( 1600< x < 2100)(3) 160 ≤500 ×0 . 05 + ( x22100) ×10 % ≤1753450 ≤x ≤3600答: ( 1) 他应缴纳税金为10 元.(2)y 与x 的函数关系式为y = 0 . 05 x -80 (1600 < x < 2100)(3)费先生该月的工薪在不少于3450 元,也不多于3600 元范围之内.五、生活中的营销盈利问题例5 化工商店销售某种新型化工原料, 其市场指导价是每千克160 元( 化工商店的售价还可以在市场指导价的基础上进行浮动) , 这种原料的进货价是市场指导价的75 %.(1) 为了扩大销售量, 化工商店决定适当调整价格, 调整后的价格按八折销售, 仍可获得实际售价的20 % 的利润. 求化工商店调整价格后的标价是多少元?打折后的实际售价是多少元?(2) 化工商店为了解这种原料的月销售量y ( 千克) 与实际售价x ( 元/ 千克) 之间的关系, 每个月调整一次实际售价, 试销一段时间后, 部门负责人把试销情况列成下表:①请你在所给的平面直角坐标系中, 以实际售价x ( 元/ 千克) 为横坐标, 月销售量y ( 千克) 为纵坐标描出各点, 观察这些点的发展趋势, 猜想y 与x 之间可能存在怎样的函数关系;②请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y 与x 之间的函数表达式, 并验证你在①中的猜想;③若化工商店某月按同一实际售价共卖出这种原料450 千克, 请你求出化工商店这个月销售这种原料的利润是多少元? ( 2007 年沈阳市)解: ( 1) 依题意, 每千克原料的进货价为160 ×75 % = 120 ( 元)设化工商店调整价格后的标价为x 元, 则0 . 8 x2120 = 0 . 8 x ×20 % 解得x = 187 . 5187 . 5 ×0 . 8 = 150 ( 元)∴调整价格后的标价是187 . 5 元, 打折后的实际售价是150 元.(2) ①描点画图, 观察图象, 可知这些点的发展趋势近似是一条直线, 所以猜想y 与x 之间存在着一次函数关系.图 4②根据①中的猜想, 设y 与x 之间的函数表达式为y = kx + b, 将点( 150 ,500) 和( 160 ,480) 代入表达式,得500 = 150 k + b解得480 = 160 k + bk = 22b = 800 .∴y 与x 的函数表达式为y = 22 x + 800 .将点( 168 ,464) 和( 180 ,440) 代入y = 22 x + 800 均成立, 即这些点都符合y = 22 x + 800 的发展趋势∴①中猜想y 与x 之间存在着一次函数关系是正确的.③设化工商店这个月销售这种原料的利润为w 元, 当y = 450 时, x = 175∴w = (175 2120) ×450 = 24750 ( 元)答:化工商店这个月销售这种原料的利润为24750 元.六、生活中的出租车收费问题例6 在市区内, 我市乘坐出租车的价格y(元) 与路程x ( km) 的函数关系图象如图5 所示.图 5(1)请你根据图象写出两条信息;(2)小明从学校出发乘坐出租车回家用了13 元, 求学校离小明家的路程.解: ( 1) 在0 到2km 内都是5 元;2km 后, 每增加0 . 625km 加 1 元. ( 答案不唯一)(2) 设射线的表达式为y = kx + b. 依题设装运A 种脐橙的车辆数为x , 装运B 种脐橙的车辆数为y , 求y 与x 之间的函数关系式;(1)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4 辆, 那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案;(2)若要使此次销售获利最大, 应采用哪种安排方案? 并求出最大利润的值. ( 2007 年重庆市)解: ( 1) 根据题意, 装运A 种脐橙的车辆数为x , 装运 B 种脐橙的车辆数为y , 那么装运C种脐橙的车辆数为( 20 2x2y ) , 则有:6 x + 5 y + 4 ( 20 2x2y ) = 100整理得: y = 22 x + 20(2) 由( 1) 知, 装运A 、B 、C 三种脐橙的车辆数分别为x 、22 x + 20 、x , 由题意得:, 解得: 4 ≤x ≤8 .x ≥422 x + 20 ≥4因为x 为整数, 所以x 的值为4 、5 、6 、7 、8 , 所以安排方案共有5 种.方案一: 装运A 种脐橙4 车, B 种脐橙12车, C 种脐橙4 车;方案二: 装运A 种脐橙5 车, B 种脐橙10车, C 种脐橙5 车;方案三: 装运A 种脐橙6 车, B 种脐橙8 车,C 种脐橙6 车;方案四: 装运A 种脐橙7 车, B 种脐橙6 车,C 种脐橙7 车;方案五: 装运A 种脐橙8 车, B 种脐橙4 车,5 = 2 k + b ,意, 得解得: k = 8 , b = 9 .C 种脐橙8 车;6 = 2 . 625 k + b.得y = 8 x + 9 .5 5 (3) 设利润为W ( 百元) 则:W = 6 x ×12 + 5 ( 22 x + 20) ×16 + 4 x ×105 5= 248 x + 1600将y = 13 代入上式, 得x = 7 .所以小明家离学校7km.七、生活中最优化问题例7 我市某镇组织20 辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100 吨到外地销售. 按计划,20 辆汽车都要装运, 每辆汽车只能装运同一种脐橙, 且必须装满. 根据下表提供的信息, 解答以下问题:∵k = 248 < 0 ∴W 的值随x 的增大而减小, 要使利润W 最大, 则x = 4 , 故选方案一W 最大= 248 ×4 + 1600 = 1408 ( 百元)= 14 . 08 ( 万元)答: 当装运A 种脐橙4 车, B 种脐橙12 车, C种脐橙4 车时,获利最大,最大利润为14. 08 万元.。
考点04 分段函数(解析版)
考点4 分段函数以及应用一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值1.1考题展示与解读例1.（2017山东文9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 1.2【典型考题变式】1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =（ ）A.165 B. 2 C.6 D.217【答案】B【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,故选B.2. 【变式2：改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）B.41 B. 45 C. 41或45D. 2【答案】C【解析】由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=<<2110a a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-≥21)1(21a a ，解得14a =或45=a ，故选C【变式3：改编问法】已知f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=（ ）A ．B ．C ．1D ．﹣1【答案】C ．【解析】∵f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=﹣f （）=﹣f （）=﹣log 2=1，故选C ．【变式4：函数迭代】已知a ∈R ，函数()24,2,3, 2.x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a = ． 【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值．【解析】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2． 2.分段函数的最值与值域2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =-是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】 【变式1：改编条件】设函数的最小值是1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，4]B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，5]D ．[5，+∞） 【答案】B【解析】由题知，当x ＜1时，f （x ）=x 2﹣4x+a=（x ﹣2）2+a ﹣4，且为减函数，可得f （x ）＞f （1）=a ﹣3，由x≥1时，f （x ）递增，可得f （x ）的最小值为f （1）=1，由题意可得a ﹣3≥1，即a≥4，故选B ．【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩，讨论)(x f 的值域.【答案】当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【解析】如图作出函数3()3h x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33h x x =-，知1x =-是函数()h x 的极大值点，1=x 是函数()h x 的极小值点，当1-<a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为)2(33a a a --- =0)1)(1(<-+a a a ，所以a a a 233-<-，所以函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]2,(-∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为22≤-a ，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为a a a 323-<-，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞；综上所述，当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，1] B ．[，] C ．[，] D ．[，2] 【答案】B【解析】当x ∈[0，]时，y=﹣x ，值域是[0，]；x ∈（，1]时，y=，y′=＞0恒成立，故为增函数，值域为（，1]．则x ∈[0，1]时，f （x ）的值域为[0，1]，当x ∈[0，1]时，g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），为增函数，值域是[2﹣2a ，2﹣]，∵存在x 1、x 2∈[0，1]使得f （x 1）=g （x 2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]≠∅，若[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]=∅，则2﹣2a ＞1或2﹣＜0，即a ＜，或a ＞．∴a 的取值范围是[，]，故选B ．3.分段函数的解析式3.1考题展示与解读例3．（2021年高考天津卷9）设a ∈R ，函数()()()22cos 22,,215,x a x a f x x a x a x aπ-π<⎧⎪=⎨-+++≥⎪⎩，若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．7511,2,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．711,2,344⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想，是难题. 【答案】A【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a π-π=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出． 【解析】()222150x a x a -+++=最多有2个根，()cos 220x a ∴π-π=至少有4个根，由22,2x a k k ππ-π=+π∈Z 可得1,24k x a k =++∈Z ，由1024k a a <++<可得11222a k --<<-． （1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤；当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤．（2）当x a ≥时，()()22215f x x a x a =-+++，()()()22Δ414582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点；当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点； 当2a >时，令()()22215250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点；∴若52a >时，()f x 有1个零点．综上，要使()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况． 【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，利用数形结合思想求解. 3.2【典型考题变式】【变式1：改变条件】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.【变式2：改编条件】已知函数f（x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【答案】D【解答】函数f（x）=，可得f（1﹣x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）=kx﹣k+有三个不同的实根，作出y=f（1﹣x）和y=kx﹣k+的图象，当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x≤1）相切于原点时，即k=时，两图象恰有三个交点；当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k=2（m﹣2），且km﹣k+=（m﹣2）2，解得m=1+，k=﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选D．【变式3：改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解，则b 的取值范围是( ) （A ）()72,{}4+∞⋃ （B ）()2,+∞ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()(2)0f x f x b +--=有2个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知2b >或47=b ，故选.A.【变式4：改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =x x 42-，则方程2)(-=x x f 解的个数为 . 【答案】3【解析】当0<x 时，0>-x ，所以x x x f 4)()(2+-=-，因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-=x x 42+，所以x x x f 4)(2--=，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=0,404)(22x x x x x x x f ，，所以2)()(+-=x x f x g =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+--0,250,2522x x x x x x ，由)(x g y =的图象知，)(x g y =有3个零点，所以方程2)(-=x x f 解的个数为3.4.分段函数图像4.1考题展示与解读例4．（2021高考上海卷14）已知参数方程[]334,1,12x t t t y ⎧=-⎪∈-⎨=⎪⎩，下列选项的图中，符合该方程的是 （ ）【答案】B【解析】当0,0,0,t x y ===∴过原点，排除A ；当1t =时1,0x y =-=，排除C 和D ；当31230,340,0,,22x t t t t t =-===-=时，1230,,22y y y ==-=，故选B ． 4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0）B ．[0，+∞）C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数函数零点问题，是难题. 【答案】C【解析】由g （x ）=0得f （x ）=﹣x ﹣a ，作出函数f （x ）和y =﹣x ﹣a 的图象如图，当直线y =﹣x ﹣a 的截距﹣a ≤1，即a ≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g （x ）存在2个零点，故实数a 的取值范围是[﹣1，+∞），故选C ．【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.【变式2：改编条件】已知函数()22,0,{ ,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞ C. [)()1,04,-⋃+∞ D. [)[)1,04,-⋃+∞【答案】C【解析】()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，等价于()y f x =与()1y k x =-有两个交点，同一坐标系，画出()y f x =与()1y k x =-的图象，直线过()0,1时， 1k =-，直线与()20y xx =≥，相切时4k =，由图知， [)()1,04,k ∈-⋃+∞时，两图象有两交点，即k 的取值范围是[)()1,04,-⋃+∞，故选C.【变式3：改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数||)(x x f y -=零点个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】函数||)(x x f y -=零点个数，即为方程||)(x x f =解得个数，即为函数)(x f y =与函数||x y =交点个数，画出函数()f x 的图象与函数||x y =，由图像知，函数)(x f y =与函数||x y =交点个数0， 所以函数||)(x x f y -=零点个数为0，故选A.【变式4：改编问法】已知函数，则函数f (x )的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数，当x ＜0时，函数是二次函数，开口向下，对称轴为x=﹣1，排除选项B ，C ；当x≥0时，是指数函数向下平移1单位，排除选项A ，故选D ．5.分段函数性质5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题，考查数形结合思想、运算求解能力，是中档题. 【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知43020131a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得1334a ≤≤，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C.【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，] B ．[，+∞）C ．[，]D ．（，）【答案】C【解析】由于函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，2a≥e ﹣a ，解得a≥．排除A ，D ，当a=2时，x=1可得e x ﹣2x 2=e ﹣2；2a+lnx=4＞e ﹣2，显然不成立，排除B ，故选C ．【变式2：改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】二次函数243x x -+的对称轴是2x =，所以该函数在(],0-∞上单调递减； 2433x x ∴-+≥，同样可知函数223x x --+， 2233x x ∴--+<，在()0,+∞上单调递减， ()f x ∴在R 上单调递减，；，所以由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a < , 2x a ∴<在[],1a a +上恒成立，()21;2a a a ∴+<∴<-，所以实数a 的取值范围是(),2-∞-，故选A.【变式3：改编问法】已知函数则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）不是周期函数B ．f （x ）在上是增函数C ．f （x ）的值域为[﹣1，+∞）D ．f （x ）的图象上存在不同的两点关于原点对称 【答案】D 【解析】函数的图象如图所示，则f （x ）不为周期函数，A 正确；f （x ）在[﹣，+∞）递增，B 正确；f （x ）的最小值为﹣1，无最大值，则C 正确；由于x ＜0时，f （x ）=sinx ，与原点对称的函数为y=sinx （x ＞0），而sinx=x 在x ＞0无交点，则D 不正确，故选D ．6.分段函数的综合应用6.1考题展示与解读例2【2018全国卷Ⅰ】设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想，是中档题. 【答案】D【解析】当0x ≤时，函数()2xf x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，则不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ）的解集是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】函数f （x ）=，可得x≥0，f （x ）递增；x ＜0时，f （x ）递增；且x=0时函数连续，则f （x ）在R 上递增，不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ），可化为x+2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故选C ．【变式2：改编结论】．已知函数(),0{2,lnx x e f x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A. ()2,e eB. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】作出)(x f 的图像，不妨设c b a <<，由图知，201a b e c e <<<<<<,由题知，|ln ||ln |b a =，即b a ln ln =-，所以0)ln(ln ln ==+ab b a ，所以ab =1,则c abc =),(2e e ∈,故选A.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数y=f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为（ ） A ．[4，5） B ．（4，5] C ．[4，+∞） D ．（﹣∞，4]【答案】A【解析】当x ＞0时，f （x ）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减，由f（x ）=e，x≤0，当x ＜﹣1时，f （x ）递减；﹣1＜x ＜0时，f （x ）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f （x ）的图象，以及直线y=a ，可得e=e=x 3+﹣3=x 4+﹣3，即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=﹣2﹣x 2，﹣1＜x 2≤0，x 3﹣x 4=﹣=，可得x 3x 4=4，x 1x 2+x 3x 4=4﹣2x 2﹣x 22=﹣（x 2+1）2+5，在﹣1＜x 2≤0递减，可得所求范围为[4，5），故选A ．三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题：已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象，并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时，0>-x ，所以)1()(x x x f --=-， 因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数， 所以)1()()(x x x f x f --=-=-， 所以)1()(x x x f -=， 所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，函数图象如下图所示：四．典例高考试题演练一、单选题1．（2021·四川成都零模（文））已知函数2log (2),1()e ,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则(2)(ln 4)f f -+=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【分析】分别求出()2f -和()ln 4f 的值再求它们的和，从而可得正确的选项. 【详解】()22log 42f -==，()ln4ln 44f e ==，故(2)(ln 4)6f f -+=，故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算，本题属于基础题.2．（2021·四川射洪模拟（理））定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[2]2=.当*[))0,(x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ，则2020211i i a =-∑的值为（ ） A ．40402021B ．20192021C ．20192020D ．20191010【答案】D【分析】先根据条件分析出当[)0,x n ∈时，集合n A 中的元素个数为222n n n a -+=，进而可得111211n a n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再结合裂项相消法进行求和可得结果. 【详解】因为[][)[)[)[)0,0,11,1,22,2,3......1,1,x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[][)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,3......1,1,x x x x x x x n x x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[]x x 在各个区间中的元素个数分别为：1,1,2,3,4,......,1n -，所以当[)*0,,x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A ，集合n A 中元素个数为：()()2121123 (1122)n n n n n a n --+=+++++-=+=，所以()1112211n n a n n ⎛⎫=-≥ ⎪--⎝⎭， 所以2020211111112019212...22112232019202020201010i ia =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故选：D. 3．（2021·山东高三其他模拟）已知函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1a ∈B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】C 【分析】 将条件()()12120f x f x x x -<-等价于函数函数()f x 为定义域上的单调减函数，由分段函数的单调性要求，结合指数函数、一次函数的单调性得到关于a 的不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩为R 上的减函数，可得0120,123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩解得304a <≤，故选:C.4．（2021·江苏南京模拟（理））我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈.定义：(),00,0N n W N N n ≥⎧⎨<⎩的整数部分的位数＝的非有效数字的个数，如()()()2211.2103,(1.2310)2,3102, 3.001101W W W W --⨯=⨯=⨯=⨯=，则下列说法错误的是（ ）A ．当1,1M N >>时，()()()W M N W M W N ⋅=+B ．当0n <时，()W N n =-C ．当0,()1n W N n >=+D ．若1002,lg 20.301N ≈＝，则()31W N = 【答案】A【分析】A ．理解()W N 的含义，举例分析即可；B ．根据0n <分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；C ．根据0n >分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；D ．先将N 化为10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈的形式，然后计算出()W N 的值.【详解】当[)0,100N ∈时，N 的整数部分位数为2，当[)100,1000N ∈，N 的整数部分位数为3，一般地，)()110,100,1,2,3,4,......n n N n +⎡∈=⎣时，N 的整数部分位数为1n +； 当[)0.1,1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为1，当[)0.01,0.1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为2，一般地，)()110,101,2,3,4,5,......n n N n +⎡∈=-----⎣时，N 的非有效数字0的个数为n -，A ．取210,10M N ==，所以()()()()33,2,104W M W N W M N W ==⋅==，()()325W M W N +=+=，所以()()()W M N W M W N ⋅≠+，故错误；B ．当0n <时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 的非有效数字0的个数为n -，所以()W N n =-，故正确；C ．当0n >时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 整数部分位数为1n +，所以()1W N n =+，故正确； D ．因为1002N ＝，所以lg =100lg230.1N ≈，所以30.110N ≈，所以)303110,10N ⎡∈⎣，所以()30131W N =+=，故正确，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解()W N 的含义以及计算的方法， 通过对10n N a =⨯的分析，首先判断n 与0的关系，然后决定采用哪一种计算方法（类似分段函数）.5．（2021·安徽皖江名校联考）已知函数()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，方程()10f x -=有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．()1,+∞【答案】B【分析】根据已知条件对a 进行分类讨论：01a <<、1a >，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程()10f x -=有两解时a 所满足的不等式，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，所以0a >且1a ≠， 当01a <<时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递增，所以()()max 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，且()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=有两解，所以21a <，所以102a <<； 当1a >时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递减，()()min 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=要有两解，所以21a <，此时不成立. 综上可得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析()f x 的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.6．（2021·山东济南模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则有2y ax =-在(,2]-∞上递增，()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增， 根据增函数图象特征知，点(2,22)a -不能在点(2,0)上方，于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ ，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选：A7．（2021·山西名校联考）已知函数()cos ()ln f x x g x x ==，用max{,}a b 表示a ，b 中的最大值，则函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论可得结果. 【详解】 分三种情况讨论：① 当1x >时，()ln 0g x x =>，所以()()0h x g x ≥>，故()h x 无零点；② 当1x =时，(1)cos110f =-<，(1)0g =，所以(1)0h =，故1x =是()h x 的零点；③ 当01x <<时，()ln 0g x x =<，所以()f x 的零点就是()h x 的零点.显然，()cos f x x =(0,1)上单调递减，且(0)10=>f ，(1)cos110f =-<， 故()f x 在(0,1)内有唯一零点，即()g x 在(0,1)内有唯一零点. 综上可知，函数()h x 在0x >时有2个零点. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论.8．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数()22,0313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a->-成立，则满足条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．无数【答案】C 【分析】作出f （x ）的函数图象，利用直线的斜率，根据不等式只有1整数解得出a 的范围． 【详解】作出f （x ）的函数图象如图所示：()1f x x a--表示点(,())x f x 和点(,1)a 所在直线的斜率，即曲线上只有一个点(,())x f x 且x 是整数和点(,1)a 所在直线的斜率大于零.如图所示，动点(,1)a 在直线1y =上运动.因为(0)0,(1)3,(2)0f f f ===,当[1,0]a ∈-时，只有点(1,3)这个点满足()10f x x a ->-，当[1,2]a ∈时，只有点(0,0)这个点满足()10f x x a->-. 所以a ∈][1,01,2⎡⎤-⋃⎣⎦.所以满足条件的整数a 有4个.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的图像，考查直线的斜率，关键在于考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 二、多选题9．（2021·重庆高三三模）()f x 是定义在R 上周期为4的函数，且()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，则下列说法中正确的是（ ） A ．f ()x 的值域为[]0,2B ．当(]3,5x ∈时，()f x =C ．()f x 图象的对称轴为直线4,x k k Z =∈D ．方程3f x x 恰有5个实数解【答案】ABD 【分析】画出()f x 的部分图象结合图形分析每一个选项即可. 【详解】根据周期性，画出()f x 的部分图象如下图所示，由图可知，选项A ，D 正确，C 不正确；根据周期为4，当(3,5]x ∈时，()(4)f x f x =-==B 正确.故选：ABD.10．（2021·辽宁铁岭二模）设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[)1,-+∞C ．存在00x <，使得()()00f x f =D ．()f x 与()f x -具有相同的单调区间【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义判断A ，由分段函数求值域确定B ，由余弦函数性质确定C ，由二次函数及余弦函数的单调性确定D.【详解】因为()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≤-=⎨>⎩.所以()()f x f x -≠，()f x 不是偶函数，故选项A 错误. 当0x ≥时，211x +≥，当0x <时，cos [1,1]x ∈-，所以()f x 值域为[)1,-+∞，故B 正确； 因为()01f =，()21f π-=，选项C 正确.因为()f x 具有单调性的区间与()f x -具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，选项D 错误(由()f x -表达式也可以看出).故选：BC 。
高中数学第三章函数的概念与性质3.1.第课时分段函数学案含解析第一册
第2课时分段函数[目标] 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象，培养数学运算核心素养;2.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题,培养数学建模核心素养．[重点] 分段函数求值、分段函数的图象及应用．[难点] 对分段函数的理解．知识点分段函数[填一填］如果函数y＝f（x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．[答一答]1．分段函数的定义域部分可以相交吗？提示：分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．2．分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？提示:(1）分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样而已．(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围．3．已知函数f(x）的图象如图所示，则f(x）的值域为［－4，3］．解析：由题图可知，当x∈[－2,4]时，f(x)∈[－2，3］；当x ∈［5,8]时，f(x）∈[－4,2。
7]．故函数f(x）的值域为[－4,3]．类型一分段函数的定义域、值域［例1](1）已知函数f(x）＝错误!，则其定义域为（）A．RB．(0，＋∞)C．（－∞,0)D．（－∞，0）∪（0，＋∞)(2）函数f（x)＝错误!的定义域为________,值域为________．［分析］分段函数的定义域、值域⇒各段函数的定义域、值域．［解析](1）由于f（x)＝错误!＝错误!故定义域为(－∞,0）∪（0，＋∞）．（2)由已知定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x｜－1<x<0｝＝｛x｜－1<x〈1}，即（－1，1）,又0<x〈1时，0〈－x2＋1〈1，－1<x 〈0时，－1〈x2－1〈0，x＝0时,f(x)＝0，故值域为（－1，0）∪{0｝∪(0,1）＝（－1,1）．［答案](1）D（2)(－1,1）(－1,1）错误!［变式训练1］已知函数f(x)＝错误!则函数的定义域为R,值域为［0,1］．解析：由已知定义域为[－1,1］∪(1，＋∞)∪（－∞，－1）＝R，又x∈［－1，1]时,x2∈[0,1］，故函数的值域为[0，1］．类型二分段函数求值［例2］已知函数f（x)＝错误!（1)求f错误!的值．（2)若f(x）＝2，求x的值．[分析］分段考虑求值即可．(1)先求f错误!，再求f错误!，最后求f错误!；（2)分别令x＋2＝2，x2＝2，错误!x＝2，分段验证求x。
(完整)2.15 分段函数专题讲义
高三总复习—-分段函数专题分段函数的定义:分段函数;对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
它是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。
知识点梳理一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数. 二、注意：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数;2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；3、分段函数的值域是各段函数值的并集。
4、解决分段函数的方法:先分后合 三、涉及的内容及相应的常用方法：1、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。
不能确定时常需要分情况讨论;3、单调性： 各段单调(如递增）+连接处不等关系.(如()()()12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩在R 上是增函数，则()()()()1212(,)[,)f x a f x a f a f a ⎧-∞↑⎪⎪+∞↑⎨⎪≤⎪⎩①在上②在上③)；4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性,否则为非奇非偶函数；A5、图像性质或变换等： 作图、赋值等,注意变量的范围限制；6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图； 例题讲解：题型一、分段函数的图像。
1.作出函数()1y x x =+的图象2. 函数ln |1|xy e x =--的图象大致是 （ ）题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当20,()2 3.x f x x x >=-+时求f （x ）的解析式。
高中数学讲义：分段函数的性质与应用
分段函数的性质与应⽤分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -£ì=í->î，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如()221,31,3x x f x x x -£ì=í->î中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+³ì=í-+<î5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
分段函数的知识点总结
分段函数的知识点总结一、分段函数的定义1.1 分段函数的基本形式分段函数的基本形式可以表示为：\[ f(x)=\begin{cases}f_{1}(x), & x\in D_{1}\\f_{2}(x), & x\in D_{2}\\… \\f_{n}(x), & x\in D_{n}\\\end{cases} \]其中，\( D_{1}, D_{2},..., D_{n} \)表示函数的定义域的不相交区间，\( f_{1}(x), f_{2}(x),...,f_{n}(x) \)分别表示在不同区间内的函数表达式。
1.2 分段函数的定义域和值域分段函数的定义域由各个子函数的定义域合并而成，而值域则由各个子函数的值域的并集组成。
1.3 分段函数的解析性质对于分段函数，通常要考虑其在各个定义域内的解析表达式。
在定义分段函数时，要考虑到各个分段的连续性、一致性等性质，以确保分段函数在各个区间内的函数表达式具有良好的连续性和可导性。
1.4 分段函数的特殊形式分段函数的特殊形式包括绝对值函数、符号函数、取整函数、阶梯函数等。
这些特殊形式的分段函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在信号处理、控制系统等领域中均有重要的作用。
二、分段函数的性质2.1 分段函数的奇偶性对于分段函数，其奇偶性通常由各个子函数的奇偶性来确定。
如果各个子函数均为偶函数，则分段函数也为偶函数；若各个子函数均为奇函数，则分段函数也为奇函数；若各个子函数均为非奇非偶函数，则分段函数既不是奇函数也不是偶函数。
2.2 分段函数的周期性对于分段函数，其周期性通常由各个子函数的周期性来确定。
如果各个子函数均具有相同的周期，则分段函数也具有这一周期；若各个子函数的周期不同，则分段函数通常不具有周期性。
2.3 分段函数的单调性对于分段函数，其单调性通常由各个子函数的单调性来确定。
如果各个子函数均为单调递增或单调递减函数，则分段函数也为单调递增或单调递减函数；若各个子函数既不是单调递增也不是单调递减函数，则分段函数通常不具有单调性。
一次函数的应用——分段函数
75 70 50 25
O 25 50 75 100 x(度）
⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数表达式；
解:当0≤x≤50 时，由图象可设 y=k1x，
∵其经过（50，25），代入得25=50k1，
∴k1=0.5，∴y=0.5x ;
100 y(元）
当x＞50时，由图象可设 y=k2x+b，75
70
∵其经过（50,25）、（100,7=0.9x-20.
25 O 25 50 75 100 x(度）
⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收 费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标 准是多少？
解：不超过50度部分按0.5元/度计算，超过部分按 0.9元/度计算.
函数解析式为：
20(0≤t≤2)
T= 5t+10(2<t≤4)
T=5t+10(2<t≤4)
20 T=20(0≤t≤2)
10
(2)函数图像为：
O 1 2 3 4 t/h
2.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来 越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用 电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元） 的关系如图所示.
y=4（x-2）+10=4x+2.
10
∴y = 5x(0≤x≤2) 4x+2(x>2)
y=5x(0≤x≤2)
函数图象为:
O 123
x
思考：你能由上面的函数解析式或函数图象解 决以下问题吗？ （1）一次购买1.5 kg 种子，需付款多少元？ （2）30元最多能购买多少种子？
总结归纳
分段函数(精华)(1)
二、分段函数求值
三、分段函数解方程
四、解不等式(课时作业B组4)
x＋12，x≤－1， 4．设函数 f(x)＝2x＋2，－1＜x＜1，
1x－1，x≥1，
围是_(_－__∞__，__－__2_)∪___－__12_，__1_ ．
已知 f(a)＞1，则 a 的取值范
四、解不等式(举例说明3)
3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝21－，x，x>x0≤，0， 则满足 f(x＋1)<f(2x)的 x
，值域等
一.写分段函数解析式，画分段函数图象
1.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
① 5公里以内(含5公里)，票价2元；
② 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5 公里的按5公里计算）。
已知两个相邻的公共汽车站间相距为1公里，如果沿 途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据 题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出 函数的图象。
拓展： 函数的定义域及值域是多少？
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图：
y 5 4 3○ 2○ 1
○ ○
0 5 10 15 20
x
2.含用分段函数表示含绝对值的函数 把下列函数分区间表达，并做出函数图象
f (x) x 2
x 2, x 2 y 2 x, x 2
ห้องสมุดไป่ตู้
y
o 12 x
x2 x2
分段函数
学习目标
❖ 掌握简单的分段函数， 并能简单应用。
❖ 会画分段函数的图像。
❖ 会求解分段函数的定义 域、函数值及分段函数 方程不等式的解法。
回顾旧知
（1）分段函数定义：若函数在其定义域内，对于定义 域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的 函数通常叫做分段函数
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分段函数与周期和最值
分段函数的值域是各段值域的并集,最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值,最小值是各段最小值中的最小者,一般可借助于图像来解决.
例 7【2018届山西省太原十二中高三1月月考】已知8m n -<<,函数()()823log ,8,
{
2,,
x x m f x x x m x n --≤<=-≤≤若()f x 的值域为[]1,3-,则n m -的最大值与最小值之积为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】()()22
C. D.
或其它参数的值的问题,一般按自变量
的实根个数不可能为(
5
解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,
1) B. [0
6 分段函数与解析式
分段函数是定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时,也是分段求解析式的.
log ,8{
2,x<=-≤≤,分别作出()2log y x =-和22y x x =-的图像, ()f x 在
,否则
上无意义,最大值为
,所以零点之和为
分段函数的单调性
D. (
数首先是函数,且是一个函数,不是多个函数;分段函数的处理方法
自变量在哪一段,该代哪个解析式,这样就要分段讨论、求解,即要重视分类讨论思想在解题过程中的应
用.
因而分段函数已成为高考命题的一个热点
于分段函数的性质、图象的考查,重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上;
知识是学生掌握比较模糊,看到就头疼的题目
要是学生的作图能力普遍较弱,还有就是没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧届湖南省长沙市第一中学高考模拟卷一
A. B.
例 6【2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测(一)】已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时,
()2f x x x =-,则不等式()0f x >的解集用区间表示为( )
A. ()1,1-
B. ()(),11,-∞-⋃+∞
C. ()(),10,1-∞-⋃
D. ()()1,01,-⋃+∞ 【答案】D