厦门市2018-2019学年度第一学期高三质检理科数学(含参考答案解析)

厦门市2018-2019学年度第一学期高三年级质量检测理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知集合2{|60},{|0}M x x x N x x =+-≤=>，则MN =A ．(0,2]B ．[3,2]-C ．(]0,3D ．[)3,-+∞2．设a ∈R ，则“1-=a ”是“直线01=-+y ax 与直线05=++ay x 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．实数,x y 满足x y >，则下列不等式成立的是A ．1yx<B ．22x y --<C ．lg()0x y ->D ．22x y > 4．设,x y 满足约束条件0,,290,x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则3z x y =+的最大值为A ．0B ．92C ．12D ．27 5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(sin 47,cos 47)P ︒︒， 则sin(13)α-︒=A ．12B ．2 C ． 12-D ．2-6．已知函数()3,0,1,02x x x f x x ≤⎧⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()()2log 3f f =A ．9-B ．1-C ．13-D ．127-7．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度v 1的 大小为|v 1|=10 km/h ，水流的速度v 2的大小为|v 2|=4 km/h ．设v 1和v 2的夹角为()0180θθ︒<<︒，北岸 的点A ′在A 的正北方向，游船正好到达A ′处时，cos θ= A ．521 B ．521-C ．52 D ．52-8．已知函数()21sin 2f x x =-，若将其图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位，所得图象关于原点对称， 则实数ϕ的最小值为A ．πB ．43π C ．2πD ．4π9．函数()[]()cos ln 12π,2πy x x x =++∈-的图象大致为A BC D10．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C于,A B 两点，若5AB =，则E 的离心率为A ．2B ．CD．211．已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为r ，点,,,A B C D 在底面圆周上，当四棱锥P ABCD -体积最大时，r =AB ．83 C ．3D ．27 12．在平面四边形ABCD 中，A C D ∆面积是ABC ∆面积的2倍，数列{}n a 满足13a =，且()()132n n CA a CB a CD +=-+-，则5a =A ．31B ．33C ． 63D ．65二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 满足()12i i z +=，其中i 为虚数单位，则z = ▲ ．14．《张丘建算经》卷上第22题有如下内容：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织布5尺，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．那么，该女子本月中旬（第11天到第20天）共织布 ▲ 尺．15．某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱外接球的表面积为 ▲ ．16． 已知偶函数()f x 满足：当x ≥0时，()()()log 111x a f x a x a =-+-> 若()f x 恰有三个零点，则a 的取值范围是 ▲ ．俯视图侧视图正视图第15题图三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（ 12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，已知222a b c +-=． （1）求角C ；（2）若2c =a -的取值范围．18．（ 12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n =--． （1）求证：{}1+n a 是等比数列； （2）数列{}n b 满足221log (1)log (1)n n n a b a ++=+，数列{}n c 满足nn n b b c 1+=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面PAC ，四边形ABCD 为平行四边形，且4,135A D A B B A D ==∠=︒．（1）证明：AC ^平面PAB ；（2）当直线PC 与平面PAB所成角的正切值为时，求二面角A PC D --的余弦值．第19题图B C20．（12分）已知圆22:(16E x y ++=，点F ，动点P 在E 上，线段PF 的垂直平分线与直线PE 相交于点Q ，Q 的轨迹是曲线C ． （1）求C 的方程；（2）已知过点(2,1)-的直线l 与C 交于,A B 两点，M 是C 与y 轴正半轴的交点，设直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k +为定值．21．（12分）已知函数()()()e e11xxf x a a x a -=--+<，若()f x 存在极大值点1x 和极小值点2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）若()()12f x kf x >，求实数k 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换1,2x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后，曲线C 变为曲线221x y ''+=．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()3πρθ-=（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0P 作l 的垂线交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求11PA PB -．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）函数()2f x ax =+，不等式()f x a ≤的解集为{}20x x -≤≤． （1）求a 的值；（2）求证：对任意x R ∈，存在1m >，使得不等式1(2)(2)1f x f x m m -+≥+-成立．厦门市2018—2019学年度第一学期高三年级质量检测数学（理科）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1—5：AABCA 6—10：BDDAC 11-12：CB11. 解析：设圆锥的高为h ，,AC BD 相交于点M ，AMB，则0,2h，224r h ，22111sin 22222ABCDS AC BD AC BD r r ，当且仅当,22ACBD r 时，ABCD S 取到最大值， 则2231222443333PABCDABCD V S h r h h hh h ，令34f h h h ，则234f hh ，令0f h，解得233h， 所以f h 在230,3上单调递减，在23,23上单调递增， 所以min2316339h h，则四棱锥P ABCD . 所以当四棱锥PABCD 体积最大时，22643rh . 12. 解析：设AC 和BD 交于点E ，ACD 和ABC 的高分别为1h ，2h ，∵ACD 的面积是ABC 面积的2倍，∴212h h 2DE EB ，∴2DE EB ，即2CE CD CB CE ，∴2133CECB CD ， 又132n n CAa CB a CD ，由A 、C 、E 三点共线，设CA CE2133CB CD ， 由平面向量基本定理得：123,3123n na a ， ∴1322n n a a ，即1121n n a a ， ∴数列1n a 是以112a 为首项，以2为公比的等比数列，∴11222nn n a ，即21n n a ，所以，532133a .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.514. 130 15. 283 16. 1e a16．因为当x ≥0时，1log 11x a f xa x a ，所以00f ，又因为f x 为偶函数，所以f x 恰有三个零点等价于f x 在0+，恰有一个零点，令0f x，得1=log 1x a a x ，所以1x g xa 与函数log 1a h xx 的图象恰有一个交点，因为函数y g x 与函数y h x 的图象关于yx 对称，解法一：由于1a ，当1x g xa 的图象与直线yx 相切时，设切点为00,x y ，则A CDBE2h 1hln 1x a a 且001xa x ，所以0ln ln x a ，011ln ln 1ln x a a，设ln t a ，则ln 1t t t ，设ln xx x x ，则'ln xx ，所以x 在0,1单调递增，在1,单调递减，又因为11，所以ln 1ta ，e a ，由图可知，a 的取值范围为1e a ．解法二：如图，由于1a ，函数1x g x a 的图象与直线y x 有一个公共点为0,0，当函数1x g xa 的图象与直线y x 切于原点时，ln 1a ，e a ，由图可知，a 的取值范围为1e a ．三、解答题：本题共6小题，共70分.17. 本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查函数与方程思想、化归与转化思想等．满分12分． 解：（1）∵1sin 2Sab C ，22243a b c S ，∴22223sin a b c ab C ， ······························································ 1分在ABC 中，由余弦定理，得2222cos a b c ab C ，∴cos 3sin C C ，········································································· 4分 ∴3tan 3C ， ∵0,C，∴6C. ····································································· 6分（2）由正弦定理，得4sin sin sin ab c A B C， ············································· 7分所以3b a43sin 4sin B A 543sin()4sin 6A A23cos 2sin A A 4sin()3A， ···························································· 10分因为5(0,)6A ，所以7(,)336A ， ·············································· 11分 所以3(2,4]b a ，即3b a 的取值范围为(2,4]. ···························· 12分18. 本题考查等比数列的定义、递推数列、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等；考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分12分．解：（1）1n 当时，111212S a a ，13a ， ················································· 1分 当2n时，22nnS a n ， ①112(1)2n n S a n ， ② ············································ 2分 由①-②得，122(1)nn n a a a n n ，121n n a a ，···················································································· 4分112(1)n n a a 2n ，1140a ，1121n n a a ，1n a 是首项为4，公比为2的等比数列. ················································· 6分（2）由（1）得，111422nn n a ， ····························································· 7分1222212log (1)log 21log (1)log 22n n nn n a n b a n ， ························································ 8分 11221n nnn n c b b n n 11111122112n n n n ， ················ 10分111111222233412nT n n1111112233412nn n2114922222224nn nnnn n n .············································· 12分19. 本题考查线面垂直、直线与平面所成角、二面角等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分12分. （1）证明：由已知，得454ABCBC ，，在△ABC 中，222cos 22ACBA BC BA BC ABC， ····················· 2分∴222BC AB AC ，即AC AB ， ························································ 3分∵PB 平面PAC ，AC 平面PAC ， ∴PB AC ， ······················································································ 4分 又∵PB AB B ，AB 平面PAB ，PB 平面PAB ， ∴AC 平面PAB . ···················································································· 5分（2）解：∵AC 平面PAB ，∴CPA 为直线PC 与平面PAB 所成角， ······················································· 6分∴tan 2ACCPA AP，∴2PA ，在Rt PAB △中，222PB AB PA ，取AB 的中点H ，连结PH ，则PH AB ， ∵AC 平面PAB ，PH 平面PAB ， ∴AC PH ，又∵AC AB A ，AC 平面ABCD ，AB 平面ABCD ∴PH 平面ABCD ， ··············································································· 8分 以A 点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz ， 则2,2,0,2,2,0,0,4,0,1,1,2B C D P ， ∴1,3,2,1,5,2PCPD ，设平面PCD 的法向量为,,n x y z ，则320,520n PC x y z n PDx yz ，取1x ，解得1,1,22n， ···························· 9分又平面PAC 的法向量为1,1,2PB ， ··················································· 10分∴10cos ,5PB n PB nPB n， ··································································· 11分 ∴二面角A PCD 的余弦值为5. ·························································· 12分 20．本题考查椭圆的定义、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力等，考查数形结合、化归与转化等数学思想. 满分12分.解：（1）依题意，QF QP ，则4QE QF QE QP EP EF ， ·············· 3分所以Q 的轨迹为以,E F 为焦点，4为长轴长的椭圆， 所以2,3,1ac b ，所以点Q 的轨迹方程为2214x y . ························································ 5分 （2）依题意得直线AB 的斜率存在，设直线:1(2)AB y k x ，即21y kx k ，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立2221,14y kx k x y，消去y 并整理得222(14)8(21)4(21)40k x k k x k ···························· 6分所以0，1228(21)14k k x x k ，21224(21)414k x x k ， ······························· 8分因为M 是C 与y 轴正半轴的交点，所以(0,1)M ，所以12121211y y k k x x12211211y x y x x x1221122222kx k x kx k x x x121212221kx x k x x x x ··················································· 10分16121216(1)k k k k k k221kk 1所以12k k 为定值，且定值为1. ··························································· 12分21. 本题考查函数的极值、导数及其应用、不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（1）由e e1x xf xa a x 得，'e e 1x xf xa a ， ························· 1分即'ee 1e 1xx x f x a ，①当0a时，当,0x时，'0f x；当0,x时，'0f x；所以f x 在,0单调递增，在0,单调递减，f x 不存在极小值点，不合题意；····················································································································· 3分②当01a 时，令'0f x 得，120,ln x x a ，因为01a ，所以12x x ， 当,0x 时，'0f x ；当0,ln xa 时，'0f x ； 当ln ,xa 时，'0f x；所以f x 在,0单调递增，在0,ln a 单调递减，在ln ,a 单调递增，所以f x 存在极大值点10x 和极小值点2ln x a ，符合题意； 综上，实数a 的取值范围为01a ． ··································································· 5分 （2）由（1）知01a ，且f x 的极大值点为10x ，极小值点为2ln x a ，此时11f x a ，211ln f x a a a ， ······················································· 6分依题意，得111ln a k a a a 对任意01a 恒成立，由于此时210f x f x ，所以0k ； ······························································ 7分所以11ln 11a aa k，即11ln 11a ak a ，设11ln 11x g x x k x ，则222122111'11x x k k g xxx x ， ··························· 8分 令2210x x k（*）， ①当1k 时，2440k ，所以'0g x ，g x 在0,1单调递增， 所以10g a g ，即11ln 11a a k a ，符合题意； ········································· 10分②当01k 时，2440k ，设（*）的两根为34,x x ，且34x x ，则343420,1x x x x k，因此3401x x ， ······················································· 11分 则当31x x 时，'0g x ，g x 在3,1x 单调递增，所以当31x a 时，10g a g ，即11ln 11a a k a ，所以12f x kf x ，矛盾，不合题意；综上，k 的取值范围是1k ． ············································································ 12分 解法二：（1）同解法一；（2）由（1）知01a ，且f x 的极大值点为10x ，极小值点为2ln x a ，此时11f x a ，211ln f x a a a ， ······················································· 6分依题意，得111ln a k a a a 对任意01a 恒成立， 设1ln 11g x k x xkx ，则1'ln 1ln 1x kg xk x k k xxx， 22111''k x g xk xx x ， ········································································ 7分①当0k时，当0,1x时，''0g x ，所以'g x 在0,1单调递增，所以''110g x g k ，所以'g x 在0,1单调递减，所以10g a g ，即111ln a k a a a ，不符合题意； ······················································· 8分 ②当1k时， 当0,1x时，''0g x，所以'g x 在0,1单调递减，所以''110g x g k ，所以'g x 在0,1单调递增，所以10g a g ， 即111ln a k a a a ，符合题意； ···························································· 10分③当01k 时，''0g x，所以'g x 在0,1单调递减，又因为'110g k ，11'ee2kkg k ，设e 2x h xx，则当1x 时，21e '0xx h xx ， 所以h x 在1,单调递增，所以11e 20hh k，即1'e0kg ，所以1'e '10kg g ，即'g x 在0,1恰有一个零点0x ， ································· 11分且当0,1x x 时，'0g x，'g x 在0,1x 单调递减， 所以当01x a 时，10g a g ，即111ln a k aa a ，不合题意；综上，k 的取值范围是1k ． ········································································· 12分 解法三：（1）同解法一．（2）由（1）知01a ，且f x 的极大值点为10x ，极小值点为2ln x a ， 此时11f x a ，211ln f x a a a ， ······················································· 6分依题意，得111ln a k a a a 对任意01a 恒成立，由于此时210f x f x ，所以0k ， ······························································ 7分①当1k 时，122f x f x kf x ，不等式成立，符合题意； ······························ 9分②当01k 时，11ln 11a aa k，即11ln 11a a k a ，设11ln 11x g x x k x ，则222122111'11x x k k g xxx x ， ·························· 10分 令2210x x k（*），则2440k ，设（*）的两根为34,x x ，且34x x ， 则343420,1x x x x k，因此3401x x ， ······················································· 11分 则当31x x 时，'0g x ，g x 在3,1x 单调递增，所以当31x a 时，10g a g ，即11ln 11a a k a ，所以12f x kf x ，矛盾，不合题意；综上，k 的取值范围是1k ． ············································································ 12分 22．本题考查曲线的伸缩变换的概念、极坐标方程、直线的参数方程等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想．满分10分．解：（1）将1',2'x x y y，代入22''1x y 得：曲线C 的方程为2214x y ， ·························· 2分 由sin()33得：sin coscos sin333， ··································· 3分因为cos ,sinxy ，代入上式并整理得： 直线l 的直角坐标方程为3230xy ． ······················································ 5分 （2）因为直线l 的倾斜角为3，所以其垂线的倾斜角为56， 过点1,0P 作l 的垂线的参数方程为51cos,650sin 6x t y t （t 为参数），即31,212x t y t（t 为参数）， ··································· 6分 代入曲线C 的方程整理得：2743120t t ， ·················································· 7分 设A 、B 两点对应的参数为1t 、2t ，由题意知10t ，20t则121243,712,7t t t t 且2(43)47120， ····················································· 8分 所以121212111133t t PA PBt t t t ． ··························································· 10分。