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函数的奇偶性
授课人：王秀芹
1 的图象， x 看看它具有怎样的对称性？
观察函数f(x)=
y
观察函数g(x)=x2的图 象，看看它具有怎样的 对称性？
y
g(x)=x2
o
x
o
x
关于原点成中心对称
关于y轴成轴对称
1 观察函数f(x)= 1 的图象， 由f ( x) x ，求f (1), f (1), f (2), x 看看它具有怎样的对称性？ f (2), f (3), f (3)的值，并思考 f ( x)与f ( x)有怎样的关系？
所以f(－x) ≠ －f(x)且f(－x) ≠ f(x)
因此 函数f(x)= x+1既不是奇函数也不是偶函数。
例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
解4） 因为２∈［－１，２］，而－２ ［－１，２］ 所以函数f(x)= x2 ，x∈［－１，２］ 既不是奇函数也不是偶函数。 5）函数f(x)= 0的定义域为Ｒ， 当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)= 0， f(－x)= 0 所以f(－x) = －f(x)且f(－x) = f(x) 因此 函数f(x)= 0既是奇函数也是偶函数。
例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
（5） f(x)=0 解：（3）函数f(x)=x+1的定义域为Ｒ，
当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)=（－x）+1 ＝ －（x－1） 而－f(x)= － x － 1
2
1 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 2 3
f(x)
4 x
(1) f(-2)=- f(2)=-2
(2) g(1)=g(-1)=1
y y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 2 f(x) 3 4 x -3 -2 g (x) 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 x
(2)、 g(x)=2是偶函数
(3)、 h(1)= h(-1)= 2
3、已知f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，如图（1）、 （2）分别是他们 的局部图象，试求f(-2) ，g(1) ，并把这两个函数的图象补充完整。
y y 3 g (x) 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 x
o
x
……
g(-x) =(-x)2=x2=g(x) 关于y轴成轴对称 函数 g(x)=x2 为偶函 数
定义：
如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x，
都有f(-x) = - f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数
注意：(1)当X∈A时, - X ∈A(定义域关于原点对称）
(2)f(-x) = - f(x)
（5） f(x)=0
想一想：判断函数奇偶性的大体步骤分哪几步？
可分三步：
1、写出函数的定义域；
2、判断定义域是否关于原点对称； 3、根据f(-x)与f(x)的关系判断 奇偶性。
练习：P60 1、3
1、口答下列各题： （1） 函数f(x)=x是奇函数吗？ （2）函数g(x)=2是奇函数还是偶函数？ （3）如果y=h(x)是偶函数，当h(-1)=2时， h(1)的值是多少？ (1)、 f(x)=x是奇函数
y
g(x)=x2
由g(x)=x2求g(-1)、 g(1)、 g(-2)、 g(2)、 g(-3)、 g(3)的值，并思考 g(-x) 与g(x)有怎样的关系？ g(-1)= (-1)2=1 g(1) =12=1
g(-2)= (-2)2=4、 g(2)= 22=4、 g(-3)= (-3)2=9、 g(3) = 32 =9、
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
（5） f(x)=0 解：（２）函数f(x)ห้องสมุดไป่ตู้ x2+1的定义域为Ｒ，
当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)= （－x）2+1 = x2+1 ＝ f(x) 所以，函数f(x)= x2+1是偶函数
（1）
(2)
y g (x) 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 x
(2)
课堂小结：
1、一般地，如果对于函数f(x)定义域中的任意一个x，都有 f(-x) =-f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数； 如果对于函数定义域中的任意一个x，都有f(-x) =f(x) ，那 么函数f(x)就叫做偶函数。
4、根据定义判断函数奇偶性的方法和步骤：
第一步，先写出函数的定义域； 第二步，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数 既不是奇函数也不是偶函数；若是对称，进行第三步； 第三步，判断 f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)= － f(x)，则是奇函数，若 f(-x)=f(x)，则是偶函数，若f(-x)= － f(x)，且f(-x)=f(x)，则既是奇函数又 是偶函数，若f(－x) ≠－ f(x) ，且f(－x) ≠ f(x)，则既不是奇函数也不是偶 函数。 作业：P60 2
（5） f(x)=0 解：（1）函数f(x)=x+x3+x5的定义域为Ｒ，
当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)=（－x）+（－x）3+（－x）5 ＝ － x － x 3－ x 5 ＝ －（x+x3+x5 ） ＝－ f(x)
所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数。
例 、判断下列函数的奇偶性：
y
g(x)=x2
o
x
o
x
关于原点成中心对称
关于y轴成轴对称
结论：
函数是奇函数 函数图象关于坐标原点对称
函数是偶函数
函数图象关于y轴对称
例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
2、 一个函数是奇函数的充要条件是，它的图象是以坐标 原点为对称中心的中心对称图形； 一个函数是偶函数的充要条件是，它的图象是以y轴为 对称轴的轴对称图形。
课堂小结： 3、对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是 偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇 函数也不是偶函数。
y
f (1) 1
1 f (2) 2
f (1) 1
1 f ( 2) 2
o
x
1 f ( 3) 3
1 f (3) 3 ……
关于原点成中心对称
1 函数f ( x) 为奇函数 x
1 1 f ( x) f ( x) x x
观察函数g(x)=x2的 图象，看看它具有 怎样的对称性？
如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x， 都有f(-x) =f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数。 注意：(1)当 X∈A时,-X ∈A (定义域关于原点对称）
(2)f(-x) = f(x)
1 的图象， x 看看它具有怎样的对称性？
观察函数f(x)=
y
观察函数g(x)=x2的图 象，看看它具有怎样的 对称性？
授课人：王秀芹
1 的图象， x 看看它具有怎样的对称性？
观察函数f(x)=
y
观察函数g(x)=x2的图 象，看看它具有怎样的 对称性？
y
g(x)=x2
o
x
o
x
关于原点成中心对称
关于y轴成轴对称
1 观察函数f(x)= 1 的图象， 由f ( x) x ，求f (1), f (1), f (2), x 看看它具有怎样的对称性？ f (2), f (3), f (3)的值，并思考 f ( x)与f ( x)有怎样的关系？
所以f(－x) ≠ －f(x)且f(－x) ≠ f(x)
因此 函数f(x)= x+1既不是奇函数也不是偶函数。
例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
解4） 因为２∈［－１，２］，而－２ ［－１，２］ 所以函数f(x)= x2 ，x∈［－１，２］ 既不是奇函数也不是偶函数。 5）函数f(x)= 0的定义域为Ｒ， 当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)= 0， f(－x)= 0 所以f(－x) = －f(x)且f(－x) = f(x) 因此 函数f(x)= 0既是奇函数也是偶函数。
例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
（5） f(x)=0 解：（3）函数f(x)=x+1的定义域为Ｒ，
当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)=（－x）+1 ＝ －（x－1） 而－f(x)= － x － 1
2
1 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 2 3
f(x)
4 x
(1) f(-2)=- f(2)=-2
(2) g(1)=g(-1)=1
y y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 2 f(x) 3 4 x -3 -2 g (x) 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 x
(2)、 g(x)=2是偶函数
(3)、 h(1)= h(-1)= 2
3、已知f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，如图（1）、 （2）分别是他们 的局部图象，试求f(-2) ，g(1) ，并把这两个函数的图象补充完整。
y y 3 g (x) 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 x
o
x
……
g(-x) =(-x)2=x2=g(x) 关于y轴成轴对称 函数 g(x)=x2 为偶函 数
定义：
如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x，
都有f(-x) = - f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数
注意：(1)当X∈A时, - X ∈A(定义域关于原点对称）
(2)f(-x) = - f(x)
（5） f(x)=0
想一想：判断函数奇偶性的大体步骤分哪几步？
可分三步：
1、写出函数的定义域；
2、判断定义域是否关于原点对称； 3、根据f(-x)与f(x)的关系判断 奇偶性。
练习：P60 1、3
1、口答下列各题： （1） 函数f(x)=x是奇函数吗？ （2）函数g(x)=2是奇函数还是偶函数？ （3）如果y=h(x)是偶函数，当h(-1)=2时， h(1)的值是多少？ (1)、 f(x)=x是奇函数
y
g(x)=x2
由g(x)=x2求g(-1)、 g(1)、 g(-2)、 g(2)、 g(-3)、 g(3)的值，并思考 g(-x) 与g(x)有怎样的关系？ g(-1)= (-1)2=1 g(1) =12=1
g(-2)= (-2)2=4、 g(2)= 22=4、 g(-3)= (-3)2=9、 g(3) = 32 =9、
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
（5） f(x)=0 解：（２）函数f(x)ห้องสมุดไป่ตู้ x2+1的定义域为Ｒ，
当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)= （－x）2+1 = x2+1 ＝ f(x) 所以，函数f(x)= x2+1是偶函数
（1）
(2)
y g (x) 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 x
(2)
课堂小结：
1、一般地，如果对于函数f(x)定义域中的任意一个x，都有 f(-x) =-f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数； 如果对于函数定义域中的任意一个x，都有f(-x) =f(x) ，那 么函数f(x)就叫做偶函数。
4、根据定义判断函数奇偶性的方法和步骤：
第一步，先写出函数的定义域； 第二步，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数 既不是奇函数也不是偶函数；若是对称，进行第三步； 第三步，判断 f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)= － f(x)，则是奇函数，若 f(-x)=f(x)，则是偶函数，若f(-x)= － f(x)，且f(-x)=f(x)，则既是奇函数又 是偶函数，若f(－x) ≠－ f(x) ，且f(－x) ≠ f(x)，则既不是奇函数也不是偶 函数。 作业：P60 2
（5） f(x)=0 解：（1）函数f(x)=x+x3+x5的定义域为Ｒ，
当X∈R时, - X ∈R 又因为f(－x)=（－x）+（－x）3+（－x）5 ＝ － x － x 3－ x 5 ＝ －（x+x3+x5 ） ＝－ f(x)
所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数。
例 、判断下列函数的奇偶性：
y
g(x)=x2
o
x
o
x
关于原点成中心对称
关于y轴成轴对称
结论：
函数是奇函数 函数图象关于坐标原点对称
函数是偶函数
函数图象关于y轴对称
例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
2、 一个函数是奇函数的充要条件是，它的图象是以坐标 原点为对称中心的中心对称图形； 一个函数是偶函数的充要条件是，它的图象是以y轴为 对称轴的轴对称图形。
课堂小结： 3、对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是 偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇 函数也不是偶函数。
y
f (1) 1
1 f (2) 2
f (1) 1
1 f ( 2) 2
o
x
1 f ( 3) 3
1 f (3) 3 ……
关于原点成中心对称
1 函数f ( x) 为奇函数 x
1 1 f ( x) f ( x) x x
观察函数g(x)=x2的 图象，看看它具有 怎样的对称性？
如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x， 都有f(-x) =f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数。 注意：(1)当 X∈A时,-X ∈A (定义域关于原点对称）
(2)f(-x) = f(x)
1 的图象， x 看看它具有怎样的对称性？
观察函数f(x)=
y
观察函数g(x)=x2的图 象，看看它具有怎样的 对称性？