泛函分析习题

泛函分析练习题

一名词解释：

1.范数与线性赋范空间

2.无处稠密子集与第一纲集

3.紧集与相对紧集

4.开映射

5.共轭算子

6. 内点、内部：

7. 线性算子、线性范函：

8. 自然嵌入算子

9. 共轭算子

10. 内积与内积空间：

11. 弱有界集：

12. 紧算子：

13. 凸集

14. 有界集

15. 距离

16. 可分

17. Cauchy 列

18.自反空间

二、定理叙述

1、 压缩映射原理

2. 共鸣定理

3.逆算子定理

4. 闭图像定理

5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理

6、Baire 纲定理

7、开映射定理

8、Riesz 表现定理

三证明题：

1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=

+也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ∀∈

显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。

（2）(,)(,)d x y d y x =

（3）由1()111t f t t t =

=-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)

x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++

(,)(,)1(,)1(,)

x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+

故d 也是X 上的度量。

2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。

证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-⋅-

已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。

故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→

即 (,)(,)n n x y x y →。

3.考虑[,]C a b 上的非线性积分方程

()(,,())()b

a x t k t s x s ds t λϕ-=⎰

其中[,],(,,)C a b k t s ϕω∈是[,][,]a b a b R ⨯⨯上的连续函数，满足

1212|(,,)(,,)|||k t s k t s b ωωωω-≤-

证明当||λ足够小时，此方程存在唯一解0[,]x C a b ∈。

证明：令

()()(,,())b

a Tx t t k t s x s ds ϕλ=+⎰

则T 是[,][,]C a b C a b →的算子。并且12,[,]x x C a b ∀∈

1212|()()||(,,())(,,())|b

b a a

Tx t Tx t k t s x s ds k t s x s ds λλ-=-⎰⎰ 12||

|(,,())(,,())|b

a k t s x s k t s x s ds λ≤-⎰ 12|||||()()|b

a b x s x s ds λ≤-⎰ 12||||()||||b b a x x λ≤--

所以1212||||||||()||||Tx Tx b b a x x λ-≤--。

故当||λ足够小时，T 为[,]C a b 到[,]C a b 的压缩算子，由压缩映射原理，存在唯一的0[,]x C a b ∈，使得00Tx x =，也即此方程存在唯一解0.x

4.若函数族{()}n f t 在紧集A 上等度连续并且点点收敛，则{()}n f t 在A 上一致收敛。 证明：由{()}n f t 在紧集A 上等度连续，12120,0,..,,||||s t t t A t t εδδ∀>∃>∀∈-<有 12|()()|, 1.3n n f t f t n ε

-<∀≥

令()(),.n f t f t t A →∀∈上式两端令n →∞得，12|()()|3n n f t f t ε

-<。

因为A 为紧集，存在A 的有限δ网12{,,,}m t t t ，对12{,,,}m t t t 存在N ，s.t. n N ∀≥有 12|()()|,{,,,}.3n i i i m f t f t t t t t ε

-<∀∈

12,{,,,},..||||.k m k t A t t t t s t t t δ∀∈∃∈-< 故

|()()||()()||()()||()()|n n n i n i i i f t f t f t f t f t f t f t f t -≤-+-+- .333ε

ε

ε

ε≤++=

此即{()}n f t 在A 上一致收敛。

5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从

22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。

解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。

1

2

10|||||()|Tx t x t dt =⋅≤⎰ 所以 ||||

T ≤。

取2

0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==⎰ 所以 ||||

T ≥。