矩阵可对角化的判定条件开题报告
相似矩阵矩阵可对角化的条件
的解.
R pi1, , p1ni n R(i E A) ni n R(i E A)
P7/11
§2 相似矩阵可对角化的条件
因A, 由定理3.7知A有n个线性无关的特征向量,
n
n R(i E A) n i 1
若 ni n R(i E A)
m
m
n ni n R(i E A) n
i 1
i 1
矛盾
R(i E A) n ni
“” R(i E A) n ni , 则 (i E A)x 0
的基础解系有ni个线性无关的向量 pi1, , p1ni
A p11 , , p1n1 , , pm1 , , pmnm
0 0 1
例3.4 x, y为何值时, A x 1 y
1
0
0
与对角矩阵相似?
0 1
解 E A x 1 y ( 1)2 ( 1).
1 0
则1 = 1, 2 = 3 = 1. 由定理4.8知, (2EA)x = 0 的
基础解系中有2个向量, 因而R(2EA) = 1. 则有
定理3.8 设i为An的 ni重特征值, i = 1, 2, …, m,
n1+ n2+…+ nm= n, 则
An 对角矩阵 R(iEA) = nni . 证明 “” An 可逆阵P使P 1AP = ,
P6/11
§2 相似矩阵可对角化的条件
即 A p11, , p1n1 , , pm1, , pmnm p11, , p1n1 , , pm1, , pmnm diag(1 , 1 , n1
A pi1, , pini i pi1, , i pini , i 1, , m
对角化的充要条件
对角化的充要条件
可对角化的充要条件是n阶方阵存在n个线性无关的特征向量。
矩阵可对角化的充分条件：
第一：矩阵A为n阶方阵。
第二：充要条件是有n个线性无关的特征向量。
第三充分条件n个特征值互不相等也就是由特征值求出n个特征向量,组成变换矩阵P,P=（a1,a2,。
an）,那么：P逆AP=主对角线为特征值的对角阵。
矩阵对角化的条件
有个线性无关的特征向量，可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。
如果一个方块矩阵A相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵P使得P1AP是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。
对角化的充分必要条件
有两条，其一是n阶方阵存在n个线性无关的特征向量，其二是如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。
可对角化矩阵
对合在实数上(甚至特征不是2 的任何域)是可对角化的，带有
1 和-1 在对角线上。
有限阶自同态(包括对合)是在复数，或域的特征不整除自同态的阶的任何代数闭合域(因为单位一的根是不同的)是可对角化的，带有单位根在对角线上。
这是循环群的表示理论的一部分。
投影是可对角化的，带有0 和1 在对角线上。
第2节 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
T
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T
由于 是非零复向量，必有
x1 x1 x 2 x2
故
T
x n xn 0
.
R.
注 （1）对称矩阵的特征值未必是实数．
（2）特征值皆为实数的实矩阵未必是实对称矩阵． （3）反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数．
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
第五章 矩阵的特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
§2 矩阵可对角化的条件、实对称 矩阵的对角化
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化 一、矩阵可对角化的条件
二、实对称矩阵的对角化
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
一、矩阵可对角化的条件
即 故
(1 2 ) 0.
T 1 2
1T 2 [1 , 2 ] 0.
即1 与 2正交.
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
定理3：对n 阶实对称矩阵A，总有正交矩阵T，使
T 1 AT diag(1 , 2 ,
其中 1 , 2 ,
, n )
2 2 E A 2 2 4 2 4 2
1
2 7
2
得A的特征值是2，2，-7 .
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
对于特征值2，求出齐次线性方程组
1 2 2 x1 0 2 4 4 x 2 0 2 4 4 x 0 3
二、实对称矩阵的对角化
性质1 设A是实对称矩阵，则A的特征值都是实数．
矩阵可对角化的判定条件及推广
矩阵可对角化的判定条件及推广数学与计算机科学学院 数学与应用数学（S ） 学号：2011031103 姓名：方守强 指导教师：梁俊平摘要：矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。
对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。
本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。
关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化引言：矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。
而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。
研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。
相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。
而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。
在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。
一、矩阵可对角化的概念1 特征值、特征向量的概念定义1 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。
求方阵A 的特征值与特征向量的步骤：(1)由特征方程A E -λ=0求得A 的n 个特征值，设t λλλ,,,21 是A 的互异特征值,其重数分别为t n n n ,,,21 则n n n n t =+++ 21。
(2)求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ()t i ,,2,1 =,其基础解系s i i i p p p ,,,21 (t i n s i i ,,2,11 =≤≤，)就是A 所对应特征值i λ的线性无关的特征向量。
矩阵可对角化的判定条件文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵可对角化的判定条件一、前言部分矩阵(matrix) 是代数学中的一个基本概念，也是代数学的主要研究对象之一.“矩阵”（该词来源于拉丁语，表示一排数的意思）这一术语是英格兰数学家西尔维斯特(J.J.Sylvester,1814 — 1897) 在1850 年首先使用的.从19 世纪50 年代开始，英国数学家凯莱和西尔维斯特进一步发展了矩阵理论，且把矩阵作为极为重要的研究工具.凯莱一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章. 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他给出了现在通用的一系列定义，如两个矩阵的相等、零矩阵、单位矩阵、两个矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆矩阵、转置矩阵等.矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支—矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域.如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及X 射线照相术等方面都有广泛的应用.随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础.矩阵是一个重要的数学工具，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也经常遇到.它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置.矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分，在矩阵论中占有重要的作用，研究矩阵对角化问题很有实用价值，关于矩阵对角化问题的研究，这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究，没有进行系统的分类归纳和总结.因此，我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结，对一些理论进行应用和举例，给出算法.特别给出了解题时方法的选择.矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的，本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究．根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断，这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具，也把矩阵和有限维空间相结合．在现代科技中，很多问题都是运用此类方式.矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题，但是一个基础问题，这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识，就显得格外的重要．通过对《高等代数》，《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究，为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论.二、主题部分(1)设()n A M F ∈，12...,m σσσσ=其中i σ为互不相交的循环置换，且12,1,2,...,,...,i i m n i m n n n n σ==+++=则矩阵A 可σ广义对角化的充要条件是11......,s s t na a a a F S S S S +=⊕⊕⊕⊕⊕并且i a S 关于矩阵A 的最小多项式为()(0),1,2,...,;i n i i i x x i s ψμμ=-≠=ja S 关于矩阵 A 的最小多项式为 1111(),1,2,...,;...;...;1,2,...,;...,jk k k r j q q t k k m s x x j s s t r r q s t t k m s s t t t ψ++--==++++=+++=-+++= 必要时调整12,,...,m n n n 的排列顺序.利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件，给出了矩阵可广义对角化的一种算法.做了矩阵广义对角化的探讨[1].(2)设A 是n 阶方阵，12,λλ是A 的仅有的两个互异的特征根，则A 可对角化当且仅当 12()()0.E A E A λλ--=并且1E A λ-的线性无关的列向量组就是A 的属于2λ的线性无关的特征向量；2E A λ-的线性无关的列向量组就是A 的属于1λ的线性无关的特征向量.有关n 阶方阵对角化问题的研究有很多，针对数域F 上的n 阶方阵A ，当A 仅有两个互异的特征根，并且A 与对角阵相似时，给出了矩阵A 的特征向量的一种求法，从而得到可逆矩阵T 使1T AT -为对角形矩阵.给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法[2].任意n 阶矩阵A 可以对角化的充要条件是A 相似于一个n 阶循回阵， 形式最简单的矩阵是对角阵.矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题，但不是任何一个n 阶矩阵都可以对角化,利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件[3].（LU 分解） 设A 的前1n -个顺序主子矩阵非奇异，则存在单位下三角阵L 及上三角阵U ,使,A LU = 而且这样的分解是唯一的.矩阵方程的快速求解是矩量法计算电大问题的关键,LU 分解是求解线性方程组的有效方法.该文详细地分析了Doolittle LU 分解过程,基于分解过程的特点,在MPI （Message-Passing interface ）并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法.实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度[4] .数域K 上n 级矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量12,,...,,n ααα此时令 12(,,...,),n p ααα=则 {}112,,...,,n P AP diag λλλ-= 其中i λ是i α所属的特征值，1,2,...,.i n =上述对角矩阵称为A 的相似标准形，除了主对角线上元素的排列次序外，A 的相似标准形是惟一的.数域K 上n 级矩阵A 可对角化的充分必要条件是：A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n .矩阵是高等代数研究及解决问题的一个重要的工具,在高等代数课程中应用的范围很广，阐述了矩阵可对角化的条件以及对实对称矩阵的可对角化[5].设,,n n A B P ⨯∈且22,,.A A B B AB BA ===则存在可逆阵p ，使,A B 可同时对角化.如果12(,,...,)n n n p diag p λλλ⨯=∈有n 个互不相同的对角元，对某个n n B P ⨯∈，则PB BP =当且仅当B 本身是对角矩阵.从幂等阵及可交换阵的性质出发，讨论了矩阵可对角化的条件，并给出了矩阵只有两个特征值的特殊情况下可对角化的一种简单判别方法.矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用，矩阵的对角化有多种判别方法[6].（3）并不是所有的22⨯分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化，如果分块矩阵没有极大元，则需分得更细，才能对角化.矩阵m n A ⨯的一种分块方法()ij s t A ⨯可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是：存在1s -行且存在1t -列有极大元.矩阵的初等变换与分块是两个不同的经典问题，对于分块矩阵可以直接将其对角化，分块矩阵22()ij A ⨯可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是：它有一个极大元，定义了分块矩阵的初等变换与初等分块矩阵，给出了非满秩情况下分块矩阵可以对角化的条件[7].（4）设(),T T A I A λλ=-其判定及求解步骤如下：对((),)T A I λ作初等变换化为((),()),D p λλ其中12()((),(),...,()),n D diag d d d λλλλ=则A 的特征值恰是12()()...()0n d d d λλλ=的根；如果A 的特征值全在F 内，且对每个i λ有()i D λ中零行数目=i λ的重数，则A 可以对角化，否则，A 不可以对角化；对于每个i λ在()i p λ中取出与()i D λ中零行对应的行向量12,,...,,i T T T i i im p p P 得A 属于i λ的线性无关的特征向量；若A 可以对角化，作可逆矩阵11112112(,,...,,...,,,...,)s T T T T T T m s s sm T P P P P P p =则11122(,,...,),s s i T AT diag I I I I λλλ-=为单位矩阵.在以往关于矩阵可对角化的判定条件的基础上，利用矩阵可以对角化的判定，以及求矩阵的线性无关的特征向量完全可以归纳为矩阵乘法的原理，使得矩阵的特征值与特征向量同步求解，从而得出矩阵可对角化更为直接的简单判定[8].（5）从特征值，特征向量和若尔当标准形入手讨论n 阶方阵可对角化的相关条件.n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：A 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于特征值的重数（即A 的每个特征子空间V λ的维数等于特征值i λ的重数）.n 阶方阵可对角化的充要条件A 有n 个互不相同的特征值，通过对n 阶方阵作初等变化是否可得到一个上三角阵来判断该矩阵与对角阵的相似性，则主要通过讨论n 阶方阵可对角化的充要条件来简化对其的判断过程[9].设,()n n i j n n A a C⨯⨯=∈（C 表示复数集），n H μ∈（n μ表示全体n n ⨯酉矩阵的集合）.H A 表示矩阵的共轭转置，,,S V P 为n 维列向量.可以将矩阵化为双对角矩阵.矩阵计算的基本途径是设法把一个较复杂的矩阵计算问题转化为一个简单的、易于求解的矩阵计算问题，尤其是研究线性系统特性或求特征值问题.将系数矩阵化为双对角矩阵或三角形矩阵会对矩阵特征值的研究及问题的求解带来极大的便利.复系数矩阵通过若干次变换可化为上双对角矩阵，该方法在工程上具有较强的应用意义，并且该方法为计算复系数矩阵的条件数提供了思路，在研究实矩阵三角化计算方法的基础上给出了复系数矩阵上双对角化的一种通用计算方法[10].（6）如果方阵A 以一次多项式为一个零化多项式，则A 可以对角化.假定,,a b c 为实数，如果n 阶方阵A 适合条件220(40),A bA cE b c ++=->则A 可以对角化.矩阵的对角化理论是线性代数教学中的一个重要内容.然而，在教学中，多数相关的结论比较抽象.从教学的角度讨论了方阵对角化的另外一种解释.该解释可和二次方程的结论进行类比，从而易于学生理解记忆，便于教学[11].设01,00B ⎛⎫= ⎪⎝⎭T 是任意数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换，若存在V 的一个基，使T 在这个基下的矩阵是准对角形矩阵12...t K B K B K B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 其中i K 是不为零的数(1,2,...,),i t =则称T 可亚对角化.设01,00B ⎛⎫= ⎪⎝⎭A 是数域F 上的一个n 阶方阵，若存在数域F 上的一个可逆矩阵T ，使 121...t KB K B T AT K B -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中0(1,2,...,),i K i t ≠=则称A 可亚对角化. 引入了线性变换可亚对角化的定义，并给出了线性变换可亚对角化的充要条件[12].（7）设12,,...,s λλλ是A 在数域p 上的全部互不相同的特征值.作多项式12()()()...(),s g λλλλλλλ=---则A 在p 上可以对角化的充要条件是()0.g A =多判定条件加以改进，得出更为直接的简单判定对角化的条件[13].三、总结部分按照矩阵的特性，我们将分几类讨论对角化的问题：第一类是一般矩阵（方阵）的对角化问题，第二类是一类特殊矩阵的对角化问题——实对称矩阵的对角化.还有一类是复系数矩阵的对角化问题和矩阵广义对角化的研究等等，通过本文的写作，归纳和总结矩阵可对角化的条件，掌握矩阵对角化的计算步骤以及矩阵分解理论.了解矩阵分解在解决具体问题中的应用，将解题思路应用解决实际问题中.运用矩阵分析的相关知识，可以很好分析可对角化的思路，有助于提高判定的有利条件和提高解题的速度.矩阵可对角化的研究，对于矩阵的一些性质有了更进一步的掌握，计算方法的探讨从而也帮助了我们大大减少了计算量，以至于能在大工程中得到应用，为判定矩阵可对角化的条件给出了比较清楚的分析，为矩阵的发展做出了积极的探索[14-15].四、参考文献[1] 王新哲，蒋艳杰. 矩阵广义对角化的探讨[J]. 大学数学,2009,(4):140-144.[2] 张力宏，辛大伟.一类特殊矩阵可对角化的判别及特征向量的求法[J]. 大学数学, 2008,（4）:134-136.[3] 曲春平.矩阵可对角化的充分必要条件[J] .辽宁省交通高等专科学校学报,2003,（3）:50-51.[4] 黄明游，刘播，徐涛.数值计算方法[M] .北京:科学出版社,2005.[5] 丘维声.高等代数（上）[M] .北京:清华大学出版社,2005.[6] 贺福利，万小刚，许德云.关于矩阵可对角化的几个条件[J] .高等函授学报,2004,（1）:14-16.[7] 李大林.分块矩阵的对角化方法[J] .柳州职业技术学院学报,2002,（2）:64-67.[8] 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矩阵可对角化地条件
第二节矩阵可对角化的条件定义1 如果矩阵能与对角矩阵相似，则称可对角化。
例1设，则有：，即。
从而可对角化。
定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。
证明：必要性如果可对角化，则存在可逆矩阵，使得将按列分块得，从而有因此有，所以是的属于特征值的特征向量，又由可逆，知线性无关，故有个线性无关的特征向量。
充分性设是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为，则有。
令，则是一个可逆矩阵且有：因此有，即，也就是矩阵可对角化。
注若，则，对按列分块得，于是有，即，从而。
可见，对角矩阵的元素就是矩阵的特征值，可逆矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。
定理2 矩阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
证明：设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量，现对作数学归纳法证明线性无关。
当时，由于特征向量不为零，因此定理成立。
假设的个互不相同的特征值对应的个特征向量是线性无关的。
设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量。
又设(1)成立。
则有，又将(1)式两边同乘得：从而有,由归纳假设得，再由两两互不相同可得,将其代入(1)式得，因此有，从而线性无关。
推论1 若阶矩阵有个互不相同的特征值，则可对角化，且。
定理3 设是阶矩阵的个互异特征值，对应于的线性无关的特征向量为，则由所有这些特征向量（共个）构成的向量组是线性无关的。
证明：设，记，，则有，且或是的属于特征值的特征向量。
若存在某个，，则由属于不同特征值的特征向量线性无关知，矛盾。
因此有，,又由已知得,,因此向量组线性无关。
定理4设是阶矩阵的一个重特征值，对应于的特征向量线性无关的最大个数为，则，即齐次线性方程组的基础解系所含向量个数不超过特征值的重数。
证明：用反证法。
由于是的属于特征值的特征向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解，因此对应于的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组的基础解系所含向量个数相等。
证明矩阵可对角化
证明矩阵可对角化证明矩阵可对角化在矩阵理论的领域中，证明矩阵可对角化是一个非常重要的问题。
矩阵可对角化，顾名思义，就是可以把一个矩阵变成对角矩阵的形式。
这个过程的重要性在于它可以简化矩阵的计算，从而方便解决很多问题。
本文将从下面几个方面探讨证明矩阵可对角化的问题。
一、矩阵的特征值与特征向量对于一个n行n列的矩阵A，如果存在一个实数λ和一个非零列向量v，使得Av=λv，那么λ就是矩阵A的一个特征值，v则是其对应的特征向量。
特征向量是一个很重要的概念，因为可以利用特征向量构造矩阵的对角化过程。
证明矩阵可对角化的第一个重要子问题就是如何求矩阵的特征值和特征向量。
要解决这个问题，可以从矩阵的行列式和矩阵的迹入手。
矩阵的行列式是它所有特征值的乘积，矩阵的迹是它所有特征值的和。
因此可以利用这两个特征值的性质来推导出一系列公式，求解矩阵的特征值与特征向量。
二、矩阵的对角化如果矩阵A的n个特征向量能够组成一个线性无关的向量组，那么就可以构造一个矩阵P，使得P的列向量分别是这n个特征向量。
于是就有AP=PD，其中D是对角矩阵，其对角线上的元素是矩阵A对应的n个特征值。
由于这些特征值互不相同，因此这个对角矩阵是唯一的。
这个过程就是矩阵A的对角化。
显然，如果一个矩阵可对角化，那么它具有许多重要的性质：可以迅速算出它的n次幂、逆矩阵等，求解线性方程组也变得非常容易。
但是，并非所有的矩阵都可以对角化。
例如当一个矩阵是奇异矩阵（行列式为0），则它不可能有完整的特征向量组成的线性无关向量组，因此无法对角化。
同样，当一个矩阵的特征值是重复的，有可能就没有足够的线性无关的特征向量，也就不能对角化。
对于可对角化的矩阵，它的对角化过程有一个非常简洁的实用公式。
设矩阵A的n个特征向量分别为v1,v2,……，vn，其对应的特征值为λ1,λ2,……，λn，则可通过以下公式求解其对角矩阵D和矩阵P：D = [λ1, 0, ..., 00, λ2, ..., 0...0, 0, ..., λn]P=[v1-v2-...-vn]其中P是一个n行n列的矩阵，其中每列对应一个特征向量，它们都是列向量，按列排列。
矩阵相似对角化条件
矩阵相似对角化条件矩阵的相似对角化是矩阵分析中一个重要的概念。
对于一个方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，那么我们就说矩阵A是可对角化的。
矩阵相似对角化的条件可以从多个角度来考虑，以下是主要的几个：1. 特征值条件：矩阵A是可对角化的当且仅当A的特征值都是实数，并且对于每个特征值$\lambda$，都有恰好对应于$\lambda$的线性无关的特征向量$v_1, \ldots, v_n$。
2. 几何重数等于代数重数：对于一个给定的矩阵A，其特征值的几何重数（即特征向量的个数）必须等于其代数重数（即特征值的重数）。
如果这两个数量不相等，那么矩阵A无法被对角化。
3. 满秩条件：如果矩阵A的秩等于其最小多项式的次数，那么A是可对角化的。
这是因为最小多项式的次数等于矩阵的特征值的个数，而矩阵的秩等于其最大线性无关组的个数，所以如果秩等于特征值的个数，那么就存在一组特征向量，它们可以线性无关并且覆盖所有特征值，这样就可以找到一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
4. Jordan标准型：任何一个方阵都可以通过初等行变换变为Jordan标准型。
如果这个Jordan标准型只包含不同特征值的块，那么这个矩阵就是可对角化的。
5. 多项式矩阵：对于一个多项式矩阵$f(x)$，如果存在一个可逆矩阵P，使得$f(x)=P^{-1}XP$，那么我们就说f(x)是可对角化的。
在这种情况下，我们可以找到一个多项式矩阵S，使得$f(x)=S^{-1}x^nS$，其中x^n是n阶单位矩阵。
这些条件从不同的角度提供了对于矩阵是否可以相似对角化的判断方法。
在实际应用中，我们通常会使用其中的一个或多个条件来判断一个给定的矩阵是否可以相似对角化。
矩阵a可对角化的充要条件
矩阵a可对角化的充要条件矩阵a可对角化的充要条件引言矩阵的对角化是线性代数中一个重要的概念，能够简化矩阵的计算和分析过程。
在研究矩阵可对角化的条件时，我们需要探讨其充要条件。
充分条件矩阵a可对角化的充分条件是存在一个可逆矩阵P，使得矩阵P-1AP为对角矩阵。
即：P<sup>-1</sup>AP = D其中D为对角矩阵，其主对角线元素为矩阵a的特征值。
必要条件矩阵a可对角化的必要条件是矩阵a有n个线性无关的特征向量，其中n为矩阵a的维数。
充要条件的证明充分性证明对于矩阵a可对角化的充分条件，我们需要证明存在一个可逆矩阵P，使得矩阵P-1AP为对角矩阵。
假设矩阵a的特征值为λ1, λ2, …, λn，对应的特征向量为v1, v2, …, vn。
我们可以将特征向量按列放在一个矩阵中，记作P=[v1, v2, …, vn]由于特征向量v1, v2, …, vn是线性无关的，矩阵P是可逆的。
我们可以计算P-1AP：P<sup>-1</sup>AP = [P<sup>-1</sup>v<sub>1</sub>, P< sup>-1</sup>v<sub>2</sub>, ..., P<sup>-1</sup>v<sub>n</s ub>] [λ<sub>1</sub>v<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>v<sub>2</ sub>, ..., λ<sub>n</sub>v<sub>n</sub>] = [λ<sub>1</sub>P <sup>-1</sup>v<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>P<sup>-1</sup>v <sub>2</sub>, ..., λ<sub>n</sub>P<sup>-1</sup>v<sub>n</s ub>]由于P是可逆矩阵，P-1v1, P-1v2, …, P-1vn也是线性无关的特征向量，且它们对应的特征值分别为λ1, λ2, …, λn。
关于矩阵对角化的一种判别方法
关于矩阵对角化的一种判别方法矩阵对角化是线性代数中一种重要的运算。
对于一个方阵A，如果存在可逆矩阵P，使得P⁻¹AP为对角矩阵D，那么矩阵A就是可对角化的，且称P为A的相似变换矩阵。
对角化使得矩阵的计算更加简单，因为对角矩阵的主对角线上的元素就是矩阵的特征值。
本文将介绍一种判别矩阵对角化的方法：可逆矩阵的秩。
矩阵对角化的条件是存在可逆矩阵P使得P⁻¹AP=D，其中D为对角矩阵。
通过这个等式，我们可以得到两个推论：1.矩阵A与其特征向量相关。
由于D为对角矩阵，P的列向量正是A的特征向量。
这意味着矩阵A可对角化的条件之一是存在足够数量的线性无关的特征向量。
2.矩阵A的秩与对角化有关。
考虑等式A=PDP⁻¹，我们可以通过两边乘以P得到AP=PD，再乘以P⁻¹得到A=PD(P⁻¹)。
根据矩阵乘法的结合律，上述等式可以改写为A=(PD)(P⁻¹)，又由于(PD)和(P⁻¹)都是可逆矩阵，我们可以将其记作B和C：A=BC。
矩阵乘积的性质表明，矩阵A的秩等于可逆矩阵B和矩阵C的秩之积。
也就是说，如果一个方阵A可对角化，那么它的秩等于它相似的对角矩阵的秩。
在理解了上述推论之后，我们可以将矩阵对角化的问题转化为寻找矩阵A的秩的问题。
下面将介绍一种基于矩阵秩的判别方法。
1.首先，计算方阵A的特征值和特征向量。
2.将特征向量按列组成矩阵P，即P=[v₁,v₂,...,vₙ]，其中v₁,v₂,...,vₙ为特征向量。
3. 计算矩阵A的秩rank(A)。
4. 如果rank(A)=n（其中n为方阵A的阶数），那么矩阵A是可逆矩阵，且可对角化。
5. 如果rank(A)<n，那么矩阵A不是可逆矩阵，也不可对角化。
通过这种方法，我们可以通过计算矩阵的秩来判断矩阵是否可对角化。
在实际应用中，这种方法能够有效判断矩阵的对角化性质，并且能够简化对角化运算。
然而，需要注意的是，并不是所有的矩阵都可以对角化。
矩阵对角化研究[开题报告]
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毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵对角化研究一、选题的背景、意义（一）历史背景矩阵这个概念是从解线性方程组中产生的.我国现存的最古老的数学书《九章算术》（成书于公元1世纪，作者不详）中，就有一个线性方程组的例子：323923342326x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩为了使用加减消去法解方程，古人把系数排成如下图所示的方形：=≡≡古时称这种矩形的数表为“方程”或“方阵”，其意思与矩阵相仿.在西方，矩阵这个词是1850年由西尔维斯特（James Joseph Sylvester,1814-1897,英国人）提出的.用矩阵来称呼由线性方程组的系数所排列起来的长方形表，与我国“方程”一词的意思是一致.（二）意义矩阵的可对角化是矩阵的奇异值分解、特征值分解和CS 分解的基础，而两个矩阵的同时可对角化又是矩阵束分解(广义特征值分解，广义分解等)的基础.我们讨论和运用的矩阵对角化多为一个矩阵的对角化：如文献[1]及一般的《高等代数》.矩阵可对角化问题与特征值也密切相关，在矩阵乘法运算、矩阵方程、矩阵理论、二次型化标准形及线性变换等方面有着广泛的应用，在高等代数和线性代数中占有重要地位.二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文先简单的介绍了对角矩阵，所谓的对角矩阵是指对角线以外的元都等于0，即当i j ≠时有(),0A i j =的方阵称为对角矩阵.记为()1122,,,nn diag a a a L .如：()112211220000,,,00nn nn a a diag a a a def a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M O M L 特别地，()1,1,,1diag L 称为单位矩阵，简称单位阵，记n E .若n 阶矩阵A 与对角矩阵相似，则称A 可对角化，也称A 是单纯矩阵矩阵可对角化的几个定理及引理定理1[2] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量； 定理2[3] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是特征子空间维数之和为n ； 定理3[3] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 的初等因子是一次的； 定理4[3] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式()A m λ无重根 引理1[4] 可逆矩阵一定可化为一系列初等矩阵之积；引理2[5] 对称矩阵一定可对角化；引理3[6] 设,A B 都是n 阶矩阵，则()()()AB A B n ≥+-秩秩秩定理5[6] 设A 是实数域F 上的—个n 阶矩阵，A 的特征根全在F 内，若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根，其重数分别为12,,,k r r r L ，那么(1) 可对角化的充要条件是秩()1,2,,i j i j E A r j k λ=⎛⎫-== ⎪⎝⎭∏L (2) 当(1)式成立时．()i i j E A λ≠-∏的列空问就是A 的属于特征根i λ的特征子空间.推论1：设A 为实数域上F 的n 阶矩阵，A 的特征根全为F 内．且12,λλ是A 的全部不同的特征根，其维数分别为12,r r ，若秩12()E A r λ-=，秩21()E A r λ-=.，则A 可以对角化．且1E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于2λ的极大线性无关的特征向量组，2E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于1λ的极大无关的特征向量组.定理6 若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根.作多项式()()()()12k g λλλλλλλ=---L ,!则A 上可以对角化的充要条件是()()10ki i g A A I λ==-=∏定理9[7] 若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根.如果()()()120k A I A I A I λλλ---=L ,- 则A 属于i λ的特征子空间i V λ就是()1ki j j i A I λ=≠-∏的列向量空间i W . 定理3 若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根，如果对每个()1,2,,i i k =L 都有(),i i i i W W V W λλ=的意义同定理那么()10kj j A I λ=-=∏.通过以上简单介绍的矩阵对角化几个定理，来更全面、系统的研究矩阵的对角化问题，从而比较全面的认识矩阵的对角化的基础知识，深入理解其基本内容，领会其思想方法，并掌握求矩阵的对角化的方法.通过求矩阵的对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题，并通过比较总结出一套比较简单易行的方案.除此之外，还要在原有的基础上，得到一些有意义的结果，争取在某些方面有所创新.三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标就矩阵A 的对角化问题我们可通过正交矩阵P 实现。
矩阵可对角化的条件
第二节矩阵可对角化的条件定义1 如果矩阵能与对角矩阵相似，则称可对角化。
例1设，则有：，即。
从而可对角化。
定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。
证明：必要性如果可对角化，则存在可逆矩阵，使得将按列分块得，从而有因此有，所以是的属于特征值的特征向量，又由可逆，知线性无关，故有个线性无关的特征向量。
充分性设是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为，则有。
令，则是一个可逆矩阵且有：因此有，即，也就是矩阵可对角化。
注若，则，对按列分块得，于是有，即，从而。
可见，对角矩阵的元素就是矩阵的特征值，可逆矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。
定理2 矩阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
证明：设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量，现对作数学归纳法证明线性无关。
当时，由于特征向量不为零，因此定理成立。
假设的个互不相同的特征值对应的个特征向量是线性无关的。
设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量。
又设(1)成立。
则有，又将(1)式两边同乘得：从而有,由归纳假设得，再由两两互不相同可得,将其代入(1)式得，因此有，从而线性无关。
推论1 若阶矩阵有个互不相同的特征值，则可对角化，且。
定理3 设是阶矩阵的个互异特征值，对应于的线性无关的特征向量为，则由所有这些特征向量（共个）构成的向量组是线性无关的。
证明：设，记，，则有，且或是的属于特征值的特征向量。
若存在某个，，则由属于不同特征值的特征向量线性无关知，矛盾。
因此有，,又由已知得,,因此向量组线性无关。
定理4设是阶矩阵的一个重特征值，对应于的特征向量线性无关的最大个数为，则，即齐次线性方程组的基础解系所含向量个数不超过特征值的重数。
证明：用反证法。
由于是的属于特征值的特征向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解，因此对应于的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组的基础解系所含向量个数相等。
矩阵可对角化的充要条件
矩阵可对角化的充要条件引言矩阵对角化是矩阵理论中的一个重要概念，它能够让我们更好地理解矩阵的性质和运算。
在实际应用中，对角化可以简化计算和分析过程，因此对于一个矩阵是否可对角化的问题，是值得我们深入研究和探讨的。
本文将探讨矩阵可对角化的充要条件，通过理论推导和实例分析，将会全面、详细、完整地讲解矩阵可对角化的各种情况及其判定条件。
I. 列举与分析矩阵的特殊情况为了更好地理解什么样的情况下一个矩阵可对角化，我们先来列举一些特殊的矩阵情况，并分析它们是否可对角化。
1. 对角矩阵对角矩阵是指主对角线以外的元素都为零的矩阵。
例如：[ A =]对于任意的对角矩阵，由于它的非零元素只存在于主对角线上，所以它必然是一个可对角化的矩阵。
2. 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身的矩阵。
例如：[ B =]对于任意的对称矩阵，它必然是一个可对角化的矩阵。
这是因为对于对称矩阵，其特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量是相互正交的，因此可以通过特征向量的线性组合来表示整个矩阵。
3. 可逆矩阵可逆矩阵是指存在逆矩阵的矩阵。
例如：[ C =]对于任意的可逆矩阵，它必然是一个可对角化的矩阵。
这是因为可逆矩阵的特征值都是非零的，且可逆矩阵可以表示为一个对角矩阵和一个正交矩阵的乘积，而正交矩阵的转置等于其逆矩阵，因此可逆矩阵可以通过正交矩阵的逆变换为对角矩阵。
II. 可对角化的充分条件在上一节中，我们列举了一些特殊的矩阵情况，并发现它们对应的矩阵都是可对角化的。
接下来，我们将推导出可对角化的充分条件，并用定理的形式表述出来。
定理1对于一个n阶矩阵A，如果它有n个线性无关的特征向量，那么A是可对角化的。
证明：假设A有n个线性无关的特征向量，分别为v1, v2, …, vn，相应的特征值分别为λ1, λ2, …, λn。
根据特征值与特征向量的定义，我们可以得到以下等式：Av1 = λ1v1Av2 = λ2v2…Avn = λnv现在，我们将这n个特征向量构成一个矩阵V，即：V = [v1, v2, …, vn]同时，将这n个特征值构成一个对角矩阵Λ，即：Λ = []根据上述等式，我们可以得到：AV = [Av1, Av2, …, Avn] = [λ1v1, λ2v2, …, λnvn] = VΛ由于V是一个可逆矩阵（因为v1, v2, …, vn是线性无关的），所以可以将上述等式两边都左乘V的逆矩阵V^-1，得到：AVV^-1 = VΛV^-1即：A = VΛV^-1因此，我们证明了如果一个n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么A是可对角化的。
矩阵对角化的充要条件
矩阵对角化的充要条件可以通过以下定理来描述：
定理：一个方阵A能够对角化，当且仅当它满足以下条件：
1. A有n个线性无关的特征向量，其中n是A的阶数。
即A有足够数量的特征向量来构成一组基。
2. 所有这些特征向量对应的特征值都是不同的。
换句话说，在一个方阵能够对角化的情况下，我们可以找到一组线性无关的特征向量，并将它们作为基向量，构成一个可逆变换矩阵P。
通过对角化变换，我们可以得到一个对角矩阵D，其中对角线上的元素就是原矩阵A的特征值。
具体而言，可以表示为A = PDP^-1，其中P是特征向量组成的矩阵，D是对角矩阵。
需要注意的是，不是所有矩阵都可以对角化。
一些矩阵可能存在特征值的重复，或者没有足够数量的线性无关的特征向量，这种情况下无法对角化。
这时，我们可以考虑使用更一般化的矩阵分解方法，如Jordan标准型来表示矩阵。
判断矩阵是否可对角化的方法
判断矩阵是否可对角化的方法1.引言1.1 概述在线性代数中，矩阵的对角化是一种重要的研究方法，可以帮助我们简化矩阵的计算和分析。
通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵转化为一个对角矩阵，使得矩阵的运算变得更加简单和直观。
然而，并非所有的矩阵都可以进行对角化。
有些矩阵由于其特殊的性质或结构，无法被对角化。
因此，判断一个矩阵是否可以对角化成为一个重要的问题，在矩阵理论和应用中具有广泛的意义。
本文将介绍一些判断矩阵是否可对角化的方法。
这些方法包括变换法、特征值法和可对角化标准形等。
通过运用这些方法，我们可以确定一个矩阵是否可以对角化，以及找出对角化所需的相应变换矩阵和对角矩阵。
文章的正文部分将详细介绍这些方法。
首先，我们将详细描述变换法，并给出相应的步骤和注意事项。
然后，我们将介绍特征值法，它是判断矩阵可对角化的常用方法之一。
我们将解释特征值的概念，并提供相应的判断条件和计算方法。
最后，我们将介绍可对角化标准形，它是判断矩阵是否可对角化的一个重要的准则。
我们将详细介绍可对角化标准形的定义、性质和应用。
在结论部分，我们将对整篇文章进行总结，并充分展望未来对于判断矩阵是否可对角化的更深入研究方向。
研究和应用矩阵的对角化具有重要的理论和实际意义，因此为了进一步提高矩阵的运算效率和准确性，我们需要不断深化对矩阵可对角化性质的研究与理解。
通过本文的阅读，读者将能够了解判断矩阵是否可对角化的一些基本方法，并能够应用这些方法解决实际问题。
同时，我们也将为矩阵的对角化研究提供一些思路和参考，促进相关领域的深入发展和应用。
文章结构部分的内容可以这样编写：1.2 文章结构本篇文章主要围绕判断矩阵是否可对角化的方法展开讨论。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括对本文的概述、文章结构以及研究目的的介绍。
首先，我们会概述矩阵对角化的重要性和应用背景。
接着，我们会介绍文章的整体结构，明确每个部分的主要内容和研究重点。
线性变换“可对角化”的条件及“对角化”方法
对角化方法在控制系统设计 中的应用
在机器学习中的应用
对角化矩阵可以提高机器学 习算法的收敛速度
对角化矩阵可以简化机器学 习算法的实现过程
线性变换可对角化在机器学 习算法中的优化性能
对角化矩阵可以提高机器学 习算法的稳定性
研究现状及问题
线性变换对角化的研究历史与现状 当前研究存在的问题与挑战 未来研究方向与趋势 当前研究的热点问题与争议
当前研究的挑战与困难
确定对角化方法的 有效性
确定对角化方法的 普适性
确定对角化方法在 不同领域的应用价 值
探索新的对角化方 法
解决挑战的方法与策略
发展新的数学工具：引入新的数学理论和方法，以解决线性变换对角化中遇到的问题
借鉴其他领域的经验：参考其他领域类似的案例和经验，寻找解决方案 深入研究线性变换的性质：更深入地了解线性变换的性质和特点，为对角化提供更多思路和方法 开发高效的数值计算方法：发展更高效、更精确的数值计算方法，提高对角化的效率和准确性
对未来研究的展望与预期
探索更多可对角化的线性变换类型 深入研究线性变换对角化的条件和算法 拓展线性变换对角化在各个领域的应用 加强与其他领域的交叉研究，推动线性代数的发展
对未来应用的设想与期待
线性变换对角化在科学计 算领域的应用
对量子计算领域的影响
在机器学习领域的应用前 景
对未来科技发展的推动与 影响
特征值的应用：通过特征值可以对矩阵进行分解，应用于信号处理、图像处理等领域
相似变换的应用：通过相似变换可以将矩阵转化为对角矩阵，应用于相似分类、机器学习等领 域
对角化方法的优缺点：对角化方法具有简单易行、直观性等优点，但也存在局限性，如不适用 于非方阵等情形
7.6 可对角化矩阵
的特征多项式是
−3
2
−3
−2
1
+2
−2 = 3 − 12 + 16 = ( − 2)2
−6
+1
特征根是 2，2，－4.
对于特征根－4，求出齐次线性方程组
−7 −2
2 −2
−3 −6
的一个基础系
1
2
, − ,1
3
1
−2
−3
1
0
2 = 0
3
0
对于特征根 2，求出齐次线性方程组
−
根据归纳法假设， 1 , 2 , ⋯ , −1 线性无关，所以
( − ) = , = , , ⋯ , − .
但 1 , 2 , ⋯ 两两不同，所以 1 = 2 = ⋯ = −1 = 0 ，再代入（3），
因为 ≠ 0, 所以 = 0. 这就证明了 , , ⋯ , 线性无关。
()
+ + ⋯ + = . ∈ ,
推论7.6.2 设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换， 1 , 2 , ⋯ , 是σ的
互不相同的特征值。又设 1 , ⋯ , , = 1, ⋯ , , 是属于特征值 的线性
无关的特征向量, 那么向量 11 , ⋯ , 11 , ⋯ , 1 , ⋯ , 线性无关.
如果等式
()
+ + ⋯ + = . ∈ ,
成立，那么以 乘（3）的两端得
()
+ + ⋯ + = .
另一方面，对（3）式两端施行线性变换σ，
注意到等式（2），我们有
()
矩阵可对角化的判定条件开题报告
矩阵可对角化的判定条件开题报告开题报告矩阵可对角化的判定条件选题的背景、意义矩阵最初是作为研究代数学的一种工具提出的,但是经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支?矩阵论。
矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。
矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。
如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及 X 射线照相术等方面都有广泛的应用。
随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。
于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。
矩阵是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,在其他学科中也经常遇到。
它在二十世纪得到飞速发展,成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支,现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。
矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多。
但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结。
因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法。
特别给出了解题时方法的选择。
矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的,本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究.根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断,这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具,也把矩阵和有限维空间相结合.在现代科技中,很多问题都是运用此类方式。
矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题,但是一个基础问题,这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识,就显得格外的重要.通过对《高等代数》,《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究,为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论.文献[1]和[2]介绍了广义逆矩阵和一类特殊矩阵可对角化的判定条件,利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件,给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法。
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矩阵可对角化的判定条件开题报告
开题报告
矩阵可对角化的判定条件
选题的背景、意义
矩阵最初是作为研究代数学的一种工具提出的,但是经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支?矩阵论。
矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。
矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。
如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及 X 射线照相术等方面都有广泛的应用。
随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。
于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。
矩阵是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,在其他学科中也经常遇到。
它在二十世纪得到飞速发展,成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支,现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。
矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多。
但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结。
因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论
进行应用和举例,给出算法。
特别给出了解题时方法的选择。
矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的,本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究.根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断,这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具,也把矩阵和有限维空间相结合.在现代科技中,很多问题都是运用此类方式。
矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题,但是一个基础问题,这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识,就显得格外的重要.通过对《高等代数》,《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究,为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论.
文献[1]和[2]介绍了广义逆矩阵和一类特殊矩阵可对角化的判定条件,利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件,给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法。
文献[3]总结了利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件。
任意阶矩阵可以对角化的充要条件是相似于一个阶循回阵, 形式最简单的矩阵是对角阵。
矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,但不是任何一个阶矩阵都可以对角化。
文献[4]总结了对矩阵的计算中用到了对角化的性质。
该文详细地分析了Doolittle LU分解过程,基于分解过程的特点,在MPI(Message-Passing interface)并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法。
实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度。
文献[5]?[7] 阐述了矩阵可对角化的条件以及对实对称矩阵的可对角化,
从幂等阵及可交换阵的性质出发,讨论了矩阵可对角化的条件,并给出了矩阵只有两个特征值的特殊情况下可对角化的一种简单判别方法。
矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用,矩阵的对角化有多种判别方法,定义了分块矩阵的初等变换与初等分块矩阵,给出了非满秩情况下分块矩阵可以对角化的条件。
文献[8]-[11]在以往关于矩阵可对角化的判定条件的基础上,利用矩阵可以对角化的判定,以及求矩阵的线性无关的特征向量完全可以归纳为矩阵乘法的原理,使得矩阵的特征值与特征向量同步求解,从而得出矩阵可对角化更为直接的简单判定,通过讨论n阶方阵可对角化的充要条件来简化对其的判断过程,在研究实矩阵三角化计算方法的基础上给出了复系数矩阵上双对角化的一种通用计算方法,以及方阵的另一种解释。
文献[12]?[15]作者引入了线性变换可亚对角化的定义,并给出了线性变换可亚对角化的充要条件,对多判定条件加以改进,得出更为直接的简单判定对角化的条件。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
本文研究的基本内容为:
一、引言,主要包括课题研究的背景、研究意义等。
二、特殊矩阵的可对角化,包括方阵,单位矩阵,广义逆矩阵,实对称矩阵等等的求法。
三、n阶矩阵的可对角化,包括求特征值,特征向量,n阶矩阵最小多项式的算法。
四、矩阵的分解,包括LU分解,Doolittle分解和Crout分解型,
运用矩阵分析的相关知识,可以很好分析可对角化的思路,有助于提高判
定的有利条件和提高解题的速度。
具备一定的专业外语知识和一定的计算方法能力,同时,具备一定的求解能力,能够运用数学软件,例如:Matalab等软件,对矩阵可对角化进行求解分析。
三、研究的方法与技术路线、研究难点,预期达到的目标
一、先采用文献研究法,搜集和阅读大量的相关文献,了解国内外的研究现状,吸收新理念,并对资料进行分类整理。
再通过实例分析,对实际矩阵进行分析、总结特殊矩阵的判定方法。
二、研究的主要难点,如何找到恰当的方法,如何选择最简单的计算步骤对矩阵进行可对角化的判定,并求解。
三、预期达到的目标,通过本课题的研究,学习用求特征值和特征向量的基本方法对矩阵进行处理,将其矩阵对角化的思想应用于实际,能够对大数据进行合理分解与计算,提高对矩阵对角化的分析判断能力。
四、论文详细工作进度和安排
第七学期第10周至第11周:收集资料,阅读相关文献,形成系统材料,完成文献综述;翻译相关问题的外文文献。
第七学期第12周至第14周:深入分析问题,建立研究和解决问题的基本方案和技术路线,撰写开题报告,修改定稿,签署意见;上交文献综述、开题报告,外文翻译。
第七学期第15周至第16周:全面开展课题研究,按照研究方案和路线指导学生撰写论文,完成论文初稿。
第八学期第1周至第8周:在导师的指导下,对论文进行第一次修改。
第八学期第9周至第12周:对论文进行第二次修改,并完善定稿。
第八学期第13周至第15周:做好毕业论文答辩准备事项,进行答辩。
五、主要参考文献
[1] 王新哲,蒋艳杰. 矩阵广义对角化的探讨[J]. 大学数学,2009,4:140-144.
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