微积分3-2-1导数的四则运算法则

2) ( uvw ) u vw uvw uvw 1 ln x 3) ( log a x ) ln a x ln a
微
积
分
推论 4)
微
积
分
例1.
(1) y x cos x
3
(2) y x x2 5 cos x 3loga x ln 5 ,
v ( x h) v ( x ) u ( x h) u ( x ) v ( x h) u ( x ) lim h 0 h h u ( x)v( x) u ( x)v( x) 故结论成立.
推论: 1) ( C u ) C u ( C为常数 )
微
积
分
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim lim h 0 h 0 h
u ( x h) u ( x) v ( x h) v( x)
h
lim h 0 v ( x h )v ( x ) u ( xu )v (x )( (x )v xu ) ( x) v( x) 故结论成立. 2 v( x () xv )( x h) u ( x h) v ( x ) u
能够比较方便地求出初等函数的导数。
微
积
分
已经学过的函数的导数公式
(sin x) cos x
(a ) a x ln a.
x
(cos x) sin x
(e x ) e x .
(ln x ) 1 . x
(log a x)
1 x ln a
微
积
分
一、函数四则运算的求导法则
微
பைடு நூலகம்
积
分
练习
求下列函数的导数 .
cos x (2) y 2 ; x
(1) y x csc x; (3) y sin x ln x ;
作业：P85第1题(1)(3)(5)(6)(7)
微
积
分
例1(3). y x ( x 3 4 cos x sin 1) ,
3 ( x 4 cos x sin 1) 解: y ( x )
2 x 1 ( x 3 4 cos x sin 1) x (3x2 +4sinx) 2 x 1 y x 1 (1 4 cos1 sin 1) ( 3 4 sin 1) 2 7 7 sin 1 2 cos1 2 2
2
微
积
分
例4. 求函数
的导数。
x 1 y x 1
tan x ln x (tan x ln x) x 3 ( x 3 ) tan x ln x 解: y 3 6 x x
[(tan x) ln x (ln x) tan x]x3 3x 2 tan x ln x x6 1 2 (sec x ln x tan x ) x3 3x2 tan x ln x x x6 x sec2 x ln x tan x (1 3ln x ) x4
微
积
分
第三章
第二节 求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则
四、初等函数的求导问题
微
积
分
第一节根据导数的定义已经求出了一些简
单函数的导数。但对于比较复杂的函数，直接
用定义求其导数往往比较困难。
本节将介绍求导数的几个 基本法则和基本
初等函数的导数公式，利用这些法则和公式，
cos x sin 2 x sec2 x 2 cos x
(sin x) cos x 1 (csc x) 2 2 sin x sin x sin x
csc x cot x
2 类似可证: (cot x) csc x , (sec x) sec x tan x .
定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 即
(v( x) 0)
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .
微
积
分
(1) (u v) u v
证:
设 f ( x ) u ( x ) v( x) , 则
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim h 0 h [ u ( x h) v ( x h) ] [ u ( x ) v ( x ) ] lim h0 h u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x ) lim lim h 0 h 0 h h u( x) v( x) 故结论成立.

1
x ( x 3 4 cos x sin 1)
( x 3 4 cos x sin 1) x （ -（4cosx） -(sin1) ] [ x3）
微
积
分
例2. 解:
y a cos x ln x,
x
x ( a y
x ) cos x ln xa x (cos x) ln x a cos x(ln x)
x a cos x x x a cos x ln x ln a a sin x ln x x
1 a [cos x(ln x ln a ) sin x ln x] x
x
u u v u v (3) v v2 u ( x) 证: 设 f ( x ) v ( x ) , 则有
n fi(x ) i 1
此法则可推广到任意有限项的情形.
fi(x ) ; i
1
n
微
积
分
(2) (u v) uv u v
证: 设 f ( x) u ( x)v( x) , 则有
f ( x h) f ( x ) u ( x h )v ( x h ) u ( x )v ( x ) f ( x) lim lim h 0 h 0 h h
h v( xC h v( xC ) v ) 推论: ( C为常数 ) 2
v ( x h) v ( x ) u ( x h) u ( x ) v ( x ) u ( x) h h
v
v
微
积
分
例3. 求证
sin x (sin x) cos x sin x (cos x) 证: (tan x) cos2 x cos x