第三节 利用一元线性回归方程进行预测和控制

若记 ( x )
1 (x x) t ( n 2) S 1 n Lxx 2
2
ˆ ( x ) , y2 ( x ) y ˆ (x) y1 ( x ) y
y
ˆ (x) y1 ( x ) y
ˆx ˆa ˆb y
ˆ0 y
y
ˆ (x) y2 ( x ) y
取随机变量
T
ˆ0 y0 y 1 ( x0 x ) 2 S 1 n Lxx
S剩 ˆx ˆ0 a ˆb 其中，S , y 0 n 2 可以证明：当i ~ N(0 , 2) （i=1,2 , … ，n ） 且相互独立时，随机变量T服从自由度为n-2的 t分布 对给定的置信度1-，作概率等式 P{| t | t ( n 1)} 1 ，
y
y2
y 2 ( x) y ( x) ( x)
M


y a b x y1 ( x) y( x) ( x)



y1
0
N
x1
x2
x
(b 0 )

, y2 处分别画两条水平线， 它们分别交曲线 从 y1
y1 ( x)、 y2 ( x) 于N、M ，再过这两点分别画垂线交x 轴
第九章
§9.3
一元线性回归
利用一元线性回归方程进行 预测和控制
一、预测 1、点预测 就是对x=x0时y的精确值y0=a+bx0+0作出点估 ˆx 计,即将x=x0代入回归方程，求得 y ˆ0 a ˆb 0 ˆ 0 作为y0的估计值，这就是点预 将y 测。 2、区间预测 就是区间估计，即在给定的置信度下求出精 确值y0的置信区间，称为y0的区间预测。
查t分布表，得临界值 t ( n 1)
2
2
由此得y0的置信度1-的置信区间即预测区间。
1 ( x0 x ) 2 ˆ 0 t ( n 2) S 1 (y , n Lxx 2 1 ( x0 x ) 2 ˆ 0 t ( n 2) S 1 y ) n Lxx 2
、 x2 两点 。 x1
, x2 ) 。当x ( x1 , x2 ) 时， 控制区间为： ( x1 , y2 )。 必然以至少1 的概率保证： y ( y1
, y2 ) 的长度 显然，为了实现控制，必须使指定区间 ( y1
y1 大于预测区间的长度2。 y2
控制问题：利用回归方 程

y a b x


控制变量 x 的取值范围，
, y2 ) 内。 以便把 y 的值限定在指定的范围 ( y1
预测问题：先给定 x0的值，然后预测 y0的取值范围。
y y2 ,问如何控制x的 控制问题：先限定 y的范围 y1
取值范围。
控制问题用图解法容易理解。
, y2 ) 例如：要求产品的质量指标y 落在指定的区间 ( y1
, y2 是两个已知的常数 (其中y1 ) 内为合格品，问如何
控制变量x的值，才能在给定的置 信度1 下，使得 y y2 } 1 (0 1) P{ y1
即怎样控制变量 x 的值，才能以 1 的概率保证产 品合格。
可从不等式组：
y u y / 2 1 y u / 2 y2
x1
x2
x
, x2 )， 当b，可解( x2

若记 y1 ( x ) y u / 2


y
y2 ( x ) y( x ) u / 2



y2
y1
0

y a b x



y2 ( x ) y u / 2

y1 ( x ) y( x ) u / 2
对于给定的 1 ，
当n较大（n 30 ）且 x0 x 较小时，
1 ( x0 x ) 1 1 n Lxx
2
又当n较大时，t分布近似于标准正态分布， 故临界值可由查标准正态分布表得到 置信区间即预测区间简化为
ˆ0 U S, y ˆ0 U S ) (y
2 2
二、控制 控制与预测研究的问题刚好相反，它是讨论 若限定因变量y在某区间(y1, y2)内，应控制自 变量x在什么范围内，即要求出x1, x2 ，使得当 x1 < x2时，在给定置信度下，可保证y1<y<y2
对于x x0时，y置信度为 1 的预测区间：
1 ( x0 x ) 2 ( y 0 t (n 2) 1 ) ( y 0 ( x0 )) n Lxx 2

若要以不小于 1 的 , y2 ) 概率保证y在( y1 内取值，必须满足：
, y2 ) ( y 0 ( x0 )) ( y1
1 ( x0 x ) 2 1 52 753 1 1 n Lxx 10 3400 680
1 ( x0 x ) 2 60 753 t ( n 2) S 1 1.86 5.36 n Lxx 8 680 2
代入得预测区间为 (120-5.36, 120+5.36) 即 (114.64,125.36) 产量为55万件时，预测所需工时数在区间 (114.64,125.36)内，置信度为0.9

y
y2
y 2 ( x) y ( x) ( x)


y1
0


x0 x 2 x1
y a b x



y1 ( x) y( x) ( x)
x
当n较大( n 30)时，y的置信度为 1 的近似
( y0 u ) 预测区间为：

2
近似解法：
o
x
x0
x
例1、在§9.1例2中，当汽车零件产量为55万 件时，预测所需工时数的范围(1- =0.9) 解： 将x0 55代入回归方程 ˆ 10 2 x y
ˆ 0 10 2 55 120 得y
对置信度1- =0.9，查得临界值t 0.05(8)=1.86 S剩 60 S n 2 8