成都石室中学2019届三诊模拟数学理科试题

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2019年最新(统考)四川省成都市高三三诊模拟理科数学试题及答案解析

（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）.求随机变量的分布列和数学期望.
2）若，，求二面角的余弦值．
20.如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点为的左焦点.椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在之间移动.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，知圆和直线．
（1）求圆与直线的直角坐标方程；
（2）当时，求圆和直线的公共点的极坐标．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5: ABDCC 6-10: ADACB 11、12：CA
A． B．
C. D．
7.执行如图的程序框图，则输出的值是（）
A．2016 B．1024 C. D．-1
8.已知是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则的取值范围是（）
A． B． C. D．
9.等差数列中的是函数的两个极值点，则（）
A． B．4 C. D．
10.函数的最小正周期是（）
21.解：（1）当时，，原题分离参数得恒成立，右边求导分析即可，问题背景实际是泰勒展开的前三项．答案：
（2），
①当时，，所以，所以在上为单增函数，无极大值；
②当时，设方程的根为，则有，即，所以在上为增函数，在上为减函数，所以的极大值为，即，因为，所以，令则，

成都石室中学高2019届三诊模拟考试-数学理科试题答案解析

一名高三学生，其成绩不低于 115 分的概率是（）
A. 0.23
B. 0.27
C. 0.46
D. 0.54
解析：由于 X N(105, 2 ) ， P(95 X 115) 0.54 ，则 P(105 X 115) 0.27 ，所以
P(x 1 1 5 ) 0 . 5 0 . 2，7故选0A. 2 3
解析：
z

i 2018 i2019 1

i50442 i50443 1

i2 i3 1

1 i 1

1 2

1 2
i
，所以复数
z
的虚部是

1 2
，故选
D
.
2.
已知集合 A {x | x 3}, B {x | log 4 x
1} ，则（ 2
）
A. A B
B. (CU A) B R
2
2
B. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 e2
D. [0, ] ，使 e1 e2 2
解析： e1 e2 | e1 | | e2 | cos cos 1，故选 D .
4. 经统计，成都市高三二诊理科数学成绩 X N(105, 2 ) ，且 P(95 X 115) 0.54 ，则从成都市任选
．
解：设 OC h, OMC 30 , OM 2h,OA 3h, 延长 MC 交圆 C 于 B , 在 RT OBC 中，
BC 2 2h 4 h 2 ， S 42 2 16 2 ;
3
3
16．已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，过点 F 且斜率大于 0 的动直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点，B 在 x 轴

成都石室中学高2019届三诊模拟考试-理科综合答案及详解

成都石室中学高2019届三诊模拟考试理科综合答案及详解生物部分1.A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C29．（11分，除特殊标注外每空1分）（1）ATP和NADPH；（CH2O）（2分）减小（2）线粒体、细胞质基质＞（3）光照强度温度上升（4）先减少再增加叶片的气孔关闭，CO2吸收量减少（2分）30．（8分，除特殊标注外每空1分）（1）低于传出神经末梢（运动神经末梢）及其支配的汗腺（2分）（2）右大于（3）（3分）31．（10分，除特殊标注外每空1分）（1）微生物光照不足浮床植物遮挡阳光，争夺水体中的无机盐（2分）（2）较强生态系统组分较多，食物网较复杂，自我调节能力较强（2分）（3）直接和间接（4）①有利于种群的繁衍②调节生物的种间关系，维持生态系统的稳定。

32.(10分，每空2分)（1）控制两对性状的基因位于非同源染色体上（2）长翅果蝇数多于残翅果蝇数，性状遗传与性别无关（3）灰色雄性和亮黑雌性子代雄性都为亮黑色、雌性都为灰色互为等位基因37、（本题15分，除特殊标注外每空2分）（1）防止血液凝固上清液中不在呈现黄色白细胞等一同沉淀（2）蒸馏水和甲苯白色薄层固体当相对分子质量不同的蛋白质通过凝胶时，相对分子质量较小的蛋白质容易进入凝胶内部的通道，路程较长，移动速度较慢；而相对质量较大的蛋白质无法进入凝胶内部通道，只能在凝胶外部移动，路程较短，移动较快（3分）（3）分子大小1．A 【解析】轻微创伤使小腿某处皮下毛细血管破裂，部分血液外流，导致青紫；该部位组织液渗透压增高，吸水力增强，局部组织液增多，出现水肿现象。

2．A 【解析】酵母菌的核DNA为链状，线粒体、质粒中的DNA为环状。

生物膜功能的复杂程度取决于膜上蛋白质的种类和数量。

中心体由两个相互垂直的中心粒及其周围物质构成。

高等植物成熟的筛管细胞没有细胞核。

3．C 【解析】RNA 聚合酶的作用是催化以DNA的一条链为模板合成RNA的转录过程，其结合位点在DNA 上。

四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试题

石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i iiz 211++-=，则=||z A ．0 B ．12C ．1D ．2 2.设集合{})2(log |2x y x A -==，若全集A U =，{}21|<<=x x B ，则U C B = A ． (),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3.命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是 A ．0x ∀>，1ln 1x x<- B ．00x ∃>，001ln 1x x <- C ．00x ∃≤，001ln 1x x <-D ． 0x ∀>，1ln 1x x≤- 4.在如图的程序框图中，若输入77,33m n ==，则输出的n 的值是 A ．3 B ．7 C ．11 D ．335.在区间[0，2]上随机取一个数x ，使232sin≥x π的概率为 A ．13 B ．12C ．23D ．346. 《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为A. 2B.32C. 1D. 462+ 7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，2531=+a a 且4542=+a a ，则=n n a S A ．14n - B ．41n - C ．12n - D ．21n -8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，()()11f x f x +=-+，且当01x ≤≤时，()11cos f x x=-，则下列结论正确的是 A. ()32129f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()19322f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()22913f f f ⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ()19223f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．已知约束条件为32402020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，若目标函数y kx z +=取最大值时的最优解有无数多个,则k 的值为A. 1B. 1-C. 32- D. 1-或110.已知抛物线x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且3OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过,M N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,C D ,则CD 的最小值为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．1011.向量c b,a,满足：||4=a ，||42=b ，b 在a 上的投影为4，()()0-⋅-=a c b c ，则⋅b c 的最大值是A. 24B. 2824-C. 2824+D. 2812．已知函数()(1)(2)e e x f x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为A ．3e e 2+B ．2e e 2+C ．3e e 2-D ．2e e 2-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若nxx )1(-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为．14. 直线:2(5)l y x =-过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为．15.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若134,12AB AC AB AC AA ==⊥=,,,则球O 的直径为．16.函数2()3sin 2cos (0)2xf x x ωωω=->，已知()f x 在区间2(,)33ππ-恰有三个零点，则ω的范围为 . 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立.实体店销售量（单位：件）频率组距0.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012706560555045403530250频率组距网店销售量（单位：件）70656055504540350.0680.0460.0440.0200.0100.0080.004（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天,实体店和网店都盈利的概率；（Ⅱ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）．（Ⅲ）若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4,2,2cos ,c b c C b === ,D E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠．(I)求线段AD 的长； (II)求ADE ∆的面积．19.（本小题满分12分）直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金. 随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：男女认为直播答题模式可持续 360 280 认为直播答题模式不可持续240120(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？ (II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率.参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（本小题满分12分）如图O 为坐标原点，圆 22:4,O x y +=点 ),(),,(030321F F -，以线段M F 1为直径的圆N 内切于圆O ，切点为P ，记点M 的轨迹为曲线C .（I ）证明：12||||F M F M +为定值，并求曲线C 的方程；（II ）设Q 为曲线C 上的一个动点，且Q 在x 轴的上方，过2F 作直线Q F l 1//，记l 与曲线C 的上半部分交于R 点，求四边形21F RQF 面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()ln m xf x x=，()()1g x n x =-+，其中0mn ≠. （I ）若m n =，讨论()()()h x f x g x =+的单调区间；（II ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明：()121220g x x mx x ++<+.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线041=-+y x C :，曲线为参数）θθθ(sin 1cos :2⎩⎨⎧+==y x C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（I ）求曲线21C C ,的极坐标方程；（II ）射线),(:200παραθ<<≥=l 分别交21C C , 于N M ,两点，求||||OM ON 的最大值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-．（I ）解不等式()1f x x ≤+；（II ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：11122≥+++b b a a ．石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试数学参考答案（理科）1-5：CBBCA 6-10：ADDBA 11-12：CA 13、-20 14、5 15、13 16、7(3,]217解：（Ⅰ）由题意，任取一天，实体店盈利的概率1(0.0320.0200.0122)50.38P =++⨯⨯= 网店盈利的概率21(0.0040.020)50.88P =-+⨯= 由实体店和网店销售量相互独立，故任取一天,实体店和网店都盈利的概率0.380.880.3344.P =⨯= .…………3分（Ⅱ）因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，销售量低于55的直方图面积为()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=>故网店销售量的中位数的估计值为0.5-0.3450+552.350.34⨯≈（件）…………6分（Ⅲ）由题意，实体店销售量不低于40件的概率31(0.0120.0140.024)54P =-++⨯=……7分故3~(3,)4X B ,X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为()3033101464P X C ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭, ()2133********P X C ⎛⎫==⋅-=⎪⎝⎭, ()22333272()14464()P X C ==⋅-=, ()3333273()464P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P16496427642764…………11分因为3~(3,)4X B ,所以期望为39(X)344E =⨯=.…………12分18.解：（1）根据题意，2=b ，4=c ，b C c =cos 2，则412cos ==c b C ；又由4141642cos 2222=-+=-+=a a ab c b a C ，解可得4=a即4=BC ，则2=CD ，在ACD ∆中，由余弦定理得：6cos 2222=⋅-+=C CD AC CD AC AD ，则6=AD ；…………………（6分）（2）根据题意，AE 平分BAC ∠，则21==AB AC BE CE ，变形可得：3431==BC CE ，41cos =C ，则415sin =C ，615=-=∆∆∆ACE ACD ADE S S S …………………（12分） 19、解析：（I ）依题意，2K 的观测值()210003601202402801257.87960040064036012k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；…………5分（Ⅱ）由题意X 的取值为10,11,12，且后四个题每个题答对的概率为13.………………6分 224(X 10);339P ==⨯=2121228(X 11)33333327P ==⨯⨯+⨯⨯=；2233331217(X 12)()()33327P C C ==⨯+=.故X 的分布列为…………………………………………9分记该网友当期可平分奖金为事件A ，则3344441211()()()3339P A C C =⨯+=. 故该网友当期可平分奖金的概率为19. ………………………12分 20、解：（1）由题知：O ，P ，N 三点共线，连2MF则4222221=+=+=+||||||||||||ON NP ON MN MF MF ，所以点M 的轨迹是以21F F ,为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，，，，则动点M 的轨迹方程是．……………………………………4分X 10 11 12 P49827727（2）如图：PR F QPR PQMR F PQF S S S S 12121===………………………………6分因为l 不与y 轴垂直，设PR ：3+=ty x ， ),(),,(2211y x Q y x P所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322y x ty x 消去x 有：0132422=-++ty y t )(由弦长公式可得：41441616122222++=++⋅+=t t t t t PR )(||又因为点1F 到直线l 的距离2132td +=所以S ＝131344134212222+++=++⋅=⋅t t t t d PR ||……………10分因为R t ∈，所以3213122≥+++t t （当2=t 等号成立）所以],(20∈S ……………………12分21、解:（Ⅰ）由已知得()()()ln (1)xh x =f x +g x =m x x--，所以()2221ln 1(1ln )x h'x =m =x x x xm -⎛⎫---⎪⎝⎭，……………2分当01x <<时，2210,ln 0,1ln 0x x x x ->->∴-->；当1x >时，2210,ln 0,1ln 0x x x x -<-<∴--<．……………3分故若0m >，)(h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；若0m <，)(h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．……………5分（Ⅱ）依题意()111ln 1x m n x x =+， ()2111ln ...+m x n x x ∴=①，同理，()2222+ln ...m x n x x =②由①-②得，()()()221112212122l 1+nx m n x x x x n x x x x x =--=-++，……………7分 ()()121212ln1x m x n x x x x ∴++=-，()11212221ln g (1)xx x n x x x m m x x +-++==-，……………8分要证()121220g x x mx x ++<+，即证：122112ln20x x x x x x +<-+，即证：11212221ln+01x x x x x x ->+（），……………9分令121x t x =>，即证()1ln +20,11t p t t t t -=>∀>+．()()()()222114'011t p t t t t t -=-=>++，……………10分()p t ∴在区间[)1,∞+上单调递增，()()10,1p t p t ∴>=∀>成立．故原命题得证．……………12分22. 解：（1）因为，，，所以的极坐标方程为04=-+θρθρsin cos ，因为的普通方程为，即，对应极坐标方程为．……………………5分（2）因为射线),(:200παραθ<<≥=l ，则),(),,(αραρ21N M ，则αρααρsin ,cos sin 2421=+=，所以)cos (sin sin ||||αααρρ+==2112ON OM＝414242+-)sin(πα 又，),(43442πππα-∈-，所以当 242ππα=-，即83πα=时，||||ON OM 取得最大值 412+……10分23、解：①当1<x 时，不等式可化为124+≤-x x ，1≥x ．又∵1<x ，∴∈x ∅；②当31≤≤x 时，不等式可化为12+≤x ，1≥x ．又∵31≤≤x ，∴31≤≤x ．③当3>x 时，不等式可化为142+≤-x x ，5≤x ．又∵3>x ，∴53≤<x ．综上所得，51≤≤x ．∴原不等式的解集为]5,1[．…………………（5分）（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|1||3||(1)(3)|2x x x x -+-≥-+-=， ∴2=c ，即2=+b a ．令m a =+1，n b =+1，则1>m ，1>n ，1,1-=-=n b m a ，4=+n m ，nn m m b b a a 2222)1()1(11-+-=+++n m n m 114++-+=mn 4=1)2(42=+≥n m ，原不等式得证．…………………（10分）。

2019届四川省成都市石室中学高三下学期三诊模拟数学(理)试题(解析版)

2019届四川省成都市石室中学高三下学期三诊模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}211|10,|24,2x M x x N x x Z +⎧⎫=-≤=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（）A ．{}1,0B ．{}1C ．{}1,0,1-D ．φ【答案】A【解析】试题分析：{}{}{}{}2|10|11,1,0,1,0M x x x x N M N =-≤=-≤≤=-∴⋂=-,故选A.【考点】集合的运算.2．设1z i =-（i 是虚数单位），则2z z+=（） A ．22i - B ．22i +C ．3i -D ．3i +【答案】B【解析】利用复数的除法运算、共轭复数的定义可计算出2z z+的值. 【详解】1z i =-Q ，1z i =+，则()()()()2122112122111i z i i i i z i i i ++=++=++=+=+--+，故选：B. 【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的除法、共轭复数的相关计算，考查计算能力，属于基础题.3．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++L ，则9a =（）A ．9B ．10C ．-9D ．-10【答案】D【解析】()()9011010019910999991...1[...]n n n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 4．一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )A ．(4)3π+B (8)3π+C ．(8)3π+D ．(43π+【答案】B【解析】试题分析：该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为2×3(8)3π+选B ．【考点】本题主要考查三视图，几何体的体积计算．点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题．5．设0x >，0y >，且1142x y+=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（） A ．4- B ．3-C ．2log 6-D ．232log 8【答案】B【解析】利用基本不等式可求出xy 的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出z 的最小值. 【详解】0x Q >，0y >，且1142x y +=，11111422222x y x y xy ∴=+≥⋅=122xy≤，18xy ∴≥，当且仅当2x y =时取等号.42222212log log log log log log 38z x y x y xy =+=+=≥=-，则z 的最小值是3-. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6．若A 为不等式组0{02x y y x ≤≥-≤所示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x+ y =a 扫过A 中的那部分区域面积为（） A ．2 B ．1 C ．34 D ．74【答案】D【解析】试题分析：如图，不等式组0{02x y y x ≤≥-≤表示的平面区域是,动直线在轴上的截距从变化到1,知是斜边为3等腰直角三角形，是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积,故选D.【考点】二元一次不等式（组）与平面区域点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．7．函数y=sin(πx+)(＞0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是( )A ．1665B ．6365C ．1665-D ．1663-【答案】A【解析】由周期公式可知函数周期为2，∴AB =2，过P 作P C ⊥AB 与C ，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APC 与∠BPC 的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ．【详解】. ,BAP a PBA β∠=∠=()a θπβ=-+P C ⊥AB 与C115||,||||142AC T AP PC ====||255sin ,cos ||55PC a a AP ===3313||,||422BC T PB '===213313sin ββ==16sin 22sin cos 2sin()cos()2(sin cos cos sin )(cos cos 65=a a a θθθβαβαβββ=-++=-+=, 故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了两角和的正弦公式以及二倍角的正弦公式，属于综合题.8．下列命题中：①若“x y >”是“22x y >”的充要条件；②若“x R ∃∈，2210x ax ++<”，则实数a 的取值范围是()(),11,-∞-+∞U ；③已知平面α、β、γ，直线m 、l ，若αγ⊥，m γα=I，l γβ=I ，l m ⊥，则l α⊥；④函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用充分条件与必要条件的关系判断①的正误；根据特称命题成立的等价条件求实数a 的取值范围，可判断②的正误；由面面垂直的性质定理可判断③的正误；利用零点存在定理可判断④的正误. 【详解】①由x y >，可知0x >，所以有22x y >，当0x y <<时，满足22x y >，但x y >不成立，所以①错误；②要使“x R ∃∈，2210x ax ++<”成立，则有对应方程的判别式>0∆，即2440a ->，解得1a <-或1a >，所以②正确； ③因为αγ⊥，m γα=I，l γβ=I ，所以l γ⊂，又l m ⊥，所以根据面面垂直的性质定理知l α⊥，所以③正确；④因为111332111103333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111222111102332f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且函数()y f x =连续，所以根据零点存在定理可知在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在零点，所以④正确.所以正确的是②③④，共有三个. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的真假判断．正确推理是解题的关键．要求各相关知识必须熟练，考查推理能力，属于中等题.9．某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）A ．474种B ．77种C ．462种D ．79种【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有99A ，那么连着上3节课的情况有533A 种，则利用间接法可知所求的方法有99A -533A =474，故答案为A. 【考点】排列组合点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题． 10．已知函数()xf x xe =，方程()()2+1=0fx tf x +()t R ∈有四个实数根，则t 的取值范围为（）A ．21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭B ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭D ．212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】利用导数，判断函数()f x 的单调性及最值，从而画出该函数的图像；再用换元，将问题转化为一元二次方程根的分布问题，即可求解参数范围. 【详解】令()xg x xe =，故()()1xg x ex '=+，令()0g x '=，解得1x =-，故函数()g x 在区间(),1-∞-单调递减，在()1,-+∞单调递增，且在1x =-处，取得最小值()11g e-=-. 根据()f x 与()g x 图像之间的关系，即可绘制函数()f x 的图像如下：令()f x m =，结合图像，根据题意若要满足()()2+1=0fx tf x +有四个根，只需方程210m tm ++=的两根1m 与2m 满足：其中一个根110,?m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，另一个根21m e >或20m =.①当方程210m tm ++=的一个根110,?m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，另一个根20m =，将0m =代入，可得10=矛盾，故此种情况不可能发生； ②当方程210m tm ++=的一个根110,?m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，另一个根21m e>()2 1m m tm ϕ=++，要满足题意，只需()10,00e ϕϕ⎛⎫⎪⎝⎭即可即2110,?1?0te e++，解得21,e t e ⎛⎫+∈-∞- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及二次方程根的分布问题，属重点题型.二、填空题11．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________. 【答案】【解析】试题分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A 的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB 的概率，然后直接利用条件概率公式求解．解：P （A ）=，P （AB ）=．由条件概率公式得P （B|A ）=．故答案为．点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．12．下图给出了一个程序框图,其作用是输入x 的值,输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等,则这样的x 值有________个.【答案】3【解析】试题分析：该程序框图是计算分段函数的函数值，从自变量的取值情况看，由三种情况，故应考虑1x x=，224,x x x x -==所得x 值，有3个．【考点】本题主要考查程序框图的功能识别，简单方程的求解．点评：简单题，注意到应考虑1x x=，224,x x x x -==所得x 值，一一探讨． 13．已知在平面直角坐标系中，()2,0A -，()1,3B ，O 为原点，且OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u r，（其中1αβ+=，α，β均为实数），若()1,0N ，则MN u u u u v的最小值是_____.32【解析】根据OM OA OB αβ=+u u u u ru u u ru u u r可化简为BM BA α=u u u u r u u u r，可得出A 、B 、M 三点共线，求出直线AB 的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出MN u u u u v的最小值.【详解】OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u rQ （其中1αβ+=，α、β均为实数）， ()1OM OA OB αα=+-u u u u v u u u v u u u v ，即()OM OB OA OB α-=-u u u u v u u u v u u u v u u u v ，即BM BA α=u u u u r u u u r，//BM BA ∴u u u u r u u u r ，A ∴、B 、M 三点共线，MN ∴u u u u v的最小值即为点N 到直线AB 的距离，直线AB 的方程为23012y x +=-+，即20x y -+=，因此，MN u u u u v的最小值为()221232211d +==+-.故答案为：2【点睛】本题考查利用向量判断三点共线，同时也考查了点到直线距离公式计算线段长度的最小值，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.14．已知双曲线()2222:10x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 的直线交C 于A 、B 两点，若4AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率为______.【答案】65【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线的方程和双曲线的方程联立消元得出24121222223,33c b y y y y a b a b-+==--，由4AF FB =u u u r u u u r 可得124y y =-，这几个式子再结合222b c a =-化简可得65c a = 【详解】因为直线AB 过点(c,0)F所以直线AB 的方程为：)y x c =-与双曲线22221x y a b-=联立消去x ，得222241033b a y cy b ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭设()()1122,,,A x y B x y所以24121222223,33c b y y y y a b a b-+==-- 因为4AF FB =u u u r u u u r，可得124y y =-代入上式得24222222233,433c b y y a b a b--=-=-- 消去2y 并化简整理得：22243(3)34c a b =- 将222b c a =-代入化简得：223625c a =解之得65c a =因此，该双曲线的离心率65c e a == 故答案为：65【点睛】1.直线与双曲线相交的问题，常将两个的方程联立消元，用韦达定理表示出横（纵）坐标之和、积，然后再结合条件求解2.求离心率即是求a 与c 的关系.15．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则()f x 为M 上的l 高调函数，如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是__________．【答案】[1,1]-【解析】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，222222,()||,0x a x a f x x a a x x a⎧-≥=--=⎨-≤<⎩，作出()y f x =的图像如图所示， ∵()f x 为R 上的4高调函数，当0x <时，函数的最大值为2a ，要满足(4)()f x f x +≥，4大于等于区间长度223()a a --，∴2243()a a ≥--，即244a ≤，解得11a -≤≤．故实数a 的取值范围是[1,1]-．三、解答题16．已知向量()sin ,1a x =-r ，13,2b x ⎫=-⎪⎭r ，函数()()2f x a b a =+⋅-r r r .（1）求函数()f x 的最小正周期T 及单调减区间；（2）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，其中A为锐角，a =4c =，且()1f A =.求A 、b 的长和ABC ∆的面积.【答案】（1）T π=，递减区间是()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3A π=，2b =，ABC S ∆=【解析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算得出()()2f x a b a =+⋅-v v v，并利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用正弦函数周期公式及其单调性即可得到函数()y f x =的最小正周期T 及单调减区间；（2）利用（1）即可得到A ，再利用正弦定理即可得到C ，利用三角形内角和定理即可得到B ，利用直角三角形含6π角的性质即可得出边b ，进而得到三角形的面积. 【详解】（1）()sin ,1a x =-vQ，1,2b x ⎫=-⎪⎭v ，()()233sin ,sin ,1sin cos 22a b a x x x x x x ⎛⎫∴+⋅=+-⋅-=+⎪⎝⎭v vv 1cos 2231sin 2cos 22sin 22222226x x x x x π-⎛⎫=++=-+=-+ ⎪⎝⎭， ()()2sin 26f x a b a x π⎛⎫∴=+⋅-=- ⎪⎝⎭v v v ，所以，22T ππ==，由()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得536k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈，所以，函数()y f x =的单调递减区间是()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）()1f A =Q ，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭， A Q 为锐角，即02A π<<，52666A πππ∴-<-<，262A ππ∴-=，解得3A π=.由正弦定理得sin sin a cA C=，4sin sin 3sin 123c A C a π⨯∴===， ()0,C π∈Q ，2C π∴=，6B AC ππ∴=--=，122b c ∴==，因此，ABC ∆的面积为1223232ABC S ∆=⨯⨯=. 【点睛】本题综合考查了向量数量积的坐标运算、正弦函数的单调性及其性质、正弦定理、直角三角形的边角关系及其面积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力． 17．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）求三棱锥C OEF -的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ3【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥, 平面ABCD I 平面ABEF AB =，CB ∴⊥平面ABEF ，∵AF 在平面ABEF 内，∴AF CB ⊥，又AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥， ∴AF ⊥平面CBF .（Ⅱ）由（1）知CB ABEF ⊥面即CB OEF ⊥面， ∴三棱锥C OEF -的高是CB ， ∴1CB AD ==,连结OE 、OF ，可知1OE OF EF ===∴OEF ∆为正三角形，∴正OEF ∆∴11111332C OEF OEF V CB S -∆=⨯=⨯⨯=18．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功，每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为45，34，23，且每个问题回答正确与否相互独立.（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；（2）用X 表示小王所获得获品的价值，写出X 的概率分布列，并求X 的数学期望. 【答案】（1）725；（2）分布列见详解，2160EX = 【解析】（1）小王过第一关但未过第二关，包括小王第一关两道题都答对，第二关第一道题答错，或者小王第一关两道题都答对，第二关第一道题答对，第二道题答错，据此计算概率；（2）根据题意，分别写出X 可取的值，再计算每个可取值对应的概率，求得分布列即可. 【详解】（1）设小王过第一关但未过第二关的概率为1P ，则容易知2141317544425P ⎛⎫⎛⎫=+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）X 的取值为0，1000，3000，6000，则()1419055525P X ==+⨯=， ()2413171000544425P X ⎛⎫⎛⎫==+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222212432217300015433375P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()22221243221460005433315P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴X 的概率分布列为∴X 的数学期望97740100030006000216025257515EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，以及计算能力，属中档题.19．各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且2421n n n S a a =++，n ∈+N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知公比为()q q N +∈的等比数列{}n b 满足11b a =，且存在m N +∈满足m m b a =，13m m b a ++=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）21n a n =-；（2）17n n b -=或13n n b -=.【解析】（1）令1n =，利用数列递推式求出1a 的值，由2421n n n S a a =++得出2111421n n n S a a +++=++，两式相减，结合数列{}n a 各项均为正数，可得数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，从而可求数列{}n a 的通项公式；（2）利用m m b a =，13m m b a ++=，求出公比q ，即可求得数列{}n b 的通项公式．【详解】（1）当1n =时，211114421S a a a ==++，整理得()2110a -=，11a ∴=. 2421n n n S a a =++Q ，2111421n n n S a a +++∴=++，两式相减得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，即2211220n n n n a a a a ++---=，即()()1120n n n n a a a a +++--=，Q 数列{}n a 各项均为正数，10n n a a ++>∴，12n n a a +∴-=，∴数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，故()12121n a n n =+-=-；（2）111b a ==Q ，111n n n b b q q --=∴=，依题意得12125m m q m q m -⎧=-⎨=+⎩，相除得25612121m q N m m ++==+∈--211m ∴-=或213m -=，所以17m q =⎧⎨=⎩或23m q =⎧⎨=⎩，当1m =时，17n n b -=；当2m =时，13n n b -=. 综上所述，17n n b -=或13n n b -=.【点睛】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2) (0,1)．【解析】【详解】(1)由已知得222222{a bc a c a b =⨯==-⇒2{1a b ==∴C 方程：2214x y += (2)由题意可设直线l 的方程为：y kx m =+(0,0)k m ≠≠联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则△22226416(14)(1)k m k m =-+-2216(41)0k m =-+>,此时设11(,)M x y 、22(,)N x y ∴212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ 于是2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，∴2221211121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==⇒22228014k m m k-+=+ 由0m ≠得：214k =⇒12k =±.又由△0>得：202m <<显然21m ≠（否则：120x x =，则12,x x 中至少有一个为0，直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，矛盾！）设原点O 到直线l 的距离为d ,则212211·1221OMNmS MN d k x x k ==+-+V 2212121()4(1)12m x x x x m =+-=--+ 故由m 得取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1) 21．已知f （x ）=x-ax（a>0），g （x ）=2lnx+bx 且直线y=2x －2与曲线y=g （x ）相切．（1）若对[1，+∞）内的一切实数x ，小等式f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a=l 时，求最大的正整数k ，使得对[e ，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k 个实数x 1，x 2，，x k 都有121()()()16()k k f x f x f x g x -+++≤L 成立；（3）求证：*2141(21)()41ni i n n n N i =>+∈-∑．【答案】（1）；（2）的最大值为．（3）见解析．【解析】【详解】试题分析：（1）设点为直线与曲线的切点，则有．（），．（）由（）、（）两式，解得，．由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立．设，，，当时，，则是增函数，，是增函数，，因此，实数的取值范围是．（2）当时，，，在上是增函数，在上的最大值为．要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．，解得．因此，的最大值为．（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，化简得，．（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，即．因此，时不等式成立．（另解：，，，即．）假设当时不等式成立，即，则当时,，要证时命题成立，即证，即证．在不等式中，令，得．时命题也成立．根据数学归纳法，可得不等式对一切成立．【考点】函数的性质；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；数学归纳法．点评：（1）本题主要考查导数的几何意义及其应用和数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．对学生的能力要求较高，尤其是分析问题解决问题的能力．（2）解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题，思路1：在上恒成立；思路2:在上恒成立．。

2019年成都市石室中学三诊试题【A3】

2019 年成都市石室中学初 2019 届三诊数学试题
A卷
一、选择题（本大题共小 10 题，每小题 3 分，共 30 分）
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千年前的秦汉时期，则 0.5 的倒数是（
A． 1 2
B． 2
C． 2
2．下列图案中，属于轴对称图形的是（）
） D． 1
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
14 题图
14．如图，在已知的 ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 B 、 C 为圆心，大于 1 BC 之长为半径作弧，两弧相交于 2
两点 M ， N ；②作直线 MN 交 AB 于点 D ，连接 CD ．若 CD CA ， A 50 ，则 ACB 的度数为
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 54 分）
11．因式分解： 8a2 2
．
12．分式方程 2 1 1 的解是
．
x 1 1 x
13．如图，将平行四边形 ABCO 放置在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点，若点 A 的坐标是 (6 , 0) ，点 C 的坐
标是 (1 , 4) ，则 B 点的坐标是
．
A．
B．
C．
D．
3．2019 年 5 月 8 日美国单方便将 2000 亿美元中国输美商品的关税从10％上调至 25％，中方不得不采取反制措施，
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18．（本小题满分 8 分）
某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的 40 减至 35 ．已知原楼梯线 AB 长为 5m ，则调整后的楼梯线 AC 有多长？（结果精确到 0.1m ，参考数据： sin 40 0.64 ， cos 40 0.77 ， sin 35 0.57 ， tan 35 0.70 ）

【全国百强校】四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试题

P K
2
a b c d a c b d
0.05 3.841 0.025 5.024
n ad bc
2
．

2
k0

0.10 2.706
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
k0
20.（本小题满分 12 分）如图 O 为坐标原点，圆 O : x 2 y 2 4, 点 F1( 3, 以线段 F1 M 为直径的圆 N 0), F2( 3, 0)，内切于圆 O，切点为 P，记点 M 的轨迹为曲线 C. （I）证明： | F1M | | F2 M | 为定值，并求曲线 C 的方程；（II）设 Q 为曲线 C 上的一个动点，且 Q 在 x 轴的上方，过 F2 作直线
1.设 z A． 0
1 i 2i ，则 | z | 1 i
B．
1 2
C． 1
D． 2
2.设集合 A x | y log 2 ( 2 x ) ，若全集 U A ， B x | 1 x 2，则 CU B A．
,1
B． ,1
C． 2,
18届涨100分学生达20人罗老师18215571552
周末班、寒暑假班、全日制、志愿填报、自主招生中学小班教学、一对一教学，针对性布局
书山有路勤为径优径皆在为学溪
认为直播答题模式可持续认为直播答题模式不可持续
360 240
280 120
(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过 0.5% 的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？ (II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前 8 个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数 X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率. 参考公式： K 临界值表：

【精选五套高考模拟卷】四川省成都市2019年高考数学三诊试卷(理科)含答案解析

2019年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．82．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x03．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．14．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2D．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．489．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C． D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．13．已知椭圆C： +=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f（x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；②存在x0∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n的最小值．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h（x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．2019年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用女运动员的人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则样本中女运动员的人数为 42×=6．故选：C．2．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是：“∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0”，故选：D．3．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵z=﹣i=，∴|z|=．故选：A．4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面β内的一条直线，且m⊥α，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥α，所以不一定能得到m⊥α，所以“α⊥β”是“m⊥α”的必要不充分条件．故选B．5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵||=2，•（﹣）=﹣3，∴•﹣=•﹣22=﹣3，∴•=1，∴向量在方向上的投影为=．故选：C．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元【考点】简单线性规划．【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值．【解答】解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，工厂获得的利润为z又已知条件可得二元一次不等式组：目标函数为z=3x+4y，由，可得，利用线性规划可得x=6，y=1时，此时该厂的日利润最大为z=3×6+4=22万元，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，化简比较三个数即可得解．【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，并将此最小的数用变量x表示并输出，由于，m==，n=0.6﹣2=，p==，可得，＞＞，即：n＞m＞p．故选：A．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．48【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，剩下2人选其余主食；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，或没有人选甲选的主食，相加后得到结果【解答】解：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为C42C31=18，剩下2人选其余主食，方法为A22=2，共有方法18×2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3A22=6；若没有人选甲选的主食，方法为C32A22=6，共有4×2×（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：B．9．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C． D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=3m+1﹣x，x∈（3m，3m+1]，在直角坐标系中画出f （x）的图象和直线y=k（x﹣1），根据函数的图象、题意、斜率公式求出实数k的范围．【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立，所以f（t）=3f（），取x∈（3m，3m+1]，则∈（1，3]，因为当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x，所以f（）=3﹣，则f（x）=…=3m f（）=3m+1﹣x，且y=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）：因为函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），且函数g（x）恰好有两个零点，所以f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）恰好由两个交点，由图得，直线y=k（x﹣1）处在两条红线之间，且过（3，6）的直线取不到，因，，所以k的范围是[，3），故选：D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=a，方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状．【解答】解：由（+）=0，可得（+）•（﹣）=0，即有2﹣2=0，即|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，可得∠AOF=45°，由渐近线方程y=±x，可得=1，c=a，则关于x的方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，即有x1x2=﹣，x1+x2=﹣1，即有x12+x22=1+2＜4，可得以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形．故选：A．二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式、两角而和的余弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=cos（25°+35°）=cos60°=，故答案为：．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接OC，则∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成角，根据图1可知棱锥底面边长为6，斜高为4，从而棱锥的侧棱长为5．于是cos∠SCO=．【解答】解：由图1可知四棱锥的底面边长为6，斜高为4．∴棱锥的侧棱长为5．连接OC，∵SO⊥平面ABCD，∴∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成的角．∵AB=BC=6，∴OC=AC=3．∴cos∠SCO==．故答案为：．13．已知椭圆C： +=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为12 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值，代入|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于10，列式求n的值．【解答】解：由0＜n＜16可知，焦点在x轴上，由过F1的直线l交椭圆于A，B两点，由椭圆的定义可得|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=16，即有|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|===，即为10=16﹣，解得n=12．故答案为：12．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，可得：a+b=1．（a＞﹣1，b＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，∴+b﹣1=0，化为：a+b=1（a＞﹣1，b＞0）．∴+=（a+1+b）=≥=，当且仅当a=2﹣3，b=4﹣2时取等号．故答案为：．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f（x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；②存在x0∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有②③④（写出所有正确命题的序号）．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，以及导数的几何意义，利用数形结合的方法进行判断．【解答】解：当a=1，b=1时，函数f（x）=，①当x=时，f（）==﹣2， =2，故f（x）＞不成立，故①不正确；②当x0=时，f（）=＜0，tan=1，故存在x0∈（，），使f（x0）＜tanx0成立，故②正确；③则函数f（x）=与y轴交于（0，﹣1）点，则“囧点”坐标为（0，1），设y=lnx，则y′=，设切点为（x0，lnx0），∴切线的斜率k=，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，∴•=﹣1，解得x0=1，∴切点坐标为（1，0），故函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是=，故③正确，④令“囧圆”的标准方程为x2+（y﹣1）2=r2，令“囧圆”与f（x）=图象的左右两支相切，则切点坐标为（，）、（﹣，）、此时r=；令“囧圆”与f（x）=图象的下支相切则切点坐标为（0，﹣1）此时r=2，故函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π，故④正确，综上所述：其中的正确命题有②③④，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式得到f（x）的解析式，由此得到单调增区间．（2）由f（A）=1+，得A=，由恒等式得到B=，所以得到b．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．=sin2x+sin（2x+）+．=2sin（2x+）+，由﹣+2kπ≤2x+≤2kπ+，得：﹣+kπ≤x≤kπ+，（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，kπ+]，（k∈Z）．（2）∵f（A）=1+，∴A=，∵sinB=2sinC=2sin（﹣B），∴cosB=0，即B=，∴由正弦定理得： =，∴b=．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形BHFE是平行四边形，从而BE∥HF，从而∥平面GHF，BE∥平面GHF，由此能证明平面ABED∥平面GHF．（2）以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由已知得三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，∴，∵G，H分别为AC，BC的中点．，∴AB∥GH，EF∥BH，EF=BH，∴四边形BHFE是平行四边形，∴BE∥HF，∵AB⊄平面GHF，HF⊂平面GHF，∴AB∥平面GHF，BE∥平面GHF，又AB∩BE=B，AB，BE⊂平面ABED，∴平面ABED∥平面GHF．解：（2）由已知，底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，即AC⊥BC，又FC⊥底面ABC，∴以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取AB=2，由BC=CF=，得BC=CF=1，AC=，则A（），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），E（0，，1），D（，0，1），平面DEF的一个法向量=（0，0，1），设平面ABED的法向量=（x，y，z），， =（﹣，），由，取x=2，得=（2，2），cos＜＞===，由图形得二面角A﹣DE﹣F的平面角是钝角，∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值为﹣．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，由题意得，从而n=2，m=4，由此利用对立事件概率计算公式能求出从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．【解答】解：（1）用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，∴P（A）=，解得n=2，∴m=4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生”，∴P（B）=1﹣=．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，E（X）==．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过3S n+a n﹣3=0与3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0作差，进而可知数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，利用公式计算即得结论；（2）通过（1）及3S n+a n﹣3=0计算可知b n=﹣n﹣1，裂项可知=﹣，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）∵3S n+a n﹣3=0，∴当n=1时，3S1+a1﹣3=0，即a1=，又∵当n≥2时，3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0，∴3a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1，∴数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，故其通项公式a n=•=3•；（2）由（1）可知，1﹣S n+1=a n+1=，∴b n==﹣n﹣1，∵==﹣，∴T n==﹣+﹣+…+﹣=﹣，由T n≥可知，﹣≥，化简得：≤，解得：n≥2019，故满足条件的n的最小值为2019．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，建立方程，即可求曲线C的方程；（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P，Q的坐标，进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，换元利用基本不等式求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）设圆心C（x，y），则x2+4=（x﹣2）2+y2，化简得y2=4x，∴动圆圆心的轨迹的方程为y2=4x．（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点P的坐标为（1+，）．由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有1+≠1+2k2，此时直线PQ的斜率k PQ=．所以，直线PQ的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，记k2+=t∵k2+≥2，∴t≥2，∴|PQ|2=4[（t+）2﹣]，∴t=2，即k=±1时，|PQ|的最小值为4．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h（x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求函数g（x）的解析式，求导，根据a的取值，分别解关于x的不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可；（2）根据已知条件将其转化成， +x1＞+x2，且x1＞x2，构造辅助函数F（x）=﹣（m﹣1）x﹣1，求导，分离变量求得m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=e x（x2+ax﹣2a﹣3），a∈R．∴g′（x）=e x[x2+（a+2）x﹣a﹣3]，=a（x﹣1）（x+a+3），当a=﹣4时，g′（x）=a（x﹣1）2≥0，∴g（x）在R上单调递减，当a＞﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜﹣a﹣3或x＞1，∴g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得﹣a﹣3＜x＜1，∴g（x）在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜1或x＞﹣a﹣3，∴g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得1＜x＜﹣a﹣3，∴g（x）在（1，﹣a﹣3）上单调递减，综上所述：当a=﹣4时，g（x）在R上单调递减；当a＞﹣4时，g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，在（1，﹣a﹣3）上单调递减．（2）h（x）=f（x）﹣mx2﹣x=e x﹣mx2﹣x，，∴x2h（x1）﹣x1h（x2）＞x1x2（x2﹣x1），∴﹣＞x2﹣x1，不等式﹣＞x2﹣x1，等价于+x1＞+x2，且x1＞x2，记F（x）==﹣（m﹣1）x﹣1，∴F（x）在[，2]上单调递增，F′（x）=﹣（m﹣1）≥0在x∈[，2]上恒成立，m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，记P（x）=+1，∴P′（x）=＞0，∴P（x）在[，2]上单调递增，P（x）min=P（）=1﹣2．∴实数m的取值范围为（﹣∞，1﹣2]．2019年8月13日数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2019届四川省成都石室中学高三适应性考试(一)数学理科试题(解析版)

成都石室中学高2019届高考适应性考试(一)数学试卷(文科)一、选择题1.已知集合{}021,0,1,2|{}Ax x B -≤≤＝,＝，则A B ⋂＝（） A. []0,2 B. {}0,1,2C. ()1,2－D. {}1,0,1－【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】因为{}{|},021,0,1,2A x x B =≤≤=-，则{}0,1,2A B =I ，故选:B .【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2.设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.3.计算2543log sin cos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( )A. 32-B.32C. 23-D.23【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】原式2222221log cos 2log cos log 232322πππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.4.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ．5.在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ==，，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（） A.32B.33C.155D.105【答案】C 【解析】【分析】在长方体中11//AB C D ，得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论. 【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，在1111,3,2,5Rt ADD DD AAAD AD ∆===∴=， 111315cos 5DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为15.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.6.执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（）A. 5i ≤B. 6i ≤C. 7i ≤D. 8i ≤【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】执行框图如下：初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环；故，判断条件为6i ≤. 故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.7.已知平面向量a b r r，满足21a b a r r r ＝，＝,与b r 夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥r r r r+－，则实数λ的值为（）A. 7-B. 3-C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()()20a b a b λ+-=⋅r r r r，结合向量数量积的运算律，建立λ方程，求解即可.【详解】依题意得22113a b cos π⋅=⨯⨯=-r r 由()()20a b a b λ+-=⋅r r r r ，得()222210a b a b λλ-+-⋅=r r r r即390λ-+=，解得3λ=. 故选:D .【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 8.已知三棱柱1116.34ABC AB C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A.B. C.132D. 【答案】C 【解析】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝1329.若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫<⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( ) A. 24x π=-B. 3724x π=C. 1724x π=D. 1324x π=-【答案】B 【解析】【分析】由点012π⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ的值，化简()f x 解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得()f x 的对称轴，由此确定正确选项.【详解】由题可知220,122sin ππϕϕ⎛⎫⨯+=< ⎪⎝⎭.6πϕ=-所以()2cos 266f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5226412x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令52,122x k k Z πππ+=+∈，得,242k x k Z ππ=+∈ 令3k =，得3724x π=故选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.10.已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A. 12B. 10C. 9D. 8【答案】C 【解析】【分析】求得A 点坐标，由此求得直线AF 的方程，联立直线AF 的方程和抛物线的方程，求得B 点坐标，进而求得AB【详解】抛物线焦点为()2,0F ，令1x =，28y =，解得y =±(A ，则直线AF 的方程为))22y x x =-=--，由)228y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得((,4,A B -，所以9AB ==.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.11.过点P 的直线l 与曲线y =交于A B ，两点，若25PA AB =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为( )A. 2B. 2C. 2+或2D. 21【答案】A 【解析】【分析】利用切割线定理求得,PA AB ，利用勾股定理求得圆心到弦AB 的距离，从而求得30APO ∠=︒，结合45POx ∠=o ，求得直线l 的倾斜角为15o ，进而求得l 的斜率.【详解】曲线y =2213x y +=的上半部分，圆心为()0,0设PQ 与曲线y =相切于点Q ，则()2PQ PA PB PA PA AB =⋅=⋅+2225375PA PO OQ -=== 所以5,2PA AB ==，O 到弦AB =1sin 2APO ===∠，所以30APO ∠=︒，由于45POx ∠=o ，所以直线l 的倾斜角为453015-=o o o ，斜率为()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30-=-==+⨯o ooooo o故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A. 510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 510,23⎛⎫⎪⎝⎭C. 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围.【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =，则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13.在()()6411 x y ++的展开式中，23x y 的系数为________．【答案】60 【解析】【分析】根据二项展开式定理，求出6(1)x +含2x 的系数和4(1)y +含3y 的系数，相乘即可. 【详解】()()6411 x y ++的展开式中，所求项为：2233232364654602C x C y x y x y ⨯=⨯=， 23x y 的系数为60.故答案为:60.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.14.已知矩形 ABCD ，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________. 【答案】2 【解析】【分析】根据,A B 为焦点，得2c =；又2AC BC a -=求得a ，从而得到离心率. 【详解】,A B 为焦点 24c ⇒= 2c ⇒=C 在双曲线上，则2AC BC a -=又5AC == 22a ⇒= 1a ⇒=2ce a∴== 本题正确结果：2【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题. 15.已知函数()1xxf x e e-=--，则关于x 的不等式(2)(1)2f x f x ++>-的解集为_______．【答案】1(,)3-+∞ 【解析】【分析】判断()()1g x f x =+的奇偶性和单调性，原不等式转化为()()()2?11g x g x g x -+=--＞，运用单调性，可得到所求解集．【详解】令()()1g x f x =+，易知函数()g x 为奇函数，在R 上单调递增，()()()()21221110f x f x f x f x ++>-⇔++++＞，即()()210g x g x ++＞，∴()()()2?11g x g x g x -+=--＞ ∴21x x ＞--，即x ＞13- 故答案为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 16.已知数列{}n a 满足1211,3a a ==对任意2,*n n N ≥∈，若()111123n n n n n a a a a a -+-++=，则数列{}n a 的通项公式n a =________．【答案】121n - 【解析】【分析】由()111123n n n n n a a a a a -+-++=可得1111112()n n n n a a a a +--=-，利用等比数列的通项公式可得1112n n na a +-=，再利用累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】由()111123n n n n n a a a a a -+-++=，得1111112()n n n n a a a a +--=- 21112a a -=，数列111{}n n a a +-是等比数列，首项为2，公比为2，1112n n na a +∴-=，11112,2n n n n a a --≥-=， 11221111111111()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+L 121222212112nn n n ---=++++==--L ， 111,1n a ==，满足上式，121n n a =-. 故答案为:121n -. 【点睛】本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.三、解答题17.在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:已知变量,x y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲$453y x =+；乙$4105y x =-+；丙$ 4.6104y x =-+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的. （1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X 的分布列和数学期望.【答案】（1）乙同学正确（2）分布列见解析， ()32E X =【解析】【分析】（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点(,)x y 代入验证，即可得出结论；（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X 的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【详解】（1）已知变量,x y 具有线性负相关关系，故甲不正确，6.5,79x y ==Q ，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：$4105y x =-+（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X 的取值为:0,1,2,3. ()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C === ()2133369220C C P X C ===，()3033361120C C P X C === 于是“理想数据”的个数X 的分布列()199130123202020202E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.18.已知在平面四边形ABCD 中，3,,1,4ABC AB AD AB ABC π∠=⊥=V 的面积为12. （1）求AC 的长；（2）已知CD =ADC ∠为锐角，求tan ADC ∠.【答案】（1（2）4.【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求得BC ，利用余弦定理求得AC .（2）利用余弦定理求得cos CAB ∠，由此求得sin DAC ∠，进而求得sin ADC ∠，利用同角三角函数的基本关系式求得tan ADC ∠.【详解】（1）在 ABC V 中，由面积公式：11sin 242ABC S AB BC ABC BC =⨯⨯⨯∠==VBC ∴=在 ABC V 中，由余弦定理可得：22225AC AB BC AB BC cos ABC +⋅∠-⋅==AC ∴=（2）在 ABC V 中，由余弦定理可得：2222AB AC BCcos CAB AB BC +-∠==⋅ ()2sin DAC sin DAB CAB sin CAB π⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭5sin DAC cos CAB ∴∠=∠= 在 ADC V 中，由正弦定理可得:sin sin AC CD ADC DAC =∠∠，sin ADC ∴∠= ADC ∠Q 为锐角cos ADC ∴∠==. tan 4ADC ∴∠=【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.19.如图，在四面体DABC 中，AB BC DA DC DB ⊥==，.（1）求证:平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若30CAD ∠=︒，二面角 C AB D --为60o ，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（23【解析】【分析】（1）取AC 中点,F 连接,FD FB ，得,DF AC ⊥AB BC ⊥，可得FA FB FC ==，可证DFA DFB V V ≌，可得DF FB ⊥，进而DF ⊥平面ABC ，即可证明结论；（2）设,,E G H 分别为边,,AB CD BD 的中点，连,,,,DE EF GF FH HG ，可得//GF AD ，//,//GH BC EF BC ，可得FGH ∠（或补角）是异面直线AD 与BC 所成的角，BC AB ⊥，可得EF AB ⊥，DEF ∠为二面角 C AB D --的平面角，即60DEF ∠=o ，设AD a =，求解FGH ∆，即可得出结论.【详解】（1）证明:取AC 中点,F 连接,FD FB ，由,DA DC =则,DF AC ⊥AB BC ⊥Q ，则FA FB FC ==，故DFA DFB V V ≌，2DFB DFA π∠=∠=，,,DF AC DF FB AC FB F ⊥⊥⋂=QDF ⊥∴平面ABC ，又DF ⊂平面ACD ，故平面ABC ⊥平面ACD（2）解法一:设,G H 分别为边,CD BD 的中点，则//,//FG AD GH BC ，FGH ∠（或补角）是异面直线AD 与BC 所成的角.设E 为边AB 的中点，则//EF BC ，由,AB BC ⊥知EF AB ⊥.又由（1）有DF ⊥平面,ABC DF AB ∴⊥，,EF DF F AB =⊥I 平面.,D F B E E D A ∴⊥，所以DEF ∠为二面角C AB D --的平面角，60DEF ∴∠=o ，设,DA DC DB a ===则2a DF AD CAD =⋅∠= 在Rt DEF △中，332a EF a =⋅= 从而1326GH BC EF a === 在Rt BDF V 中，122a FH BD ==，又122a FG AD ==，从而在FGH V 中，因FG FH =，132GH cos FGH FG ∴∠==，因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为3.解法二:过点F 作FM AC ⊥交AB 于点,M由（1）易知,,FC FD FM 两两垂直，以F 为原点，射线,,FM FC FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F xyz -.不妨设2AD =，由30CD AD CAD =∠=︒,，易知点,,A C D的坐标分别为()0,,()(), 0,0,1A C D则 (0)AD =u u u r显然向量()0,0,1k =r 是平面ABC 的法向量已知二面角 C AB D --为60︒，设(),,0B m n，则223,,()m n AB m n +==+u u u r设平面ABD 的法向量为(),,n x y z =r ，则(0000z AD n AB n mx n y +=⎧⋅=⇒⎨⋅=++=⎩⎪⎩u u u v v u u u v v 令1y =，则n n m ⎛+=- ⎝r由||1,2k n cos k n k n ⋅<>===u u r r r r r r由上式整理得29210n +-=，解之得n =舍)或9n =B ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭CB ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，2,AD CB cos AD CB AD CB ⋅<>===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为3.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20.已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=＞＞的左，右焦点，点2(P -在椭圆E 上，且抛物线24y x =的焦点是椭圆E 的一个焦点．（1）求a ,b 的值：（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于A ，B 两点，且与椭圆E 相交于C ，D 两点，当111F A F B ⋅=u u u v u u u v 时，求△1F CD 的面积．【答案】（1）2,1a b ==；（246. 【解析】【分析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出a ，b ；（2）设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与圆的方程可以求出2t ，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．【详解】（1）24y x ＝焦点为F （1，0），则F 1（1，0），F 2（1，0）， 122P F +P F 22a ＝＝2a =c ＝1，b ＝1，（Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)220t y ty ++-=，易知△＞0，则1221222t t +12t +1y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩11 F A F B ⋅u u u v u u u v ＝1122(1)(1)x x y y +++＝1212(ty +2)(ty +2)+y y ＝22121222-2t t +1y y +2t y +y +4t +1（）（）＝因为111F A F B =⋅u u u r u u u r ，所以222-2t t +1＝1，解得21t 3＝联立22112x ty x y +⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，得22t +2y +2ty-10（）＝，△＝82t +1（）＞0 设3344C ,),(,)x y B x y （，则3423422t y +y t +21y y 2t -⎧⎪⎪⎨⎪-⎪+⎩＝＝1F CD 12341S F F y -y 23∆⋅＝【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题．意在考查学生的数学运算能力．21.已知函数()2, 2.718282a f x xlnx x x a R e =--∈≈⋅⋅⋅,是自然对数的底数. （1）若a e =-，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明:1212x x x x >+.【答案】（1）减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明见解析. 【解析】【分析】（1）当a e =-时，求得函数()f x 的导函数()'f x 以及二阶导函数()''f x ，由此求得()f x 的单调区间.（2）令()'0f x =求得ln x a x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数求得()g x 的单调区间、极值和最值，结合()f x 有两个极值点，求得a 的取值范围.将12,x x 代入()f x lnx ax '=-列方程组，由()()1212212212ln ln ln x x x x x a x x x x x +<==++证得1212x x x x >+. 【详解】（1）()'f x lnx ax lnx ex =-=+Q ，10e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭'∴=，又()1"0f x e x=+>，所以()'f x 在(0)+∞，单增，从而当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0, f x f x <递减，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 递增.（2）()f x lnx ax '=-.令()ln '0x f x a x =⇒=，令()ln x g x x =，则()21ln x g x x-'= 故()g x 在()0,e 递增，在(,)e +∞递减，所以()()max 1g x g e e==.注意到当1x >时()0g x >，所以当0a <时，()f x 有一个极值点，当10a e <<时，()f x 有两个极值点，当1a e≥时，()f x 没有极值点，综上10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为12,x x 是()f x 的两个极值点，所以11112222ln 0ln ln 0ln x ax x ax x ax x ax -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 不妨设12x x <，得121x e x <<<，因为()g x 在(,)e +∞递减，且122x x x +>，所以()()1212212212ln ln ln x x x x x a x x x x x ++<⇒<++ 又()()12121212ln ln ln x x x x a x x a x x +=+⇒=+ 所以()()121212121212ln ln x x x x x x x x x x x x +<⇒>+++ 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30°，且经过点()2,1A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求出直线1l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求AP AQ⋅的值．【答案】（Ⅰ）22112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，()22400.x x y x -+=≠；（Ⅱ）3.【解析】【分析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l 1的参数方程，设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩，即ρ＝4cos θ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得到关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义可得|AP |•|AQ |的值．【详解】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为x 2tcos30y 1tsin30=+⎧⎪=+⎨⎪⎩o o ，（t 为参数）即2112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则1ρρ121θθ=⎧=⎨⎩，即3ρ12cos θ⋅=，即ρ=4cosθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0（x ≠0）.（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得221(2t)42(1t)02⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪⎝⎭，即2t t 30-=，t 1，t 2为方程的两个根， ∴t 1t 2=-3，∴|AP|•|AQ|=|t 1t 2|=|-3|=3．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．23.已知函数()|2||4|f x x x =++-.(1)求不等式()3f x x ≤的解集；(2)若()|1|f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围.【答案】(1)[)2,+∞；(2)(],2-∞.【解析】【分析】（1）通过讨论x 的范围，分为4x >，2x <-，24x -≤≤三种情形，分别求出不等式的解集即可；（2）通过分离参数思想问题转化为331111k x x ≤++---，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到k 的范围.【详解】(1)当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >，当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得25x ≥，所以此时不等式无解，当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤综上所述，不等式解集为[)2,+∞.(2)由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-，当1x =时，60≥恒成立，所以R k ∈；当1x ≠时，24131333111111x x x x k x x x x ++--++--≤==++-----. 因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫++-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当且仅当3311011x x ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭即4x ≥或2x -≤时，等号成立，所以k 2≤；综上k 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.。

成都石室中学高2019届三诊模拟考试-数学理科试题答案

石室中学高2019届2018~2019学年三诊模拟考试数学参考答案（理科）1-5.DCDAA 6-10.CABCD 11-12.BC13.12-. 14． 14425. 15.17. 解：（Ⅰ）由题意知， 34ADC π∠=，AD = 由正弦定理得sin sin AD AC C ADC=∠……………………………………………2分所以1sin 2C =，因为C 为锐角，所以6C π=………………………….4分所以sin sin()464BAC ππ∠=+=…………………………………6分（Ⅱ）因为3BD CD =，所以ACD ∆面积14ACD ABC S S ∆∆=设,AB x BC y ==，所以1142216ACD S xy xy ∆=⋅⋅=，…………………..8分在ABC ∆中，由余弦定理2242x y xy +=≥，所以 4xy ≤=+x y =时，xy 最大值是4+………………11分所以ACD ∆面积的最大值为14)164=……………………………12分 18. 解：(1)如图，连接CA 交BQ 于F ,//AP 面MQB ,又面MQB ⋂面PAC MF =,AP ⊆面//PAC MF AP ⇒， ………………………3分又//AQ BC BCDQ =⇒为平行四边形，F ⇒平分AC M ⇒平分,PC 12PM PC =；…………5分(2)如图，以Q 为坐标原点O ,,,OA OB OP 分别为轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系o xyz -,则有x(0,0,0),(1,0,0),(O A B C-P ;则面BQC 的法向量为：1(0,0,1),n =过M 作MH QC ⊥交QC 于H ,作HE QB ⊥交QB 于E ,060MEH ∠=为二面角M BQ C --的平面角，设,,EH a MH ==由0,130,CD OB BC COB ===⇒∠=2,QH a ∴=,MH PQ ==2,CH a ∴=42CB a ∴==,12a ∴=,H ∴平分QC , M ∴平分PC ,…………………………………8分1(2M ∴-(AB ∴=-,1(,2CM =, 设ABM 的法向量为2(,,),n x yz =则22003002x n AB n AM x y z ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩2(3,1,2),n =………………………10分2(|cos|14CM n ∴<⋅>== 故CM 与平面ABM ………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题知用A 配方生产的产品为二级品的概率为25，用B 配方生产的产品为二级品的概率为14，所以恰好抽到3件二级品的概率22112222222132319()()()()544554100P C C C C =⋅⋅+=； ……………..5分（Ⅱ）A 配方生产的产品的分布列为： B 配方生产的产品的分布列为：∴A 配方生产的产品平均利润率2()20.6E A t t =+…………………..7分∴B 配方生产的产品平均利润率2() 1.30.7E B t t =+………………………..9分∴2()()0.70.10.1(71)E A E B t t t t -=-=-综上，当10,()()7t E A E B <<<，投资B 配方产品平均利润率较大；当1,()()7t E A E B ==，投资A 配方和B 配方产品平均利润率一样大； 11,()()75t E A E B <<>，投资A 配方产品平均利润率较大……………………………..12分 20．【答案】(1)2212x y +=；【解析】(1)22222,c a b c ==+ 221a b ∴=+设(,)A A A x y，由对称性可知12OA BA == A A x y =223A A x x ∴=⇒=即A .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分将A 代入椭圆方程222211x y b b +=+422232(1)(32)0b b b b ⇒--=-+= 221,2b a ∴==，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 (2) 设直线:(0)l y kx b b '=+≠，1122(,),(,)M x y N x y 联立方程2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 可得222(12)4220k x kbx b +++-=因为有两个交点，即22222(4)4(12)(22)88160kb k b b k ∆=-+-=-+>2212b k ⇒<+① 由韦达定理12221224122212kb x x k b x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，121222()212b y y k x x b k ∴+=++=+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 PM PN =即P 为MN 的中点，P ∴的坐标为222(,)1212kb b P k k -++ P 在y x =上222112122kb b k k k -∴=⇒=-++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分将12k =-代入①可得232b ⇒<12MN x =-，O 到直线l '的距离为o MN d-1122MON o MN S MN d -∴=⋅⋅=23b =23(0)2b <<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分∴当234b =，即b =时， MON ∆．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 21. 解析：（Ⅰ）当4a =时，()84x f x xe x =-+，(1)4f e =-，()8x x f x xe e '=+-，(1)28f e '=-，所以切线方程为(4)(28)(1)y e e x --=--，即(28)4y e x e =--+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）因为2()()()(2)(1)x h x f x g x x e a x =-=-+-，所以()(1)(2)x h x x e a '=-+.①当0a >时，()h x 在(1,)+∞上单调递增，在(,1)-∞上单调递减.因为(1)0,(2)0h e h a =-<=>，所以()h x 在(1,)+∞上有且只有一个零点.下面考虑()h x 在(,1)-∞上零点的情况（考虑到()h x 中含有x e ,为了化简()h x ，所以想到ln 2a ），取b ，使0b <，且ln 2a b <，则223()(2)(1)()022a hb b a b a b b >-+-=->，即()h x 有两个不同的零点.⋯⋯6分 ②当0a =时，()(2)x h x x e =-，此时()h x 只有一个零点. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分③当0a <时，令()0h x '=，得1x =或ln(2)x a =-.（i ）当2e a =-时，()(1)(),()0x h x x e e h x ''=--≥恒成立，所以()h x 在R 上单调递增. ⋯⋯⋯⋯8分（ii ）当2e a >-时，即ln(2)1a -<，当ln(2)x a <-或1x >时，()0h x '>；当ln(2)1a x -<<时，()0h x '<，所以()h x 在(,ln(2))a -∞-和(1,)+∞上单调递增，在(ln(2),1)a -上单调递减. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分（iii ）当2e a <-时，即ln(2)1a ->，当1x <或ln(2)x a >-时，()0h x '>；当1ln(2)x a <<-时，()0h x '<，所以()h x 在(,l)-∞和(ln(2),)a -+∞上单调递增，在(1,ln(2))a -上单调递减. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分当0a <时，因为(1)0h e =-<，22(ln(2))(2)[ln(2)2][ln(2)1][(ln(2)2)1]0h a a a a a a a -=---+--=--+<，所以无论上述（i ）（ii ）（iii ）哪一种情况，()h x 都没有两个零点，不符合题意.综上，a 的取值范围是(0,)+∞.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【答案】(1)221x y +=； (2) 1.【解析】(1)将直线,l l 12的参数方程化一般方程，分别为:()l y k x 1=+1①， :()l y x k21=--1② ················································ 2分 ①⨯②消去k 可得：221x y +=,即P 的轨迹方程为：221x y +=. ·························· 5分(2) 设,M N 的极坐标分别为(,)3M M πρ,(,)3N N πρ曲线C 的极坐标方程为1ρ=，∴1M ρ= ······················································ 7分将()03πθρ=≥2N ρ= ···························· 9分 ∴由极坐标的几何意义可得1N M MN ρρ=-=． ············································ 10分23．解析：（Ⅰ）当2a =时，26,2,()|4|2,24,26, 4.x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=<<⎨⎪-≥⎩当2x ≤时，由()4|4|f x x ≥--得264x -+≥，解得1x ≤；当24x <<时，()4|4|f x x ≥--无解；当4x ≥时，由()4|4|f x x ≥--得264x -≥，解得5x ≥；所以()4|4|f x x ≥--的解集为{|1x x ≤或5}x ≥.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）记()(2)2(),h x f x a f x =+-则2,0,()42,0,2,.a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩由|()|2h x ≤，解得1122a a x -+≤≤. 又已知|()|2h x ≤的解集为{|12}x x ≤≤，所以11,21 2.2a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，于是解得3a =. ⋯⋯⋯⋯⋯10分。

2019届四川省成都石室中学高三适应性考试数学理科试题

成都石室中学高2021届高考适应性测试〔、选择题1 .集合 A= x|0 x2 ,B={ 1,0,1,2},那么 A B=〔〕 A. 0,2 B. 0,1,2C. -1,2【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义,即可求解.【详解】由于 A {x|0 x 2}, B 1,0,1,2 ,那么 AI B 0,1,2 , 应选：B . 【点睛】此题考查集合间的运算,属于根底题.. .. ...... ....... . (2)2.设i 为虚数单位,那么复数 z ——在复平面内对应的点位于〔〕1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简 z,求得z 对应的坐标,由此判断对应点所在象限2 2 1 i【详解】Q z —— ------------------- 1 i, 对应的点的坐标为 1,1 ,1 i 1 i 1 i应选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点所在象限,属于根底题、一,,5 …3 .计算log 2 sin —cos ——等于〔〕4 3利用诱导公式、特殊角的三角函数值,结合对数运算,求得所求表达式的值A.3 B.— 2C.2 D.—3〕数学试卷〔文科〕D. —1,0,1D.第四象限位于第一象限【详解】原式 log 2 -- cos 2— log 2 cos - 23 23应选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查对数运算,属于根底题4 .党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活泼度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济比照试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,最【答案】D 【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知,图中D 中共享与不共享的企业经济活泼度的差异最大, 它最能表达共享经济对该部门的开展有显著效果,应选5 .在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中,AB 1, AD亚,AA J 3,那么直线DD 1与平面ABC 1所成角的余弦值为〔〕能表达共享经济对该部门的开展有显著效果的图形是〔1O KK QiUa ¥«*布事声串D.3血2 2.共享经济是公众将闲置资源通过D.D.【解在长方体中AB / /C 1D 1,得DD i 与平面ABC i 交于D 1,过D 做DO A 〕于O ,可证DO 平面ABCR , 可得 DD i A 为所求解的角,解 Rt ADD/即可求出结论.【详解】在长方体中 AB//C 1D 1,平面ABC 1即为平面ABC 1D 1, 过 D 做 DO AD i 于 O , Q AB 平面 AA i D i D ,DO 平面 AAD i D, AB DO, AB I AD i D,DO 平面ABC i D i , DD i A 为DD i 与平面ABC i 所成角,在 Rt ADD i ,DD i AA V 3, AD V 2, AD i 展,DD i 「3 .i5cos DD i A ---------- -=. ------------AD i .5 5【点睛】此题考查直线与平面所成的角,定义法求空间角要表达“做〞 “证〞 “算〞,三步骤缺一不可, 属于根底题6 .执行下面的程序框图,假设输出的 S 的值为63,那么判断框中可以填入的关于 i 的判断条件是〔直线DD i 与平面ABC i 所成角的余弦值为应选：C.B. iC. i 7D. i 8【解析】【分析】根据程序框图,逐步执行,直到S的值为63,结束循环,即可得出判断条件【详解】执行框图如下:初始值: 0,i 1,第一步: 1,i 2 ,此时不能输出,继续循环;第二步: 3,i 3,此时不能输出,继续循环;第三步: 7,i 4 ,此时不能输出,继续循环;第四步: 15,i 5,此时不能输出,继续循环;第五步: 15 16 31, i 1 6 ,此时不能输出,继续循环;第六步: 31 32 63, i 1 7 ,此时要输出, 结束循环;故,判断条件为i6.应选B【点睛】此题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果, 即可确定判断条件,属于常考题型.7. r r 一一…’•平面向量a,b满足a=2,b=1,a与b 夹角为2 「,r一,且(a+3b) (2a— b),那么实数的值为()A. 7B. 3C. 2D. 3【解析】【分析】由可得r2a 0 ,结合向量数量积的运算律,建立方程,求解即可.【详解】依题意得2 cos一r2a 0,r2得2a3r2b 3.应选：D .【点睛】此题考查向量数量积运算,向量垂直的应用, 考查计算求解水平,属于根底题8.三棱柱ABC AB1c l的6个顶点都在球O的球面上.假设AB3, AC 4, AB AC,A. X 一24 B.37x —24 C. x1724D. X1324【分析】定正确选项【详解】由题可知2sin 2 -0,12人 5令 2x - - k ,k Z , 12 2 /口 k 倚 x — —, k Z24 237令k 3,得x 3— 24应选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴的求法,属于中档题.10.F 为抛物线C : y 2 8x 的焦点,点A 1,m 在C 上,假设直线 AF 与C 的另一个交点为 B ,那么AB ()【答案】C 【解析】【分析】求得A 点坐标,由此求得直线 AF 的方程,联立直线 AF 的方程和抛物线的方程,求得 B 点坐标,进而求得AB【详解】抛物线焦点为 F 2,0,令x 1 , y 28 ,解得y2%/2 ,不妨设A 1,2行,那么直线AF 的方程为 y 2 x 22V2 x 2,由,2 2石*x 2 ,解得 A 1,2^2 , B 4, 4 V 2 ,所以1 2y 28xAB J 4 1 24& 2& 29.应选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法,属于根底题^由点—,0求得12的值,化简f x 解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得f x 的对称轴,由此确所以 f x sin 2x cos 2x 一6 672 sin 2x 一 —6 4\ 2 sin 2x12A. 12B. 10C. 9D. 811.过点P〔2强276〕的直线l与曲线y 713 x2交于A,B两点,假设uur uuu2PA 5AB ,那么直线l的斜率为A. 2 3B. 2 .3C. 2 .,3或2 .3D. 2【解析】【分析】利用切割线定理求得PA , AB,利用勾股定理求得圆心到弦AB的距离,从而求得APO 30 ,结合POx 45°,求得直线l的倾斜角为15°,进而求得l的斜率.【详解】曲线y .,桁口为圆X213的上半局部,圆心为0,0 ,半径为而.设PQ与曲线y J13~X2相切于点Q,_ 2那么PQ PA PB PA PA 所以|PA 5, AB| 2, AB7一PA5PO OQ 35.到弦AB的距离为.3 1 2.3, sin APO 2、3 2,3OP广厂一,所以APO 30 ,由于2.6 2 2POx 45°,所以直线l的倾斜角为45°30°15°,斜率为tan15°tan 45°30°tan 45°tan30°1 tan 45°tan30°2 3.应选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题 12.假设函数f x mx 2 e x 〔e 2.71828…为自然对数的底数〕在区间1,2上不是单调函数,那么实数m 的取值范围是 A. 一,2 5 10B. 5 10 2, 3C.2130c 10 D. 2,一3求得f x 的导函数f ,由此构造函数 2 m x 2 m,根据题意可知g x 在〔1,2〕上有变号零点.由此令g 0 ,利用别离常数法结合换元法, 求得 m 的取值范围.2 m, x 在区间1,2上不是单调函数, 在〔1,2〕上有变号零点,令 0, 那么 x 22x2,3 ,那么问题即m1 _在t1t 2,3上有零点,由于t -在2,3上递增,所以m 的取值t范围是52应选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查方程零点问题的求解策略,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题 .二、填空题6 4 2 313.在1 x 1 y 的展开式中,x2y3的系数为 .【答案】60【解析】【分析】根据二项展开式定理,求出(1 x)6含x2的系数和(1 y)4含y3的系数,相乘即可.6 4【详解】1 x 1 y的展开式中,所求项为：c2x2C：y3.4x2y360x2y3,2x2y3的系数为60.故答案为：60.【点睛】此题考查二项展开式定理的应用,属于根底题^14.矩形ABCD , AB= 4 , BC =3 ,以A, B为焦点,且过C, D两点的双曲线的离心率为【答案】2【解析】【分析】根据A,B为焦点,得c 2；又AC| |BC 2a求得a ,从而得到离心率.【详解】A, B为焦点2c 4 c 2C在双曲线上,那么AC BC 2a又AC J AB2 BC25 2a 2 a 1e c 2a此题正确结果：2【点睛】此题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题,属于根底题^15 .函数f(x) e x e x1,那么关于x的不等式f (2x) f (x 1) 2的解集为…1【答案】(,) 3【解析】【分析】判断g x f x 1的奇偶性和单调性, 原不等式转化为g 2x > 0 x 1 g x 1 ,运用单调性, 可得到所求解集. 【详解】令g x f x 1 ,易知函数g x 为奇函数,在 R 上单调递增,f 2x f x 12 f 2x 1 f x 1 1 >0,即 g 2x g x 1 >0,. . g 2x > g x 1 g x 112x> x 1 ,即 x> 一3,1故答案为一,3【点睛】此题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式,考查转化思想和运算水平,属于中档题. __ ____ ,一 1 .16 .数列 a n 满足a 1 1,a 2—对任意n 2,n N * ,假设a na n1 2a n13a nd 〔,那么数列 a n 的3通项公式a n .【解析】【分析】 ,八八1 1〜11、 …生——一由a n a n 1 2a n 13a n 1a n 1可得 ------ ---- 2( ------------- ),利用等比数列的通项公式可得a n 1 a n a n a n 11 1 1 1——2,数列｛—— —｝是等比数列,首项为 2,公比为2, a 2 a 1 a n 1 a na n 11 a n2n ,再利用累加法求和与等比数列的求和公式, 即可得出结论【详解】由1a n a n 1 2a n 13a n 1a n 1 ,得一 a n 1a n2(i—)a n 1【点睛】此题考查数列的通项公式,递推公式转化为等比数列是解题的关键,利用累加法求通项公式,属于中档题.三、解做题17.在国家“群众创业,万众创新〞战略下,某企业决定加大对某种产品的研发投入 .为了对新研发的产品进变量x,y 且有线性负相关关系,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为：甲y 4X 53 ；乙$ 4x 105；丙§ 4.6X 104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确？(2)假设由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过 1,那么称该检测数据是“理想数据〞,现从检测数据中随机抽取 3个,求“理想数据〞的个数 X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)乙同学正确3(2)分布列见解析, E X -2a no n2, n 2,— a na n 1n n 12,1 a n 1) a n 11 1 ( ------------- )a n 1 a n 2 a 2 a 12n 12n 21 2n2nn 1,— 1 ,满足上式, a 11 2n 1故答案为1 2n 1【分析】〔1〕由可得甲不正确,求出样本中央点〔X,］〕代入验证,即可得出结论；〔2〕根据〔1〕中得到的回归方程,求出估值,得到“理想数据〞的个数,确定“理想数据〞的个数X 的可能值,并求出概率,得到分布列,即可求解 ^【详解】〔1〕变量x,y 具有线性负相关关系,故甲不正确,Q X 6.5,y 79,代入两个回归方程,验证乙同学正确,故回归方程为：$ 4x 105〔2〕由〔1〕得到的回归方程,计算估计数据如下表:“理想数据〞有3个,故“理想数据〞的个数X 的取值为：0,1,2,3 .c °C 31C 2斗工P X 1CC 3旦C 6320 'C 3 2021 3 0P X 2 外—P X 1 瞪C 3 20 'C 3于是“理想数据〞的个数 X 的分布列,以及离散型随机变量的分布列和期望,意在考查逻辑推理、数学计算水平,属于中档题1 202092020 20.................................... . ― 3 — — — ____ 1 18 .在平面四边形 ABCD 中, ABC ——,AB AD, AB 1,VABC 的面积为一.42(1)求AC 的长;(2)CD 画, ADC 为锐角,求tan ADC . 2【答案】(1)有；(2) 4. 【解析】【分析】tan ADC 4(1)利用三角形的面积公式求得BC ,利用余弦定理求得 AC .(2)利用余弦定理求得 cos CAB,由此求得sin DAC ,进而求得sinADC,利用同角三角函数的基本关系式求得tan ADC .(1)在V ABC 中,由面积公式:S V ABCAB BC sin ABC BCBC在V ABC 中,由余弦定理可得:AC AB BC22 AB BC cos ABC 5AC 75(2)在VABC 中,由余弦定理可得:cos CABABAC |2 |BC2|AB | |BC |2.5 5sin DAC sin( DAB CAB)sinCAB2sin DAC〜r 2 -5 cos CAB----------------------5在VADC 中, 由正弦定理可得：ACCDsin ADC sin DAC 'sin ADC4<17 17Q ADC 为锐角cos ADC .1 sin 2ADC.17 17【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形面积公式,考查同角三角函数的根本关系式,属于中档题.19 .如图,在四面体DABC中,AB BC, DA DC DB.〔1〕求证：平面ABC 平面ACD ；〔2〕假设CAD 30 ,二面角C AB D为60°,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.【答案】〔1〕证实见解析⑵31 6 【解析】【分析】〔1〕取AC 中点F,连接FD,FB ,得DF AC, AB BC ,可得FA FB FC, 可证VDFA^VDFB ,可得DF FB ,进而DF 平面ABC ,即可证实结论；〔2〕设E,G,H 分别为边AB,CD,BD 的中点,连DE,EF ,GF , FH ,HG ,可得GF//AD ,GH //BC,EF//BC ,可得FGH 〔或补角〕是异面直线AD与BC所成的角,BC AB ,可得EF AB, DEF为二面角C AB D的平面角,即DEF 60°,设AD a,求解FGH ,即可得出结论.【详解】〔1〕证实：取AC中点F,连接FD,FB ,由DA DC,那么DF AC,Q AB BC,那么FA FB FC ,故VDFA^VDFB, DFB DFA 一,2Q DF AC, DF FB, AC FB F 二• DF 平面ABC ,又DF 平面ACD ,故平面ABC 平面ACD(2)解法一：设G,H 分别为边CD, BD 的中点,那么 FG //AD,GH //BC ,FGH (或补角)是异面直线 AD 与BC 所成的角.设E 为边AB 的中点,那么EF//BC, 由 AB BC,知 EF AB . 又由〔1〕有DF 平面ABC, DF AB,EFI DF F,AB 平面 DEF, DE AB.,所以 DEF 为二面角C AB D 的平面角, DEF设 DA DC DB a,那么 DF AD CAD -2在RtADEF 中,EF a 旦旦a2 36从而 GH -BC EF —a 26「 1又 FG -AD2从而在VFGH 中,因FG FH ,12GH 近 FG 6在 RtVBDF 中,FH -BD60°,cos FGH因此,异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为解法二：过点F 作FM AC 交AB 于点M ,8A,C,D 的坐标分别为A(0, 73,0),C(0,73,0), D 0,0,1二面角C AB设B m, n,0 ,那么muur3,AB (m,n 、.3,0) r设平面ABD的法向量为n x,y,z , uuiv v 皿AD n 那么uuiv vAB n mx n二1一3r r cosk,n uur r ik nl -r-r-k n由上式整理得9n22、3n 解之得n 囱〔舍〕或n4.6 7.3 八----- , ------ ,09 9cos juuruurrAD,CBHJLTAD41321 0 ,uuuCBJJJCBjuir uurAD CB4.692,30----- ,0 ,92—3-c 2 32 -------由〔1〕易知FC,FD,FM两两垂直,以F为原点,射线FM , FC,FD分别为x轴,y轴, z轴的正半轴,建立空间直角坐标系 F xyz. 不妨设AD 2,由CD AD, CAD易知点juur那么AD(0, ,3,1)r显然向量k 0,0,1 是平面ABC的法向量因此,异面直线 AD 与BC 所成角的余弦值为 31.【点睛】此题考查空间点、线、面位置关系,证实平面与平面垂直,考查空间角,涉及到二面角、异面直线所成的角,做出空间角对应的平面角是解题的关键,或用空间向量法求角,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算水平,属于中档题2 - 、1(a> b>0)的左,右焦点,点P( 1,—)在椭圆E 上,且抛物线b 222y 4x 的焦点是椭圆E 的一个焦点.(1)求a , b 的值：uuuv uuuvD 两点,当F 1A F 1B 1时,求^ F i CD 的面积.【解析】【分析】(1)由根据抛物线和椭圆的定义和性质,可求出(2)设直线i 方程为x ty 1,联立直线与圆的方程可以求出t 2,再联立直线和椭圆的方程化简,由根与系数的关系得到结论,继而求出面积.【详解】(1) y 2= 4x 焦点为 F (1, 0),那么 F 1 (1 , 0), F 2 (1, 0),2a= PF 1 + PF 2 =2五,解得 a 衣,c=1, b = 1,(n)由,可设直线l 方程为x ty 1, A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)2X20.F i, F 2分别是椭圆E ： -2 a (2)过点F 2作不与x 轴重合的直线l ,设l 与圆x 222_ 2 .y a b 相交于A, B 两点,且与椭圆 E 相交于C,【答案】(1) a夜,b 1 ； (2)迤 7x= ty 1 联立 x 22 ,得(t 2+2) y 2+2ty-1 =0 , △= 8(t 2+1) >0—y =1 21,8 3 _ 4 . 6 ----------- ------- 77 3【点睛】此题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用,同时考查利用根与系数的关系,解决直线与圆, 直线与椭圆的位置关系问题.意在考查学生的数学运算水平.a 2 _ ____21.函数f x xlnx - x x, a R, e 2.71828 是自然对数的底数2(1)假设a e,讨论f x 的单调性；(2)假设f x 有两个极值点x,x 2,求a 的取值范围,并证实：x 1x 2 x 1 x 2. 公一 ,、口 c 1 2 、口 1 -1…【答案】(1)减区间是 0,-,增区间是一,；(2)0,-,证实见解析.eee【解析】【分析】'''(1)当a e 时,求得函数f x 的导函数f x 以及二阶导函数 f x ,由此求得f x 的单调区间2t x ty 122联立 22 得(t 1)y 2ty 2 0 ,易知△> 0,那么x y 3 y i y 2 t 2+iy 〔y 22 p+1uuuz uuv F i A F i B=(x i1)(x 21) y 1y 2= (ty i +2)(ty 2+2)+y 1y 2=(t 2 +1)/ 、 2-2t 2y 1y 2 + 2t (y i +y 2)+4=- t +1uuu uuu 由于F 1A F 1B1,所以孕_ = 1,t 2+ 1解得t 2= 13设C9芈),B(x 4, y 4),那么丫3+丫42t t 2+2 y 3 y 4=i t 22S F 1CDIn xIn x ……,,,---,构造函数g x -利用导数求得 g x 的单调区间、极值和最值,结合f x 有两个极值点,求得 a 的取值范围.将x,x 2代入f x lnx ax 列方程组,由0,一一 1又f" x - e 0 ,所以f x 在〔0,〕单增, x 一, 「一从而当x 0,-时,f ' x 0, f x 递减,e,1 , .............当x -, 时,f x 递增.e1 ln x2x故g x 在0,e 递增,在〔e,〕递减,1所以g x m g e —.注意到当x 1时g x 0 , e 所以当a 0时,f x 有一个极值点,1 .当0 a -时,f x 有两个极值点,.. 1 , • ............ 当a —时,f x 没有极值点, C 1综上a 0,- e由于x,x 2是f x 的两个极值点,不妨设x x 2,得1x 1e x 2,(2)令 f (x )= 0求得 a ln x i x 2 lnx 2 ------------- --------- a ln x 1x 2 x x 2 x 2x 1 x 2证彳x x 1 x 2 x 1 x 2.【详解】〔1〕 Q f' xlnx ax lnx ex,(2) f x lnx ax .令 f ' x 0ln xln x 所以ln 斗 ln x 2 a% 0 ax 2 0ln % a4 ln x 2 ax 2由于g x 在(e,)递减,且X i X 2 X 2,m 、Jn x i X 2lnx 2 In X i X 2所以 ---------- ------ 2------------------------aX 1 X 2X 2X 1 X 2In x 1 x 2 In x 1x 2 所以 ---------- ----------- X 1X 2X 1 x 2X i X 2X iX 2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数研究函数的极值点,考查利用导数证实不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题^22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线I i 的倾斜角为30°,且经过点A 2,1 .以坐标原点.为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线I 2： cos 3,从原点.作射线交I 2于点M 点N 为射线OMk 的点,满足OM ON i2,记点N 的轨迹为曲线C.(I)求出直线Ii 参数方程和曲线 C的直角坐标方程;又 In % In X 2a X 1 X 2In x 1x 2 x 1 x 2(n)设直线I i与曲线C交于P, Q两点,求AP AQ值.21t24x(I)直接由写出直线即p= 4cos 0,然后化为普通方(n)将Ii的参数方程代入|AP|?|AQ| 的值.【详解】(I )直线Ii的参数数方程,直角坐标万程得到关于t的o30°, (t为参数)工可得0 x 0 . ； ( n) 3.,小(P1, 91),P1>0)t的几2y为y 1(t为参数),X2,t i t 2=-3 , |AP|?|AQ|=|t i t 2|=|-3|=3 .【点睛】此题考查简单曲线的极坐标方程,考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化,练习了直线参数方程中参数t 的几何意义的应用,是中档题.的范围.当2 x 4时,原不等式等价于 x 2 x 4 3x,解得x 2,所以2 x 4综上所述,不等式解集为 2,Jt21 t2 (t 为参数).设 N (p, 9) , M (p 1,.1), (p > 0, p 1>0),P1P 12那么9 01,即P 3 一一 ------ 12 ,即 p =4cos 0 , cos 0,曲线C 的直角坐标方程为 x 2-4x+y 2=0 (xw 0).(D) 将l i 的参数方程代入 C 的直角坐标方程中,得(2 餐 2 4 2 “1 卡..即t 2 —t 3 0, t 1, t 2为方程的两个根, 223.函数 f(x) |X 2| |x 4|.(1)求不等式 f(x) 3x 的解集;(2)假设 f(x) 1|对任意x R 恒成立, k 的取值范围.【答案】(1) 2, ；(2) ,2(1)通过讨论x 的范围,分为x 4, 2, x 4三种情形,分别求出不等式的解集即可;(2)通过别离参数思想问题转化为 ,根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到 k【详解】(1)当x 4时,原不等式等价于 4 3x, 解得x 2 ,所以x 4,当x 2时,原不等式等价于 x 2 x 4 3x, 解得x 2 ,所以此时不等式无解, 5(2)由f X由于1时, 1时, 1x31当且仅当1所以k 2 ；0恒成立,所以4或XW 2时,等号成立,综上k的取值范围是,2 .【点睛】此题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值不等式性质以及分类讨论思想,转化思想,属于中档题.。

【20套精选试卷合集】四川省成都石室中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数341i i -+的虚部为 A. 72- B. 72 C. 72i - D. 72i 2.设集合{}{}|x 0,|lnx 1M x N x =≤=≤，则下列结论中正确的是A. N M ⊂B. M N =C.R M C N R =UD. R M C N M =I3.要从编号为1~50的50名学生中用系统抽样的方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是A. 5,10,15,20,25B. 3,13,23,33,43C. 1,2,3,4,5D.2,4,8,16,324.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()()log a g x x b =-的图象是5.下列命题中，真命题是 A.2,2x x R x ∀∈> B. ,0x x R e ∃∈<C. 若,a b c d >>，则 a c b d ->-D.22ac bc <是a b <的充分不必要条件6.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边落在第二象限，(),A x y 是其终边上的一点，向量()3,4m =u r ，若m OA ⊥u r u u u r ，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A.7 B. 17-C. 7-D. 177.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.6π B. 3π C. 23π D.(22π8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12（弦⨯矢+矢2）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为23π，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是A. 6平方米B. 9平方米C. 12平方米D. 15平方米 9.已知抛物线2:8C y x =-的焦点为F ，直线:1l x =，点A 是l 上一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B ，若3FA FB =-u u u r u u u r ，则AB =A. 20B. 16C. 10D. 510.已知函数()24,0ln ,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨>⎩图象上有且只有4个不同的点关于直线的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为A. ()1,2B. ()1,0-C. ()2,1--D.()6,1--第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题25分.11.如图所示的程序框图中，[]2,2x ∈-则能输出x 的概率为 .12.在平行四边形张AC 与BD 交于点O ，12DE DO =u u u r u u u r ,CE 的延长线与AD 交于点F ，若(),,CF AC BD R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r 则λμ+=13. .已知奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+成立，且()11f =，则()()20152016f f += .14()()7x y x y +-的展开式中，35x y 的系数为 . 15.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>两条渐近线12,l l 与抛物线24y x =-的准线l 围成区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点(),x y ，若23y x x --+的最大值小于0，则双曲线的离心率e 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图像如图所示.（1）求()f x 的解析式，并求函数()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）在ABC V 中，()3,2,1AB AC f A ===,求sin 2B .17.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 内接于圆O ，AC 是圆O 的一条直径，PA ⊥平面ABCD ，2,PA AC ==E 是PC 的中点，.DAC AOB ∠=∠（1）求证：BE//平面PAD;（2）若二面角P CD A --的正切值为2，求直线PB与平面PCD 所成角的正弦值.18.(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 满足()11104,n n n a a n N -*++=⋅∈数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2log .n n b a =（1）求,;n n b S（2）设12n n b c +=,()1223111....2n n n c c c c c c S n N *+++<∈L19.(本小题满分12分)甲乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛.双方约定：① 比赛采用五局三胜制（先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束）；② 双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场；已知甲俱乐部派出队员123,,A A A ，其中3A 只参加第三场比赛，另外两名队员12,A A 比赛场次未定；乙俱乐部派出队员123,,B B B ，其中1B 参加第一场与第五场比赛，2B 参加第二场与第四场比赛，3B 只参加第三场比赛；根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表： 1A 2A 3A1B56 34 13 2B 2323 12 3B67 56 23 （1）若甲俱乐部计划以30获胜，则应如何安排12两名队员的出场顺序，使得取胜的概率最大？（2）若1A 参加第一场与第四场比赛，2A 参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望()E X .20.(本小题满分13分)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，其右焦点到直线20ax by +=的距离为3 （1）求椭圆1C 的方程；（2）过点10,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 交椭圆1C 于A,B 两点. ①证明：线段AB 的中点G 恒在椭圆22222:1y x C a b+=的内部； ②判断以AB 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数()()()()21ln 10,12x f x ax x b x a g x e x =--+>=--，曲线()y f x =与()y g x =在原点处有公共切线.（1）若0x =为函数的极大值点，求()f x 的单调区间（用a 表示）；（2）若0x ∀≥，()()212g x f x x ≥+，求a 的取值范围.高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}15A x R x =∈≤≤，{}2B x R x =∈<，则A B I 为（）A ．{}12x R x ∈≤< B ．{}1x R x ∈< C ．{}25x R x ∈<≤ D ．{}25x R x ∈≤≤ 2．设复数3z i =+，且(),iz a bi a b R =+∈，则a b +等于（） A ．-4 B ．-2 C ．2 D ．43．若向量()2,0a =-r ，()2,1b =r ，(),1c x =r满足条件3a b +r r 与c r 共线，则x 的值为（）A ．-2B ．-4C ．2D ．4 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11n a n n =+，则5S 等于（）A ．1B ．56C ．16D ．1305．已知命题p q 、，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知1a =r ，b =r ()a ab ⊥-r r r ，则向量a r 与向量b r的夹角是（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．6π7．已知曲线()21ax f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为（）A ．32 B ．32- C ．34- D ．438．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且4cos 5x =，则tan 2x =（）A ．724 B ．724- C ．247 D ．247- 9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（） A ．34cm 3 B ．38cm 3C ．32cmD ．34cm10．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（） A．．12- C ．12D11．已知m n 、是不重合直线，αβγ、、是不重合平面，则下列命题①若αγβγ⊥⊥、，则αβ∥ ②若m n m n ααββ⊂⊂∥∥、、、，则αβ∥ ③若αβγβ∥∥、，则γα∥ ④若m αββ⊥⊥、，则m α∥ ⑤若m n αα⊥⊥、，则m n ∥中真命题个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个12．定义在R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()3xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),00,-∞+∞UD ．()3,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若()121x f x a =+-是奇函数，则a = ． 14．已知实数,x y 满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则z x y =+的最小值为．15．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线()220y px p =>有相同的焦点F ，且相交于,A B 两点，AB 连线经过焦点F ，则双曲线的离心率为．16．已知()3,0A -，圆()()22:11C x a y --+-=上存在点M ，满足条件2MA MO =，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*22n n S a n =-∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的前n 项和n T .18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为棱BC 的中点，AB AC =，12BC AA =，求证：（1）1AC ∥平面1ADB ；（2）1BC ⊥平面1ADB .19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos bA A c=+. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，求ABC ∆的面积的最大值.20．已知过点()0,1A 的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，B 为椭圆上的任意一11223,3F F 成等差数列. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线():y k 2l x =+交椭圆于,P Q 两点，若点A 始终在以PQ 为直径的圆外，求实数k 的取值范围. 21．已知函数()ln x f x x =，()231m g x x x=--. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）对一切()0,x ∈+∞，()()2f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（3）证明：对一切()0,x ∈+∞，都有22ln xx x x e e <-成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 是参数）（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，且14AB =α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()3f x x x m x R =-++∈. （1）当1m =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若不等式()5f x ≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围.一、选择题1-5ACBBA 6-10ADDBA 11、12：CA 二、填空题 13．12 14．2 15．1．3113,,2222⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 三、解答题17．解：（1）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =. 当2n ≥时，()122n n n n a S S a -=-=-()112222n n n a a a ----=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列. 所以()1*222n n n a n -=⨯=∈N .（2）因为12222n n n S a +=-=-，所以12n n T S S S =+++L2312222n n +=+++-L ()412212n n ⨯-=--2242n n +=--.18．解：（1）证明：如图，连接1A B 交1AB 于M ，则M 为1A B 中点，连接DM ， ∵D 为棱BC 的中点，∴1DM AC ∥，又1AC ⊄平面1ADB ，DM ⊂平面1ADB∴1AC ∥平面1ADB ，（2）三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，可得1AD BB ⊥ ∵D 为棱BC 的中点，AB AC =，∴AD ⊥面11BCC B ，即1AD BC ⊥，在矩形11BCC B 中，∵1BC =，∴1BB DB=111B CBB =∴111111DBB BB C BDB B BC ∆∆⇒∠=∠:，111BB D BC B ∠=∠，即11190C BB BB D ∠+∠=︒. ∴11BC DB ⊥，且1AD DB D =I ，∴1BC ⊥平面1ADB .19．解：（1）∵cos bA A c=+，∴由正弦定理可得：sin sin sin cos B A C C A =+，又∵()sin sin sin sin cos sin B A C A C A C =+=+，sin sin cos A C A C =， ∵sin 0A ≠，∴解得：tan 3C =， ∵()0,C π∈， ∴6C π=.（2）∵2c =，6C π=，∴由余弦定理可得：(2242a b ab =+-≥-，即：ab ≤a b =时等号成立，∴111sin 2222ABC S ab C ∆=≤=+当且仅当a b =时等号成立，即ABC ∆的面积的最大值为2+.20．解：（11122,F F 成等差数列，∴12122F F)12BF BF =+，由椭圆定义得222c a ⋅=，∴c =；又椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()0,1A ，∴1b =；∴22222314c a b a a =-=-=. 解得2a =，c =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y联立方程()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()222214161640k xk x k +++-=；依题意直线():2l y k x =+恒过点()2,0-，此点为椭圆的左顶点， ∴12x =-，10y =，①由方程的根与系数关系可得，21221614k x x k -+=+；②可得()()121222y y k x k x +=+++()124k x x k =++；③由①②③，解得2222814k x k -=+，22414ky k =+；由点A 在以PQ 为直径的圆外，得PAQ ∠为锐角，即0AP AQ ⋅>uu u r uuu r；由()2,1AP =--uu u r ，()22,1AQ x y =-uuu r， ∴22210AP AQ x y ⋅=--+>uu u r uuu r；即2224164101414k kk k -+-<++，整理得，220430k k -->，解得：310k <-或12k >. ∴实数k 的取值范围是310k <-或12k >.21．解：（1）()ln x f x x =，得()21ln xf x x-'= 由()0f x '>，得0x e <<∴()f x 的递增区间是()0,e ，递减区间是(),e +∞ （2）对一切()0,x ∈+∞，()()2f x g x ≥恒成立，可化为32ln m x x x≤++对一切()0,x ∈+∞恒成立. 令()32ln h x x x x =++，()22301h x x x'>=+-=()()2223123x x x x x x +-+-=，()0x >当()0,1x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,1递减当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 在()1,+∞递增 ∴()()min 14h x h ==，∴4m ≤，即实数m 的取值范围是(],4-∞（3）证明：22ln e e x x x x <-等价于ln 2e e x x x x <-，即证()2e ex xF x <- 由（1）知()()1e ef x f ≤=，（当e x =时取等号）令()2e e x x x φ=-，则()1ex x x φ-'=，易知()x φ在()0,1递减，在()1,+∞递增 ∴()()11ex φφ≥=（当1x =时取等号） ∴()()f x x φ<对一切()0,x ∈+∞都成立则对一切()0,x ∈+∞，都有22ln e ex x x x <-成立. 22．解：（1）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+， ∴曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=可化为：24cos ρρθ=，∴224x y x +=， ∴()2224x y -+=.（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程()2224x y -+=得：()()22cos 1sin 4t t αα-+=，化简得22cos 30t t α--=.设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、，则12122cos 3t t t t α+=⎧⎨=-⎩，∴12AB t t =-=∵AB ==∴cos α=. ∵[)0,απ∈， ∴4πα=或34απ=. ∴直线的倾斜角4πα=或34απ=. 23．解：（1）原不等式等价于()()1136x x x ≤-⎧⎪⎨-+--≥⎪⎩，或()()13136x x x -<<⎧⎪⎨+--≥⎪⎩或()()3136x x x ≥⎧⎪⎨++-≥⎪⎩故不等式的解集是{2x x ≤-或}4x ≥；（2）∵()()333x x m x x m m -++≥--+=+， ∴()min 3f x m =+， ∴35m +≤， ∴[]8,2m ∈-.高考模拟数学试卷全卷满分150分，考试用时120分钟。

四川成都2019届高中毕业班第三次诊断性检测理科数学试卷及答案(pdf版)

设 A(x１,y１),B(x２,y２)．
由
ìïx１２ ïa２ íïx２２
y１２＋b２
y２２
＝１ ,两
式
相
减
,得
y１ x１
－y２－x２
＝
b２－a２
��x１ y１
＋x２＋y２
．
îïa２＋b２＝１
�� １分 �� ２分
数学(理科)“三诊”考试题参考答案第２页(共４页)
∵ P(X ＝１５０)＝４５９０ ,P(X ＝２１５０)＝５１０ ,
�� ７分
∴EX ＝１５０×４５９０＋２１５０×５１０＝１４７＋４３＝１９０(元)．
�� ８分
②若该老人没有购买此项保险,则Y 的取值为０,１２０００．
∵ P(Y ＝０)＝４５９０ ,P(Y ＝１２０００)＝５１０ ,
＝０,得＝０
x＋３y＝０．令x＝３ ,得n ＝(３,－１,－１)． x＋３z＝０
取平面 APD 的法向量为m ＝(０,１,０)．
�� ９分 �� １０分
∴cos＜
m
,n
＞＝
－
１５
＝
－
５．
５
∵ 二面角 B－PD －A 为锐二面角,
�� １１分
�� ６分
{由
y ＝kx ＋m ,得 x２＋２y２＝２
(２k２
＋１)x２
＝
３４
��b２
＋c２ a２
＋bc
．
由余弦定理,得a２＝b２＋c２－２bccos２３π＝b２＋c２＋bc ．综上 ,得来自sin２B＋sin２C

四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试卷附答案

成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i iiz 211++-=，则=||z A ．0 B ．12C ．1D 2 2.设集合{})2(log |2x y x A -==，若全集A U =，{}21|<<=x x B ，则U C B = A ． (),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3.命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是 A ．0x ∀>，1ln 1x x<-B ．00x ∃>，001ln 1x x <-C ．00x ∃≤，001ln 1x x <-D ． 0x ∀>，1ln 1x x≤- 4.在如图的程序框图中，若输入77,33m n ==，则输出的n 的值是 A ．3 B ．7 C ．11 D ．335.在区间[0，2]上随机取一个数x ，使232sin≥x π的概率为 A ．13 B ．12C ．23D ．346. 《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的体积为A. 2B.32C. 1D. 462+ 7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，2531=+a a 且4542=+a a ，则=nn a S A ．14n - B ．41n - C ．12n - D ．21n -8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，()()11f x f x +=-+，且当01x ≤≤时，()11cos f x x=-，则下列结论正确的是 ()32129f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()19322f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()22913f f f ⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()19223f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．已知约束条件为32402020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，若目标函数y kx z +=取最大值时的最优解有无数多个,则k 的值为A. 1B. 1-C. 32- D. 1-或110.已知抛物线x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且3OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过,M N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,C D ,则CD 的最小值为A ．4B ．6C ．8D ．1011.向量c b,a,满足：||4=a ，||42=b ，b 在a 上的投影为4，()()0-⋅-=a c b c ，则⋅b c 的最大值是A. 24B. 2824-C. 2824+D. 2812．已知函数()(1)(2)e e x f x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为A ．3e e 2+B ．2e e 2+C ．3e e 2-D ．2e e 2-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若nxx )1(-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为．14. 直线:2(5)l y x =过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为．15.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若134,12AB AC AB AC AA ==⊥=,,,则球O 的直径为．16.函数2()32cos (0)2xf x x ωωω=->，已知()f x 在区间2(,)33ππ-恰有三个零点，则ω的范围为 . 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立.实体店销售量（单位：件）频率组距0.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012706560555045403530250频率组距网店销售量（单位：件）70656055504540350.0680.0460.0440.0100.0080.004（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天,实体店和网店都盈利的概率；（Ⅱ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）．（Ⅲ）若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4,2,2cos ,c b c C b === ,D E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠．(I)求线段AD 的长； (II)求ADE ∆的面积．19.（本小题满分12分）直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金. 随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：男女认为直播答题模式可持续 360 280 认为直播答题模式不可持续240120(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？(II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率.参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（本小题满分12分）如图O 为坐标原点，圆 22:4,O x y +=点 ),(),,(030321F F -，以线段M F 1为直径的圆N 内切于圆O ，切点为P ，记点M 的轨迹为曲线C .（I ）证明：12||||F M F M +为定值，并求曲线C 的方程；（II ）设Q 为曲线C 上的一个动点，且Q 在x 轴的上方，过2F 作直线Q F l 1//，记l 与曲线C 的上半部分交于R 点，求四边形21F RQF 面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()ln m xf x x=，()()1g x n x =-+，其中0mn ≠. （I ）若m n =，讨论()()()h x f x g x =+的单调区间；（II ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明：()121220g x x mx x ++<+.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线041=-+y x C :，曲线为参数）θθθ(sin 1cos :2⎩⎨⎧+==y x C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（I ）求曲线21C C ,的极坐标方程；（II ）射线),(:200παραθ<<≥=l 分别交21C C , 于N M ,两点，求||||OM ON 的最大值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-．（I ）解不等式()1f x x ≤+；（II ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：11122≥+++b b a a ．石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试数学参考答案（理科）1-5：CBBCA 6-10：ADDBA 11-12：CA 13、-20 14、5 15、13 16、7(3,]217解：（Ⅰ）由题意，任取一天，实体店盈利的概率1(0.0320.0200.0122)50.38P =++⨯⨯= 网店盈利的概率21(0.0040.020)50.88P =-+⨯= 由实体店和网店销售量相互独立，故任取一天,实体店和网店都盈利的概率0.380.880.3344.P =⨯= .…………3分（Ⅱ）因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，销售量低于55的直方图面积为()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=>故网店销售量的中位数的估计值为0.5-0.3450+552.350.34⨯≈（件）…………6分（Ⅲ）由题意，实体店销售量不低于40件的概率31(0.0120.0140.024)54P =-++⨯=……7分故3~(3,)4X B ,X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为()3033101464P X C ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭, ()2133********P X C ⎛⎫==⋅-=⎪⎝⎭, ()22333272()14464()P X C ==⋅-=, ()3333273()464P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P16496427642764…………11分因为3~(3,)4X B ,所以期望为39(X)344E =⨯=.…………12分18.解：（1）根据题意，2=b ，4=c ，b C c =cos 2，则412cos ==c b C ；又由4141642cos 2222=-+=-+=a a ab c b a C ，解可得4=a即4=BC ，则2=CD ，在ACD ∆中，由余弦定理得：6cos 2222=⋅-+=C CD AC CD AC AD ，则6=AD ；…………………（6分）（2）根据题意，AE 平分BAC ∠，则21==AB AC BE CE ，变形可得：3431==BC CE ，41cos =C ，则415sin =C ， 615=-=∆∆∆ACE ACD ADE S S S …………………（12分） 19、解析：（I ）依题意，2K 的观测值()210003601202402801257.87960040064036012k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；…………5分（Ⅱ）由题意X 的取值为10,11,12，且后四个题每个题答对的概率为13.………………6分 224(X 10);339P ==⨯=2121228(X 11)33333327P ==⨯⨯+⨯⨯=；2233331217(X 12)()()33327P C C ==⨯+=.故X 的分布列为…………………………………………9分记该网友当期可平分奖金为事件A ，则3344441211()()()3339P A C C =⨯+=.X10 11 12 P49827727故该网友当期可平分奖金的概率为19. ………………………12分 20、解：（1）由题知：O ，P ，N 三点共线，连2MF则4222221=+=+=+||||||||||||ON NP ON MN MF MF ，所以点M 的轨迹是以21F F ,为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，，，，则动点M 的轨迹方程是．……………………………………4分（2）如图：PR F QPR PQMR F PQF S S S S 12121===………………………………6分因为l 不与y 轴垂直，设PR ：3+=ty x ， ),(),,(2211y x Q y x P所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322y x ty x 消去x 有：0132422=-++ty y t )(由弦长公式可得：41441616122222++=++⋅+=t t t t t PR )(||又因为点1F 到直线l 的距离2132td +=所以S ＝131344134212222+++=++⋅=⋅t t t t d PR ||……………10分因为R t ∈，所以3213122≥+++t t （当2=t 等号成立）所以],(20∈S ……………………12分21、解:（Ⅰ）由已知得()()()ln (1)xh x =f x +g x =m x x--，所以()2221ln 1(1ln )x h'x =m =x x x xm-⎛⎫---⎪⎝⎭，……………2分当01x <<时，2210,ln 0,1ln 0x x x x ->->∴-->Q ；当1x >时，2210,ln 0,1ln 0x x x x -<-<∴--<Q ．……………3分故若0m >，)(h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；若0m <，)(h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．……………5分（Ⅱ）依题意()111ln 1x m n x x =+， ()2111ln ...+m x n x x ∴=①，同理，()2222+ln ...m x n x x =②由①-②得，()()()221112212122l 1+nx m n x x x x n x x x x x =--=-++，……………7分 ()()121212ln1x m x n x x x x ∴++=-，()11212221ln g (1)xx x n x x x m m x x +-++==-，……………8分要证()121220g x x mx x ++<+，即证：122112ln 20xx x x x x +<-+，即证：11212221ln+01x x x x x x ->+（），……………9分令121x t x =>，即证()1ln +20,11t p t t t t -=>∀>+． ()()()()222114'011t p t t t t t -=-=>++Q ，……………10分()p t ∴在区间[)1,∞+上单调递增，()()10,1p t p t ∴>=∀>成立．故原命题得证．……………12分22. 解：（1）因为，，，所以的极坐标方程为04=-+θρθρsin cos ，因为的普通方程为，即，对应极坐标方程为．……………………5分（2）因为射线),(:200παραθ<<≥=l ，则),(),,(αραρ21N M ，则αρααρsin ,cos sin 2421=+=，所以)cos (sin sin ||||αααρρ+==2112ON OM ＝414242+-)sin(πα 又，),(43442πππα-∈-，所以当 242ππα=-，即83πα= 时，||||ON OM 取得最大值 412+……10分 23、解：①当1<x 时，不等式可化为124+≤-x x ，1≥x ．又∵1<x ，∴∈x ∅；②当31≤≤x 时，不等式可化为12+≤x ，1≥x ．又∵31≤≤x ，∴31≤≤x ．③当3>x 时，不等式可化为142+≤-x x ，5≤x ．又∵3>x ，∴53≤<x ．综上所得，51≤≤x ．∴原不等式的解集为]5,1[．…………………（5分）（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|1||3||(1)(3)|2x x x x -+-≥-+-=， ∴2=c ，即2=+b a ．令m a =+1，n b =+1，则1>m ，1>n ，1,1-=-=n b m a ，4=+n m ，n n m m b b a a 2222)1()1(11-+-=+++n m n m 114++-+=mn 4=1)2(42=+≥n m ，原不等式得证．…………………（10分）。

2019届四川省成都石室中学高三上学期入学考试数学(理)试题(解析版)

四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，则A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】解：，则．故选：C．利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2.设集合，若全集，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，故选：B．求出集合A的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，以及利用补集的定义进行求解即可．3.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是，；故选：B．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，基本知识的考查．4.在如图的程序框图中，若输入，，则输出的n的值是A. 3B. 7C. 11D. 33【答案】C【解析】解：该程序的作用是：用较大的数字m除以较小的数字n，得到商和余数r，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，直到余数r为零即整除时，最后得到m，n的最大公约数．，的最大公约数是11，则输出的n的值是11．故选：C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．本题考查用辗转相除法求两个数的最大公约数，本题是一个基础题，在解题时注意数字的运算不要出错，注意与更相减损术进行比较．5.在区间上随机取一个数x，使的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，，，即，．故选：A．根据正弦函数的性质得出x的范围，从而得出概率．本题考查了几何概型的概率计算，属于中档题．6.《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】解：根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边为，斜边为2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，几何体的体积为．故选：A．根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图中的数据求出几何体的体积．本题考查了几何体三视图的应用问题，也考查了体积的计算问题，是基础题．7.已知等比数列的前n项和为，，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设等比数列的公比为q，，，解得：，，，，故选：D．设出等比数列的公比为q，利用等比数列的性质，根据已知等式求出q的值，进而求出的值，表示出与，即可求出之比．此题考查了等比数列，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．8.已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时，，则下列结论正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：是R上的奇函数；又；；；即；的周期为4，且时，；在上单调递增；，，；；；；．故选：D．先根据是R上的奇函数，并且，可得出，即得出的周期为4，从而得出，，，根据时的解析式可判断出在上单调递增，从而可得出，进而得出，从而比较出的大小关系．考查奇函数的定义，周期函数的定义，以及增函数的定义，余弦函数的单调性．9.已知约束条件为，若目标函数取最大值时的最优解有无数多个，则k的值为A. 1B.C.D. 或1【答案】B【解析】解：由约束条件为作出可行域如图，化目标函数为，若，则，由图可知使目标函数取得最大值的最优解唯一，为，不合题意；若，则，要使目标函数取最大值时的最优解有无数多个，则直线与直线重合，此时．故选：B．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对k分类可知，若，则，由图可知使目标函数取得最大值的最优解唯一，为，不合题意；若，则，要使目标函数取最大值时的最优解有无数多个，则直线与直线重合，由此求得k值．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.已知抛物线的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，点M在线段OB上，且，点N在射线OA上，且，过M，N向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C，D，则的最小值为A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】A【解析】解：设直线AB的方程为，代入抛物线，可得，设，，则，，，点的纵坐标为，，点的纵坐标为，，当且仅当时，取等号，即的最小值为4，故选：A．设直线AB的方程为，代入抛物线，可得，利用基本不等式即可得出结论本题考查的最小值的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.向量，，满足：，，在上的投影为4，，则的最大值是A. 24B.C.D.【答案】C【解析】解：以所在的直线为x轴，以的起点为原点，建立平面直角坐标系，，，在上的投影为4，设的夹角为，，，．，，设，又，，，，整理可得，，法一：令，，则，根据正弦函数的性质可知，最大值是，法二：设，当直线与圆的相切时，b取最值，此时由点到直线的距离公式可得，，，的最大值故选：C．法一：以所在的直线为x轴，以的起点为原点，建立平面直角坐标系，根据向量数量积的运算及正弦函数的性质即可求解；法二：设，当直线与圆的相切时，b取最值，由点到直线的距离公式可求本题主要考查了向量数量积的基本运算及圆的参数方程的应用，点到直线的距离公式及直线与圆相切的性质的应用．12.已知函数，若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，当时，，当，，函数恒过点，分别画出与的图象，如图所示，，若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，，，故实数m的最大值为，故选：A．若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得．本题考查了函数图象及单调性，导数的应用，转化思想、数形结合思想，是难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为______．【答案】【解析】解：的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，，，，它的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：．由题意利用二项式系数的性质求得，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.直线l：过双曲线C：的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，则C的离心率为______．【答案】【解析】解：双曲线C：的渐近线方程为，因为线l：过双曲线C：的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，所以，又因为，解得，．，故答案为：8，2．结合双曲线的性质，推出a、b关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题给出双曲线方程，求经过双曲线的右交点且与双曲线只有一个公共点的直线的条数着重考查了直线的方程、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．15.已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上若，，，，则球O的直径为______．【答案】13【解析】解：因为三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面，经过球的球心，球的直径是侧面的对角线的长，因为，，，，所以球的直径为：13．故答案为：13通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．16.函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为______．【答案】【解析】解：根据题意，令可得；恰有三个交点，那么：，且，解得：，且当时，可得故答案为：．利用三角函数公式化简，令，结合在区间恰有三个零点，根据三角函数的性质即求解；本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦函数的图象以及性质，关键是掌握三角函数的恒等变形的公式．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量单位：件进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立．Ⅰ若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天，实体店和网店都盈利的概率；Ⅱ根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值精确到．Ⅲ若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】解：Ⅰ由题意，任取一天，实体店盈利的概率，网店盈利的概率，由实体店和网店销售量相互独立，故任取一天，实体店和网店都盈利的概率分Ⅱ因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为：，销售量低于55的直方图面积为．故网店销售量的中位数的估计值为件分Ⅲ由题意，实体店销售量不低于40件的概率分故～，X的可能取值为0，1，2，相应的概率为：，，，，的分布列为：分因为～，，所以期望为分【解析】Ⅰ推导出任取一天，实体店盈利的概率，网店盈利的概率，由实体店和网店销售量相互独立，能求出任取一天，实体店和网店都盈利的概率．Ⅱ网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为，销售量低于55的直方图面积为由此能求出网店销售量的中位数的估计值．Ⅲ实体店销售量不低于40件的概率从而～，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．本题考查概率、中位数的求法，考查离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，D，E分别为线段BC上的点，且，．求线段AD的长；求的面积．【答案】解：根据题意，，，，则；又由，解得，即，则，在中，由余弦定理得：，则；根据题意，AE平分，则，变形可得：，，则，．【解析】在中，利用余弦定理计算BC，再在中利用余弦定理计算AD；根据角平分线的性质得出CE，于是．本题考查应用余弦定理解三角形，涉及角平分线的性质，关键是掌握余弦定理的形式和变形应用．19.直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如表：Ⅰ根据表格中的数据，能否在犯错误不超过的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？Ⅱ随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项求该网友本场答题个数X的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率．参考公式：．临界值表：【答案】解：依题意，的观测值，故可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；分Ⅱ由题意X的取值为10，11，12，且后四个题每个题答对的概率为；分；；；故X的分布列为分记该网友当期可平分奖金为事件A，则；故该网友当期可平分奖金的概率为分【解析】依题意计算的观测值，对照临界值得出结论；Ⅱ由题意知X的取值，计算对应的概率值，写出分布列，再求出该网友当期可平分奖金的概率．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列计算问题，是中档题．20.如图O为坐标原点，圆O：点，，以线段为直径的圆N内切于圆O，切点为P，记点M的轨迹为曲线C．Ⅰ证明：为定值，并求曲线C的方程；Ⅱ设Q为曲线C上的一个动点，且Q在x轴的上方，过作直线，记l与曲线C的上半部分交于R点，求四边形面积的取值范围．【答案】Ⅰ证明：由题知：O，P，N三点共线，连接，则，点M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，，，则，则动点M的轨迹方程是；Ⅱ解：如图：．设l：，，，联立，消去x有：．，．由弦长公式可得：．又点到直线l的距离．当且仅当等号成立．四边形面积的取值范围是．【解析】Ⅰ由题知：O，P，N三点共线，连接，可得，由此可知M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，则轨迹方程可求；Ⅱ，由题意设l：，与椭圆方程联立，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求点到直线l的距离，代入三角形面积公式，然后利用基本不等式求最值．本题考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．21.已知函数，，其中．Ⅰ若，求的单调区间；Ⅱ若的两根为，，且，证明：．【答案】解：Ⅰ由已知得，所以，当时，，，即，当时，，，即．故的单调递增区间为，单调递减区间为，Ⅱ依题意，，，同理，，，由得，，，，要证，即证：，即证：，令，即证，，，在区间上单调递增，，成立．故原命题得证．【解析】Ⅰ利用导数和函数单调性的关系即可求出，Ⅱ由的两根为，，且，可得，要证证，只要证明，构造函数，利用导数即可求出本题考查了导数和函数的关系，以及导数和函数的最值得关系，考查了运算能力和问题解决能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线：，曲线：为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．Ⅰ求曲线，的极坐标方程；Ⅱ射线l：分别交，于M，N两点，求的最大值．【答案】解：因为，，，所以的极坐标方程为，因为的普通方程为，即，对应极坐标方程为，因为射线l：，则，，则，，所以，又，，，所以当，即时，取得最大值．【解析】用，代入的普通方程可得的极坐标方程；先把的参数方程化成普通方程，在把，代入可得的极坐标方程；因为射线l：，则，，则，，所以，再由得范围可求得最大值．本题考查了曲线的普通方程和参数方程化成极坐标方程，三角函数的性质，属基础题，23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ设函数的最小值为c，实数a，b满足，，，求证：．【答案】本小题满分10分选修：不等式选讲Ⅰ解：，即．当时，不等式可化为，．又，；当时，不等式可化为，．又，．当时，不等式可化为，．又，．综上所得，，或，即．原不等式的解集为分Ⅱ证明：由绝对值不等式性质得，，，即．令，，则，，，，，，原不等式得证分【解析】Ⅰ，即通过当时，当时，当时，去掉绝对值符号，求解即可．Ⅱ由绝对值不等式性质得，，推出令，，利用基本不等式转化求解证明即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力．。