第十四章 降维 主成分分析
主成分分析在数据降维中的作用
主成分分析在数据降维中的作用主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的数据降维技术，通过线性变换将原始数据转换为一组各维度之间线性无关的新变量，这些新变量被称为主成分。
主成分分析在数据处理、特征提取和可视化等领域发挥着重要作用。
本文将介绍主成分分析在数据降维中的作用，包括原理、应用场景以及优势。
### 1. 主成分分析的原理主成分分析的核心思想是通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，使得数据在新坐标系下的方差最大化。
具体而言，主成分分析的步骤如下：1. 对原始数据进行中心化处理，即将每个特征的均值减去该特征的均值，使得数据的均值为零。
2. 计算数据的协方差矩阵。
3. 对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
4. 特征值表示数据在特征向量方向上的方差，选择特征值较大的特征向量作为主成分。
5. 将原始数据投影到选定的主成分上，实现数据的降维。
### 2. 主成分分析的应用场景主成分分析在数据降维中有着广泛的应用场景，包括但不限于以下几个方面：1. 数据可视化：主成分分析可以将高维数据映射到低维空间，便于可视化展示。
通过主成分分析，可以将数据在二维或三维平面上展示，帮助人们更直观地理解数据之间的关系。
2. 特征提取：在机器学习和模式识别领域，主成分分析常用于特征提取。
通过主成分分析，可以将原始数据转换为具有更好区分性的特征，提高模型的性能。
3. 噪声过滤：主成分分析可以过滤掉数据中的噪声信息，保留主要的信息。
在信号处理和图像处理中，主成分分析被广泛应用于去噪处理。
4. 数据压缩：通过主成分分析，可以将高维数据压缩为低维数据，减少数据存储和计算成本。
在大数据处理和传输中，主成分分析可以提高效率。
### 3. 主成分分析的优势主成分分析作为一种经典的数据降维方法，具有以下几点优势：1. 保留数据的主要信息：主成分分析通过保留数据方差较大的主成分，能够较好地保留原始数据的主要信息，减少信息丢失。
数据处理（一）：降维之主成分分析（PCA）
数据处理（⼀）：降维之主成分分析（PCA）降维⽬的：样本数据为⾼维数据时，对数据进⾏降维操作，避免模型出现过拟合。
1.过拟合含义：训练集误差⼩，验证集误差⼤。
过拟合三种解决⽅案：1）增加数据集；2）正则化； 3）降维。
2.⾼维灾难：具有⾼维度特征的数据易导致⾼维灾难。
：⾼维灾难含义：⾼维数据分布具有稀疏性；不容易根据特征对数据进⾏分类.3.降维降维分类：1）直接降维（特征选择（lasso））2）线性降维（PCA，MDS）3）⾮线性降维（流形：ISOMAP，LLE）4.【⼀般要求覆盖率达到85%以上】1) PCA本质：将⼀组线性相关的数据通过正交变换转化为⼀组线性⽆关的数据，本质是特征空间的重构+主成分筛选。
2）PCA转化为优化问题：最⼤投影⽅差（最⼩重构距离）最⼤投影⽅差：数据进⾏特征转换后，筛选出投影⽅差最⼤的前q个基变量，即主成分（尽可能多地保留原数据的信息）【最⼩重构代价：数据进⾏特征转换后，筛选出重构代价最⼩的(p-(q+1))个基变量，即被筛掉的特征（使转换筛选后去掉的信息尽可能少），本质和最⼤投影⽅差⼀样】转化为带约束的优化问题：⽤拉格朗⽇乘⼦法求解，输出为主成分P【被筛去的成分P1】 最⼤投影误差 【最⼩重构代价】=> problem: optimization P = argmax P T*S*P 【P T*S*P是变换后样本的协⽅差】 s.t P T P = 1 【P为正交阵】=> solution: P,lambda 【拉格朗⽇乘⼦法通过求解导数为0得出的最优解：当变换矩阵 P 等于协⽅差矩阵S的特征向量时，可以实现⽅差最⼤化】 SP=lambda*P 取 lambda 的前q个最⼤的特征值; 取前q个最⼤的特征值对应的特征向量组成变换矩阵P； newdata=data*T(因为data(nxm):n为样本数，m为特征数，所以右乘变换矩阵；反之则左乘)；3）i）均值、协⽅差、中⼼矩阵H（⼏何⾓度理解：将数据平移⾄特征空间的原点）矩阵表⽰：（视频更为清楚，仅为⾃⼰⽅便回顾）X={x1 x2 x3 ... x N}mean: x_bar=1/N*X T*1ncovariance: S=1/N*X T HX || S=1/N*X T X （两者相等？）centering matrix H: H=I N-1/N*1N1N Tii) （的特征值和特征向量）【另⼀种解释可以通过拉格朗⽇乘⼦法公式推导】PCA⽬标：最⼤化特征本⾝的⽅差；最⼩化不同特征间的相关度（这⾥的特征指的是变换后的特征）=> 最⼤化转化后的样本的协⽅差 S1（S1=u T Su）；最⼩化S'除了对⾓元素之外的元素。
《主成分分析》课件
投资组合优化
通过主成分分析，找到不同投 资标的之间的关系，优化投资 组合的效益。
主成分分析在市场调研中的应用
1
偏好分析
通过主成分分析，找到消费者的特征
产品定位
2
和偏好，精准制定相应的市场策略。
通过主成分分析，找到消费者对产品
的不同评价因素，合理确定产品的定
位。
3
竞品分析
通过主成分分析，评估竞争对手的优 势和劣势，为企业提供相应的决策依 据。
慕课在线学习行业民调
通过主成分分析，找到影响学 习者的因素，比如课程质量、 师资水平、学习难度等方面。
降水量分析和气候变化
通过主成分分析和时间序列分 析，找到影响气象预测和气候 变化的主要原因和特征。
食品市场调查分析
通过主成分分析，找到影响消 费者购买健康食品的因素，制 定相应的市场营销策略。
标准化数据
通过Z-score标准化数据，去除不同变 量的量纲影响。
提取主成分
根据协方差矩阵的特征值和特征向量， 提取主成分。
如何选择主成分数量
特征值
根据特征值大于1的原则，选择主成分的数量。
累计贡献率
当累计贡献率到达一定阈值后，选择主成分数量。
图形分析
通过屏幕图和贡献率图来选择主成分数量。
主成分分析的优点和缺点
应用
主成分分析适用于变量之间没有明确因果关系 的情况下，提取它们的主成分；而因子分析需 要基于理论或先验知识，对变量进行选择和定 量，发现变量间的潜在因子。
主成分分析在金融分析中的应用
股票指数分析
通过主成分分析，找到影响整 个股票市场的因素，快速判断 股票市场的健康状况。
信用卡违约风险评估
通过主成分分析，找到导致信 用卡违约的因素，提高信用卡 贷款的质量。
学点统计：主成分分析（PCA）是怎么降维分析的？内含代码+教程
学点统计：主成分分析（PCA）是怎么降维分析的？内含代码+教程要什么资料直接添加科研小助理现在后台发消息我这边不太好接收啦背景介绍多元统计分析multivariate statistical analysis研究客观事物中多个变量（或多个因素）之间相互依赖的统计规律性。
它的重要基础之一是多元正态分析，又称多元分析。
20世纪30年代，R.A.费希尔，H.霍特林，许宝碌以及S.N.罗伊等人作出了一系列奠基性的工作，使多元统计分析在理论上得到迅速发展。
50年代中期，随着电子计算机的发展和普及，多元统计分析在地质、气象、生物、医学、图像处理、经济分析等许多领域得到了广泛的应用，同时也促进了理论的发展。
各种统计软件包如SAS，SPSS等，使实际工作者利用多元统计分析方法解决实际问题更简单方便。
重要的多元统计分析方法有：多重回归分析（简称回归分析）、判别分析、聚类分析、主成分分析、对应分析、因子分析、典型相关分析、多元方差分析等。
主成分分析（PCA）又称主分量分析，是将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种方法。
主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变量，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。
通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中变量的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指标。
由此可见，主成分分析实际上是一种降维方法。
分析步骤1.将原始数据按行排列组成矩阵X2.对X进行数据标准化，使其均值变为零3.求X的协方差矩阵C4.将特征向量按特征值由大到小排列，取前k个按行组成矩阵P5.通过计算Y = PX，得到降维后数据Y6.用下式计算每个特征根的贡献率Vi;Vi=xi/(x1+x2+........)根据特征根及其特征向量解释主成分物理意义。
PCA运行•主成分计算•主成分选择，方差累计贡献度75%以上•因子负载荷图•带有标签的PCA图3D-PCA•3D图•图例•导入到PPT中进一步修改图片。
主成分分析是处理降维的一种方法
主成分分析是处理降维的一种方法。
将多个指标化为少数相互无关的综合指标的统计方法叫做主成分分析。
主成分分析的基本思想是通过构造原变量的适当的线性组合，以产生一系列互不相关的新信息，从中选出少数几个新变量并使它们含有尽可能多的原变量带有的信息，从而使得用这几个新变量代替原变量分析问题和解决问题成为可能。
当研究的问题确定之后,变量中所含“信息”的大小通常用该变量的方差或样本方差来度量。
因子分析是主成分分析的推广和发展，它是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。
因子分析的基本思想是通过变量的相关系数矩阵内部结构的研究，找出能控制所有变量的少数几个随机变量去描述多个变量之间的相关关系，但在这里，这少数几个随机变量是不可观测的，通常称为因子。
然后根据相关性的大小把变量分组，使得同组内的变量之间相关性较高，但不同组的变量相关性较低。
典型相关分析的基本思想：结合主成分分析的思想，自然是考虑X 的综合指标（X 的线性函数）与Y 的综合指标之间的相关性程度来刻画X 与Y 的相关性，即把两组变量的相关，变为两个新变量（线性函数）之间的相关来讨论，同时又尽量保留原来变量的信息，或者说，找X 的线性函数和找Y 的线性函数，使这两个线性函数具有最大的相关性。
（称这种相关为典型相关，称形成的两个线性函数即两个新的变量为典型变量。
）继而，还可以分别找X 与Y 的第二对线性函数。
是其与第一对典型变量不相关，而这两个线性函数之间又具有最大的相关性。
如此继续进行下去，直到两组变量X 与Y 之间的相关性被提取完毕为止。
判别分析就是解决分类问题，模式识别的分类问题就是根据待识别对象的特征向量值及其它约束条件将其分到某个类别中去。
统计判别分析理论是模式分类问题的基本理论之一，它对模式分析和分类器的设计有着实际的指导意义。
主成分分析的降维原理
主成分分析的降维原理主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)是一种常用的数据降维技术，可用于处理高维数据。
其原理是通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，使得新的坐标系中的数据具有最大的方差。
本文将详细介绍主成分分析的降维原理。
1. 数据预处理在进行主成分分析之前，需要对数据进行预处理。
常用的预处理方法包括中心化和标准化。
中心化是指将数据的均值移到原点，即将每个维度的数据减去该维度数据的均值。
标准化是指将数据按照一定比例进行缩放，使得每个维度的数据具有相同的尺度。
2. 协方差矩阵计算在主成分分析中，我们首先需要计算数据的协方差矩阵。
协方差矩阵描述了数据各维度之间的关系。
对于一个n维数据集，协方差矩阵为一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示第i个维度和第j个维度之间的协方差。
3. 特征值与特征向量计算通过对协方差矩阵进行特征值分解，我们可以得到特征值和特征向量。
特征值表示数据在对应特征向量方向上的方差，特征向量表示数据在对应特征值方向上的单位方向向量。
特征值和特征向量是成对出现的，且按照特征值的大小从大到小排列。
4. 选择主成分选择主成分的原则是保留方差最大的特征值及其对应的特征向量。
一般来说，前k个特征值的和占总特征值的比例越大，说明这k个主成分能够尽可能多地解释原始数据的方差，即保留的信息损失较小。
5. 数据映射选取保留的主成分后，我们将原始数据映射到主成分构成的新坐标系中。
具体而言，对于一个m×n的数据集，其中m为样本数量，n为维度数，我们可以将每个样本表示为n维向量，将选取的k个主成分表示为n×k的映射矩阵W。
通过将原始数据集与映射矩阵相乘，即可得到降维后的数据集。
6. 重构数据我们可以通过将降维后的数据集与映射矩阵的转置相乘，即可得到对原始数据的重构。
重构数据是对原始数据在主成分方向上的投影。
7. 解释性主成分分析的一个重要应用是解释性。
降维主成分分析
降维主成分分析一、主成分分析原理主成分分析通过线性变换将高维数据映射到低维空间，同时保留数据的最大方差信息。
首先，我们需要对数据进行标准化，将每个特征的均值调整为0，方差调整为1、然后，我们计算协方差矩阵，该矩阵反映了不同特征之间的相关性。
接下来，我们通过对协方差矩阵进行特征值分解，找到特征值和对应的特征向量。
最后，我们选择前k个特征向量构成一个变换矩阵，将高维数据映射到一个k维的子空间。
二、主成分分析应用主成分分析在实际应用中有广泛的用途。
以下是主成分分析的几个常见应用场景：1.数据可视化：主成分分析可以用于将高维数据映射到二维或三维空间，使得我们可以更好地可视化数据。
通过选择合适的主成分，我们可以将数据的维度降低到我们可以直观理解和分析的程度。
2.特征选择：主成分分析可以帮助我们选择在原始数据集中最具代表性的特征，从而减少特征数量。
通过选择前k个主成分，我们可以保留数据中最重要的信息，去除无关或冗余的特征。
3.噪声去除：主成分分析可以帮助我们去除数据中的噪声。
由于主成分分析选择具有最大方差的方向，噪声通常表现为具有较小方差的主成分。
通过去除这些主成分，我们可以降低噪声对数据分析的影响。
4.维度压缩：在机器学习和模式识别中，高维数据集会导致维度灾难，增加模型的计算复杂性和泛化误差。
主成分分析可以通过将高维数据映射到低维空间，减少数据集的维度，从而缓解维度灾难。
5.数据预处理：主成分分析可以作为数据预处理的一部分。
通过去除数据中的冗余和噪声信息，主成分分析可以减少后续模型的复杂性，提高模型的训练速度和准确性。
三、主成分分析的优缺点主成分分析作为一种常用的降维方法，具有以下优点：1.去除冗余信息：主成分分析可以通过选择具有最大方差的主成分去除数据中的冗余信息，提取数据的最重要特征。
2.减少维度：主成分分析可以帮助我们将高维数据映射到低维空间，减少数据集的维度，降低计算成本和复杂性。
3.保留信息：尽管主成分分析将数据映射到低维空间，但仍然能够保留尽可能多的原始数据信息，损失较少。
主成分分析(principal component analysis)
一、主成分分析的思想主成分分析是数据处理中常用的降维方法。
我们需要处理的数据往往是高维数据，把它看成是由某个高维分布产生。
高维分布的不同维之间可能具有较强的相关性，这也就为数据降维提供了可能。
为了叙述清楚主成分分析的思想，我们通过二维数据进行叙述，即数据是由随机向量 (X_1,X_2) 产生，并假设X_1=X_2 。
通过该分布得到的样本点如图下所示：如果我们把每个数据点用 (x_1,x_2) 表示，那么，每个数据是二维的。
实际上，容易发现，我们只需要将坐标系进行旋转，旋转到红色坐标系位置，此时，每个数据点在新坐标系下的表示形式为为 (x_1^{'},0) ，由于每个数据点的第二维坐标都是 0 ，所以每个数据点只需要用一个数表示就行了，这样就把数据的维数从二维降到了一维。
接下来考虑不是完全线性关系，但是具有强相关性的情况，如下图所示：在这种情况下，我们不可能通过坐标系的平移与旋转，使所有点都落在一根轴上，即不可能精确地把数据用一维表示。
但是注意到 (X_1,X_2) 仍然有强相关性，我们仍然将坐标轴旋转到红色位置，可以看出，将数据在 x_1^{'} 上的投影近似代表原数据，几乎可以完全反映出原数据的分布。
直观看，如果要将数据投影到某根轴，并用投影来表示原数据，将数据压缩成一维，那么投影到 x_1^{'} 是最好的选择。
因为投影到这跟轴，相比于投影到其他轴，对原数据保留的信息量最多，损失最小。
如何衡量保留的信息量呢？在主成分分析中，我们用数据在该轴的投影的方差大小来衡量，即投影后方差越大（即投影点越分散），我们认为投影到该轴信息保留量最多。
从这种观点看，投影到 x_1^{'} 确实是最好的选择，因为投影到这根轴，可使得投影点最分散。
我们将数据的中心平移到原点（即新坐标轴的原点在数据的中心位置），为了消除单位的影响，我们将数据的方差归一化。
进一步考虑如下数据分布：根据上述，如果要将数据压缩为一维的，那么应该选择 F_1 轴进行投影，如果用该投影表示原数据的损失过大，我们可以再选择第二根轴进行投影，第二根轴应该与 F_1 垂直（保证在两根轴上的投影是不相关的）并且使得数据在该轴上投影方差最大，即图中的 F_2 轴（如果是二维情况，第一根轴确定后，第二根轴就确定了。
主成分分析,因子分析(数据相关性降维)
主成分分析与因子分析
主成分分析与因子分析的概念
需要与可能：在各个领域的科学研究中，往往需要对反映事物的 多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。 多变量大样本无疑会为科学研究提供丰富的信息，但也在一定程 度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在大多数情况下，许 多变量之间可能存在相关性而增加了问题分析的复杂性，同时对 分析带来不便。如果分别分析每个指标，分析又可能是孤立的， 而不是综合的。盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的 结论。因此需要找到一个合理的方法，减少分析指标的同时，尽 量减少原指标包含信息的损失，对所收集的资料作全面的分析。 由于各变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少的综合指 标分别综合存在于各变量中的各类信息。主成分分析与因子分析 就是这样一种降维的方法。 主成分分析与因子分析是将多个实测变量转换为少数几个不相关 的综合指标的多元统计分析方法 直线综合指标往往是不能直接观测到的，但它更能反映事物的本 质。因此在医学、心理学、经济学等科学领域以及社会化生产中 得到广泛的应用。
主成分分析
正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三 个主轴一样，有几个变量，就有几个主成 分。 选择越少的主成分，降维就越好。什么是 标准呢？那就是这些被选的主成分所代表 的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大 部分。有些文献建议，所选的主轴总长度 占所有主轴长度之和的大约85%即可， 其实，这只是一个大体的说法；具体选几 个，要看实际情况而定。
主成分分析降维算法的基本流程
主成分分析降维算法的基本流程下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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降维分析报告
降维分析报告引言降维分析是一种在机器学习和数据科学领域广泛应用的方法，它可以帮助我们从高维数据中提取主要特征，减少数据的维度，并保留尽可能多的有用信息。
在本报告中，我们将介绍降维分析的基本概念和常用算法，并通过一个具体的案例来示范如何应用降维分析。
降维分析的背景和意义在现实生活中，许多问题都涉及大量的特征或变量，这些特征可能存在冗余、噪声或不具有明确的解释。
此时，使用原始高维数据进行分析和建模将导致过拟合、维度灾难等问题。
因此，通过降维分析可以将复杂的高维数据转化为更加简洁、易理解的低维表示，帮助我们更好地理解数据并提取重要特征。
常用的降维分析方法主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的无监督降维算法，它通过线性变换将原始数据投影到新的正交特征空间，使得数据在新特征空间上的方差最大化。
通过计算主成分之间的协方差矩阵的特征值和特征向量，我们可以确定新特征空间的基向量，进而进行降维操作。
线性判别分析（LDA）线性判别分析是一种经典的监督降维算法，它将高维数据映射到一个低维空间中，使得不同类别的数据在该空间中的投影能够最大程度地区分开来。
和PCA相比，LDA在进行降维时考虑了类别信息，因此可能更适用于分类问题。
t分布邻域嵌入（t-SNE）t-SNE是一种非线性降维算法，它通过构建高维数据点之间的概率分布和低维数据点之间的概率分布，来保持高维数据的邻域结构。
t-SNE通常被应用于可视化高维数据，特别是在探索复杂数据集时非常有用。
降维分析的案例应用为了更好地理解降维分析的实际应用，我们以鸢尾花数据集为例进行分析。
鸢尾花数据集是一个经典的多分类问题，其中包含了四个特征：花萼长度、花萼宽度、花瓣长度和花瓣宽度。
我们可以使用降维分析方法对鸢尾花数据集进行可视化，并探索数据的结构和分布。
首先，我们使用主成分分析（PCA）对鸢尾花数据进行降维。
通过计算主成分之间的协方差矩阵的特征值和特征向量，我们可以选择保留的主成分数量，从而实现数据降维。
利用主成分分析进行数据降维与变量选择
利用主成分分析进行数据降维与变量选择数据分析在现代社会中扮演着重要的角色，而数据降维与变量选择是数据分析中的一个关键步骤。
主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的数据降维和变量选择的方法，可以帮助我们从大量的变量中提取出最重要的信息。
本文将介绍主成分分析的原理和应用，并探讨其在数据降维和变量选择中的作用。
1. 主成分分析的原理主成分分析是一种通过线性变换将原始数据转换为一组新的变量的方法。
其基本思想是将原始数据投影到一个新的坐标系中，使得投影后的变量之间的相关性最小。
换句话说，主成分分析试图找到一组新的变量，使得它们能够尽可能地解释原始数据的方差。
主成分分析的过程可以简化为以下几个步骤：1) 对原始数据进行标准化处理，使得各个变量具有相同的尺度。
2) 计算原始数据的协方差矩阵。
3) 对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4) 根据特征值的大小，选择前k个特征向量作为主成分，其中k是我们希望保留的主成分的个数。
5) 将原始数据投影到选取的主成分上，得到降维后的数据。
2. 主成分分析的应用主成分分析在实际应用中有广泛的用途。
以下是一些常见的应用场景：2.1 数据降维数据降维是主成分分析最常见的应用之一。
在现实生活中，我们经常面临着大量的变量，而这些变量之间可能存在着高度的相关性。
通过主成分分析，我们可以将这些相关性较强的变量合并为几个主成分，从而降低数据的维度。
这不仅可以简化数据分析的过程，还可以减少计算的复杂性。
2.2 变量选择变量选择是在给定一组变量的情况下，选择出对目标变量具有最大影响力的变量。
主成分分析可以通过计算每个主成分的贡献率来评估变量的重要性。
贡献率越高的主成分，说明该主成分能够更好地解释原始数据的方差，因此对应的变量也更重要。
通过选择贡献率较高的主成分，我们可以得到对目标变量具有最大影响力的变量集合。
2.3 数据可视化主成分分析还可以用于数据的可视化。
社会经济指标的主成分分析与降维
社会经济指标的主成分分析与降维在社会经济领域，我们常常需要面对大量的指标数据，这些数据反映了社会经济的各个方面。
然而，由于指标之间的相关性以及数据的维度过高，我们很难从中提取出有用的信息。
这时，主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）就成为了一种常用的降维方法。
主成分分析是一种通过线性变换将原始数据转化为一组线性无关的变量的方法。
它的基本思想是将高维数据映射到低维空间中，同时尽可能保留原始数据的信息。
在社会经济领域，我们可以将各种社会经济指标作为原始数据，通过主成分分析来发现其中的潜在因素。
首先，我们需要收集一组相关的社会经济指标数据，比如GDP、人口增长率、失业率、教育水平等等。
这些指标反映了一个国家或地区的经济状况和社会发展水平。
然后，我们将这些指标构成一个矩阵，每一行代表一个国家或地区，每一列代表一个指标。
接下来，我们需要对数据进行标准化处理。
这是因为不同指标的单位和量级可能不同，为了消除这种差异，我们可以将每个指标的数值减去该指标的平均值，然后除以该指标的标准差。
这样，我们就可以得到一个均值为0，方差为1的数据矩阵。
然后，我们计算数据矩阵的协方差矩阵。
协方差矩阵反映了各个指标之间的相关性。
通过计算协方差矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到一组主成分。
特征值表示了主成分的重要性，特征向量表示了主成分的方向。
我们可以根据特征值的大小来选择保留多少个主成分。
一般来说，我们选择特征值大于1的主成分，因为这些主成分能够解释原始数据的大部分方差。
然后，我们可以将原始数据投影到选定的主成分上，得到降维后的数据。
通过主成分分析，我们可以将原始的高维数据转化为低维的主成分，从而减少数据的维度。
这样做的好处是可以简化数据的分析和可视化，同时减少计算的复杂性。
此外，主成分分析还可以帮助我们发现数据中的潜在因素，从而更好地理解社会经济的内在规律。
然而，主成分分析也有一些限制。
主成分分析与奇异值分解算法在数据降维中的应用
主成分分析与奇异值分解算法在数据降维中的应用数据降维是在大数据时代中日益重要的技术之一。
数据降维的目标是将高维度的数据投影到低维度的空间，在保留足够多的信息的前提下减小数据的维度，以便加快计算处理速度，并减少数据存储空间。
在实际应用中，数据降维技术被广泛应用于图像处理、自然语言处理、信号处理、计算机视觉等领域。
而在数据降维技术中，主成分分析和奇异值分解算法是两种非常有代表性的算法。
一、主成分分析主成分分析（PCA）是一种线性降维技术，它通过对数据协方差矩阵的特征值分解来选取主成分。
主成分是原始数据经过线性变换后得到的新数据，通过选择前k个主成分，可以得到降维后的数据集。
对于输入矩阵X，我们可以通过以下步骤得到它的主成分：1、对矩阵X进行数据标准化，使每一列的均值为0，标准差为1。
2、计算数据的协方差矩阵C。
3、计算协方差矩阵的特征值及其对应的特征向量。
4、将特征值从大到小排列，选取前k个特征值及对应的特征向量作为主成分。
5、用选出的前k个特征向量将矩阵X投影到新的k维空间。
主成分分析的优点是简单易懂，容易实现，并且能够在一定程度上保留数据的原有信息。
但是，主成分分析的缺点是它只能处理线性数据，当数据不是线性的时候，效果会受到影响。
二、奇异值分解奇异值分解（SVD）是一种非线性降维技术，它可以处理线性和非线性数据，具有更广泛的适用性。
奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵之积，即矩阵X=UΣVT，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
通过奇异值分解，可以得到矩阵X的Singular Vector或Singular Value，它们是表示数据中最显著的方向和重要性的向量和值。
通过选择其中最大的k个奇异值和对应的向量，就可以得到数据的主要特征。
对于一个矩阵X，奇异值分解的步骤可以由以下过程实现：1、将矩阵X进行数据标准化。
2、计算标准化后的矩阵X的转置矩阵XT和矩阵X的乘积XTX。
3、对矩阵XTX进行特征值分解，并计算出它的特征向量V和特征值Σ2。
主成分分析算法在数据降维中的应用
主成分分析算法在数据降维中的应用从计算机科学的视角来看，数据降维是一种常见的数据处理方式。
随着大量数据的产生和应用场景的增多，越来越多的数据需要被处理和分析。
而大量数据的处理和分析也不可避免地需要占用巨大的资源，所以数据降维成为了一个必不可少的工具。
本文将介绍主成分分析算法在数据降维中的应用。
一、数据降维的背景与原理数据降维的背景是许多待分析的数据集往往都存在大量冗余，而且维数也非常巨大，这限制了我们对这些数据进行有效的分析和应用。
因此，数据降维成为了一种解决这个问题的有效途径。
数据降维的原理是从原始数据集中选择最具又代表性的变量来形成新的数据集，同时这些变量又能够表征原始数据集的信息。
针对不同的应用场景，我们采用不同的数据降维方法。
在此我们介绍一下主成分分析算法。
二、主成分分析算法主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）算法是一种非监督学习算法，是模式识别、数据挖掘、图像分析等领域中常用的一种数据降维方法。
PCA算法将原始数据集中的各个特征通过一定的线性组合变换到一个新的特征空间中，并以最简单和最大可分的方式将原始数据进行降维。
主成分分析算法是基于对原始数据的协方差矩阵进行矩阵分解的思想，这种矩阵分解能够有效地找到数据集的主要特征，使得降维后的数据能够更好地捕捉到原始数据的信息。
三、PCA算法的应用场景主成分分析算法在许多领域中都有着广泛的应用，如金融、医疗、信用评估、工业制造等领域。
具体来讲，主成分分析算法可以被用来：1. 精简数据集：PCA算法可以通过降低数据集的维度，简化原始数据集，为进一步的分析打下基础。
2. 降噪处理：PCA算法可以排除随机噪声和异常值，提取出数据集中的主要特征，削弱噪音对数据分析的影响。
3. 舆情分析：PCA算法可以提取文本数据集中的主要主题，在大规模互联网舆情分析中起到重要的作用。
四、PCA算法的实现主成分分析算法的实现需要经过以下步骤：1. 对原始数据集进行标准化处理，使得各个特征之间具有可比性。
降维：主成分分析
降维：主成分分析在数据挖掘中，一个经常碰到的情形就是，在数据库中有大量的变量。
在这种情形下，变量的子集很可能会高度相关。
分类或预测的准确性和可靠性会受到损害，如果我们包含这些高度相关的变量或和结果无关的变量，就会造成过拟和。
在应用模型中，多余的变量能增加收集和处理这些变量的成本。
模型的维度是指独立变量的个数或在模型中用到的变量。
数据挖掘中一个关键的步骤是在不牺牲准确性的前提下找到减小维数的方法。
对这个目的的一个有用的过程是分析输入变量的主成分。
当我们需要衡量的子集在相同的标度上高度相关，这个方法就尤其有用。
在那种情况下，它提供了（通常少于3）变量，这几个变量是最初的变量和并之后具有解释整个变量集的能力。
例1：长子的头部衡量下面的数据给出了在抽样中的25对长子头部的衡量。
长子头长（x1）头宽（x2）191 155195 149181 148183 153176 144208 157189 150197 159188 152192 150179 158183 147174 150190 159188 151163 137195 155186 153181 145175 140192 154174 143176 139197 167190 163对于这些数据变量x1,x2的均值为185.7和151.1，协方差矩阵为, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=36.5487.5287.5229.95S 下图1给出了点(x1,x2)的散点图。
主成分方向轴z1,z2表示，以x1和x2的均值为中心。
线z1是这些数据的第一个主成分的方向。
这是一条捕获在数据中的大多数变化的直线，如果我们决定把数据的维数从2减少到1。
如果我们这些数据集中的点正交投影到z1轴，得到25（一维）个值，在所有可能的线中，这条直线z1的方差值会最大。
同时它也是从这条直线垂直的距离的平方和的最小值。
（利用Pythagoras 定理说明原因。
这条直线和直线x1或x2如何的不同？）z2轴和z1轴相垂直。
主成分分析法原理简介
主成分分析法原理简介1.什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，是揭示大样本、多变量数据或样本之间内在关系的一种方法，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标，降低观测空间的维数，以获取最主要的信息。
在统计学中，主成分分析（principal components analysis, PCA）是一种简化数据集的技术。
它是一个线性变换。
这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。
主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。
这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。
这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。
但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。
2.主成分分析的基本思想在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。
这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。
因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。
在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。
主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。
对同一个体进行多项观察时必定涉及多个随机变量X1，X2，…，X p，它们之间都存在着相关性，一时难以综合。
这时就需要借助主成分分析来概括诸多信息的主要方面。
我们希望有一个或几个较好的综合指标来概括信息，而且希望综合指标互相独立地各代表某一方面的性质。
任何一个度量指标的好坏除了可靠、真实之外，还必须能充分反映个体间的变异。
如果有一项指标，不同个体的取值都大同小异，那么该指标不能用来区分不同的个体。
由这一点来看，一项指标在个体间的变异越大越好。
数据降维的十种方法
数据降维的十种方法在数据分析和机器学习领域，数据降维是一个非常重要的技术。
数据降维是指将高维数据转换为低维数据的过程，这个过程可以减少数据的存储空间和计算复杂度，同时也可以帮助我们更好地理解数据。
在本文中，我们将介绍数据降维的十种方法，包括主成分分析、线性判别分析、t-SNE、UMAP、自编码器、因子分析、独立成分分析、非负矩阵分解、核主成分分析和随机投影。
1. 主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的数据降维方法。
它通过线性变换将高维数据转换为低维数据，保留数据的主要信息。
主成分分析的核心思想是将数据变换到一个新的坐标系中，使得数据在新的坐标系中的方差最大。
这个新的坐标系的坐标轴被称为主成分，这些主成分是按照方差从大到小排列的。
我们可以选择前k个主成分来表示数据，从而实现数据降维。
2. 线性判别分析（LDA）线性判别分析是一种有监督的数据降维方法。
与主成分分析不同，线性判别分析考虑了类别信息。
它通过线性变换将高维数据投影到一个低维空间中，使得不同类别之间的距离最大化，同一类别内部的距离最小化。
线性判别分析可以用于分类和可视化任务。
3. t-SNEt-SNE是一种非线性数据降维方法。
它通过将高维数据映射到一个低维空间中，使得数据点在低维空间中的距离尽可能地反映在高维空间中的相似性。
t-SNE采用了一种特殊的概率分布来衡量数据点之间的相似度，并使用梯度下降算法来最小化低维空间中的KL散度。
4. UMAPUMAP是一种新兴的非线性数据降维方法。
它通过将高维数据映射到一个低维空间中，使得数据点在低维空间中的距离尽可能地反映在高维空间中的相似性。
UMAP使用了一种基于图形的方法来表示数据点之间的相似度，同时也考虑了数据点之间的局部结构和全局结构。
5. 自编码器（AE）自编码器是一种神经网络模型，用于将高维数据编码为低维表示。
自编码器由编码器和解码器两部分组成。
编码器将高维数据映射到一个低维潜在空间中，解码器将潜在空间中的表示映射回高维空间。
机器学习应用之降维介绍课件
自动编码器 （Autoencoder）：通过 神经网络将数据降维，同 时保留原始数据的重要特
征
主成分分析（PCA）
PCA的原理
主成分分析是一种线性降维方法，用于将高 维数据投影到低维空间。
PCA的目标是找到一个低维空间，使得数据 在这个空间中的投影方差最大。
PCA通过计算协方差矩阵的特征值和特征向 量，找到数据中最主要的变化方向。
泛化能力
03
聚类分析：将高维 数据聚类成低维簇， 便于发现数据中的
结构和模式
04
降维：将高维数据 降维到低维空间， 提高计算效率和存
储效率
LLE的优缺点
01
优点：能够保持数据的
局部结构，对非线性流
形有较好的处理效果
02
缺点：计算复杂度较高，
对于高维数据可能存在
收敛速度慢的问题
03
优点：能够处理不同密
C
择重要的特征，提高模型的泛
化能力和预测精度。
异常检测：t-SNE能够发现数
D
据中的异常值和离群点，便于
进行异常检测和诊断。
t-SNE的优缺点
优点：可视化效果好，能够清 晰地展示高维数据
优点：速度快，适用于大规模 数据集
缺点：容易受到噪声影响，结 果不稳定
缺点：参数选择困难，需要多 次尝试才能得到较好的结果
04
缺点：对异常值敏感， 可能受到噪声的影响
局部线性嵌入 （LLE）
LLE的原理
01
LLE是一种非线 性降维技术，通 过保持局部邻域 内的数据点之间 的线性关系来降 低数据维度。
02
LLE首先计算每 个数据点在邻域 内的权重，然后 使用这些权重来 构建一个线性方 程组，求解这个 方程组以得到降 维后的数据。
PCA降维方法主成分分析降维
一、简介PCA（Principal Components Analysis）即主成分分析,是图像处理中经常用到的降维方法，大家知道，我们在处理有关数字图像处理方面的问题时，比如经常用的图像的查询问题，在一个几万或者几百万甚至更大的数据库中查询一幅相近的图像。
这时，我们通常的方法是对图像库中的图片提取响应的特征，如颜色,纹理,sift，surf，vlad等等特征，然后将其保存，建立响应的数据索引,然后对要查询的图像提取相应的特征，与数据库中的图像特征对比，找出与之最近的图片。
这里，如果我们为了提高查询的准确率,通常会提取一些较为复杂的特征，如sift，surf等，一幅图像有很多个这种特征点,每个特征点又有一个相应的描述该特征点的128维的向量，设想如果一幅图像有300个这种特征点,那么该幅图像就有300*vector（128维)个,如果我们数据库中有一百万张图片，这个存储量是相当大的，建立索引也很耗时,如果我们对每个向量进行PCA处理，将其降维为64维，是不是很节约存储空间啊？对于学习图像处理的人来说,都知道PCA是降维的，但是，很多人不知道具体的原理，为此，我写这篇文章，来详细阐述一下PCA及其具体计算过程：二、PCA原理1、原始数据：为了方便，我们假定数据是二维的，借助网络上的一组数据，如下:x=［2。
5, 0.5，2。
2，1.9, 3。
1, 2.3, 2, 1,1。
5, 1。
1］Ty=[2.4, 0.7，2。
9，2.2，3.0，2。
7, 1。
6, 1。
1，1。
6，0.9]T2、计算协方差矩阵什么是协方差矩阵？相信看这篇文章的人都学过数理统计，一些基本的常识都知道，但是，也许你很长时间不看了，都忘差不多了，为了方便大家更好的理解，这里先简单的回顾一下数理统计的相关知识，当然如果你知道协方差矩阵的求法你可以跳过这里。
(1)协方差矩阵：首先我们给你一个含有n个样本的集合，依次给出数理统计中的一些相关概念:均值：标准差：方差：既然我们都有这么多描述数据之间关系的统计量，为什么我们还要用协方差呢？我们应该注意到,标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集，最简单的大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。
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• 右图最靠左边(与第3 主成分最负相关) 的2 个国家为China, India, 其后
有Indonesia, Bangladesh, United States of America, Pakistan; 它们的总人
口较多. 图14.5右图的右边挤在一起, 不很突出. 图14.5右图最靠下面的
(与第5 主成分比较负相关) 的6 个国家Gabon,Kazakhstan, Russian
图14.5 左右两图分别是观测值相应于第1、2 及第3、5 主成分的记分24图
记分(score)
• 图14.5左图最靠左边(与第1 主成分最负相关) 的6 个国家是Japan, Germany, Italy, Finland, Austria, Switzerland, 它们是世界上最发达的国 家; 而图14.5左图最靠右边(与第1 主成分最正相关) 的6 个国家是Niger, Chad, Burundi, Uganda, Mali, Democratic Republic of the Congo, 它们是 世界上最不发达的国家.
由于变量之间相关, 谈论单独某个变量对描述数据的单独贡献就没有 多大的意义, 这些互相相关的变量有着“集体贡献”, 降维就有可能.
• 主成分分析是在变量相关时寻找不相关的线性组合
在变量相关时, 可以由相关的变量形成若干变量的线性组合, 而这些线
性组合之间不相关. 这时谈论每个组合对问题的单独贡献就有意义了.
16
主成分及崖底碎石图
• 得到相应于11 个变量的特征值及累计贡献为: e$values [1] 6.3726 1.5656 1.0448 0.7961 0.5010 0.3368 [7] 0.2060 0.1324 0.0320 0.0080 0.0046 cumsum(e$values)/sum(e$values)#各个成分的累计贡献 [1] 0.58 0.72 0.82 0.89 0.93 0.97 0.98 1.00 1.00 1.00 1.00
> sweep(a$vectors,2,sqrt(a$values),"*")
[,1] [,2]
[1,] 0.99 -0.12
[2,] 0.99 0.12
12
主成分分析的步骤
• 找到各个不相关的成分,并选择代表性的少数成分: – 通过相关阵的特征值来看成分的重要性(崖底碎石图)并选择成分; – 通过相关阵的特征向量来看成分和原变量的关系(载荷图) 并解 释成分.
[,1] [,2]
[,1] [,2]
[1,] 0.71 -0.71
[1,] 0.71 -0.71
[2,] 0.71 0.71
[2,] 0.71 0.71
• 图14.1左右两图的特征向量(即两个主成分) 方向一样, 但左图数据特征
值(即方差) 的比例(代码prop.table(a$values))相差很大, 后面
• 可能性 并不是所有多元数据分析都能够或者有必要降维. 问题的性质、研究 者的目的及数据变量之间的关系等各种因素确定了降维的可能性.
4
降维的可能性
• 数据各变量不相关的情况
每个变量对于这个数据的整体特征的贡献都是独立的, 并不与其他变 量混杂, 这样的数据不能降维, 主成分分析无意义.
• 数据各变量相互相关的情况
8
椭圆的正交长短轴
• 寻找两个点云相应椭圆的主轴(即正交的长短轴)等价于寻找观测值方 差(或标准差)最大的方向.
• 在数学上为寻找数据相关矩阵最大的特征值(相应于方差) 及对应的特 征向量(即第一主轴的方向).
• 很容易利用R 函数eigen算出:
> xy=read.csv("xy.csv") > (a=xy%>%cor()%>%eigen()) #求xy相关阵特征值及特征向量
18
体现相关系数的载荷
• 输出结果见下表: 表14.1 各变量主成分载荷表
19
体现相关系数的载荷
• 对于第1主成分: – 和第1 主成分比较负相关(相关系数绝对值大于0.6) 的变量为D1 (人 口增长率), D13 (都市人口), D15 (人口中位数年龄), D16 (超过60 的人口比例), D2 (手机用户量), D7 (人均国民总收入). 因此第一主 成分负值越大, 国家越发达. – 和第1 主成分比较正相关(相关系数绝对值大于0.6) 的变量为D17 (15 以下的人口比例), D18 (总生育率), D5 (粗出生率). 因此第一主 成分正值越大, 国家越落后.
• 把原来的观测值投影到选择的成分上(计算得分并画图).
13
三 通过特征值问题求各个主成分
14
例14.1
• 数据描述 数据有177行, 每行代表一个国家或地区, 一共有12 个变量(数据的列), 除了名为Country.or.Area 的第一列为各个国家或地区的名字之外, 其 他列都是人口学的一些变量.
• 变量意义 D1：人口年增长率(%); D5：粗出生率(每1000 人口); …… D18：总生育率(每个妇女);
15
主成分及崖底碎石图
DP=read.csv("DP.csv") #求特征值和相应的特征向量 (e=eigen(cor(DP[,-1])))#数据第一列是国家或地区名字必须去掉 cumsum(e$values)/sum(e$values)#各个成分的累计贡献 plot(e$values,type="b",main="Scree plot",pch=16,col=4,lwd=3)
数据科学导论
— 第十四章 降维: 主成分分析
刘苗
miaoliu@ Jan.3, 2020
1
主要内容
一 变量之间的关系与降维的可能性 二 两维空间的降维 三 通过特征值问题求各个主成分 四 各个观测值在新坐标中的记分 五 主成分分析在图像处理中的应用 六 本章的Python代码
这些互不相关的组合在主成分分析中称为成分(component).
5
变量选择
• 在做主成分分析时, 最主观、对结果影响最大的决策就是选择哪些变 量参与建模, 这方面怎么强调都不过分.
• 必须注意到, 在教科书中的数据是给定的, 读者往往被动地“接受” 这些别人采集的变量, 而无法去质疑其合理性, 也很难认识到选择不同 的变量对结果的不同影响.
将会说明, 特征值不同的比例揭示了降维的可能性.
10
崖底碎石图(scree plot)
• 图14.1左图数据在两个方向的方差之比为0:986 : 0:014(相应的特征值 大小之比), 即长轴解释了98.6% 的信息, 因此如果舍弃短轴, 则仅损失 1.4% 的信息. 结论是有降维的可能.
• 图14.1右图数据长短轴方差的比例为0:52 : 0:48, 任何降维都会损失将 近50% 的信息. 结论是不适合降维.
图14.2 图14.1左右两图的崖底碎石图
11
主成分和原数据的关系
• 每个单位向量乘以其对应的特征值的平方根则为该成分和对应原始变 量的相关系数, 这些以相关系数表示的方向称为载荷.
• 图14.1左图数据和原来变量的相关系数: 第一列所代表的第一主成分与 两个原始变量的相关系数均为0.99, 因此, 第一主成分对原始数据的代 表性很强, 而第二主成分则代表性很弱. #每列特征向量乘以相应的特征值平方根
成.
图14.6 一个老宅的照片
28
图像压缩案例
• 得到3 个新文件的压缩比分别为0.09942, 0.14536, 0.29486
图14.7 老宅照片分别选取的主成分个数为3、10、100 的压缩照片及对
29
比的原始照片(自上左到下右排列)
习题
• 关于主成分分析, 请考虑下面问题： – 是不是一个数量变量的多元数据一定可以做主成分分析？ – 主成分分析中有没有选取成分个数的不变标准？请解释. 你将按照 什么标准选取主成分？ – 主成分分析的载荷在不同的程序中会得到不同的符号(指值的正负 号)，这有关系吗？为什么？
Federation Panama, Saudi Arabia, Botswana; 它们手机用户比例可能较
大(但相关性不那么强).
25
五 主成分分析在图像处理中的应用
26
压缩
• 压缩的图像利于传送, 但我们也不希望压缩得太厉害以致失去原图片 太多的信息.
• 彩色图像的颜色大都通过三原色深浅组合而成, 计算机在处理颜色时 会将其转化为R(红), G (绿), B (蓝) 三个值(注意这里的绿色实际上是柠 檬色) 来记录, 取值都在0 255 之间.
• 可以看出最突出的是前面少数几个成分, 它们所代表的信息已经达到 80% 以上, 后面成分对方差的贡献就小多了.
17
体现相关系数的载荷
• 前面可通过e$vectors 函数得到11 个特征向量, 但它们都是单位向 量, 仅仅给出方向, 没有给出各个成分与原始变量的线性相关系数.
• 把每个单位特征向量乘以它们相应的特征值的平方根则给出这些相关 系数, 称为载荷(我们只输出前面5 个成分): loading=sweep(e$vectors,2,sqrt(e$values),"*")%>%da ta.frame() names(loading)=paste0("Comp-",1:11) data.frame(Variable=names(DP)[-1],loading[1:5])
20
体现相关系数的载荷
• 对于第2主成分:
– 和第2 主成分比较负相关(相关系数绝对值大于0.5) 的变量为D6 (粗 死亡率)还有稍微相关的D1 (人口增长率). 因此第2 主成分负值越大, 粗死亡率越高但出生率也较高.