函数的奇偶性.ppt
合集下载
高一数学函数奇偶性的性质.ppt
时，f (x) 2x ,求 f ( 1 ) 的值.
2
f (1) 5
2
例4 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在
( , 0] 上是增函数，f(-2)=0，求不等式
x f (x)0的解集.
( 2 ,0 ) (2 , )
作业: P39习题1.3A组：6
B组：3
理论迁移
例1 已知f(x)是奇函数，且当 x 0时，
f (x)x2 3x ,求x 当0 时f(x)的解析
式.
f(x)x23x(x0)
例2 设函数 f(x)2x2mx3，已知 f (x 1) 是 偶函数，求实数m的值.
m=-4
例3 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任
意实数x都有 f(x3)f(x)0，若当x[3,2]
问题提出
1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？
2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别有 何特征？
3.函数的奇偶性有那些基本性质？
知识探究（一）
思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶 函数？若存在，这样的函数有何特征？
f(x)=0 思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能 情形？
思考3:若f(x)是定义在R上的奇函数，那么 f(0)的值如何？
思考2:如果f(x)是定义在R上的任意一个函数， 那么f(x) + f(-x)，f(x) - f(-x)奇偶性如 何？
f(x) + f(-x)是偶函数 f(x) - f(-x)是奇函数
思考3:二次函数 f(x)ax2bxc是偶函
数的条件是什么？ 一次函数 f(x)kxb是奇函数的条
件是什么？
b=0
f(0)=0
思考4:如果函数f(x)具有奇偶性,a为非零常 数，那么函数af(x)，f(ax)的奇偶性如何？
函数的奇偶性PPT精品课件
∴f(x)为非奇非偶函数
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
01
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
函数的奇偶性
点此播放讲课视频
在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
03
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
04
点此播放讲课视频
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2（1）Fra bibliotek（2）y
x
O
x0
-x0
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x
结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x)
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
01
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
函数的奇偶性
点此播放讲课视频
在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
03
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
04
点此播放讲课视频
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2（1）Fra bibliotek（2）y
x
O
x0
-x0
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x
结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x)
函数的奇偶性ppt
特点
奇函数的图像关于原点对称，即对于任意一个x ，都有$f(-x)=-f(x)$。
3
示例
常见的奇函数包括正弦函数、余弦函数等。
偶函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=f(x)， 那么函数f(x)就称为偶函数。
特点ห้องสมุดไป่ตู้
偶函数的图像关于y轴对称，即对 于任意一个x，都有$f(-x)=f(x)$ 。
奇函数与偶函数的图像特点
奇函数图像特点
奇函数的图像关于原点对称，即以原点为中心，在左右两侧扩展。
偶函数图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即以y轴为中心，在上下两侧扩展。
如何由函数奇偶性判断函数图像
判断函数表达式
根据函数表达式可以初步判断其奇偶性，从而推断其图像的大致特点。
判断定义域
对于具有奇偶性的函数，其定义域通常是关于原点对称的，因此可以根据定义域 的对称性进一步判断。
对称中心
有些函数在其定义域内具有对称中心，可以根据对称中心，利用奇偶性进行 函数值的求法。
利用奇偶性和周期性求函数值
周期性
有些函数在其定义域内具有周期性，可以根据函数的周期，利用奇偶性进行函数 值的求法。
半周期
对于具有周期性的函数，其半周期内的函数值也可以利用奇偶性进行求法。
06
利用奇偶性进行函数最值求解
利用奇偶性和周期性求解函数最值
奇偶性+周期性
对于具有奇偶性和周期性的函数，可以充分利用周期性和奇偶性来求解函数的最值。例如，对于一个以2π为 周期的周期函数，其在一个周期内的图像关于原点对称，可以利用这个性质和函数的周期性来找到函数的最小 值和最大值。
奇偶性+周期性+复合函数
奇函数的图像关于原点对称，即对于任意一个x ，都有$f(-x)=-f(x)$。
3
示例
常见的奇函数包括正弦函数、余弦函数等。
偶函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=f(x)， 那么函数f(x)就称为偶函数。
特点ห้องสมุดไป่ตู้
偶函数的图像关于y轴对称，即对 于任意一个x，都有$f(-x)=f(x)$ 。
奇函数与偶函数的图像特点
奇函数图像特点
奇函数的图像关于原点对称，即以原点为中心，在左右两侧扩展。
偶函数图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即以y轴为中心，在上下两侧扩展。
如何由函数奇偶性判断函数图像
判断函数表达式
根据函数表达式可以初步判断其奇偶性，从而推断其图像的大致特点。
判断定义域
对于具有奇偶性的函数，其定义域通常是关于原点对称的，因此可以根据定义域 的对称性进一步判断。
对称中心
有些函数在其定义域内具有对称中心，可以根据对称中心，利用奇偶性进行 函数值的求法。
利用奇偶性和周期性求函数值
周期性
有些函数在其定义域内具有周期性，可以根据函数的周期，利用奇偶性进行函数 值的求法。
半周期
对于具有周期性的函数，其半周期内的函数值也可以利用奇偶性进行求法。
06
利用奇偶性进行函数最值求解
利用奇偶性和周期性求解函数最值
奇偶性+周期性
对于具有奇偶性和周期性的函数，可以充分利用周期性和奇偶性来求解函数的最值。例如，对于一个以2π为 周期的周期函数，其在一个周期内的图像关于原点对称，可以利用这个性质和函数的周期性来找到函数的最小 值和最大值。
奇偶性+周期性+复合函数
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的奇偶性ppt课件
例4.1若函数f x ax21 bx 3x b是偶函数，定义域
a 1，2a，则实数a _3__，b _-_3_.
2已知函数f x x 1x a为奇函数，则实数a _-_1_.
x
例5.已知函数y=f(x) 在R上是奇函数,而且在 (0,+∞)上是增函数,判断y=f(x)在(-∞,0)的单调 性，并证明你的判断.
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图像回答问题
（1）这两个函数图象有什么共同特征？ （2）填函数值对应表
x f(x)=x
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
x
-3 -2 -1 1 2 3
f(x)=
1 x
13
1 2
-1
1
11 23
2.奇函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
练习：已知函数y=f(x)是偶函数，它在y 轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左 边的图象.
解:
y
O
x
变式：若f(x)是奇函数呢？
例2. 判断下列函数的奇偶性
(1) y x2(2 x 3);
2 f x x3 2x
3 f x 2x4 3x2
4 f x x 2
(5)
f
x
x x
1, 1,
x x
0 0
注：奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，
若函数的定义域不关于原点对称，则不具有奇偶性。
判断函数奇偶性的两种方法： (1)定义法:
(2)图象法:
利用函数的奇偶性求解析式
课堂篇 究学习
例3. 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,
函数的奇偶性课件(共15张PPT)
图象关于原点中心对称
第9页，共15页。
三、知识应用，巩固提高
例1、判断下列函数奇偶性.
（1）f (x)x3
解：1） （该函数定义域 ， 为 ） （
且对 x （ 于 ， 任 ） ,都 意 x 有 (, ) 且 f( x ) ( x )3 x 3 f(x )
该函数是奇函数
（ 2） f(x)2x21
问1：仔细观察这两个图，从对称的角度思考 指导观察，形成概念
课前学生利用几何画板制作两个函数图像
问2：从数值角度研究图像的这种特征，自变量与函数值之间有何规律？
通过取值
发现特征
第7页，共15页。
二、指导观察，形成概念
课前学生利用几何画板制作两个函数图像
问3：如何用符号语言来刻画?
该函数是非奇非偶函数 观察学生制作的两个图像思考以下问题：
一、设疑导入，观图激趣
四、归纳小结，布置作业
(2) 如果定义域没有关于原点对称,则函数肯定是 通过解析式给出严格证明 都有ｆ(-x)=－ｆ(x)成立,则称函数ｆ(x)为奇函数.
定义域不关于原点对称的函 数都是非奇非偶函数
（ 4） f(x)x1 三、知识应用，巩固提高
函数的奇偶性
第1页，共15页。
一、设疑导入，观图激趣
第2页，共15页。
故宫博物院
埃菲尔铁塔
第3页，共15页。
探讨数学中的美
Y
p2(-3,2)
o
p(3,2)
泰姬陵竣工于
1654年，是莫卧 儿王朝皇帝沙贾
问汗：为点皇P后关阿于姬x 曼轴·，芭y奴轴耗，巨原资点 所对造称。的如对今称这点座 奇坐迹标建是筑多已少成？为 印度的象征。
X
p3(-3,-2)
第9页，共15页。
三、知识应用，巩固提高
例1、判断下列函数奇偶性.
（1）f (x)x3
解：1） （该函数定义域 ， 为 ） （
且对 x （ 于 ， 任 ） ,都 意 x 有 (, ) 且 f( x ) ( x )3 x 3 f(x )
该函数是奇函数
（ 2） f(x)2x21
问1：仔细观察这两个图，从对称的角度思考 指导观察，形成概念
课前学生利用几何画板制作两个函数图像
问2：从数值角度研究图像的这种特征，自变量与函数值之间有何规律？
通过取值
发现特征
第7页，共15页。
二、指导观察，形成概念
课前学生利用几何画板制作两个函数图像
问3：如何用符号语言来刻画?
该函数是非奇非偶函数 观察学生制作的两个图像思考以下问题：
一、设疑导入，观图激趣
四、归纳小结，布置作业
(2) 如果定义域没有关于原点对称,则函数肯定是 通过解析式给出严格证明 都有ｆ(-x)=－ｆ(x)成立,则称函数ｆ(x)为奇函数.
定义域不关于原点对称的函 数都是非奇非偶函数
（ 4） f(x)x1 三、知识应用，巩固提高
函数的奇偶性
第1页，共15页。
一、设疑导入，观图激趣
第2页，共15页。
故宫博物院
埃菲尔铁塔
第3页，共15页。
探讨数学中的美
Y
p2(-3,2)
o
p(3,2)
泰姬陵竣工于
1654年，是莫卧 儿王朝皇帝沙贾
问汗：为点皇P后关阿于姬x 曼轴·，芭y奴轴耗，巨原资点 所对造称。的如对今称这点座 奇坐迹标建是筑多已少成？为 印度的象征。
X
p3(-3,-2)
3.2.1 函数的奇偶性 课件(共26张PPT)(2024年)
f(x)
g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
f(x)g(x
)
f[g(x)]
注
意:f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 中,g(x)的
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 值域是f(x)
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 的定义域
奇函数 奇函数 奇函数
活动二：新知探究
偶函数的定义：
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果∀x∈I,都
有-x∈I,且f(-x)=f(x), 那么函数 f（x）就叫做偶函数.
活动二：新知探究
偶函数的几点说明：
（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的
一个值，则 –x 也一定在定义域内.
（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对
奇函数 偶函数 奇函数 的子集.
活动二：新知探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象
关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
f(x)=x²
···
9
4
1
0
1
4
9
···
g(x)=2-|x|
···
-1
0
1
2
1
0
-1
···
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
称”的充要条件.
活动二：新知探究
1
探究：观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，你能发现这两个函数
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
附录
奇函数举例
偶函数举例
数学符号标记
一些常见的奇函数示例及其图像。 一些常见的偶函数示例及其图像。 一些相关的数学符号和标记。
函数的奇偶性(数学教学 课件)ppt课件
本次课程将深入讲解函数的奇偶性概念及其应用。通过丰富的实例和图像， 我们将带您领略数学中的奥秘。
奇偶函数的定义
定义式
奇函数的定义和性质以及其与偶函数的关系。
函数图像
奇函数和偶函数的图像有什么特点，如何自行对称。
奇偶函数的性质
1
合成
如何通过奇函数和偶函数的合成得到一个新的函数。
奇阳偶阴
如何快速判断一个函数在正数和负数轴上的取值。
经典例题
1
解析式判断
看到一个函数的解析式，如何快速判断其是奇函数还是偶函数。
2
化简函数
如何通过奇偶性来化简给定函数。
总结
定义和性质
奇偶函数的基本概念和数学 性质。
判断方法
如何快速、有效地判断一个 函数的奇偶性。
应用场景
奇偶函数在数学和工数，偶数次幂的函数是偶函数。
3
积分
在奇函数或偶函数的范围内进行积分，得到什么样的结果。
如何判断函数的奇偶性
函数公式
如何看出一个函数的公式是奇函数还是偶函数。
图像判断
如何通过图像的对称性判断一个函数的奇偶性。
奇偶函数的应用
加减乘
如何通过奇函数和偶函数的性质来化简函数的加减 和乘积。
函数的奇偶性ppt课件
2.4.1函数的奇偶性
北师大版（2019）必修第一册
学习目录
PARENT CONFERENCE DIRECTORY
壹
学习目标
叁
题型突破
Learning Objectives
Breakthrough in question types
贰
探索新知
肆
当堂检测
Explore new knowledge
Classroom test
PART 01
学 习 目 标
01
学习目标
01
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义
02
掌握函数奇偶性的判断和证明方法
03
会用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
PART 02
探 索 新 知
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
（2）对称轴分别在哪里？
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
关于原点对称，那么它是奇函数，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数.
2.若奇函数在x＝0处有定义，则其图象一定过原点.
3.对于偶函数f(x)，我们有f(x)＝f(|x|)
02
探索新知
例2 根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝ －2x5 ；
1
（3）h（x）＝ 2 ；
（2）g（x）＝x4＋2；
证明：根据函数关于点A(a，b)中心对称的定义，p(x，y)的对称点p′(x′，y′)有如
下等式
+′
2
= ，
+′
2
= .我们得到：x′＝2a－x，y′＝2b－y
北师大版（2019）必修第一册
学习目录
PARENT CONFERENCE DIRECTORY
壹
学习目标
叁
题型突破
Learning Objectives
Breakthrough in question types
贰
探索新知
肆
当堂检测
Explore new knowledge
Classroom test
PART 01
学 习 目 标
01
学习目标
01
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义
02
掌握函数奇偶性的判断和证明方法
03
会用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题
PART 02
探 索 新 知
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
（2）对称轴分别在哪里？
02
探索新知
情境导学
（1）这些图形是什么对称图形？
关于原点对称，那么它是奇函数，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数.
2.若奇函数在x＝0处有定义，则其图象一定过原点.
3.对于偶函数f(x)，我们有f(x)＝f(|x|)
02
探索新知
例2 根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝ －2x5 ；
1
（3）h（x）＝ 2 ；
（2）g（x）＝x4＋2；
证明：根据函数关于点A(a，b)中心对称的定义，p(x，y)的对称点p′(x′，y′)有如
下等式
+′
2
= ，
+′
2
= .我们得到：x′＝2a－x，y′＝2b－y
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
函数的奇偶性(共22张PPT)
判断或证明函数奇偶性的基本步骤：
，且
，上则这的个函图数(叫像做偶。,函0数).
教材第39页，习题组，第3题；
（2）试讨论：奇函数和偶函数的定义域的特征.
y
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
(1)函数具有奇偶性：定义域关于原点对称。
对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量
解：
y
相等
0
x
例3、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图，
画出在y轴左边的图象.
y
相等
0
x
,则这个函数叫练奇函习数. ：（1）已知函数y=f(x)是 ( ,0)(上0,的奇) 函数，它
在 上的(0图,像)如图所示，画出它在 偶函数定义：设函数
的定义域为 ，如果对定义域 内的任意一个 都有
函数的奇偶性是函数的整体性质；
3
（2）求函数y=f(x)在 从生活中这些图片中你感受到了什么
猜想 : f(-x) ____ f(x)
(0,上) 的函数
这些函数图像体有何共同特点呢？
解析式，在 (,0上) 呢？ 定义域应该关于原点对称.
作出函数f(x)=x2图象，再观察表，你看出了什么？
1
如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它的定义域应该有什么特点？
－2
(3) f(x)= 3
(4) f(x)=
偶函数定义：设函数
的定义域为 ，如果对定义域 内的任意一个 都有
f(-x)= - f(x)
作出函数f(x)=x2图象，再观察表，你看出了什么？
，且
，则这0个函数叫做偶2 函数. －1
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
例如
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
函数的的奇偶性PPT教学课件
又∵f(x)在(-1,1)上为减函数， ∴
1-a>a2-1 -1<1-a<1 -1<a2-1<1,解得0<a<1.
（2）因为函数g(x)在［-2,2］上是偶函数，则由g(1-m)<g(m)，可得g(|1m|)<g(|m|),
又当x≥0时，g(x)为减函数，得到
|1-m|≤2 |m|≤2
1 解之得-1≤m< 2
（4）f(x)= 1 x2 x2 1
.
x
11
(1)x x 定1 1
(x)2 1 x2 x2
义 域 为
x1 x
得x2 1
（
3 ）
函
数
的
定
义
域
为
A
=
{
学点二 由奇偶性求函数解析式 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x2 +x+1,求 函数解析式. 【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x≥0和x<0时解析 式间的联系.
（2）如果一个函数的定义域关于原点不对称，那么这个 函数既不是奇函数，也不是偶函数.
（3）定义域关于原点对称，满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数， 既是奇函数，又是偶函数，如f(x)=0,x∈R.
判断下列函数的奇偶性：
1
1
（1）f(x)=x+ （3）f(x)=x+
xx
;
1
;
（2）f(x)=x2+ x2 ;
|1-m|>|m|,.
1.在函数的奇偶性中应注意什么问题？
（1）对于函数奇偶性的理解
①函数的奇偶性与单调性的差异:函数的奇偶性是相对于函数 的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意 义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是 函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个值x，都 有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）,才能说f(x)是奇（或偶）函数.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2、 一个函数是奇函数的充要条件是，它的图象是以坐标 原点为对称中心的中心对称图形； 一个函数是偶函数的充要条件是，它的图象是以y轴为 对称轴的轴对称图形。
课堂小结： 3、对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是 偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇 函数也不是偶函数。
（1）
(2)
y g (x) 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 x
(2)
课堂小结：
1、一般地，如果对于函数f(x)定义域中的任意一个x，都有 f(-x) =-f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数； 如果对于函数定义域中的任意一个x，都有f(-x) =f(x) ，那 么函数f(x)就叫做偶函数。
如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x， 都有f(-x) =f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数。 注意：(1)当 X∈A时,-X ∈A (定义域关于原点对称）
(2)f(-x) = f(x)
1 的图象， x 看看它具有怎样的对称性？
观察函数f(x)=
y
观察函数g(x)=x2的图 象，看看它具有怎样的 对称性？
y
g(x)=x2
o
x
o
x
关于原点成中心对称
关于y轴成轴对称
结论：
函数是奇函数 函数图象关于坐标原点对称
函数是偶函数
函数图象关于y轴对称
例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
（5） f(x)=0
想一想：判断函数奇偶性的大体步骤分哪几步？
可分三步：
1、写出函数的定义域；
2、判断定义域是否关于原点对称； 3、根据f(-x)与f(x)的关系判断 奇偶性。
练习：P60 1、3
1、口答下列各题： （1） 函数f(x)=x是奇函数吗？ （2）函数g(x)=2是奇函数还是偶函数？ （3）如果y=h(x)是偶函数，当h(-1)=2时， h(1)的值是多少？ (1)、 f(x)=x是奇函数
例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
（5） f(x)=0 解：（3）函数f(x)=x+1的定义域为Ｒ，
当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)=（－x）+1 ＝ －（x－1） 而－f(x)= － x － 1
y
f (1) 1
1 f (2) 2Fra bibliotekf (1) 1
1 f ( 2) 2
o
x
1 f ( 3) 3
1 f (3) 3 ……
关于原点成中心对称
1 函数f ( x) 为奇函数 x
1 1 f ( x) f ( x) x x
观察函数g(x)=x2的 图象，看看它具有 怎样的对称性？
4、根据定义判断函数奇偶性的方法和步骤：
第一步，先写出函数的定义域； 第二步，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数 既不是奇函数也不是偶函数；若是对称，进行第三步； 第三步，判断 f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)= － f(x)，则是奇函数，若 f(-x)=f(x)，则是偶函数，若f(-x)= － f(x)，且f(-x)=f(x)，则既是奇函数又 是偶函数，若f(－x) ≠－ f(x) ，且f(－x) ≠ f(x)，则既不是奇函数也不是偶 函数。 作业：P60 2
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
（5） f(x)=0 解：（２）函数f(x)= x2+1的定义域为Ｒ，
当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)= （－x）2+1 = x2+1 ＝ f(x) 所以，函数f(x)= x2+1是偶函数
o
x
……
g(-x) =(-x)2=x2=g(x) 关于y轴成轴对称 函数 g(x)=x2 为偶函 数
定义：
如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x，
都有f(-x) = - f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数
注意：(1)当X∈A时, - X ∈A(定义域关于原点对称）
(2)f(-x) = - f(x)
y
g(x)=x2
由g(x)=x2求g(-1)、 g(1)、 g(-2)、 g(2)、 g(-3)、 g(3)的值，并思考 g(-x) 与g(x)有怎样的关系？ g(-1)= (-1)2=1 g(1) =12=1
g(-2)= (-2)2=4、 g(2)= 22=4、 g(-3)= (-3)2=9、 g(3) = 32 =9、
（5） f(x)=0 解：（1）函数f(x)=x+x3+x5的定义域为Ｒ，
当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)=（－x）+（－x）3+（－x）5 ＝ － x － x 3－ x 5 ＝ －（x+x3+x5 ） ＝－ f(x)
所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数。
例 、判断下列函数的奇偶性：
(2)、 g(x)=2是偶函数
(3)、 h(1)= h(-1)= 2
3、已知f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，如图（1）、 （2）分别是他们 的局部图象，试求f(-2) ，g(1) ，并把这两个函数的图象补充完整。
y y 3 g (x) 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 x
所以f(－x) ≠ －f(x)且f(－x) ≠ f(x)
因此 函数f(x)= x+1既不是奇函数也不是偶函数。
例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
解4） 因为２∈［－１，２］，而－２ ［－１，２］ 所以函数f(x)= x2 ，x∈［－１，２］ 既不是奇函数也不是偶函数。 5）函数f(x)= 0的定义域为Ｒ， 当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)= 0， f(－x)= 0 所以f(－x) = －f(x)且f(－x) = f(x) 因此 函数f(x)= 0既是奇函数也是偶函数。
函数的奇偶性
授课人：王秀芹
1 的图象， x 看看它具有怎样的对称性？
观察函数f(x)=
y
观察函数g(x)=x2的图 象，看看它具有怎样的 对称性？
y
g(x)=x2
o
x
o
x
关于原点成中心对称
关于y轴成轴对称
1 观察函数f(x)= 1 的图象， 由f ( x) x ，求f (1), f (1), f (2), x 看看它具有怎样的对称性？ f (2), f (3), f (3)的值，并思考 f ( x)与f ( x)有怎样的关系？
2
1 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 2 3
f(x)
4 x
(1) f(-2)=- f(2)=-2
(2) g(1)=g(-1)=1
y y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 2 f(x) 3 4 x -3 -2 g (x) 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 x