板(膜)理论吸声公式及声强反射系数

sin(
2πD λ
)
=
1 ，式（15）中的第
2
项达到极小，吸声系数为极大值。而
D
=
n
λ 2
，n
=
1,2,3,⋅ ⋅ ⋅
时，sin( 2πD ) = 0 ，式（15）中的第 2 项达到极大，吸声系数为极小值。另外，在 D = n λ
λ
2
时，声波波幅为零，材料波幅也为零，它们的振动速度和加速度均为零，那么材料所受到的
综合力
pa2
也必然零。而同时
sin(
2πD λ
)
=
0
，其结果是吸声系数近似为零，而不会出现负
的吸声极大现象。
3．自由声场中的声强反射系数
根据前面讨论。不同频率的吸声系数通式为
-5-
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a =1−(
2 pa2
)2
πpa1 sin(2πD / λ)
（16）
观察式（16），结合吸声系数和声强反射系数定义，可以发现，实际式（16）已经给出
将（3）式带入（1）式并推导可得，
…………………………(3)
a = 1 − ⎜⎛1 − M v2 ⎟⎞2 ⎝ m v⎠
……………………………...(4)
下面进一步对公式（4）进行推导。材料背后空气层在材料波动时相当于一个弹簧。此
时，材料以及背后空腔所构成的系统可用图 3 表示。
根据牛顿经典力学，有关系式
碰撞后空气速度为 v 1 ，材料速度为 v 2 根据动 量守恒定律。
mv = Mv2 + mv1
（1）
根据吸声系数的定义
a = 1 − ( par )2 pai
式中 pai , par 分别为
入射声压和反射声压。
1本课题得到陕西省重点实验室项目（05JS07）的资助。 -1-
图 1 声波与材料相互作用示意图 图 2 动量守恒分析图
∇ 2 r R + k 2 R = − Pa2 T
设该方程的特解为常数，则可得 则方程（9）的一般解可表示为
R1
(r)
=
−
pa2 k 2T
……………………….(9)
R1 (r)
=
AJ 0 (kr)
−
pa2 k 2T
将此带入（8）式得
η (t ,
r)
=
⎡ ⎢⎣
AJ
0
(kr)
−
pa2 k 2T
⎥⎦⎤e
jωt
1．板（膜）材料吸声理论公式的建立
在最大吸声系数对应频率处，材料背后空腔距离为 1/4 波长。如图 1，取频率为 400Hz，则背后空腔为 22cm.。
由于空气的声速为 350，声波走完 1/4 波长时所用的时间为 5.7 × 10 −4 秒。因此可以近
似认为 1/4 波长内的空气做钢性整体运动。 如图 2，设空气质量为 m,材料质量为 M，
参考文献
[1] Kuttruff,H. H.,Room Acoustics (Fourth edition)[M],London:published by Spon Press 11 New Fetter Lane,2000,163-173，39-44 [2] 杜功焕，朱哲民，龚秀芬.声学基础.第二版，南京：南京大学出版社，2001，271-278，98-102.168-193。 [3] Hansen, Colin H.,Solutions to problems in engineering noise control, South Australia: Department of Mechanical Engineering University of Adelaide,1996,178-181. [4] Sound Research Laboratories, Noise control in industry Sound Research Laboratories(3rd ed), London E. & FN. Spon,1991,245-247. [5] Rettinger, M.,Handbook of architectural acoustics and noise control a manual for architects and engineers,Blue Ridge Summit TAB Professional and Reference Books, 1988,184-186. [6] Barber,A., Handbook of noise and vibration control(6th ed.),Oxford, UK : Elsevier Advanced Technology,1992,315-323 [7] Barron, Randall F. Industrial noise control and acoustics, New York : Marcel Dekker,2003,269-273. [8] cavanaugh h,W.J,Wikes,W.J. 建筑声学-理论与实践，赵樱译，北京：机械工业出版社，2004，56-57 [9] 赵松龄.噪声的降低与隔.上海:同济大学出版社，1985，133-137. [10] 马大猷.现代声学理论基础.北京：科学出版社，2004， 210-237 [11] 张新安.振动吸声理论及声学设计.西安：西安交通大学出版社，2007，131-170 [12] 张新安，中国科技论文在线，薄纤维层吸声原理分析 200609-13 [13] ZHANG xian an,The fiber Viberation Sound absorptin theory, SAE Technical Papers，2007-01-2188 [14] 张新安，纤维层材料振动吸声理论，中国科技论文在线，200609-22 [15] Xin an Zhang，The Formula of Sound Absorption Spectrum For Fibrous Material，12th，International Meeting， on Low Frequency Noise and Vibration and its Control，Bristol, UK 18 – 20 September 2006，371-380 [16] 张新安，纤维性材料经验吸声公式，中国科技论文在线，200608-350
从图 4 中可以看出，吸声极小发生在频率 1600Hz 处，此时半波长为 9cm,满足 D ≈ λ 的 2
条件。在图 5 中，极小吸声发生在 800Hz 处，此时半波长为 22cm,满足 D ≈ λ 的条件。 2
2．板（膜）材料吸声理论公式在纤维材料中的应用
由于纤维材料的吸声也是来自于材料的振动 (11−14) ，所以，式（15）也应该适合于纤维
塑料膜 纤维板
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0wk.baidu.com
125 200 315 500 800 1250 2000 3150
频率/Hz
图 5 20cm 空腔时两种材料的吸声频谱
图中塑料膜的厚度为 0.12mm,面密度为 0.08 kg / m2 ,纤维板的厚度为 3.81mm,面密度为 0.91 kg / m2 。吸声系数为驻波管测直入射吸声系数。
层的吸声情况。作者曾在文献（15，16）中证明，纤维层在声波作用下随声波波动做同频率
的振动。此时材料所受声波压力 pa2 及其变化都较小。那么，式（15）中吸声系数的变化就
主 要 来 自 于 公 式 右 侧 第 2 项 的 分 母 的 变 化 ， 即 ， D = (2n − 1) λ ， n = 1,2,3,⋅ ⋅ ⋅ 时 ， 4
利用边界条件，在 r=a 处应有η (r=a ) =0，
则，
A
=
pa k 2T
⎡1⎤
⎢ ⎣
J
0
(ka)
⎥ ⎦
由此得
其中
η(t, r) = ηae jωt ………………………………….(10)
η(t, r)
=
−
pa2 k 2T
⎡ ⎢ ⎣
J 0 (kr) J 0 (ka)
−
⎤ 1⎥
⎦
…………………………….(11)
当
D
=
(2n
−
1)
λ 4
，
n
=
1,2,3,⋅ ⋅ ⋅ 时，
sin( 2πD λ
)
=
1 ，式（15）中的第
2
项应该达到极
小，吸声系数应该表现为极大值。然而，由于一般情况下 pa2 都很大，所以此时，对于板（膜）
材料来说，并不一定出现吸声极大值。只有在 pa2 极小的情况下，才会出现吸声极大值。
当
D
=
n
M dv2 = m dv − ks dt dt
式中 s 为弹簧位移也就是材料 波动的振幅。 对上式积分可得，
图 3 材料振动吸声原理图
v2
=
m M
v−
k M
∫ sdt
将（5）式带入（4）式可得
…………………………..(5)
∫ a = 1 − ( k sdt)2 ……………………………..(6)
mv
假设吸声纤维层振动方式类似于膜振动。下面用膜波动理论 (2) 分析材料波动情况。
承受的压力大大增加。因此，一般情况下式（15）中的 pa2 就会很大。即吸声系数非常小。
而在共振情况下，材料波动与声波波动频率达到或接近同步时，材料对施力者所产生的
反向“顶”的力量就要小得多，那么 pa2 就会很小。所以吸声系数很大。
作为常用的几个实例，对于刚硬的板材料来说，即使在共振时，材料的“顶”力也很大，
-4-
吸声系数 吸声系数
10cm空腔
塑料膜 纤维板
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
125 200 315 500 800 1250 2000 3150
频率/Hz
图 4 10cm 空腔时两种材料的吸声频谱
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20cm空腔
了自由声场中中间媒质层的声强反射系数。即
I =(
2 pa2
)2
πpa1 sin(2πD / λ)
（17）
在文献（2）中，自由声场中中间媒质层的声强反射系数，可以由平均声能量密度求得，
声强与平均声能量密度的关系为 I ' = W ，式中W 是平均声能量流， S 是声波穿过的垂直面 S
积。而W = εc0 S ，ε 是单位体积内的平均声能量。根据小振幅声波的一维物态方程可以求
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由于
par
=
Fr s
, pai
=
Fi s
，
所以，
a
=
1−
⎜⎜⎝⎛
Fr Fi
⎟⎟⎠⎞
2
…………………………(2)
Fi 为声波对材料的作用力， Fr 为材料对空气的反作用力。
将 Fr = m dv dt
带入（2）并推导可得
Fi = m dv1 dt
v1 = v 1 − a
λ 2
，n
=
1,2,3,⋅ ⋅ ⋅ 此时，sin( 2πD ) λ
=
0 ，式（15）中的第
2
项达到极大。此时，
由于声波波幅为零，材料波幅也为零，它们的振动速度和加速度均为零，那么材料所受到的
综合力
pa2
也必然零。而同时
sin(
2πD λ
)
=
0
，其结果是吸声系数近似为零，而不会出现负
的吸声极大现象。吸声系数为极小值。
4f
λ
则式（14）变为
a
=
1
−
0.41(
pa2 sin( 2πD
)
)
2
λ
（15）
下面对式（15）进行讨论。
（1）材料在不同声波作用力下的情况。
通常情况下，当板（膜）已经波动而表面变成凸字形时，再加反方向的力使其往回振动
时，由于板（膜）材料自身的应力，材料会对施力者产生一种“顶”的力量，这就使材料上所
得 (2) ε =
p
2 a
。则声强 I ' =
p
2 a
。由此，对于自由声场中的中间媒质层，声强反射系
2 ρ 0 c02
2ρ0c0
数为
I ' = pa22 / 2ρ0c0
p
2 a1
/
2ρ
0c0
（18）
根据上述讨论，式（18）表达的是声波传递中的平均声能变化情况。对比式（17）和
式（18），当式（17）中的 sin 函数取平均值时(角度值取一位小数)， I = 1.0000735I ' 。换
2
=
∂2 ∂x 2
+
∂2 ∂y 2
从而有，
∇ r 2η
−
1 c2
∂ 2η ∂t 2
=
−p c 2σ
……………………….(7)
-2-
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其中
∇r
=
∂2 ∂r 2
+
1 r
∂ ∂r
令解为
η(t, r) = R(r)e jωt
带入（7）式可得
……………………….(8)
设材料表面受到声压为
p = pa2e jωt
的声压作用，其中 pa2 为声压振幅
（N/m 2 ）, ω 为声波的圆频率，那么在 dxdy 单元上就受到如下的外力作用。
FF = p2dxdy
将上式带入膜波动方程
∇ 2η = 1 ∂ 2η ， c 2 ∂t 2
式中
c=
T σ
，T 为膜的张力，σ
为膜的面密度。∇
句话说。由此可以得出以下结论：自由声场中的中间媒质层可以看做是膜和弹簧组成的一个
简单模型，这个模型所得出的声强反射系数，与由小振幅声波的一维物态方程所得到的声强
反射系数的误差小于万分之一。若 sin 函数的角度值无限精确的取下去，则误差将趋于 0。 然而由膜-弹簧模型却能得到随入射声波的波动而变化的精细的声强反射系数公式。
弹簧位移也就是材料波动的振幅。由此，我们令
s=η (t, r) = η a e j(ωt+π / 2) ， v = va e jωt ，
将此带入（6）式可解得
a = 1 − ( kη a )2 ωmva
………………………………….(12)
根据前面的定义。驻波管内作用于材料的 1/4 波长的质量可表示为， m = πr 2 ρ0c0 ，（ r 为 4f
驻波管内半径，ρ0 , c0 分别为空气密度和声速）。而 ω
= 2πf
，同时，对空气来说 va
=
pa1 ρ0c0
，
通过对（11）式求解 (2) ，膜的振幅可表达为η a
=
r 2 pa2 8T
。设 k
=
pa2 ⋅ πr 2 ηa
将上述表达式带入（12）式可得
式中 式
a = 1− (2 pa2 )2
.(13)
0．序言
在建筑吸声和噪声控制领域，板材料和膜材料是常用的吸声材料之一。关于板材料和膜 材料的吸声性能国内外已有大量研究 (1−10) 。本根据动量守恒定律、牛顿力学分析、膜振动 理论推导出板（膜）材料的吸声理论公式。通过分析，该公式与板（膜）材料的吸声规律吻 合较好。
作者曾在相关文献中证明，纤维材料的吸声也是来自于材料的振动 (11−14) 。以此概念为 前提，板（膜）材料吸声理论公式也被应用于纤维材料当中。通过分析证明，板（膜）材料 吸声理论公式也适合于表达纤维材料吸声性能。
πpa1
pa1 为空气声压幅值， 在驻波管吸声系数测试中通常有 pa1 ≈ 1N / m2 。则可得简化
-3-
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a = 1 − 0.41pa2 2
（14）
考虑到驻波管内声波按正弦函数的绝对值规律变化。则驻波管内作用于材料上的波动空
气质量可表示为， m = πr 2 ρ0c0 sin( 2πD )
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板（膜）理论吸声公式及声强反射系数1
张新安 1,2
1 西安工程大学，西安（710048） 2 同济大学，上海 (200092)
E-mail：zxafafa.my265@yahoo.com.cn
摘 要：本文利用经典牛顿力学理论推导出板（膜）材料吸声理论公式。通过分析，该公式 符合板（膜）材料吸声的实际情况。又根据振动吸声原理，将该吸声理论公式推广应用于纤 维材料之中。通过分析，该公式也符合纤维材料吸声的实际情况。最后，通过对比传统声学 理论中的声强反射系数，发现根据本文理论模型建立的自由声场中的中间媒质的声强反射系 数与传统理论的出的结果相差小于万分之一。而本文得出的公式更精确。 关键词：板（膜）材料；吸声理论公式；应用；纤维材料
所以 pa2 就很大，那么吸声系数就会较小。而柔软的薄塑料膜，在共振时材料对声波的反向
“顶”力就小得多，所以，吸声系数就会很大。从图 4、图 5 中可以看出，柔软的塑料薄膜比 刚硬的板材料的吸声系数可以高出近 2 倍。
（2）不同频率情况下吸声情况 在式（15）中，公式右侧第 2 项的分母从 0 到 1 之间变化。