人教版五年级数学下册 4-4最小公倍数和通分 同步拓展讲与练 奥数培优(无答案)

最小公倍数通分
知识引入：
一、最小公倍数
1.公倍数与最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。

其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

2.求最小公倍数的方法：找最小公倍数方法：列举法、分解质因数法、短除法
（1）列举法分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。

例如：3和7
3的倍数有（），7的倍数有（），
3和7的公倍数有（），3和7的最小公倍数是（）。

用集合法表示3和7的倍数与公倍数为：
（2）分解质因数法：分别把两个数分解质因数，相同质因数对齐写，独有的质因数单独写，然后相同的质因数取一个，独有的质因数都取出来，把它们连乘，积就是最小公倍数。

例如：①24和20
24分解质因数（），20分解质因数（），
24和20的最小公倍数是（）。

②36和48
36分解质因数（），48分解质因数（），
36和48的最小公倍数是（）。

（2）短除法：用两个数公有的质因数按从小到大的顺序，依次作为除数连续去除这两个数，一直除到所有的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后所得的商连乘起来，就是这两个
数的最小公倍数。

例如：18和12 15和30 52和13 11和12
（5）特殊情况
①当两个数成倍数关系时，较大数就是这两个数的最小公倍数。

②两个数是互质数时，两个数的积就是它们的最小公倍数。

二、通分
1.公分母：把异分母分数化成同分母分数，这个相同的分母叫做它们的公分母，其中最小的一个叫做最小公分母。

2.通分的意义：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

3.通分的方法：通分时用原分母的公倍数作为公分母（常选用最小公倍数最为公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。

三、分数大小的比较
1.分母相同，分子不同，分子大的分数大。

2.分子相同，分母不同，分母小的分数大。

3.分子分母都不相同时：①根据分数基本性质(通分)转化成同分母分数再比较大小。

②根据分数基本性质转化成同分子分数再比较大小。

例如：比较分数大小。

31 77和39
77
65
17
和65
23
1
2
3
和31
4
7
13
和11
13
5 12和3
4
4
9
和5
8
7
15
和5
7
1
5
和2
7
1.求最小公倍数。

16和40 54和72 45和15 11和8 2、7和9 2.比较大小。

9 5（）41
5
3（）16
5
6
7
（）8
9
20 21（）14
15
3
34
（）2
61
4
51
（）2
111
3.判断。

（1）两个数的公倍数一定比这两个数都大。

（）
（2）a和b的最大公因数是1，那么这两个数的最小公倍数是ab。

（）（3）27和36的最小公倍数是它们最大公因数的12倍。

（）
（4）两个不同的合数的最小公倍数一定不是这两个数的积。

（）（5）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大。

（）（6）几个数的公因数的个数是有限的，公倍数的个数是无限的。

（）（7）通分时，只能用分母的最小公倍数作公分母。

（）
（8）通分时分数值变大，约分时分数值变小。

（）
（9）大于1
9且小于1
7
的分数只有1个。

（1）a和b是两个自然数，a除以b（b≠0）的商正好是8，那么a和b的最小公倍数是（）。

（2）070以内，12的倍数有（），15的倍数有（），12和15的公倍数有（），12和15的最小公倍数是（）。

（3）最小质数和最小合数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

（4）一个数既是3的倍数，又是5和7的倍数，这个数最小是（）。

（5）能同时除以4,6,8三个数，商是整数没有余数的最小两位数是（）。

（6）如果A=2×3×5，B=2×3×3，C=2×5×5，则A、B、C的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

5.选择。

（1）甲是乙的10倍，甲和乙的最小公倍数是（），甲和乙的最大公因数是（）。

A、10
B、甲
C、乙
D、甲×乙
（2）两个数的最大公因数是4，两个数的积是720，这两个数的最小公倍数是（）。

A、45
B、120
C、180
D、360
6.解答题。

（1）小明每3天去一次图书馆，小志每两天去一次图书馆，4月24日他们在图书馆相遇，那么下一次他们几月几日会在图书馆再次相遇？
（2）有一堆萝卜，平均分给若干只小兔子，不论是平均分给8只小兔子还是平均分给12只小兔子，都正好分完。

这堆萝卜至少有多少个？
（3）甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿着600米的环形跑道在同一地点同时同方向出发，经过多长时间三人又同时从出发点出发？
（4）一个环形跑道长240米，甲乙丙三人同时从同一地点沿着同一方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米。

至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？
（5）明明和强强在跑道上练习长跑，他们在同一地点同时出发，已知明明50秒能跑一圈，强强60秒能跑一圈，那么至少经过多少分他们能同时在出发点相遇？
（6）动物园正在举行竞走比赛，路程相同。

长颈鹿用了5
6小时走完全程，大象用了4
7
小时走
完全程，梅花鹿用了2
3
小时走完全程，谁是冠军？
奥数思维拓展：
运用转化法解决有关最大公因数和最小公倍数的问题
1.渗透两种数学思想：推理思想、化归思想。

2.学习两类思维方法：转化法、排除法。

思维提升：
[例]已知两个数的最大公因数是7，最小公倍数是210。

这两个数的和是77，求这两个数。

[分析]
如果将两个数都除以7，那么原题将变为“已知两个数的最大公因数是1，最小公倍数是30。

这两个数的和是11，求这两个数。

”
改变后两个数的乘积是30（两个数的公因数只有1时，它们的乘积是它们的最小公倍数），和是11。

30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6。

由上式，知两个因数的和是11的只有5×6，且5与6的最大公因数是1。

因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个数是7×5＝35和7×6＝42。

[解答]
210÷7＝30 77÷7＝11 30＝5×6 11＝5＋6
5×7＝35 6×7＝42
答：这两个数是42。

[技巧]
已知两个数的最大公因数、最小公倍数与它们的和，求这两个数，先把最大公因数除以一个数变为1，最小公倍数也除以这个数，再把最小公倍数写成两个数相乘，根据两个数的和确定出这两个数是多少，最后看原来的最大公因数除以几，就把求得的两个数都乘几，即为要求的两个数
举一反三：
1.已知两个数的最大公因数是15，最小公倍数是225。

这两个数的和是120，求这两个数。

2.已知两个数的最大公因数是9，最小公倍数是135。

这两个数的和是72，求这两个数。

3.已知两个数的和是108，最大公因数是12，最小公倍数是168。

这两个数分别是多少？。