幂级数的应用

幂级数的应用

将函数展开成幂级数，从形式上看，好像把问题复杂化了，但是由于幂级数的前n 项部分和是x 的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幂级数代替某个函数，实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因，函数的幂级数展开式有着应泛的应用。

一、 函数值的近似计算

利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来．

例１ 计算常数e ，精确到小数第四位．

解 利用∑∞

==0

!n n

x

n x e ，令1=x ，有

++++==∑

∞

=!31

!2111!

10n n e ．

为达到这个精确度，可观察余项

)!1)(1(1111!1

111!1)2)(1(1

111!1)!1(1!12--=

-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=+++=

n n n

n n n n n n n n n n r n ． 若取8=n ，则4810

1

!771<⋅=

r ，故计算出 7183.2!

81

!31!2111≈+++++= e ．

例2 计算5245精确到小数第四位． 解 因为

5

1

5555555

32133213232243245⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+

=+=+=． 令5

3

2=

x ，51

=α，得出 ⎪⎭

⎫

⎝⎛+⨯-⨯+= 10255

345!24325113245

由于这是一个交错级数，故其误差可利用1||+

4

102321021

3523||⨯<⨯⨯

故得出

0049.332511324555

≈⎪⎭

⎫

⎝⎛⨯+≈．

例3 计算2ln 的值，精确到小数第四位． 解 如果利用)1ln(x +的展开式：

+-+-

=+=4

1

31211)11ln(2ln ， 理论上可计算2ln ，但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第1

+n 项的值

1

1

+n ．欲使410111||=+<

n r n ，n 至少要取9999项，这太麻烦了，需要去掉带负号的项，故寻找收敛速度较快的级数来代替．

用 +-+-=+432)1ln(4

32x x x x x 减去 -----=-4

32)1ln(4

32x x x x x 其差是

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++=-+ 53211ln 5

3x x x x x ． 令

211=+-x x ，解出3

1

=x 代入上式，得 ⎪⎭

⎫

⎝⎛+⨯-++⨯+⨯+=- 125331121315131313122ln n n ，

其误差

122

1242

1232123)12(4131113)12(2313113)12(231321311212)(-+++-+=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-+=

⎪⎭

⎫

⎝⎛++++<⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n n n n n n n n n n n x r ．

取4=n ，这时

4

74101

7873213941||<=⨯⨯<

r

故得出

6931.0317131513

1313122ln 753≈⎪⎭⎫

⎝⎛⨯+⨯+⨯+=．

二、定积分的近似计算

利用幂级数不仅可以计算一些函数的近似值，而且还可以计算一些定积分的近似值，具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，那么把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可计算出定积分的近似值．

例4 计算dx x x

⎰

1

sin ，精确到小数第四位． 解 由于1sin lim

0=→x x x ，因此所给积分不是广义积分，如果定义

x

x

sin 在0=x 处的值为1，那么它在积分区间]1,0[上连续．由于x

x

sin 的原函数不能用初等函数

表示，因此需要通过幂级数展开式来计算．

利用正弦函数的展开式 -+-=!

53sin 5

3x x x x ！，两边同除以x ，得到 -+-=!

531sin 4

2x x x x ！ 再逐项积分

+⋅-⋅+⋅-=-+-=⎰⎰⎰⎰!771

!551!3311!5!3sin 1

41031010dx x dx x dx dx x x 这是收敛的交错级数，其误差1||+

1

!771<⋅<

r ，故 9461.0!551

!3311sin 1

≈⋅+⋅-≈⎰dx x x ． 例5 计算

dx e

x ⎰-

1

2

221π

，精确到小数第三位．

解 易见2

2

x e -

的原函数不能用初等函数表示，因此考虑用幂级数展开式计算．利用展开式

∑∞

==0!n n x

n x e ，得∑∞=--=0

222!)1(2

n n

n n x n x e 故有

+⋅⋅-⋅⋅+⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎰⎰-

7

2!3152!2132112!32!2213

21

036

2421

2

2

dx x x x dx e

x

取前四项的和作为近似值，误差为