函数与方程及解题方法
初三数学复习函数与方程解题思路
初三数学复习函数与方程解题思路初三数学复习：函数与方程解题思路函数与方程是初三数学中的重要内容，对于解题思路的掌握至关重要。
本文将为你介绍一些常见的函数与方程解题思路，帮助你更好地复习数学知识。
以下将从函数和方程两个部分展开。
一、函数解题思路1. 理解函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个唯一的因变量的值。
在解函数题时，首先要理解函数的定义，并确定自变量和因变量的关系。
2. 掌握函数图像的性质函数图像是函数与自变量和因变量之间的关系的直观呈现。
解题时，可以通过观察函数图像的性质，如增减性、奇偶性、周期性等，来推导函数的性质和解函数方程。
3. 利用函数的性质和特点解题在解题过程中，可以利用函数的性质和特点进行推导。
例如，利用增减性来确定函数的最值；利用奇偶性来简化函数的计算；利用周期性来推导函数的周期等。
4. 联立函数方程解题有时候，需要联立多个函数方程来求解问题。
在联立方程时，可以通过消元法、代入法、变量替换法等方法来简化方程，最终求得函数的解。
二、方程解题思路1. 把握方程的类型方程有不同的类型，如一元一次方程、一元二次方程、三角方程等。
在解题前，需要明确方程的类型，并掌握解不同类型方程的方法。
2. 运用等式性质和等价变形解题过程中，可以利用等式的性质和等价变形的方法来推导方程的解。
例如，使用加法逆元进行等式变形，使用对称性简化方程的计算等。
3. 联立方程组解题当问题需要用多个方程来求解时，需要联立方程组解题。
可以通过消元法、代入法、加减消法等方法，将方程组化简为更简单的形式，并求得方程组的解。
4. 检验解的合理性在解得方程的解之后，需要进行解的合理性的检验。
一般可以将解代入方程进行验证，确保所得解满足原方程的条件。
总结：函数与方程是初三数学中的重要内容，对于解题思路的掌握至关重要。
在解函数题时，要理解函数的定义，掌握函数图像的性质，并利用函数的性质和特点进行推导。
在解方程题时，要明确方程的类型，运用等式性质和等价变形的方法解题，联立方程组时要选择合适的解题方法，并检验解的合理性。
函数与方程解题技巧
函数与方程解题技巧引言：在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的数学问题，其中涉及到的一个重要内容就是函数与方程的解题技巧。
函数与方程是数学中的基本概念，掌握解题技巧可以帮助我们更好地理解和运用这些概念。
在本文中，我将介绍一些常见的函数与方程的解题技巧，希望能对大家的学习有所帮助。
一、一元一次方程的解题技巧1. 消元法：当方程中含有未知数的系数时，我们可以通过消元的方式将方程转化为更简单的形式。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以通过减去3，得到2x=4，进而求得x=2。
2. 移项法：当方程中含有未知数的系数和常数项时，我们可以通过移项的方式将所有未知数项放到等号一侧，将常数项放到等号另一侧。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以通过减去3，得到2x=4。
3. 代入法：当方程中含有两个未知数时，我们可以通过代入的方式将一个未知数用另一个未知数来表示，然后将其代入另一个方程中求解。
例如，对于方程2x+y=7和3x-y=11，我们可以将第一个方程中的y用第二个方程中的y替代，得到2x+3x=7+11，进而求得x=3，再代入第一个方程中求得y=1。
二、一元二次方程的解题技巧1. 求根公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。
其中，b^2-4ac称为判别式。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。
2. 完全平方公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当其可以写成形如(a^2x^2+b^2+c^2-2abx)=0时，我们可以通过完全平方公式(x-a)^2=x^2-2ax+a^2来解题。
例如，对于方程x^2+6x+9=0，我们可以把x^2+6x+9写成(x+3)^2=0，从而得到x=-3。
三、函数的解题技巧1. 求定义域和值域：对于给定的函数，我们需要确定其定义域和值域。
解复杂函数方程的技巧与方法
解复杂函数方程的技巧与方法复杂函数方程是数学中的一类重要问题，研究解复杂函数方程的技巧与方法对于提高数学解题能力和理解复杂函数的性质具有重要意义。
本文将介绍几种常见的解复杂函数方程的技巧与方法。
一、代入法代入法是解复杂函数方程的常用方法，通过将复杂函数方程中的未知函数用已知函数代入，从而将复杂的函数方程变为已知的方程，进而求解出未知函数。
例如，对于如下的复杂函数方程：$$f(z) = f(z+1) + f(z-1)$$我们可以尝试将未知函数$f(z)$用指数函数$e^{2\pi i z}$代入，即$$e^{2\pi i z} = e^{2\pi i (z+1)} + e^{2\pi i (z-1)}$$通过化简可以得到$$e^{2\pi i z} = 2e^{2\pi i z}\cos(2\pi)$$解得$$2\cos(2\pi z) = 1$$因此，未知函数$f(z)$满足$f(z) = \cos(2\pi z)$。
二、特殊构造法特殊构造法是解复杂函数方程的另一种常用方法，通过构造特殊的函数形式，从而满足给定的复杂函数方程。
例如，对于如下的复杂函数方程：$$f(z+1) = f(z)e^z$$我们可以尝试构造指数函数的形式，即设$f(z) = e^{g(z)}$，其中$g(z)$是一个未知函数。
代入原方程可以得到$$e^{g(z+1)} = e^{g(z)e^z}$$两边取对数得到$$g(z+1) = g(z)e^z$$这是一个已知的函数方程，我们可以求解出$g(z)$的形式，再得到$f(z)$的形式。
三、级数展开法级数展开法是解复杂函数方程的一种有效方法，通过将未知函数展开成幂级数的形式，进而求解出未知函数。
例如，对于如下的复杂函数方程：$$f(z+1) - f(z) = z$$我们可以尝试将未知函数$f(z)$展开为幂级数的形式，即$f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$，其中$a_n$是待定系数。
函数方程解题的关键技巧与方法
函数方程解题的关键技巧与方法函数方程是数学中常见的一类问题，它通过给定的条件和方程来寻找函数的解。
解决函数方程的关键技巧和方法有很多，本文将介绍其中几种常用的方法。
一、代入法代入法是解决函数方程的常用方法之一。
它的基本思路是将方程中的未知函数代入，然后通过简化方程，找到函数的解。
例如，考虑以下的函数方程：f(x) - 2f(2-x) = 1我们可以先令 x = 2，这样就可以得到：f(2) - 2f(0) = 1然后，代入其他的数值，比如 x = 0，我们得到：f(0) - 2f(2) = 1通过这样的代入和化简的过程，我们可以得到一个方程组，从中解出 f(x) 的值。
二、函数复合法函数复合法是解决函数方程的另一种常见方法。
它的基本思路是通过构造一个新函数，将原方程转化为一个更简单的形式，从而求得函数的解。
举个例子，考虑以下的函数方程：f(x + 2) + f(x - 2) = 2f(x)我们可以尝试定义一个新函数 g(x) = f(x + 2)，这样原方程就变成了：g(x) + g(x - 4) = 2g(x - 2)现在我们可以利用这个新方程来简化原方程，并通过求解 g(x) 来找到 f(x) 的解。
三、递推法递推法在解决函数方程中也是十分有用的方法。
它的基本思路是通过分析给定的条件和方程，构造递推式，从而找到函数的解。
例如，考虑以下的函数方程：f(x + 2) = 3f(x + 1) - 2f(x)我们可以通过给定的条件 f(0) = 1 和 f(1) = 2，构造递推式：f(2) = 3f(1) - 2f(0) = 4f(3) = 3f(2) - 2f(1) = 8f(4) = 3f(3) - 2f(2) = 16通过递推，我们可以得到 f(x) 的解为 2^x。
四、特殊点法特殊点法是解决函数方程的一种常见方法，它的基本思路是通过找到特殊点，从而对函数进行分析，进而求得函数的解。
例如，考虑以下的函数方程：f(x) = f(1-x)我们注意到当 x = 1/2 时，有 f(1/2) = f(1 - 1/2) = f(1/2)，也就是说函数在 x = 1/2 这个特殊点对称。
一次函数解题思路十大技巧
一次函数解题思路十大技巧
一次函数解题思路十大技巧
1. 一元一次方程的解法：当一次函数的方程为一元一次时，可以通过将代表不同量的符号用等号连接起来，再利用运算符将等式化为零的形式来求解；
2. 给定一元一次方程的解法：即在一次函数的方程中，给定一个未知因素，求另一个未知因素的解法，常用的方法是：先将原方程化为一个平行的新方程，然后求出新方程的解；
3. 去求根法：当一次函数的方程可以化为一个二元一次方程时，可以采用求根法来求解；
4. 方程组解法：当一次函数的方程可以化为一组方程组时，可以采用求解方程组的方法，如消元法、行列式法等；
5. 计算导数法：使用导数的性质，可以求出某一次函数的最大值或最小值；
6. 关系式法：此法要求熟练掌握一次函数的特征关系，例如求出函数图象上某点的坐标；
7. 分类讨论法：根据函数的特点，将问题分类，再分别求解；
8. 拆分法：将复杂的一次函数分解为多个简单的一次函数，再分别求解；
9. 平行线求交点：当给定一次函数的一个参数时，可以构造相应的平行线求交点； 10. 图像法：将函数的图象画出来后，根据图象上的点，可以迅速找出函数的最大值或最小值。
以上是一次函数解题思路十大技巧的详细介绍，这些技巧能帮助学生快速有效的解决一次函数的问题，也可以提高学生的数学解题能力。
但是，在使用这些技巧之前，学生还需要掌握一次函数的基本概念，了解一次函数的基本性质，以及学会一次函数的处理方法，并且要加强练习，才能更好的掌握这些技巧。
数学问题解决技巧小学六年级方程与函数计算方法总结
数学问题解决技巧小学六年级方程与函数计算方法总结数学是一门需要灵活运用各种解题方法和技巧的学科，而在小学六年级，方程与函数的计算方法显得尤为重要。
通过解方程与函数，不仅能够培养学生的逻辑思维能力，还能提高他们的计算能力和解决实际问题的能力。
本文将总结几种小学六年级方程与函数计算方法，帮助学生更好地解决数学问题。
一、代数方程的解法代数方程是指带有未知数的等式，解方程是要找到能够使等式成立的未知数的值。
对于小学六年级的学生来说，可以使用以下几种方法解代数方程。
1.反运算法：当方程中有未知数与数字之间通过加、减、乘、除等基本运算形成的关系时，可以通过反运算的方式解方程。
比如，对于方程3x + 2 = 8，可以先将2从等式两边减去，再将结果除以3，即可得到x的值。
2.等式交换法：当方程中有两个未知数相加或相减的情况时，可以通过等式交换的方式解方程。
比如，对于方程x + y = 10，若已知x = 4，则可以通过等式交换得到y = 10 - 4 = 6。
3.凑整数法：当方程中的系数比较复杂时，可以通过凑整数的方法解方程。
比如，对于方程7x + 5 = 26，可以先通过凑整数的方式将5变为7的倍数，即凑成7x + 7 = 26，然后再进行解方程。
二、函数的计算方法函数是一种特殊的关系，在数学中用一组数对来表示。
函数的计算方法可以帮助学生更好地理解和运用函数。
1.函数的表达式表示法：函数可以使用表达式来表示，比如y = 2x+ 3。
在计算函数时，可以将所给的自变量代入函数表达式中，得到函数的值。
例如，当x = 4时，y = 2 × 4 + 3 = 11。
2.函数的图像表示法：函数的图像是一个曲线或者折线，通过观察函数的图像，可以得到函数的特性和规律。
通过读图，能够更好地理解函数的变化趋势和函数值的计算方法。
3.函数的问题解决方法：函数常用于解决各种问题，包括比例关系、面积问题和变量的计算等。
通过将问题转化为函数的形式，并使用函数计算方法，能够更好地解决实际问题。
中考数学中的函数与方程组解题技巧总结
中考数学中的函数与方程组解题技巧总结中考数学中，函数与方程组是较为重要的考点，掌握相应的解题技巧对于取得好成绩至关重要。
本文将对中考数学中的函数与方程组解题技巧进行总结，希望能够帮助同学们提高解题能力。
一、函数的解题技巧在解题过程中，有时需要对函数的图象进行分析，进而求解一些相关问题。
下面是几个常见的函数解题技巧：1. 确定定义域和值域：对于给定的函数，首先要明确函数的定义域和值域，这是理解和分析函数的关键。
可以通过观察函数的图象、查看函数的表达式或者进行变量的替换等方式来确定。
2. 确定函数的性质：了解函数的基本性质有助于解题。
例如，判断函数的奇偶性、单调性、周期性等，可以通过求导、分析函数的对称性等方法来确定。
3. 利用函数的图象解题：函数的图象可以提供一些有用的信息。
可以根据图象对函数值、函数的最大值最小值、函数的增减区间等进行分析，从而解决与函数相关的问题。
4. 运用函数的性质求解方程：有时可以利用函数的性质将方程转化为易于解决的形式。
比如，利用奇偶性判断方程有几个实数解，或者通过函数之间的关系将方程组化简为一个方程等。
二、方程组的解题技巧方程组的解题过程中，也有一些常见的技巧可以帮助我们解决问题。
下面是几个常见的方程组解题技巧：1. 利用加减消元法：对于含有两个未知数的线性方程组，可以通过加减消元法将其化简为一个方程，从而求解未知数的值。
这需要灵活运用加减法与倍数运算，将方程组转化为更简单的形式。
2. 利用替换法：有时，可以通过将一个未知数用另一个未知数表示，进而化简方程组的求解过程。
这需要适当选择合适的替换关系，并将其代入方程组中，从而得到更简单的方程。
3. 运用两个方程的关系求解：有时，可以利用方程组中两个方程的关系，从而得到一个更简单的方程。
比如，通过两个方程的相减或相加，消去一个未知数，从而求解另一个未知数。
4. 运用方程组的特殊性质求解：有些特殊的方程组可以通过运用其特殊性质来求解。
二次函数与一元二次方程关系解题技巧
一、一元二次方程及其解法解题技巧类型一巧用一元二次方程的定义解题【例1】若关于x的方程是一元二次方程，则=_______．【解析】一元二次方程的定义中包含三要素：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)整式方程．依题意，得，解得；【答案】【小结】有关一元二次方程的概念，要把握住未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0，还要是整式方程.类型二巧用一元二次方程的根的意义解题【例2】关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是________．【解析】把0代入一元二次方程即可得到关于的一元二次方程，从而求得．但二次项的系数，即，所以．【答案】【小结】将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值，但要注意二次项系数不为零这一隐含条件．【例3】已知是方程的两根，且，则的值等于（）A．－5 B．5 C．－9 D．9【解析】由于m、n是方程的根，将m、n代入该方程可得m2－2m-1=0，n2－2n－1 =0，即m2－2m=1，n2－2n=1．变形，得7m2－14m=7，3n2－6n=3，因此(7+a)(3－7)=8，所以a=－9．【答案】C【小结】从方程的根入手，将其根代入方程，进而构造出一个新的方程．在解本题的过程中，还应用了整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m2－14m、3n2－6n与已知方程之间的关系．从而使问题得到快速求解．类型三巧构一元二次方程的根【例4】已知一元二次方程（为常数）满足，则该方程的一根必为________．【解析】结合一元二次方程根的定义，当时，满足方程左、右两边都相等，由此判断方程的一根必为x =．【答案】x =【小结】估算一元二次方程的根时，应结合根的意义，通过观察，比较得出．类型四 判断一元二次方程根的范围【例5】根据下列表格中的对应值，判断方程（为常数）的一的范围是（A ．B ．C ．D ．【解析】由表格中的数据发现：当x =6.18时，代数式的值为－0.01；当x =6.19时，代数式的值为0.02，要从表格中判断=0的解，可发现未知数x 的值应处于6.18到6.19之间．【答案】C【小结】解决本题的关键在于理解根的意义，使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解．类型五 与一元二次方程的根有关的开放题【例6】已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：____________．【解析】答案不唯一，可先写出二次项，再写出一次项，最后写能使该方程有一根为1的常数项．【答案】答案不唯一，如：即等．二、实际问题与一元二次方程解题技巧近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现，此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事件为背景，形式多变．主要是考查分析问题、解决问题能力．1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）检验；（6）答． 2．一元二次方程的应用类型一增长率、减少率问题【例1】长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据第一次下调后为，第二次下调后为列方程求解即可；（2）从购房和物业费两方面，比较方案①、方案②即可．【解】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得．解得=10％，（不合题意舍去）．所以平均每次下调的百分率为10％．（2）方案①的房款是：4050×100×0.98=396900（元）；方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2=401400（元）．∵396900＜401400，∴选方案①更优惠．【小结】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等．弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数，平均增长率公式为(为基数，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量)．同时解出未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚．类型二病毒倍数传播问题【例2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【分析】设一台每轮感染给x台电脑，则第一轮后有（1+x）台，经过第二轮感染后，共有．【解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意，得．解得x=8或－10（负值不合题意，舍去）．∵＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【小结】“传播与裂变”问题在现实生活中是广泛存在的，常见的类型包括细胞分裂、信息传播、传染扩散、单循环赛等，是近年中考的热点与亮点，尤其是病毒传播速度成几何级数增长，随着传播轮数的增加，数量是十分惊人的，一定要画好分析图，尤其是要弄清每轮传播的源头与传播后的总和．解这类问题的关键是理解题意，设出适当的未知数列方程求解．类型三几何图形问题【例3】在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．【分析】设小路宽度为m，则花园的长为，花园的宽为，根据面积可得方程．【解】（1）不符合．设小路宽度均为m，根据题意得：，解这个方程得：但不符合题意，应舍去，∴．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m．【小结】几何图形问题一般是只给出一个几何图形（常见的有三角形、特殊四边形），要求在其四周设计边衬或对其进行分割、裁剪，设计一个新的图形或图案．在有关几何图形的面积表示中，通常有三种处理办法：直接表示、间接表示与变换表示．解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程求解，进而对方程的根进行取舍．类型四市场经济与其它问题【例4】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需要化简）（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【分析】（1）由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为(80－x)，销售量为(200+10x)件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800－200－(200+10x)；（2）销售额－成本=利润，由“获利9000元”建立方程进行求解．【解】（1）80－x，200+10x，800－200－(200+10x)；（2）根据题意，得80×200+(80－x)(200+10x)+40[800－200－(200+10x)] －50×800=9000．整理，得x2－20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，当x=10时，80－x=70＞50．答：第二个月的单价应是70元．【小结】市场经济问题（纳税、利息、分期付款、销售利润），匀变速运动、古诗词等问题都是值得关注，解答这问题时，不论背景如何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，并注意根据实际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍．【例5】百货大搂服装柜台在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？【分析】每件的利润是40－x元，因每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．则件数为件，抓住总利润列出方程进行求解．【解】设每件童装应降价x元，则，解得．因为要尽快减少库存，所以x=20．答：每件童装应降价20元．【小结】本题主要的数量关系是：销售利润=每件利润×件数，理解商品的销售的件数及商品价格的关系是解答本题的关键．三、二次函数及其图象解题技巧类型一抛物线的平移问题抛物线的平移问题，可以首先研究其顶点的平移问题，因此，一般要将其解析式转化为顶点式．【例1】把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y ＝x2－2x－3，则b、c的值为（）A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2【分析】y＝x2－2x－3＝ (x2－2x+1)－4＝(x－1)2－4，这个函数图象的顶点坐标为（1，－4），故原抛物线的顶点坐标为（－1，－1）．验证：（－1，－1）（1，－4）．∴y＝x2+bx+c可化为y＝(x+1)2－1．即y＝x2+2x．∴b＝2，c＝0．【答案】B类型二抛物线的旋转和轴对称变换将抛物线绕顶点旋转180°，开口方向发生改变，顶点的坐标不变；抛物线的轴对称变换问题，也是从顶点的轴对称变换开始切入．【例2】将抛物线y＝2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝－2x2－12x+16 B．y＝－2x2+12x－16C．y＝－2x2+12x－19 D．y＝－2x2+12x－20【分析】将y＝2x2－12x+16化为顶点式，得y＝2(x－3)2－2．∴该抛物线的顶点坐标为（3，－2），将该抛物线绕顶点旋转180°后，顶点仍然是（3，－2），解析式中二次项的系数变为－2，所以所得抛物线的解析式为y＝－2(x－3)2－2，即y＝－2x2+12x－20．【答案】D类型三抛物线的对称性（重点）【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a－b+c的值是（）A．0 B．－1 C．1 D．2【分析】∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，又经过点P（3，0），∴利用抛物线的对称性可知该抛物线还要经过点（-1，0），因此a－b+c＝0．【答案】A类型四函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的增减性二次函数的增减性通常要结合其图象研究，明确开口方向及对称轴的位置，是研究的前提条件．【例4】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2【分析】从表中可以发现x＝1和x＝3时，y的值都是1．说明函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0），这时函数值最小，故该抛物线的开口向上，又因为1＜x1＜2，3＜x2＜4，所以点A（x1，y1）和点B（x2，y2）分别位于对称轴的左右两侧，且点A（x1，y1）比点B（x2，y2）到对称轴的距离近．因此y1＜y2.【答案】B类型五根据条件确定最大值和最小值【例5】当－2≤x≤3时，二次函数y＝x2－2x+3的最大值为______，最小值为______．【分析】y＝x2－2x+3＝(x－1)2+2，该函数图象的顶点为（1，2），画出满足条件－2≤x≤3的图象．如图所示．当x＝1时，y有最小值，其最小值为2；当x＝－2时，y有最大值，其最大值为11．【答案】11；2类型六利用“配方法”求特殊函数的最大（小）值【例6】（1）求函数y＝x+(x＞0)的最小值；（2）已知矩形的面积为a，一条边的长为x．当x为何值时，矩形的周长y最小，这个最小值是多少？【分析】可设法将x+“配方”．【解】（1）y＝x+(x＞0)＝＝+2．当＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．（2）y＝2(x+)(x＞0)＝＝当＝，即x＝时，y有最小值，其最小值为4．∴当x＝时，矩形的周长y最小，最小值为4．四、二次函数与一元二次方程关系解题技巧类型一抛物线的交点式（重点）一般地，若二次函数的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则其解析式可设为“交点式”即y＝a(x－x1) (x－x2)．【例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴交于点C(0，－4)．其中x1，x2是方程x2－4x－12＝0的两根，且x1＜x2，求抛物线的解析式．【分析】已知抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），故可设其解析式为y＝a(x－x1) (x－x2)．【解】∵方程x2－4x－12＝0的解为：＝－2，x2＝6，故可设已知的抛物线的解析式为：y＝a(x+2) (x－6)．由x＝0时，y＝－4，得－4＝a×2×（－6），∴a＝∴该抛物线的解析式为：y＝(x+2) (x－6)，即y＝x2－x－4．【名师点睛】虽然本题也可以利用给出的“一般式”来确定抛物线的解析式，但是没有设成“交点式”简单．【例 2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，如果O B＝OC＝OA，那么b的值是（）A．2 B．－1 C． D．－【分析】设OB＝OC＝OA＝c，则A、B两点的坐标分别为A（－2c，0），B（c，0）．故可设抛物线的解析式为y＝a(x+2c) (x－c)，即y＝ax2+acx－2ac2．又∵OC＝c，∴点C的坐标为（0，c），代入解析式，得－2ac2＝c．ac＝－（∵c≠0）．∴b＝ac＝－．【答案】D类型二根据图象观察方程的解通过二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象，不仅可以观察一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况，还可以发现与之相关的一些方程的解的情况．【例3】如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为（1，8），则一元二次方程ax2+bx+c－8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实根B．有两个异号实根C．有两个相等实根D．没有实根【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的最大值是8，因此ax2+bx+c≤8，只有当x＝1时等号成立，因此方程ax2+bx+c＝8．即ax2+bx+c-8＝0有两个相等实根，即x1＝x2＝1．【答案】C【方法归纳】观察本题的图象，研究一元二次方程ax2+bx+c＝k的解的情况，可以发现：①当k＜8时，方程有两个不相等的实根；②当k＝8时，方程有两个相等的实根；③当k＞8时，方程没有实根．类型三根据图象观察不等式的解集利用二次函数的图象，还可以观察一些不等式的解集．【例4】抛物线y＝－x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．【分析】通过观察图象可以发现抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的右交点的坐标为（1，0），利用对称性可以推断出抛物线与x轴的左交点的坐标为（－3，0）．要使y＞0，则－3＜x＜1．【答案】－3＜x＜1【例5】已知函数y1＝x2与函数y2＝－x+3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－C．－2＜x＜D．x＜－2或x＞【点石成金】本题中y1＞y2时，取两边；y1＜y2时，取中间．【分析】观察图象可以发现，位于点A、B之间的部分，有y1＜y2成立，而此时，x的取值范围有选项A、选项C两种选择，进一步观察图象又可以发现A到y轴的距离大于B到y轴的距离，所以答案只能是－2＜x＜；此外本题也可以通过解方程组求出A、B两点的坐标，然后再判断．【答案】C【名师点睛】此题若改成y1＞y2，则x的取值范围是x＜－2或x＞【例6】如图，抛物线y2＝x2+1与双曲线y1＝的交点A的横坐标是1，则不等式+x2+1＜0的解集是（）A．x＞1 B．x＜－1 C．0＜x＜1 D．－1＜x＜0【分析】先把+x2+1＜0化为＜－x2－1，再讨论函数y1＝的图象与y3＝－x2－1的图象之间的关系；作抛物线y2＝x2+1关于原点成中心对称的抛物线y3＝－x2－1．可以发现抛物线y3＝－x2－1与双曲线y1＝的交点的横坐标为－1．观察图象可发现当－1＜x＜0时，y1＜y3，即＜－x2－1，+x2+1＜0．【答案】D类型四根据图象确定代数式的取值范围根据二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象可以发现一些含有a，b，c的代数式的取值范围．【例7】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的个数有（）①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】①∵图象开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号．∴b＜0．图象与y轴的交点在x轴的下方，故c＜0，∴abc＞0．正确②抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0．正确③令x＝－2，则y＝(－2)2a+(－2)b+c＝4a－2b+c.又∵－＝1，∴b＝－2a．∴y＝4a－2b+c＝8a+c．又∵x＝－2时，y＞0．∴8a+c＞0．正确④利用抛物线的对称性可知x＝3和x＝－1时y的值相等，且都有y＜0；而x＝3时，y＝9a+3b+c．∴9a+3b+c＜0．正确综上所述正确结论的个数为4．【答案】D【方法归纳】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，【例8】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点A在（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc0；（2）a的取值范围是.【分析】（1）因为图象开口向下，所以a＜0．对称轴在y轴右边，所以b＞0．与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0，综合可得abc＜0．（2）以D（1，3）为顶点，经过点（－1，0）的抛物线的“张口”最小，设这条抛物线为y＝a1(x－1)2+3，令x＝－1，y＝0，得a1＝－；以F为顶点经过点（－2，0）的抛物线的“张口”最大，设这条抛物线为y＝a2(x－3)2+2，令x＝－2，y＝0，得a2＝－，∴a的取值范围是－≤a≤－．【答案】（1）＜；（2）－≤a≤－。
数学中的函数零点与方程求解技巧
数学中的函数零点与方程求解技巧在数学中，函数零点以及方程的求解是重要的概念和技巧。
它们在代数、几何和应用数学中都扮演着关键的角色。
本文将探讨函数零点和方程求解的相关概念以及解题技巧。
一、函数零点函数零点指的是函数取零值的点，即函数的输入使函数的输出等于零。
函数零点也叫做函数的根，表示为f(x) = 0。
要找到函数的零点，我们需要使用一些特定的方法和技巧。
1. 解析法解析法是找到函数零点的一种常用方法。
对于一些特殊的函数，我们可以通过运用代数技巧来求解零点。
例如，对于一次函数f(x) = ax + b，其零点可以通过令ax + b = 0来求解，解得x = -b/a。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式来求解零点，即x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
2. 图像法图像法是另一个找到函数零点的常用方法。
我们可以绘制函数的图像，在坐标系中观察函数与x轴的交点，那些交点就是函数的零点。
这种方法在直观上帮助我们理解函数的性质，并且可以在一定程度上验证我们通过解析法得到的结果。
二、方程的求解技巧方程的求解是数学中的重要课题之一，也是解决实际问题的关键。
不同类型的方程有不同的求解技巧，下面我们将介绍一些常见的方程求解技巧。
1. 一元一次方程的求解一元一次方程指的是只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
例如，2x + 3 = 5就是一个一元一次方程。
解这种方程的常用方法是移项和消项。
我们可以通过移动所有含有未知数的项到一边，并消除方程中的常数项，最终得到未知数的值。
2. 一元二次方程的求解一元二次方程是一个最高次数为二的方程，一般形式为ax^2 + bx +c = 0。
解一元二次方程的常用方法是使用求根公式或配方法。
我们可以使用求根公式来直接求解方程的根。
如果使用配方法，我们要将方程变形为完全平方的形式，然后求解方程。
3. 线性方程组的求解线性方程组是多个含有多个未知数的方程组成的系统。
初二数学函数与方程的应用与解题技巧总结
初二数学函数与方程的应用与解题技巧总结数学是一门抽象而又实用的学科，它贯穿了我们日常生活的方方面面。
而在初二数学课程中，函数与方程是一个重要的学习内容，它们的应用与解题技巧成为了学生们需要熟练掌握的知识。
本文将对初二数学函数与方程的应用与解题技巧进行总结与概述。
一、函数的概念与应用函数是数学中一种基本的概念，它描述了两个数集之间的对应关系。
在初二数学中，函数的概念被引入，并开始学习函数的应用。
在实际生活中，我们可以将函数应用于许多问题中，如人口增长情况、物资价格变化等。
通过建立适当的函数模型，我们可以更好地理解和预测这些现象。
在解决函数相关问题时，有一些常见的技巧可以帮助我们更好地理解和应用函数。
首先，我们需要明确函数的定义域和值域，即函数的自变量和因变量的取值范围。
其次，我们可以通过绘制函数的图像来更好地理解函数的性质，如增减性、奇偶性等。
此外，函数的复合和反函数也是解题时常用的技巧，能够帮助我们简化复杂的函数关系。
二、方程的概念与解题技巧方程是数学中的另一个重要概念，它描述了一个等式中未知数的取值。
在初二数学中，我们学习了一元一次方程、一元二次方程等基本类型的方程，并学会了解这些方程的解法。
在解决方程相关问题时，我们可以运用一些常见的解题技巧。
首先，我们需要明确方程中未知数的含义，可以通过文字叙述将问题转化为方程。
其次，我们可以通过运用逆运算的原理，将方程中的未知数逐步求解，最终获得方程的解集。
此外，对于一些特殊的方程，如含有绝对值符号的方程，我们需要根据不同情况进行讨论，得到所有的解。
三、函数与方程的综合应用在实际生活中，函数与方程往往是相互关联的，我们需要将两者结合起来进行综合应用。
通过将问题抽象化为函数和方程的形式，我们可以更好地解决一些实际问题。
比如，在货物运输过程中，我们可以通过建立距离和时间的函数模型，来求解在不同时间点的位置和速度等信息。
在综合应用的解题过程中，我们需要灵活运用函数和方程的知识。
初中数学解题技巧解方程和函数
例题 1
例题 2
例题 3
例题 4
例题 5
例题 6
例题1
例题2
例题3
例题4
例题 5
第二节 换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十 分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数 称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的 数学式子中，用新的变元代替原式的一个部分 或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解 决。
例题1
例题2
例题3
例题45 xX6ຫໍສະໝຸດ 2 x3X6例题 5
例题 6
第三节 待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确 定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条 件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的 值或找出这些待定系数闻的某种关系，从而解答数学问 题，这种解题方法称为待定系数法。
待定系数法是求一次函数、二次函数、反比例函数 的解析式的常用方法。一般是先设待求的函数关系式(其 中含有未知系数)，再根据条件列出方程或方程组，通过 解方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求函数关 系式。有时也用来求方程中待定系数的值或进行分式求 值。
初中数学解题方法
第二章 解方程和函数
第一节 配方法
配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法， 解题时，如何能根据题目的特点，灵活用好配方法，充分 发挥它的潜能，这是学好配方法的目的。所谓配方，就是 把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成 一个或几个多项式正整数次幂的和的形式。通过配方解决 数学问题的方法叫配方法。其中用得最多的是配成完全平 方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的 应用十分广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等 式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
指数函数方程---解法练习(4个常见方法)及例题
指数函数方程---解法练习(4个常见方法)及例题1.对数法对于形如`a^x = b`的指数函数方程，可以使用对数法来解。
具体步骤如下：1.将方程两边取对数，得到`x * log_a = log_b`；2.解出`x`的值，即`x = log_b / log_a`。
2.试探法试探法是另一种解指数函数方程的方法，适用于无法通过对数法直接解出的情况。
步骤如下：1.对于给定的指数函数方程，使用适当的试探值代入方程中；2.判断试探值是否满足方程，如果满足，则为方程的解；3.如果试探值不满足方程，则尝试其他试探值，直到找到满足方程的解。
3.换底公式当指数函数的底数不方便使用对数法时，可以使用换底公式来解方程。
步骤如下：1.将指数函数的底数用等价形式表示，即`a = c^m`，其中`c`为新的底数；2.将原方程用新的底数表示，得到`c^(m * x) = b`；3.可以直接使用对数法或试探法解出方程。
4.观察法有些指数函数方程可以通过观察特殊性质来解。
例如，当方程为`a^x = a^n`时，可以直接得到解为`x = n`。
以下是一个例题：例题。
解方程 `2^x = 16`。
例题。
解方程 `2^x = 16`。
解法：根据对数法，我们有 `x = log_2(16) = 4`。
根据试探法，我们可以尝试不同的指数值，但从观察法可以直接得到解 `x = 4`。
综上所述，通过多种方法，我们可以解决各种形式的指数函数方程。
注：以上内容为简要介绍，具体的解法细节可以根据具体的指数函数方程进行调整和运用。
函数与方程中的一元二次方程与解法
函数与方程中的一元二次方程与解法一元二次方程是数学中常见且重要的方程形式，它在函数与方程的研究中具有广泛的应用。
本文将重点探讨一元二次方程及其解法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、一元二次方程的定义与形式一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax² + bx + c = 0其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用以下几种方法：方法一：因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式相乘时，我们可以直接根据因式的零点得到方程的解。
例如，对于方程2x² + 5x + 3 = 0，我们可以将其因式分解为(2x + 1)(x + 3) = 0。
由此可得，方程的两个解为x = -1/2和x = -3。
方法二：配方法配方法是一种常用的解一元二次方程的方法，通过变形使方程左侧成为一个平方的形式，从而得到方程的解。
具体步骤如下：1. 将方程标准形式转化为完成平方的形式。
2. 完成平方后，将方程变形为(x + p)² = q的形式。
3. 对方程进行求根运算，得到方程的解。
例如，对于方程3x² + 4x + 1 = 0，我们可以通过配方法求解：1. 将方程变形为3(x² + 4/3x) + 1 = 0。
2. 完成平方后，得到3[(x + 2/3)² - 4/9] + 1 = 0。
3. 化简得到(x + 2/3)² - 4/3 + 1/3 = 0，即(x + 2/3)² = 1/3。
4. 对方程进行求根运算，得到方程的两个解为x = -2/3 + √(1/3)和x = -2/3 - √(1/3)。
方法三：利用求根公式一元二次方程的求根公式是解一元二次方程的一种常用公式，可以直接得到一元二次方程的精确解。
求根公式如下：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)例如，对于方程x² - 5x + 6 = 0，我们可以直接利用求根公式求解：x = (5 ± √(5² - 4*1*6)) / (2*1)，化简得到方程的两个解为x = 2和x = 3。
高中数学21种解题方法及例题
高中数学21种解题方法及例题在高中数学学习中，解题方法的灵活运用是学生们提高解题能力的关键。
掌握不同的解题思路和方法，能够使学生更加深入地理解数学知识，提高问题解决的效率。
本文将介绍21种高中数学解题方法，并通过例题进行详细说明，以帮助学生更好地应用这些方法。
【一、代数运算类解题方法】1. 一元一次方程求解法例题：已知方程2x + 3 = 7，求解x的值。
2. 一次函数的图像法例题：给定函数y = 3x + 2，绘制出其图像，并解析求解函数的相关特征。
3. 因式分解法例题：将方程x² - 4x + 4 = 0进行因式分解，并求解方程。
【二、几何推理类解题方法】4. 同位角性质运用法例题：已知两条平行线被一条截线所交，求解各个角的度数。
5. 对称性运用法例题：已知某几何图形具有对称性，利用对称性进行证明或求解问题。
6. 三角函数运用法例题：利用正弦定理求解三角形的未知边长或角度。
【三、数列与数数法】7. 等差数列求和法例题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求解前10项的和。
8. 递推数列求通项法例题：已知数列的前两项为1和2，公差为3，求解数列的通项公式。
9. 迭代运算法例题：已知数列递推式为an+1 = 2an - 1, a1 = 1，求解前10项的数值。
【四、概率统计类解题方法】10. 样本空间与事件法例题：已知一枚骰子，求解投掷两次，求得的点数和为9的概率。
11. 求解总数法例题：已知有5个红球和3个蓝球，从中随机抽取2个球，求解两球不同色的概率。
12. 排列组合法例题：有8个人参加篮球比赛，其中3人为前锋，4人为后卫，求解一种排列和组合的方式。
【五、解析几何类解题方法】13. 直线与圆的位置关系法例题：已知直线方程为y = 2x + 1，圆的标准方程为(x-2)² + (y-3)² = 4，求解两者的位置关系。
14. 曲线与切线法例题：已知曲线方程为y = x²，求曲线上某一点的切线斜率。
函数与方程中的三元一次方程组与解法
函数与方程中的三元一次方程组与解法在数学中，方程组是由一组方程组成的集合。
而三元一次方程组是一个具有三个变量和一次项的方程组。
解决三元一次方程组的方法可以帮助我们求解复杂的问题，因此在数学学习中具有重要意义。
本文将介绍函数与方程中的三元一次方程组的基本概念和解法。
一、三元一次方程组的定义三元一次方程组由三个方程组成，每个方程中都有三个变量，并且每个变量都具有一次项。
一般地，三元一次方程组可以表示为：a₁x + b₁y + c₁z = d₁a₂x + b₂y + c₂z = d₂a₃x + b₃y + c₃z = d₃其中，a₁、b₁、c₁等表示系数，x、y、z表示变量，d₁、d₂、d₃表示方程组的常数项。
二、三元一次方程组的解法解决三元一次方程组可以使用多种方法，下面将介绍几种常用的解法。
1. 代入法代入法是一种简单而直观的解方程组方法。
具体步骤如下：- 选择其中一个方程，将其中一个变量表示为其他变量的函数。
- 将得到的表达式代入到另外两个方程中，从而得到只涉及两个变量的二元一次方程组。
- 使用二元一次方程组的解法求解该方程组。
- 将求得的解代入到任意一个原方程中，求解第三个变量的值。
2. 消元法消元法是一种通过对方程组进行线性变换，使得变量之间的系数出现特殊关系，从而简化求解过程的方法。
具体步骤如下：- 通过线性变换，将方程组化为三个方程，其中每个方程只包含两个变量。
- 使用二元一次方程组的解法求解该方程组。
- 将求得的解代入任意一个原方程中，求解第三个变量的值。
3. 矩阵法矩阵法是一种利用矩阵运算求解方程组的方法。
具体步骤如下：- 将三元一次方程组的系数写成矩阵形式，即系数矩阵。
- 对系数矩阵进行行变换，化为行简化阶梯形矩阵。
- 根据行简化阶梯形矩阵，得出方程组的解。
三、例题下面通过一个例题来展示如何使用上述方法解决三元一次方程组：例题：求解方程组2x + y + z = 63x - y + z = 4x + 2y - z = 1解法：1. 代入法选择第一个方程，将 z 表示为其他变量的函数：z = 6 - 2x - y将 z 代入到第二、第三个方程中，得到一个二元一次方程组：3x - y + (6 - 2x - y) = 4x + 2y - (6 - 2x - y) = 1化简上述方程组，得到：x - 2y = -13x - 2y = 1解二元一次方程组，得到：x = 1, y = 1将 x 和 y 值代入任意一个原方程，求解 z 值：2(1) + 1 + z = 6z = 32. 消元法通过线性变换，将方程组化为三个方程，其中每个方程只包含两个变量：2x + y + z = 63x - y + z = 4x + 2y - z = 1化简第三个方程：x + 2y = 1 + z替换第一个和第二个方程中的 x 和 y 值：2(1 + z) - y + z = 63(1 + z) - y + z = 4化简上述方程组，得到：-2z + y = 4-2z + y = 1可以看出上述方程组无法满足，因此该方程组无解。
函数与方程的思想方法在解题中的应用
函数与方程的思想方法在解题中的应用何登文数列、解析几何、立体几何、不等式及实际应用问题是高中数学的几个重要内容，在高考试题中占了较大的比例，能否顺利的解答这几类问题，直接影响到学生的高考成绩。
函数与方程思想从某些方面来说，给我们指出了解决这些问题的思路和方法。
将这些问题转化为相应的函数或方程，我们就可以应用函数和方程的性质来解决问题了。
下面，我们通过例题来说明它们的应用。
一、利用函数与方程的思想解答数列问题例1、已知数列的通项公式n a =-2n +6n+2,这个数列的最大项的值是多少？从第几项起以后的项均为负值？分析：数列是以自然数n 为变量的点列函数，因此，我们在处理数列问题是，往往将其转化函数问题，利用相应函数的性质来求解。
解：∵ n a =-2n +6n+2，∴n a 可以看作是关于n 的二次函数，利用二次函数的性质，当n=-62--=3时，n a 有最大值11。
令-2n +6n+2≤0 解得 n ≥7∴从第七项起以后的项均为负值。
此题利用了数列的函数特性求解，使得问题简单化，使用了化未知为已知的思维方法。
例2、已知数列﹛n a ﹜是等差数列，若n s =10，2n s =50，求3n s 。
分析：本题我们可以用“等差数列中，依次取每k 项作和，其和仍成等差数列”的性质来求解，即ns、2ns-ns、3ns-2ns成等差数列，此时公差d=50-20=30,所以3ns=2ns-ns+2ns+d=50-10+50+30=120.这样很直接。
另外，在等差数列中211()22()22n d dn d d n n n n a s a +-==+-是关于n 的一次函数，因此，我们可以利用一次函数的点共线的性质求解。
解：∵﹛n a ﹜是等差数列，∴n n s ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭也是等差数列，是关于n 的一次函数，∴ 23,,2,,3,23n n n n n n n n n s s s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三点共线，∴35010102323n n n n n n n n n s --=-- 解得3n s =120。
数学中函数与方程题解题技巧与关键知识点
数学中函数与方程题解题技巧与关键知识点在数学学科中，函数和方程是常见的解题内容。
掌握函数与方程的解题技巧和关键知识点，对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍函数与方程的解题技巧，并总结关键的知识点。
一、函数题解题技巧函数题主要涉及对函数的理解和运用。
以下是几个解题技巧：1. 明确函数的定义和性质在解函数题时，首先要明确函数的定义和性质。
了解函数的定义能够帮助我们准确地理解题目要求，并且在解题过程中遵循正确的思路。
2. 建立函数模型建立函数模型是解函数题的关键一步。
根据题目给出的条件，通过分析和推理，我们可以建立相应的函数模型。
模型的建立应该符合实际情况，并且能够准确地表示题目中的关系。
3. 利用函数的性质和图像进行推导函数的性质和图像是解题的重要工具。
根据函数的性质，我们可以使用代数方法进行推导和计算。
同时，观察函数的图像有助于我们直观地理解函数的特点，并在解题过程中进行判断和估计。
4. 特殊取值和特殊情况的考虑在解某些函数题时，我们可以选择合适的特殊取值，通过具体计算获得一些结果，然后对规律进行总结。
同时，考虑特殊情况也是解题的重要一环，特殊情况有助于我们深入理解函数的性质。
二、方程题解题技巧方程题在数学中占据重要地位，解题时需要掌握以下技巧：1. 明确方程的类型方程分为一元一次方程、一元二次方程、多元一次方程等类型。
在解题前，需要明确所给方程的类型，进而选择合适的解法。
熟悉各种方程类型的特点和解法，对于解题非常有帮助。
2. 运用等式性质和运算规律在解方程题时，我们可以利用等式的性质和运算规律进行变形和化简。
通过巧妙的变形，可以使方程更容易解出。
3. 借助图像思考有些方程可能难以进行解析求解，这时我们可以借助图像进行思考。
观察方程对应的图像，通过图像的性质进行推理和解题。
4. 注意特殊解和解的存在性方程的解可能存在多个，也可能不存在解。
在解题时，需要注意特殊解的存在，并进行全面的计算和分析。
解三角函数方程的一般方法与技巧
解三角函数方程的一般方法与技巧解三角函数方程是高中数学中的重要内容，它涉及到三角函数的性质和特点，需要我们掌握一些基本的解题方法和技巧。
本文将介绍解三角函数方程的一般方法和一些常用的技巧，帮助读者更好地理解和应用。
一、一般方法解三角函数方程的一般方法是通过观察方程的特点，将其转化为已知的三角函数方程，然后利用三角函数的性质和等价关系进行求解。
1. 观察方程的特点：首先，我们需要观察方程的形式和条件，判断它是什么类型的三角函数方程，例如是正弦函数、余弦函数还是其他类型的三角函数方程。
同时，还需要注意方程中是否存在特殊角度的限制条件，如角度的定义域或周期性等。
2. 转化为已知的三角函数方程：根据观察到的特点，我们可以将原方程转化为已知的三角函数方程。
例如，如果原方程是sin(x) = a的形式，我们可以通过等价关系sin(x) = sin(arcsin(a))将其转化为sin(x) = sin(arcsin(a))的形式。
3. 利用三角函数的性质和等价关系求解：一旦将方程转化为已知的三角函数方程，我们就可以利用三角函数的性质和等价关系进行求解。
例如，利用sin(x) =sin(arcsin(a))的等价关系，我们可以得到x = arcsin(a)或x = π - arcsin(a)等解。
二、常用技巧除了一般方法外，还有一些常用的技巧可以帮助我们更快地解决三角函数方程。
1. 利用三角函数的周期性：三角函数具有周期性的特点，例如sin(x)和cos(x)的周期都是2π。
当我们遇到方程中存在周期性限制条件时，可以利用三角函数的周期性简化方程。
例如，对于sin(x) = sin(a)的方程，我们可以根据周期性得到x =a + 2kπ或x = π - a + 2kπ的解。
2. 利用三角函数的奇偶性：三角函数具有奇偶性的特点，例如sin(x)是奇函数，cos(x)是偶函数。
当我们遇到方程中存在奇偶性限制条件时，可以利用三角函数的奇偶性简化方程。
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高三专题复习函数（3）函数与方程
一、基本知识点
1、函数零点：（变号零点与不变号零点）
（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =
,通过不断地把函数
()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似
值的方法叫做二分法; 二、解题方法
零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：
（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如
例、函数x
x x f 2
)1ln()(-
+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数x
x x f 2
)1ln()(-
+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数x
x x f 2
)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B
（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。
对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。
如：
1．对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如： 例.求x x x f 2)(2-=零点的个数。
分析：本题直接求解，无法下手，由函数x x x f 2)(2-=的零点也是方程02)(2=-=x x x f 的根，即方程x x 22=的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数21x y =、x y 22=,在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所以x x x f 2)(2-=零点的个数有三个。
2.对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X 轴交点的情况求解。
（导数专题再续讲）
（三）求函数的具体零点或求方程的根。
对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。
如：
例、求函数36)35()(55++++=x x x x f 的零点。
分析：考察036)35()(55=++++=x x x x f 的特点，直接求解难以入手，可转化为求
)()35()35(55x x x x +-=+++的解，根据式子特点构造函数x x x g +=5)(，显然)(x g 为奇函数，且在R 上单调递增，由)()35()35(55x x x x +-=+++可化为)()()35(x g x g x g -=-=+，故利用函数)(x g 的性质可得x x -=+35，则21-
=x ，所以函数)(x f 的零点为2
1
-=x
基础练习
1、下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）答案
B
2、已知函数)(x f 的图象是连续的，有如下表。
函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（ ） 答案C
x
1 2 3 4 5 6 )(x f
123.56 21.45 －7.82 11.57 53.76 －126.49
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3. 设α、β分别是方程2log 40240x x x x +-=+-=和的根，则α＋β＝ 。
答案4
4. 已知函数b a b
ax x x f ,()(2
+=为常数），且方程012)(=+-x x f 有两实根3和4 (1)求函数)(x f 的解析式； (2)设1>k ，解关于x 的不等式：x
k
x k x f --+<
2)1()(
解： （1）即方程
0122
=+-+x b
ax x 有两根3和4，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++=++084160939
b
a b
a 得 ⎩⎨
⎧=-=2
1b a 所以x x x f -=2)(2
（2）即x
k
x k x x --+<-2)1(22整理的0))(1)(2(>---k x x x 21<<k 时，不等式的解集}21|{><<x k x x 或；2=k 时，不等式的解集}221|{><<x x x 或；2>k 时，不等式的解集}21|{k x x x ><<或。