(完整版)例析立体几何中的排列组合问题

例析立体几何中的排列组合问题

春晖中学过月圆

在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。

1 点

1．1 共面的点

例1（1997年全国高考（文））

四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）

A．30种 B．33种 C．36种 D．39种

解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。

所以与点A共面的四点组合共有个。

答案：B

点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。

1．2 不共面的点

例2（1997年全国高考（理））

四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）

A．150种 B．147种 C．144种 D．141种

解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。答案：D。

点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。

2 直线

例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））

过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）

A．18对 B．24对 C．30对 D．36对

分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。

解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。

例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。

侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线；

例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5条与其异面的直线；

例: 与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数两遍。共有。

法二：一个四面体中有3对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构成四面体的个数为：故共有异面直线。

答案：D

点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是利用影射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在竞赛中时常出现。

3 平面

例4 α、β是两个平行平面，在α内取4个点，在β内取5个点，这9个点最多能确定多少个平面？

解析：

例5（2002年全国高考）

从正方体的六个面中选3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（）

A．8种 B．12种 C．16种 D．20种

解析：

4 模型

4．1 平面多边形

例6（2004年高考·湖南卷）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（）

A．56 B．52 C．48 D．40

解析：由于正方体各个顶点的位置一样，故可研究一个顶点，比如B点。以B为直角顶点的三角形有：,,,,,共6个，故正方体中共有。

答案：C

点评：在中直角顶点只有一个，从直角顶点出发考虑问题可避免重复，正方体中各顶点位置均等，抓住这一点也是问题解决得关键。

4．2 空间多面体

例7 从正方体的八个顶点中任取四个点，所取的四个点中能构成四面体的取法共有____________。

5 其它

例8（2005年高考·江苏卷）

四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）

A．96 B．48 C．24 D．0

解析：如图所示，与每条侧棱异面的棱分别为2条。例如侧棱SB与CD、AD棱异面。以四条侧棱为代表的化工产品分别放入四个

仓库中，计种。从而安全存放的不同放法种数为（种）

答案：B

[点评]本题用四棱锥的8条棱的关系来处理化工产品的存放种数，