大学物理第4章课件
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大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
感谢观看
THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
大学物理4PPT课件
大学物理4ppt课件
• 大学物理4课程简介 • 力学基础 • 电场与磁场 • 电磁感应与麦克斯韦方程组 • 相对论基础 • 实验与习题
01
大学物理4课程简介
课程目标
01
掌握大学物理的基本概念、原理和方法。
02
培养学生对物理现象的观察、分析和解决问题的能力。
培养学生的科学素养和创新能力，为后续专业课程和科研工作
详细描述
电磁波是由电场和磁场相互激发并传播的波。它们的传播速度与介质有关，在真空中等于光速。电磁波的应用广 泛，如无线电通信、雷达和微波炉等。
05
相对论基础
狭义相对论
狭义相对论的基本
假设
所有惯性参照系中光速都是一样 的，即光速的不变性。同时，物 理定律在所有惯性参照系中都是 一样的，即参照系的相对性。
课程考核方式包括平时作业、实验报告和期末考 试等。
02
力学基础
牛顿运动定律
01
02
03
牛顿第一定律
物体若不受外力作用，将 保持静止或匀速直线运动 状态不变。
牛顿第二定律
物体加速度的大小与作用 力成正比，与物体的质量 成反比。
牛顿第三定律
作用力和反作用力大小相 等，方向相反，作用在同 一条直线上。
等效原理
在任何局部区域内，不能通过任何实验区分均匀引力场和加速参照 系。
广义协变原理
物理定律在任何参照系中都应具有相同的数学形式。
黑洞与宇宙学
黑洞的形成
黑洞是由于大质量恒星坍缩形成 的，其强大的引力使得周围的物
质和光线都不能逃脱。
霍金辐射
根据量子力学的不确定性原理，黑 洞会向外辐射能量，即霍金辐射。
磁场概念
磁体或电流周围存在的一种特 殊物质，对放入其中的磁体或
• 大学物理4课程简介 • 力学基础 • 电场与磁场 • 电磁感应与麦克斯韦方程组 • 相对论基础 • 实验与习题
01
大学物理4课程简介
课程目标
01
掌握大学物理的基本概念、原理和方法。
02
培养学生对物理现象的观察、分析和解决问题的能力。
培养学生的科学素养和创新能力，为后续专业课程和科研工作
详细描述
电磁波是由电场和磁场相互激发并传播的波。它们的传播速度与介质有关，在真空中等于光速。电磁波的应用广 泛，如无线电通信、雷达和微波炉等。
05
相对论基础
狭义相对论
狭义相对论的基本
假设
所有惯性参照系中光速都是一样 的，即光速的不变性。同时，物 理定律在所有惯性参照系中都是 一样的，即参照系的相对性。
课程考核方式包括平时作业、实验报告和期末考 试等。
02
力学基础
牛顿运动定律
01
02
03
牛顿第一定律
物体若不受外力作用，将 保持静止或匀速直线运动 状态不变。
牛顿第二定律
物体加速度的大小与作用 力成正比，与物体的质量 成反比。
牛顿第三定律
作用力和反作用力大小相 等，方向相反，作用在同 一条直线上。
等效原理
在任何局部区域内，不能通过任何实验区分均匀引力场和加速参照 系。
广义协变原理
物理定律在任何参照系中都应具有相同的数学形式。
黑洞与宇宙学
黑洞的形成
黑洞是由于大质量恒星坍缩形成 的，其强大的引力使得周围的物
质和光线都不能逃脱。
霍金辐射
根据量子力学的不确定性原理，黑 洞会向外辐射能量，即霍金辐射。
磁场概念
磁体或电流周围存在的一种特 殊物质，对放入其中的磁体或
大学物理课件第4章-功和能
如图,求船从离岸 x1处移到 x2 处的 过程中,力 F 对船所作的功.
F
解:判别F 是否为变力作功(大小不变,方
向变元),功属于dW变力作F功.建dx立坐F标,取dx元过co程sa
h
o x2
a
dx x x1 x
cosa x
x2 h2 x
dW F dx
x2 h2
功在数值上等于示功图
F
曲线下的面积。
3. 功率
0 x1
x2 x
dx
平均功率: P =ΔΔWt
瞬时功率:
P
= lim
Δt 0
Δ Δ
Wt =
dW dt
=
F
. dr
dt
= F .v
[ 例1 ] 有一单摆，用一水平力作用于m
使其极其缓慢上升。当θ 由 0 增大到 0 时，
求: 此力的功。
{
F T sinθ T cosθ mg
两边平方
v 2 v12
由动量守恒
2v1
v2
v 22
v
v1
v2
由机械能守 恒（ 势能无变化）
v2
v12
v
2 2
v1 v2 0 两球速度总互相垂直
例8：已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，
如图，求质点下滑至最低点时给木块的压力.
解：
mv MV 0
•2.碰撞分类
正碰 斜碰
（从碰撞前后两球中心连线角度分类 ）
弹性碰撞 非弹性碰撞 完全非弹性碰撞
一般非弹性碰撞
（从碰撞能量损失角度分类）
例7：在平面上两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于
复旦大学大学物理力学课件Ch4_part_I-1
W Ek
力对空间的累积作用 标量 惯性系 内力作功不一定为零 合外力为零， 作功不一定为零
I P
力对时间的累积作用 矢量 惯性系 内力冲量为零 合外力为零， 总的冲量一定为零
动量守恒定律
t2 n n F外力dt mi vi mi vi 0 P t1 i 1 i 1
t
动量定理的成立条件——惯性系。
利用动量定理计算平均冲力
F (t2 t1 ) Fdt
I Fdt ＝P mv 2 - mv1
P F＝ t
•应用： 利用冲力： 增大冲力，减小作用时间 ——冲床 避免冲力： 减小冲力，增大作用时间 ——轮船靠岸时的缓冲
力的效果 力的瞬时效果 牛顿定律是动量定理 关系 的微分形式 适用对象 质点 适用范围 惯性系 解题分析 必须研究质点在每时 刻的运动情况
力对时间的积累效果 动量定理是牛顿定律的 积分形式 质点、质点系 惯性系 只需研究质点（系）始 末两状态的变化
动能定理和动量定理的比较
动能定理 动量定理 都是从牛顿定律推出
一、冲量
1, 若质点受恒力的作用， I ＝Ft 在t 时间内所受的冲量为：
2, 若质点受变力的作用， 在t1t2 时间内所受的冲量为：
t
F
F
I ＝ Fn tn
t2 t1
t 1 t 2 t1
F (t )
t n t2
积分形式
t2 I ＝ Fdt
dp dv dM F M u dt dt dt
y h h v1
v2
1 2 h v1t ' gt ' 2
t 1s
'
《大学物理》第4章 牛顿运动定律
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加速度和力之间的精确关系是如何呢？
雪橇车加速 —— 队员对它施加了推力
力 —— 运动状态改变的原因
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§4-4 牛顿第二运动定律
物体受到合外力作用时，它所获得的 加速度的大小与合外力的大小成正比， 并与物体的质量成反比，加速度的方 向与合外力的方向相同——牛顿第二 定律。
2(x x0)
2(55m)
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所需的合外力： F ma (1500kg)(7.0m / s2) 1.1104 N
负号表明这个力的方向与初速度的方向相反。 注意：如果加速度不是严格的恒定的量，我们可以设定一个 “平均”加速度，据此我们可以获得一个“平均”合力。上页 下页 返回 退出
测量一个拉力的大小（或者强度）。
测量拉力的工具-弹簧秤。 力是一个矢量，遵循矢量加减法的规则和矢量图示法。 （箭头的方向表示力的方向，而矢量的长短与力的大小 成正比。） 力在不同方向上施加，具有不同的效果。
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§4-2 牛顿第一运动定律
艾萨克∙牛顿（1642-1727）英国物
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分析静止在桌子上的物体： 物体静止——合外力为零 重力 FG 竖直向下 桌子对它有一个向上的力，如图所示。 物体下面的桌子被挤压，由于桌子的 弹性，它要恢复原有形状需要向上推 举物体。这个由桌子施加的力通常称 作接触力，因为它发生在两个物体接 触的时候。 当接触力作用在垂直于接触面的方向 时，又被叫做正压力（normal force） 在图中标记为 。 FN
两个物体之间的作用力和反 作用力，在同一直线上，大
小相等而方向相反。（当一个物
体对第二个物体施加一个力，那第二个 物体对第一个物体施加一个大小相等方 向相反的力。）
大学物理第4章PPT课件
设有两个质点m1和m2相互作用，把它们看成一个系统，若 m1受到m2的作用力是f1，发生的位移为dr1；m2受到m1的作用 力是f2,发生的位移为dr2,则这一对相互作用的内力的功为
dW=dW1+dW2
第一节 功 和 功 率
因为
所以
f1=-f2
dW=f1·dr1+f2·dr2=f1·dr1-f1·dr2=f1·（dr1-dr2）=f2·dr12 4- 5） 在式（4- 5）中, dr12是m1相对于m2的位移，此相对位移与参考系的 选择无关.由式（4- 5）分析可知，系统内的质点没有相对位移时，一对相互
第二节 动能 动能定理
动量是矢量，不但有大小，而且有方向，这是机械运动 的性质；动能是标量，而且永远为正，它是能量的一种形式， 能量并不限于机械运动.除了动能外，还有其他各种形式的能 量，如电能、热能、光能、原子能等.动能与这些能量是可以 相互转化的.
另外，与动量变化相联系的是力的冲量，冲量是力的时 间累积作用，其效果是使物体的动量发生变化.而与动能变化 相联系的是力所做的功，功是力的空间累积作用，其效果是使 物体的动能发生变化.这两个物理量各自遵从一定的规律，它 们是从不同侧面来描写物体机械运动的物理量.
力做的功等于力的大小与位移沿力的方向的分量的乘积.由
此看出，功是力的空间累积作用.功也可以用力F与位移Δr的标
积表示，即
W=F·Δr
（4- 2）
功是一个标量，但有正负之分，功的正负由F与Δr之间的
夹角θ决定.在国际单位制中，功的单位是牛顿·米（N·m）.
第一节 功 和 功 率
2. 变力的功
式（4- 2）为恒力做功的定义式，但在一般情况下作用 在物体上的力不一定都是恒力，质点也不一定做直线运动.这 时，不能直接用式（4- 2）来讨论变力的功，那么如何计算 变力的功呢？设有一个质点，在大小和方向都随时间变化的 力F作用下，沿任意曲线从a点运动到b点，如图4-2所示.
dW=dW1+dW2
第一节 功 和 功 率
因为
所以
f1=-f2
dW=f1·dr1+f2·dr2=f1·dr1-f1·dr2=f1·（dr1-dr2）=f2·dr12 4- 5） 在式（4- 5）中, dr12是m1相对于m2的位移，此相对位移与参考系的 选择无关.由式（4- 5）分析可知，系统内的质点没有相对位移时，一对相互
第二节 动能 动能定理
动量是矢量，不但有大小，而且有方向，这是机械运动 的性质；动能是标量，而且永远为正，它是能量的一种形式， 能量并不限于机械运动.除了动能外，还有其他各种形式的能 量，如电能、热能、光能、原子能等.动能与这些能量是可以 相互转化的.
另外，与动量变化相联系的是力的冲量，冲量是力的时 间累积作用，其效果是使物体的动量发生变化.而与动能变化 相联系的是力所做的功，功是力的空间累积作用，其效果是使 物体的动能发生变化.这两个物理量各自遵从一定的规律，它 们是从不同侧面来描写物体机械运动的物理量.
力做的功等于力的大小与位移沿力的方向的分量的乘积.由
此看出，功是力的空间累积作用.功也可以用力F与位移Δr的标
积表示，即
W=F·Δr
（4- 2）
功是一个标量，但有正负之分，功的正负由F与Δr之间的
夹角θ决定.在国际单位制中，功的单位是牛顿·米（N·m）.
第一节 功 和 功 率
2. 变力的功
式（4- 2）为恒力做功的定义式，但在一般情况下作用 在物体上的力不一定都是恒力，质点也不一定做直线运动.这 时，不能直接用式（4- 2）来讨论变力的功，那么如何计算 变力的功呢？设有一个质点，在大小和方向都随时间变化的 力F作用下，沿任意曲线从a点运动到b点，如图4-2所示.
《大学物理》教学课件 大学物理 第四章
此时，质点向 x 轴正向运动。求：① 此简谐振动的运动方程；② 从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。
【解】 ① 设简谐振动的运动方程为 x Acos(t ) 。由题意可知， A 0.12 m ， 2π/T π (rad/s) 。
因 t 0 时， x0 0.06 m ，故 0.06 0.12cos ，得 π/3 因 t 0 时，质点向 x 轴正向运动， v0 0 ，故 v0 Asin 0 即 sin 0 ，所以取 π/3 ，
② 设物体由起始位置运动到 x0 0.04 m 处所需的最短时间为 t，
则
0.04
0.08 cos
π 2
t
π 3
，
t
0.667
s
若根据图所示，可得 t π ， t 0.667 s
3
4.1 简谐振动 ， ，
4.1.5 简谐振动的能量
设在任一时刻 t，物体的位移和速度分别为 x 和 v，可得简谐振动的动能和势能分别为
Ek
1 mv2 2
1 m2 A2
2
sin2 (t
)
1 kA2 2
sin2 (t
)
Ep
1 kx2 2
1 kA2 2
cos2 (t
)
简谐振动的总能量为 E
Ek
Ep
1 kA2 sin2 (t ) 1 kA2 cos2 (t )
2
2
1 kA2 2
1 m2 A2
2
动能、势能及总能量随时间变化的曲线如图所示（设 0 ）。
， ，
，
，
例题讲解 1
如图所示，一质量为 m、长度为 l 的均质细棒悬挂在水平轴 O 点。开始时，棒在垂直位置 OO′，处于平
大学物理第四章
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二、平动和转动
1、平动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直
线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫 平动（translation）。
平动时，刚体内各质点在任一时 刻具有相同的速度和加速度。
刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动，如质心。
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
如：车轮的滚动。
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3、刚体的定轴转动 定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴作
不同半径的圆周运动。
在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但 在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可 以用来描述整个刚体的转动。
作定轴转动时，刚体内各点具 有相同的角量，包括角位移、角速 度和角加速度。但不同位置的质点 具有不同的线量，包括位移、速度 和加速度。
直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示：
最后，刚体绕定轴转动时，需
要一个坐标来描述，选定参考方 z
向后，转动位置用表示。
p
总的说来，刚体共有6个自由
度，其中3个平动自由度，3个转 动自由度。
y
物体有几个自由度，它
o
的运动定律可归结为几个
独立的方程。
x
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§4-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 一、力矩
v r
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三、定轴转动定律
对刚体中任一质量元
mi
受外力 Fi 和内力 fi
应用牛顿第二定律，可得：
F ifi m ia i
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
F isii n fisi i n m ia it m ir i
F ir isiin fir isiin m ir i2
二、平动和转动
1、平动 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直
线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫 平动（translation）。
平动时，刚体内各质点在任一时 刻具有相同的速度和加速度。
刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动，如质心。
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
如：车轮的滚动。
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3、刚体的定轴转动 定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴作
不同半径的圆周运动。
在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但 在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可 以用来描述整个刚体的转动。
作定轴转动时，刚体内各点具 有相同的角量，包括角位移、角速 度和角加速度。但不同位置的质点 具有不同的线量，包括位移、速度 和加速度。
直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示：
最后，刚体绕定轴转动时，需
要一个坐标来描述，选定参考方 z
向后，转动位置用表示。
p
总的说来，刚体共有6个自由
度，其中3个平动自由度，3个转 动自由度。
y
物体有几个自由度，它
o
的运动定律可归结为几个
独立的方程。
x
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§4-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 一、力矩
v r
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三、定轴转动定律
对刚体中任一质量元
mi
受外力 Fi 和内力 fi
应用牛顿第二定律，可得：
F ifi m ia i
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
F isii n fisi i n m ia it m ir i
F ir isiin fir isiin m ir i2
大学物理_第四章__动量和角动量
1
d (mv ) dm d v dm dv 0 F m v dt m dt dt dt dt ma
物理意义：物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量。
I mv2 mv1
——质点的动量定理
I x mvx 2 mvx1 I y mvy 2 mvy1 直角坐标分量式为 I z mvz 2 mvz1 注意： t2 １． I Fdt P2 P1 为矢量式，使用中
I x px mvBx mv Ax
mvB mv A cos45
vB
O
B
vA
x
0.683kg m s
1
A
I y p y mvBy mv Ay mv A sin45 0.283kg m s1
总冲量： 大小 I
2 0.739 N s Ix I2 y
球与棒脱离到飞至最高点过程机械能守恒
1 2 mv 2 mgh 2
v2 2 gh
２．据动量原理作矢量图：
３．解析式:
p2
2 2 I P P2 P 1
p I
7.3 (N S) 2 1 P 0 tan 1 34.99 P I 7.3 365N F 0.02 t
v1 0 P 1 0
l
２
T
m
１
mg
EP 0
v2 ?
1 2 机械能守恒 1 2 m 2gl(1 cos ) mv 2 mgl (1 cos ) 2
I合
P2 m v2
例2.一重锤从高度h=1.5m处自静止下落，锤与被加工的 工件碰撞后末速为０。若打击时间 t 为 10 1 s、 10 -2 s、 10 -3 s 和10 -4 s ，试计算这几种情形下平均冲击力与重力的比值.
d (mv ) dm d v dm dv 0 F m v dt m dt dt dt dt ma
物理意义：物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量。
I mv2 mv1
——质点的动量定理
I x mvx 2 mvx1 I y mvy 2 mvy1 直角坐标分量式为 I z mvz 2 mvz1 注意： t2 １． I Fdt P2 P1 为矢量式，使用中
I x px mvBx mv Ax
mvB mv A cos45
vB
O
B
vA
x
0.683kg m s
1
A
I y p y mvBy mv Ay mv A sin45 0.283kg m s1
总冲量： 大小 I
2 0.739 N s Ix I2 y
球与棒脱离到飞至最高点过程机械能守恒
1 2 mv 2 mgh 2
v2 2 gh
２．据动量原理作矢量图：
３．解析式:
p2
2 2 I P P2 P 1
p I
7.3 (N S) 2 1 P 0 tan 1 34.99 P I 7.3 365N F 0.02 t
v1 0 P 1 0
l
２
T
m
１
mg
EP 0
v2 ?
1 2 机械能守恒 1 2 m 2gl(1 cos ) mv 2 mgl (1 cos ) 2
I合
P2 m v2
例2.一重锤从高度h=1.5m处自静止下落，锤与被加工的 工件碰撞后末速为０。若打击时间 t 为 10 1 s、 10 -2 s、 10 -3 s 和10 -4 s ，试计算这几种情形下平均冲击力与重力的比值.
大学物理A1 课件 第4章 狭义相对论
x = ax + bt + e t = ct + dx + f
v
o
P x , y , z , t
x x
S系看 x =0点，
设 t = t =0 时,在o=o点 发出一光信号, 在两个参考 代入以上方程组可得 系中测得的光到达某时空 x = a(x vt)（1）点的事件为p和p '
(2) 长度收缩是“测量”结果，不是“视觉”效 应。
例4-2. 静系中子的平均寿命为2.210-6s。 据报导，在一组高能物理实验中，当它 的速度为u=0.9966c时通过的平均距离为 8km。试说明这一现象：(1) 用经典力学 计算与上述结果是否一致；(2) 用时间膨 胀说明；(3) 用尺缩效应说明。
1 v2 c 2
l l0 1 v c
2
2
原长：在相对于观察者静止 l 的参考系中测得的物体长度。 0
长度收缩：运动物体的长度小于原长， l
当
l0
v c l l0
注意：长度收缩只发生在运动的方向上。
结论：
(1) 相对于观察者运动物体沿运动方向长度缩短了— — 长度收缩 (动尺缩短)
事件 1 A M 发生
B
k
事件 2 发生
K’系：1、2 两事件同时发生
K 系1事件先于2 事件发生
结论：“同时性”具有相对性 ——光速不变原理的直接结果
4.2.2 时间延缓
火车系：
S 系
理想实验：爱因斯坦火车 M y
d
o
A'
, t1 ) I(x1
x1
x
, t2 ) II(x1
0
1 2
大学物理教程课件讲义周期震动
。
图4.16
4.6 受迫振动 共振
阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系 统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量。如果对 振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为 受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振 动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动、机器运转时 引起基座的振动等。
如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那 么它们的合振动虽然仍与原来的振动方向相同，但不再 是简谐振动。下面先用解析法对其合成进行定量讨论。
为了使问题简化，假设两个简谐振动的振幅都为A， 初相都为φ
x1=Acos (2πν1t+φ) x2=Acos (2πν2t+φ)
4.4 简谐振动的合成
上式不符合简谐振动的定义，所以合振动不再是简谐振动。这样振幅就 随时间变化，且具有周期性，表现出振动忽强忽弱的现象，如图4.14所示。
例4.4 一简谐振动的振 动曲线如图4.8(a)所示。求角 频率ω、初相φ及简谐振动的 运动方程。由振动曲线可以看 出，t=0时，x0=0，v0>0，与此 状态相对应的旋转矢量如图 4.8 (b) 所示。
图4.8 例4.4图
4.3 旋转矢量法
依据初始条件由旋转 矢量法来确定初相φ.如图 4.9所示，满足x0=0.06 m条 件，有P和Q两个点，但是 只有P点在x轴的投影沿x正 向运动。
4.5 阻尼振动
前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想 情况。实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振 动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用。而在LC 电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻。 所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗 散掉。这样的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼。
图4.16
4.6 受迫振动 共振
阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系 统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量。如果对 振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为 受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振 动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动、机器运转时 引起基座的振动等。
如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那 么它们的合振动虽然仍与原来的振动方向相同，但不再 是简谐振动。下面先用解析法对其合成进行定量讨论。
为了使问题简化，假设两个简谐振动的振幅都为A， 初相都为φ
x1=Acos (2πν1t+φ) x2=Acos (2πν2t+φ)
4.4 简谐振动的合成
上式不符合简谐振动的定义，所以合振动不再是简谐振动。这样振幅就 随时间变化，且具有周期性，表现出振动忽强忽弱的现象，如图4.14所示。
例4.4 一简谐振动的振 动曲线如图4.8(a)所示。求角 频率ω、初相φ及简谐振动的 运动方程。由振动曲线可以看 出，t=0时，x0=0，v0>0，与此 状态相对应的旋转矢量如图 4.8 (b) 所示。
图4.8 例4.4图
4.3 旋转矢量法
依据初始条件由旋转 矢量法来确定初相φ.如图 4.9所示，满足x0=0.06 m条 件，有P和Q两个点，但是 只有P点在x轴的投影沿x正 向运动。
4.5 阻尼振动
前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想 情况。实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振 动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用。而在LC 电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻。 所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗 散掉。这样的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼。
大学物理第四章 功和能
dA F d r
P F dr F v dt
单位：W或Js-1 量纲：ML2T－3
例1：某质点在力 F 4 5xiˆ 的作用下沿
x轴做直线运动 ， 求在从x=0移到x=10m的 过程中，力 F 所做的功。
解：
b
10
A Fxdx (4 5x)dx 290 (J)
拉力对小环所做的功为 -0.207 J B
提示：
A (E P2 - EP1)
R
(
1 2
k x22
1 2
k x12
)
A
O
c
x2 2R l0 R x1 2R l0 2 1 R
§4 功能原理 机械能守恒定律
1、质点系的功能原理
质点系的动能定理：A外+A内=EkB - EkA
2、机械能守恒定律
如果 A外＝0 A非保内＝0 则EB ＝ EA＝常量
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机 械能保持不变。
3、能量守恒定律
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能 量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。
4、守恒定律的特点及其应用
特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下
1）沿圆弧（a—b）；2）沿直径（a—b）
解： Aab
b
fs
drLeabharlann bfs
dr
圆弧 a
a
m fs dr
a
Rb
(b)
fs ds mg R
(a)
Aab fs r mg2R 直径
摩擦力的功与路径有关 一定是负的吗？
【大学物理】第四章 动量 动量守恒定律
15
o f
dv mg F k Av m dt v t mdv mg F k Av dt 0 0
m mg-F-k Av ln t kA mg F mg F k Av e mg F
kA t m
v
vm
t
kA t mg F m 1 e v kA
质心的运动 ~ 质点 质量 M 受力 F外
位于 rc
其运动与系统 内质点相互作 用无关
11
小结
质点
质点系
p mv dp F dt p pi Mvc dp F外 dt
i
v c F ma F外 Mac
基本方法：用质心作为物体（质点系）的代表， 描述质点系整体的平动。
f kmv
求： 轨道方程
解： 先建立 x，y 方向的运动微分方程， 受力情况如图：
y
dv x k mvx m dt k mvy mg m dv y dt
v0 f m
o
mg
17
x
dv x k mvx m dt k mvy mg m
用积分法求解
19
以地面为参考系, 列 M 的运动方程：
受力情况如图：
M
y Q
aM
x
Mg
N N
Fx N sin MaM Fy Q Mg N cos 0
(1) (2)
aM 0 , M不是惯性系。
20
以地面为参考系, 列 m 的运动方程： 由相对运动加速度关系， y
r2
rc
C
质心位矢是各质点 位矢的加权平均
o f
dv mg F k Av m dt v t mdv mg F k Av dt 0 0
m mg-F-k Av ln t kA mg F mg F k Av e mg F
kA t m
v
vm
t
kA t mg F m 1 e v kA
质心的运动 ~ 质点 质量 M 受力 F外
位于 rc
其运动与系统 内质点相互作 用无关
11
小结
质点
质点系
p mv dp F dt p pi Mvc dp F外 dt
i
v c F ma F外 Mac
基本方法：用质心作为物体（质点系）的代表， 描述质点系整体的平动。
f kmv
求： 轨道方程
解： 先建立 x，y 方向的运动微分方程， 受力情况如图：
y
dv x k mvx m dt k mvy mg m dv y dt
v0 f m
o
mg
17
x
dv x k mvx m dt k mvy mg m
用积分法求解
19
以地面为参考系, 列 M 的运动方程：
受力情况如图：
M
y Q
aM
x
Mg
N N
Fx N sin MaM Fy Q Mg N cos 0
(1) (2)
aM 0 , M不是惯性系。
20
以地面为参考系, 列 m 的运动方程： 由相对运动加速度关系， y
r2
rc
C
质心位矢是各质点 位矢的加权平均
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一质点相对另一质点沿闭合路径运动一周，它们的相互
作用力做功为零，则该力就是保守力。
f
dr
B
A
f
dr
A
B
f
dr
ALBLA
L
L
L A
B
f
dr
B
f
dr
0
A
A
L
L
§4.3 保守力与势能
B L
2.势能
A引
Gm1m2 rB
Gm1m2 rA
A弹
1 2
ksA2
1 2
ksB2
A引
Gm1m2 r
rB rA
动量 角动量
能量
对称性
空间平移 空间转动 时间平移
时空性质
空间均匀性 空间各向同性
时间均匀性
其他守恒量与对称性：
守称守恒 空间反演对称性
§4.7 守恒定律的意义
§4.8 碰 撞
Collisions
碰撞的特点
物体由接近、产生强烈的相互作用，到分离的过程。
特点：持续时间短、作用力大
物体运动状态变化明显（有动量、能量传递）
A点势能可表为
Ep ( A)
Ep 0 A
f保
s0
dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
引力势能曲 线
引力势能是空间变量
r 的函数——势能函数
重力势能是在地球
Ep O
Ep
r0
Gm1m2 r
r
Gm1m2 r0
Ep
Gm1m2 r
表面小区域内的引力势能：
Ep 0 h
Ep
GM Em RE h
如果 Aex Ain,n-cons 0，则 E 常量。
守恒
机械能守恒定律：在只有保守性内力做功的情况下，
质点系的机械能保持不变。
说明：
机械能守恒定律是由牛顿定律导出的，它在惯性系 中适用。
机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运 动中的特例。
能量守恒定律：在封闭系统中，无论其内部经
历怎样的变化，该系统的所有能量的总和保持不变。
GM Em RE
Ep
RE
RE >> h
m GM E h RE (RE h)
m GM E h mgh RE2
Ep mgh
h O
§4.4 引力势能与弹性势能
弹性势能曲 线
l0 l s
(x s l l0 ) x
Ox
s0 O
弹性势能曲线为抛物线，
存在极小值。势能极小值点是
稳定的平衡点。
[例] 讨论悬挂弹簧的势能。
机械能 其他形式的能量
Aex Ain,n-cons
§4.6 机械能守恒定律
[例] 求第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度。
第一宇宙速度——物体绕地球运行的最小速度； 第二宇宙速度——物体脱离地球引力的最小速度； 第三宇宙速度——物体脱离太阳系的最小速度。
解：（1）第一宇宙速度 设物体绕地球以半径 r 做圆周运动。
保守力及其势能都是空间分布的函数（力场，势函数）
保守力
积分 微分
势能
A
f
r
fl
r Ep
fl l Ep
fl
Ep l
取极限得方向导数：
fl
Ep l
fx
Ep x
fy
Ep y
fz
Ep z
f
l
n
r
r
E
Ep
p
l
Ep
坐标方向上的方向 导数——偏导数
§4.5 由势能求保守力
f
于质点初、终态的相对位置（决定了弹簧伸长量）。
§4.3 保守力与势能
（3）保守力和非保守力
A引
Gm1m2 rB
Gm1m2 rA
A弹
1 2
ksA2
1 2
ksB2
做功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态
的相对位置，具有这种性质的反力之称，为做保功守与力相。对路径有关的 力称为非保守力。
与之等价的另一种定义：
第4章 功和能
Work and Energy
第4章 功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。
与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普的量度。
§4.2 动能定理
2.质点系的动能定理
考虑两个质点构成的质点系：
对m1质点：
B A (F1
f12
)
dr1
Ek1,B
Ek1, A
dr1
f12
f21
m2dr2
m1
对m2质点：
B A (F2
f21)
dr2
Ek 2, B
Ek2,A
相加，得
B
时物体离地球无限远，物体与地球的引力势能为零。
1 2
mV32
GM E m RE
1 2
mv
2 OE
1 2
m(vOS
u)2
2
V3
2gRE
2GM S rE S
u
16.7 km/s
§4.7 守恒定律的意义
Signification of the Laws of Conservation
守恒量
A
B
F
d r
A
L
A
线积分
§4.1 功
2.合力的功
如果质点同时受到多个力的作用，计算它们等效合力 的功：
A
B
F
dr
A
B A
i
Fi dr
i
B A Fi
dr
Ai
i
结论：合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。
3.功率
功率的定义：单位时间内所做的功。即 A dA
P lim t0 t dt
§4.1 功
4.一对力的功
设两个质点m1和m2之间的相互作 用力为：
f12 ——质点1受质点2的作用力；
dr1
m1
f12
f21
dr2
m2
f21 ——质点2受质点1的作用力。
这两个力的元功之和为：
dA
f12
dr1
f21
dr2
f12
dr1
f12
dr2
f1122
d(d(r1
rd2r)2 )
一质点 m，弹簧一端固定于O点，弹
性力 f
A弹
的功：
B
f
dr
A
B
k
A
(r
r0
)
r dr r
O rA
B
A
k(r
r0
)
r r
dr
rB
rA
k(r
r0
)dr
1 2
k (rA
r0
)2
1 2
k (rB
r0
)2
B
rB
f
rm
A
A弹
1 2
ksA2
1 2
ksB2
s r r0 为弹簧的伸长量
结论：弹性力的功与质点运动的相对路径无关，只决定
；
物体对地球的速率为
vO
。
E
vOE vOS u
先考虑物体脱离太阳引力的条件是： vOE vOS u
当物体离太阳无限远时速率刚好为零。
设
vO
表示物体逃逸地球时对太阳的速率。
S
1 2
mv
2 OS
GMSm rES
0
v2 OS
2GMS rES
再考虑物体脱离地球后要具有速率 vOE vOS u ，这
dr1 d(r1 r2 ) 表示m1相对于m2的相对位移；
dA
d r2 f12
d(r2 dr1
r1 ) f21
表示m2相对于m1的相对位移。
dr2 与参照系的选取无关
§4.1 功
§4-2 动能定理
Theorem of Kinetic Energy
1.质点的动能定理
力对空间的积累（即做功）会给质点带来怎样的结果？
考虑质点系的动能定理： Aex Ain EkB EkA
内力
保守力 非保守力
Ain Ain,cons Ain,n-cons
Aex Ain,cons Ain,n-cons EkB EkA
Aex Ain,n-cons EkB EkA Ain,cons
Ain,cons (EpB EpA )
A弹
1 2
ks2
sB sA
Ep
Gm1m2 r
A保 E p
Ep
1 2
k s2
引入势能的概念：保守力做功等于势能的减少量。
说明： 势能是与质点系内质点的相对位置相关的能量。
§4.3 保守力与势能
§4.4 引力势能和弹性势能
Gravitational Potential Energy and Elastic Potential Energy
位移设元质dr点，受则力该为力F做，功它d的A表空示间为位置发生一无限小的位移——
dA
Ft
dr
F
drcos
dA
F
dr
元功
注意：功是一个标量。 有正有负：
当 0 90 时，dA 0 ； 当 90 180时，dA 0。
L
B
dr F
质点沿曲线 L 从 A 到 B ，整个路径上的 功为元功之和：
f12 rA