排队论测试题
排队论习题
排队论 习题1．指出下列排队系统中的顾客和服务员：（1）机场起飞的客机；（2）十字路口红灯前的车辆；（3）超级市场收款台前的车辆；（4）高速公路收费口；（5）汽车加油站；（6）电报局2．到达只有一台加油设备加油站的汽车平均到达率为60台/h，由于加油站的面积较小而且较拥挤，到达的汽车中平均每4台中有一台不能进入站内而离去。
这种情况下排队等待加油的汽车队列（不计正在加油的）为3.5台，求进入该加油站汽车等待加油的平均时间。
3．某机关接待室，接待人员每天工作10小时。
来访人员的到来服从泊松分布，每天平均有90人到来，接待时间服从指数分布，平均速度为10人/时，（平均每人6分种）。
试求排队等待接待的平均人数；等待接待的多于2人的概率，如果使等待接待的人平均为两人，接待速度应提高多少？4．为开办一个小型理发店，目前只招聘了一个服务员，需要决定等待理发的顾客的位子应设立少。
假设需要理发的顾客到来的规律服从泊松流，平均每4分钟来一个，而理发的时间服从指数分布，平均3分钟一个人，如果要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他理发店的人数占理发的人数的7%时，应该安放几个供顾客等待的位子？5．工件按泊松流到达服务台，平均间隔时间为10分钟，假设对每一工件的服务（加工）所需间服从负指数分布，平均服务时间为8分钟。
求：⑴工件在系统内等待服务的平均数和工件在系统内平均逗留时间；⑵若要求有90%的把握使工件在系统内的逗留时间不超过30分钟，则工件的平均服务时间多是多少？⑶若每一工件的服务分两段，每段所需时间都服从负指数分布，平均都为4分钟，在这种情况下，工件在系统内的平均数是多少？6．经观察，某海关入关检查的顾客平均每小时到达10人，顾客到达服从普阿松分布，关口检服务时间服从指数分布，平均时间是5分钟，试求：⑴顾客来海边不用等待的概率；⑵海关内顾客的平均数；⑶顾客在海关内平均逗留时间；h⑷当顾客逗留时间超过1.2时，则应考虑增加海关窗口及人数，问平均达到率提高多少时，管理者才作这样的打算。
排队考试题及答案
排队考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 排队理论中，顾客到达的过程通常被假设为（）。
A. 确定性过程B. 随机过程C. 周期性过程D. 线性过程答案：B2. 在排队系统中，如果服务时间是确定的，那么该系统被称为（）。
A. M/M/1B. M/D/1C. M/G/1D. D/M/1答案：B3. 排队理论中，以下哪个参数表示顾客在系统中的平均逗留时间？（）A. λ（到达率）B. μ（服务率）C. W（平均逗留时间）D. L（系统中的平均顾客数）答案：C4. 以下哪个公式用于计算排队系统中顾客的平均等待时间？（）A. Wq = λ / (μ - λ)B. Lq = λ / (μ - λ)C. Wq = 1 / (μ - λ)D. Lq = 1 / (μ - λ)答案：A5. 在排队理论中，如果顾客到达率和服务率都是随机的，这种类型的系统被称为（）。
B. M/G/1C. G/M/1D. G/G/1答案：D6. 以下哪个参数表示系统中顾客的平均数量？（）A. λ（到达率）B. μ（服务率）C. L（系统中的平均顾客数）D. W（平均逗留时间）答案：C7. 排队理论中，如果服务台数量为无限大，这种类型的系统被称为（）。
A. M/M/1B. M/M/∞C. M/M/k答案：B8. 在排队系统中，如果顾客到达过程是泊松分布，服务时间是指数分布，这种类型的系统被称为（）。
A. M/M/1B. M/D/1C. M/G/1D. G/M/1答案：A9. 以下哪个参数表示顾客在队列中的平均等待时间？（）A. λ（到达率）B. μ（服务率）C. Wq（队列中的平均等待时间）D. Lq（队列中的平均顾客数）答案：C10. 排队理论中，如果顾客到达率和服务率都是确定的，这种类型的系统被称为（）。
A. M/M/1B. D/D/1C. M/D/1D. D/M/1答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 排队理论中，以下哪些因素会影响顾客的平均等待时间？（）A. 到达率B. 服务率C. 服务台数量D. 顾客的耐心答案：ABC12. 在排队理论中，以下哪些参数是描述系统性能的？（）A. 系统中的平均顾客数（L）B. 队列中的平均顾客数（Lq）C. 系统中的平均逗留时间（W）D. 队列中的平均等待时间（Wq）答案：ABCD13. 以下哪些是排队理论中常见的排队规则？（）A. 先来先服务（FCFS）B. 后来先服务（LCFS）C. 随机服务（RS）D. 最短处理时间优先（SPT）答案：ABD14. 以下哪些是排队理论中常见的到达和服务时间分布？（）A. 泊松分布B. 指数分布C. 均匀分布D. 确定性分布答案：ABCD15. 在排队理论中，以下哪些因素会影响顾客的满意度？（）A. 等待时间B. 服务时间C. 服务台数量D. 环境舒适度答案：ABD三、简答题（每题10分，共30分）16. 请简述排队理论中的“Little定律”。
排队论练习题
第9章排队论判断下列说法是否正确：（1）若到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从泊松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为泊松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布；（4）对M/M/1或M/M/C的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流；（5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间将少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达的分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分别的方差越大时，顾客的平均等待时间将越长；（10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
M/M/1、某理发店只有一名理发师，来理发的顾客按泊松分布到达，平均每小时4人，理发时间服从负指数分布，平均需6小时，求：（1）理发店空闲时间的概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内顾客平均数；（5）在店内平均逗留时间；（6）等待服务的顾客平均数；（7）平均等待服务时间；（8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。
、某修理店只有一个修理工，来修理东西的顾客到达次数服从泊松分布，平均每小时4人，修理时间服从负指数分布，平均需6分钟。
求：（1）修理店空闲时间的概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内顾客平均数；（4）店内等待顾客平均数；（5）顾客在店内平均逗留时间；（6）平均等待修理时间。
排队论习题及答案
排队论习题及答案排队论习题及答案排队论是概率论和数学统计中的一个重要分支，研究的是随机事件的排队问题。
在现实生活中，我们经常会遇到排队的情况，如等候乘坐公交车、购物结账等。
排队论的研究可以帮助我们更好地理解和优化排队过程，提高效率和服务质量。
下面，我们将介绍几个排队论的习题及其解答。
习题一：某银行有两个窗口，顾客到达银行的时间服从平均到达率为λ的泊松分布，每个顾客在窗口办理业务的时间服从平均服务率为μ的指数分布。
求平均等待时间和平均排队长度。
解答：首先，我们可以根据泊松分布和指数分布的性质，得到顾客到达时间和服务时间之间的关系。
假设顾客到达时间服从泊松分布，到达率为λ，那么两个顾客到达时间之间的时间间隔服从参数为λ的指数分布。
同样，假设顾客的服务时间服从指数分布，服务率为μ，那么两个顾客的服务时间之间的时间间隔服从参数为μ的指数分布。
根据排队论的基本原理，平均等待时间等于平均排队长度除以到达率。
平均排队长度可以通过利用排队论的公式计算得到。
在本题中，根据M/M/2模型，可以得到平均排队长度的公式为：Lq = λ^2 / (2μ(μ - λ))其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率。
接下来，我们可以计算平均等待时间。
根据排队论的公式，平均等待时间等于平均排队长度除以到达率。
所以，平均等待时间的公式为：Wq = Lq / λ综上所述，我们可以通过计算得到平均等待时间和平均排队长度。
习题二：某餐厅有4个服务台，每个服务台的服务时间服从平均服务率为μ的指数分布，顾客到达时间服从平均到达率为λ的泊松分布。
求平均等待时间和平均排队长度。
解答：在这个问题中，我们可以使用M/M/4模型来求解。
根据M/M/4模型，平均排队长度的公式为：Lq = (λ/μ)^4 * (1/(4! * (1 - ρ)))其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率，ρ表示系统繁忙度。
平均等待时间的公式为：Wq = Lq / λ通过计算可以得到平均等待时间和平均排队长度。
排队论_运筹学
排队论例1题目：某火车站的售票处设有一个窗口,若购票者是以最简单流到达,平均每分钟到达1人,假定售票时间服从负指数分布,平均每分钟可服务2人,试研究售票窗口前排队情况解:由题设λ=1(人/分),μ=2(人/分),ρ=λμ=12平均队长L=1ρρ-=1(人)平均等待队长Lq=21ρρ-=12(人)平均等待时间Wq=λμμ（-1）=12(分)平均逗留时间W=1μλ-=1(分)顾客不需要等待的概率为P o=12,等待的顾客人数超过5人的概率为P(N≥6)=1766666111111()(1)()()()()222222n n nnn n n nPρ-∞∞∞∞=====-===∑∑∑∑1例2题目：在某工地卸货台装卸设备的设计方案中,有三个方案可供选择,分别记作甲、乙、丙。
目的是选取使总费用最小的方案，有关费用（损失）如下表所示设货车按最简单流到达，平均每天（按10小时计算）到达15车，每车平均装货500袋，卸货时间服从负指数分布，每辆车停留1小时的损失为10元。
解：平均到达率λ=1.5车/小时,服务率μ依赖于方案μ甲=1000/500/袋小时袋车=2车/小时μ乙=2000/500/袋小时袋车=4车/小时μ丙=6000/500/袋小时袋车=12车/小时由(7.2.6),1辆车在系统内平均停留时间为W甲=12-1.5=2(小时/车)W乙=14-1.5=0.4(小时/车)W丙=112-1.5=0.095(小时/车)每天货车在系统停留的平均损失费为W⨯10⨯15,每天的实际可变费用(如燃料费等)为(可变操作费/天)⨯设备忙的概率=c p(元/天)而ρ甲=0.75 , ρ乙=0.375 , ρ丙=0.125,所以每个方案的费用综合如下表所示:23例3 题目：要购置计算机,有两种方案.甲方案是购进一大型计算机,乙方案是购置n 台小型计算机.每台小型计算机是大型计算机处理能力的1n设要求上机的题目是参数为λ的最简单流,大型计算机与小型计算机计算题目的时间是负指数分布,大型计算机的参数是μ.试从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案 解：设ρ=λμ，按甲方案，购大型计算机 平均等待时间 q W 甲=ρμρ（1-）=λμμλ（-）平均逗留时间 W 甲=1μλ- 按乙方案，购n 台小型计算机，每台小计算机的题目到达率为n λ，服务率为nμ, ρ=//n n λμ=λμ平均等待时间 W q 乙=nρμρ（1-）=n ρμρ（1-）=nW q 甲平均逗留时间 W 乙=1n nμλ-=n μλ-=nW 甲所以只是从平均等待时间，平均逗留时间考虑，应该购置大型计算机4例4题目：设船到码头，在港口停留单位时间损失c 1 元，进港船只是最简单流，参数为λ，装卸时间服从参数为μ的负指数分布，服务费用为c μ2，c 2是一个正常数.求使整个系统总费用损失最小的服务率μ 解:因为平均队长L λμλ=-,所以船在港口停留的损失费为1c λμλ-,服务费为c μ1,因此总费用为 1c F c λμμλ=+-2 求μ使F 达到最小,先求F 的导数12()c dF c d λμμλ=-+-2 让dF d μ=0,解出2μλ=因为 22F u μμ*=∂∂=22()c λμλ*-1>0 (μ>λ) 最优服务率是μ*,当μμ*=时, 12()[c F c c λμλ*=+5例5题目：一个理发店只有一个理发师,有3个空椅供等待理发的人使用,设顾客以最简单流来到,平均每小时5人,理发师的理发时间服从负指数分布,平均每小时6人.试求L ,q L ,W ,q W解:λ=5(人/小时) , μ=5(人/小时) , k =4 , 56ρ= 用公式(7.2.10),(7.2.11),(7.2.12),(7.2.13)得到565555[16()5()]666 1.9715[1()]66L -+==- 5555(1)[16()]66 1.97 1.2251()6q L -=+=- 55555()[1()]660.101()6P -==- 5(1)z LLW P λλ==-=1.9750.9=0.438(小时)0.271qq zL W λ==(小时)6例6题目：给定一个//1/M M k 系统,具有λ=10(人/小时), μ=30（人/小时），k =2.管理者想改进服务机构.方案甲是增加等待空间,使k =3.方案乙是将平均服务率提高到μ=40(人/小时),设服务每个顾客的平均收益不变,问哪个方案获得更大收益,当λ增加到每小时30人,又将有什么结果?解:由于服务每个顾客的平均收益不变,因此服务机构单位时间的收益与单位时间内实际进入系统的平均人数k n 成正比(注意,不考虑成本)!(1)(1)1k k k k n p λρλρ+-=-=- 方案甲:k=3, λ=10, μ=3033411()310[]11()3n -=-=9.75 方案乙: k=2, λ=10, μ=40223110(1())311()4n -=-=9.5 因此扩大等待空间收益更大 当λ增加到30人/小时时,λρμ==1.这时方案甲有3330()31n =+=22.5(人/小时) 而方案乙是把μ提高到μ=40人/小时. λρμ==3040<1, k=2 2233(1())430[]31()4n -=-=22.7(人/小时) 所以当λ=30人/小时时,提高服务效益的收益比扩大等待空间的收益大7例7题目：一个大型露天矿山,考虑建设矿山卸矿场,是建一个好呢?还是建两个好.估计矿车按最简单流到达,平均每小时到达15辆,卸车时间也服从负指数分布,平均卸车时间是3分钟,每辆卡车售价8万元,建设第二个卸矿场需要投资14万元解:平均到达率 λ=15(辆/小时) 平均服务率 μ=20(辆/小时) 只建一个卸矿场的情况:1ρρ==1520=0.75 在卸矿场停留的平均矿车数0,,,,,,q q q q p p L L W W λμL λμλ=-=152015-=3(辆)建两个卸矿场的情况:ρ=0.75,2μ=2λμ=0.375 2101220[10.75(0.75)]0.452!22015P -=++=- 220.451520(0.75)0.750.120.750.871!(22015)L +=+=+=-因此建两个卸矿场可减少在卸矿场停留的矿车数为:3-0.87=2.13辆.就是相当于平均增加2.13辆矿车运矿石.而每辆卡车的价格为8万元,所以相当于增加2.13⨯8=17.04万元的设备,建第二个卸矿场的投资为14万元,所以建两个卸矿场是合适的.8例8题目：有一个///M M c ∞系统,假定每个顾客在系统停留单位时间的损失费用为c 1元,每个服务设备单位时间的单位服务率成本为c 2元.要求建立几个服务台才能使系统单位时间平均总损失费用最小解:单位时间平均损失费为F c L c c μ=+12要求使F 达到最小的正整数解c *,通常用边际分析法:找正整数c *,使其满足{()(1)()(1)F c F c F c F c ****≤+≤-由()(1)F c F c **≤+,得到122()(1)(1)c L c c c c L c c c μμ****+≤+++所以 21()(1)c L c L c c μ**-+≤ 同样,由()(1)F c F c **≤-得到21(1)()c L c L c c μ**--≥因此c *必须满足不等式21()(1)c L c L c c μ**-+≤≤(1)()L c L c **-- 取c =1,2,…,计算()L c 与(1)L c +之差,若21c c μ落在()(1)L c L c **-+,(1)()L c L c **--之间,c *就是最优解9例9题目：某公司中心实验室为各工厂服务,设做实验的人数按最简单流到来.平均每天48(人次/天),1c =6(元).作实验时间服从负指数分布,平均服务率为μ=25(人次/天),2c =4(元),求最优实验设备c *,使系统总费用为最小. 解:λ= 48(人次/天)，μ=25(人次/天)，λμ＝1.92 按///M M c ∞计算0P ,()L c 等(注意以下公式只对0 1.92cρ=<1成立). 201100(1.92)(1.92)[]!(1)!( 1.92)n P n c c ρ--==+--∑12(1.92)() 1.92(1)!( 1.92)c L c P c c +=+-- 将计算结果列成下表21c c μ=1006=16.67 所以取c *=3,总费用最小10例10题目：设有2个工人看管5台自动机,组成//2/5/5M M 系统,λ=1(次/运转小时),μ=4(次/小时),求平均停止运转机器数L 、平均等待修理数q L 以及每次出故障的平均停止运转时间W 、平均等待修理时间q W解：14λμ=，18c λμ=由（7.3.1）,(7.3.2)有 0P =0.3149 1P =0.391 2P =0.197 由（7.3.3）,(7.3.4)有 q L =0.118,L =1.094,c λ=3.906 由（7.3.5）,(7.3.6)有W =0.28(小时),q W =0.03(小时)实际上,这些数量指标有表可查例11题目：设某厂有自动车床若干台,各台的质量是相同的,连续运转时间服从负指数分布,参数为λ,工人的技术也差不多,排除故障的时间服从负指数分布,参数为μ.设λμ=0.1,有两个方案.方案一:3个工人独立地各自看管6台机器.方案二,3个工人共同看管20台机器,试比较两个方案的优劣解:方案一.因为是分别看管,可以各自独立分析,是3个//1/6M M 系统.由上面的公式可求出01P -=0.5155,c =0.5155, a =5.155Lq =0.3295, L =0.845,(1)q =0.4845,(1)r =0.0549方案二.m =20,c =3,λμ=0.1,可求得c =1.787,a =17.87,q L =0.339 L =2.126,(3)q =0.4042,(3)r =0.01695机器损失系数,修理工人损失系数都小于方案一,所以方案二较好11例12题目：某露天铁矿山,按设计配备12辆卡车参加运输作业(每辆载重160吨,售价72万元),备用车8辆,要求保证同时有12辆车参加运输的概率不低于0.995.设每辆平均连续运输时间为3个月,服从负指数分布.有两个修理队负责修理工作,修理时间服从负指数分布.平均修复时间为5天.问这个设计是否合理.解:由假设知,这是////M M c m N m +系统,m =12,1λ=3,1μ=6(月)c =2我们有m c λμ=0.3333,c μλ=36用c N ≤的公式,求N ,要求00.995Nn n p =≥∑设N =2,有Nnn p=∑=0.9474,当N =3时,有Nnn p=∑=0.9968.所以3辆备用车就能达到要求,原设计用的备用车太多当N =3时,卡车的利用律(2)q =0.793712例13题目：假定例2.1中工人的到达服从泊松分布，λ=8人/小时，试分别计算1h 内到达4，5，6，…，12个工人的概率。
排队论练习题
4．在第一题中，设顾客到达速率增加到12人/小时，这时又增加一个同样熟练的修理工，平均 修理时间也是6分钟。求： （1）店内空闲的概率； （2）店内有两个或更多顾客的概率； （3）计算运行指标L，Lq，W，Wq。
Ls=1.47708 (7) Wq=1.08分钟
Ws=6.08分钟
例10 某车站候车室在某段时间旅客到达服从泊松流分布，平均速度 为50人/小时，每位旅客在候车室内逗留的时间服从负指数分布，平均 停留时间为0.5小时，问候车室内平均人数为多少？ 解：把旅客停留在候车室看做服务，于是就看为M/M/∞/∞/∞
服从负指数分布，平均理发时间为15分钟。求：
（1）顾客来店理发不必等待的概率； （2）理发店内顾客平均数； （3）顾客在理发店内的平均逗留时间； （4）当顾客到达速率是多少时，顾客在店内的平均逗留时间将超过1.25小时。
解：这是一个[M/M/1]:[//FCFS]排队系统
=3，=4，=/=3/4=0.75 （1） P0=1-=1-0.75=0.25 （2） （3） （4） ，=3.2，
解：这是一个[M/M/1]:[//FCFS]排队系统
=4，=10，=/=2/5=0.4 （1） P0=1-=1-2/5=3/5=0.6 （2） P3=3(1-)=0.43×0.6=0.0384 （3） 1-P0=1-(1-)==0.4 （4） （5） （6）
（7）
例7．一个单人理发点，顾客到达服从Poisson分布，平均到达时间间隔为20分钟；理发时间
问题解决：
分三种情况考虑： （1） 当无病人时，三种互不相容事件的概率分别为： （a） 在时间t内没有病人排队，时刻也没有病人到达的概 率为。 （b） 在时间t内有一个病人，内没有顾客到达，但有一位 病人接受诊断后离去的概率为。 （c） 在时间t内没有病人排队，但在时刻内有一位病人到 达，也有一位病人接受诊断后离去的概率为。
排队论练习题
分三种情况考虑： （1） 当无病人时，三种互不相容事件的概率分别为： （a） 在时间t内没有病人排队，时刻也没有病人到达的概 率为。 （b） 在时间t内有一个病人，内没有顾客到达，但有一位 病人接受诊断后离去的概率为。 （c） 在时间t内没有病人排队，但在时刻内有一位病人到 达，也有一位病人接受诊断后离去的概率为。
装卸费每泊位每天a=2千元，停留损失费b=1.5千元/日
目标是总费用最少。
解：模型 M/M/C/∞/∞ C待定
总费用：F=ac+bLs（c）
离散，无法用求导来解。
考虑。 M/M/C/∞/∞ 要求 ρ=λ/cμ<1 即c>λ/μ=1.5
讨论 c=2,3,4…….
M/M/2/∞/∞ M/M/3/∞/∞ M/M/4/∞/∞
队长 Ls =λ/μ-λ) 总费用 C=aμ+bLs=aμ+bλ/(μ-λ) 求极值（最小值）
求导dc/du=a+-bλ/(μ-λ)2 所以 μ=λ+(bλ/a)1/2=4.5(只/位数。
已知：预计到达 λ=3只/天，泊松流
装卸
μ=2只/天，负指数分布。
例2 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson分布，平均到达速率为200 辆/小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒/辆。求L、Lq、W和Wq。
根据题意，=200辆/小时，=240辆/小时，=/=5/6。
例3．设公用电话通话的持续时间平均为3分钟，一个人等待打电话的平均忍耐时间也是 3分钟。求一个公用电话可以支持的最大呼叫量。 解：设为M/M/1模型。
i链平均时延 E (T i )’ =1/ (2μC i -2λi) = 0.5 E (T i ) i链队长 E (N i )’ =2λi(0.5) E (T i )= E (N i )
排队论练习
• 病人以平均每小时8人的速率来到只有一名 医生的诊所，候诊室有9把座椅供病人等候， 对每名病人诊断时间平均6min。计算： • （1）开诊时间内候诊室满员占的时间比例； • （2）求下述情况的概率 • a.有一个病人； • b.有2个病人在候诊室外排队。
• 某车间有5台机器，每台机器的连续运转时 间服从负指数分布，平均连续运转时间15 分钟，有一个修理工，每次修理时间服从 负指数分布，平均每次12分钟。 • 求： (1)修理工空闲的概率；(2)五台机器都 出故障的概率；(3)出故障的平均台数； • (4)等待修理的平均台数；(5)平均停工时间； （6）平均等待修理时间； • （7）评价这些结果。
• 某银行有3个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟 的泊松流到达，所有的顾客排成一队，出纳员与 顾客的交易时间服从平均数为0.5分钟的负指数分 布，试求： • （1）银行内空闲时间的概率； • （2）银行内顾客数为n时的稳态概率； • （3）平均队列长； • （4）银行内的顾客平均数； • （5）在银行内的平均逗留时间； • （6）等待服务的平均时间。
• 某机关接待室只有一位对外接待人员，每天工作 10小时，来访人员和接待时间都是随机的。若来 访人员按普阿松流到达，其到达速率=7人/小时， 接待时间服从负指数分布，其服务速率=7.5人/小 时。现在问： • (1)来访者需要在接待室逗留多久？等待多长时间？ • (2)排队等待接待的人数。 • (3)若希望来放者逗留时间减少一半，则接待人数 应提高到多少？
• 一个机修工人负责3台机器的维修工作，设 每台机器在维修之后平均可运行5天，而平 均修理一台机器的时间为2天，试求稳态下 的各运行指标。
• 一个工人负责照管6太自动机床，当机床需 要加料、发生故障或刀具磨损时就自动停 车，等待工人照管。设每台机床平均每小 时停车一次，每次需要工人照管的平均时 间为0.1h。试分析该系统的运行情况。
《运筹学》 第六章排队论习题及 答案
《运筹学》第六章排队论习题1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
排队论习题
排队论习题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--排队论习题1、某大学图书馆的一个借书柜台的顾客流服从泊松流，平均每小时50人，为顾客服务的时间服从负指数分布，平均每小时可服务80人，求：（1）顾客来借书不必等待的概率 3/8（2）柜台前平均顾客数 5/3（3）顾客在柜台前平均逗留时间 1/30（4）顾客在柜台前平均等待时间 1/802、一个新开张的理发店准备雇佣一名理发师，有两名理发师应聘。
由于水平不同，理发师甲平均每小时可服务3人，雇佣理发师甲的工资为每小时14元，理发师乙平均每小时可服务4人，雇佣理发师乙的工资为每小时20元，假设两名理发师的服务时间都服从负指数分布，另外假设顾客到达服从泊松分布，平均每小时2人。
问：假设来此理发店理发的顾客等候一小时的成本为30元，请进行经济分析，选出一位使排队系统更为经济的理发师。
3、一个小型的平价自选商场只有一个收款出口，假设到达收款出口的顾客流为泊松流，平均每小时为30人，收款员的服务时间服从负指数分布，平均每小时可服务40人。
（1）计算这个排队系统的数量指标P0、L q、L s、W q、W s。
（2）顾客对这个系统抱怨花费的时间太多，商店为了改进服务准备队以下两个方案进行选择。
1）在收款出口，除了收款员外还专雇一名装包员，这样可使每小时的服务率从40人提高到60人。
2）增加一个出口，使排队系统变成M/M/2系统，每个收款出口的服务率仍为40人。
对这两个排队系统进行评价，并作出选择。
4、汽车按泊松分布到达某高速公路收费口，平均90辆/小时。
每辆车通过收费口平均需时间35秒，服从负指数分布。
司机抱怨等待时间太长，管理部门拟采用自动收款装置使收费时间缩短到30秒，但条件是原收费口平均等待车辆超过6辆，且新装置的利用率不低于75%时才使用，问上述条件下新装置能否被采用。
5、有一台电话的共用电话亭打电话的顾客服从λ=6个/小时的泊松分布，平均每人打电话时间为3分钟，服从负指数分布。
【奥数易错汇编】小学数学六年级下册奥数高频考点常考易错题汇编——计数问题——排队论问题(含答案)
小学数学六年级奥数高频考点常考易错题汇编——计数问题——排队论问题一．选择题1．排队买票，从前往后数小明排第5，小军排第10，小明和小军之间有()人。
A．3B．4C．5D．62．同学们排队参观科技馆。
从前面数，东东是第28个，力力是第36个，东东和力力之间有()个人。
A．7B．8C．93．10个小朋友排成一排，从左往右数，小明在第6个，小明左边有几人？() A．4人B．5人C．6人4．排队时，小雨前面有5人，后面有9人，那么这一队一共有()人。
A．14B．15C．135．小朋友们排成队做操，从前往后数，小红排在第5个，从后往前数，小红还是排在第5个，这一队共有()个小朋友。
A．10B．9C．116．小动物排队做操，和之间有()个小动物。
A．5B．6C．77．小朋友们排成一队做游戏，淘气的前面有9人，后面有5人，这一队小朋友共有()人。
A．15B．16C．188．同学们排队做游戏，从前往后数芳芳排第5，从后往前数芳芳排第8，这一队一共有多少人？()A．13B．14C．129．一群小动物排队，从前面数小马排第7，小马后面有5只小动物，这群小动物一共有几只？()A．10B．11C．1210．人们排队进行核酸检测，从前面数，小明排第30个，他后面还有6个人，此时排队的人共有()个。
A．35B．36C．3711．有13人参加跑步比赛，小强的前面有9人，他的后面有()人。
A．3B．4C．5D．012．笑笑排队买票，她前面有13人，后面有8人，一共有()人排队。
A．20B．21C．2213．队列表演中，明明前面有7人，后面有12人，这一列一共有()人。
A．18B．19C．2014．红红的前面有6人，红红的后面有4人，这一队一共有多少人？() A．9 人B．10 人C．11 人15．小朋友们排队，从前面数小华排在第8个，从后面数小华排在第6个，这个队伍一共有()个人。
A．13B．14C．15二．填空题16．一共有个小朋友在玩“老鹰捉小鸡”的游戏，小明的前面有个小朋友，从后数，小明排在第个。
一年级试卷人排队【含答案】
一年级试卷人排队【含答案】专业课原理概述部分一年级试卷：人排队一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪种情况不属于排队现象？A. 餐厅等位B. 公交车站候车C. 教室座位安排D. 超市结账2. 排队论最早由哪位科学家提出？A. 欧拉B. 哈密顿C. 傅里叶D. 拉普拉斯3. 在排队系统中，顾客到达的间隔时间服从哪种分布？A. 正态分布B. 指数分布C. 均匀分布D. 二项分布4. M/M/1排队模型中，1代表什么？A. 服务台数量B. 顾客到达率C. 服务率D. 系统容量5. 在排队论中，顾客等待时间与服务时间的比值称为？A. 服务强度B. 利润率C. 忙期D. 空闲期二、判断题（每题1分，共5分）6. 排队系统中的顾客到达间隔时间一定是固定不变的。
（×）7. 排队系统中的服务时间一定是固定不变的。
（×）8. 在M/M/1排队模型中，当顾客到达率等于服务率时，系统达到平衡状态。
（√）9. 排队系统中的顾客数量越多，系统的效率越高。
（×）10. 在排队系统中，服务台数量越多，顾客等待时间越短。
（√）三、填空题（每题1分，共5分）11. 排队论主要研究的是顾客到达和服务过程的规律性以及系统的______、______和______等性能指标。
12. 排队系统主要由______、______、______和______组成。
13. 在M/M/1排队模型中，系统处于空闲状态的概率为______。
14. 在排队系统中，当顾客到达率小于服务率时，系统处于______状态。
15. 排队系统中的顾客等待时间与服务时间的比值称为______。
四、简答题（每题2分，共10分）16. 简述排队论的研究意义和应用领域。
17. 请列举三种常见的排队模型。
18. 什么是排队系统的稳态？如何判断一个排队系统是否达到稳态？19. 请解释什么是顾客到达间隔时间的分布函数。
20. 请解释什么是顾客等待时间的分布函数。
1003运筹学试题排队论部分
第五章 排队论一、填空题1．随机服务系统是由（ ）组成的。
2．随机事件流是（ ）。
3．如果一事件流满足平稳性、（ ）、（ ），就称为最简单流。
4．按照Kendall 的分类方法，对于排队模型X/Y/Z ，其中X 表示（ ），Y 表示（ ），Z 表示（ ）。
5．解排队问题必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，它们是（ ） 等。
6．系统的状态是指（ ）。
7．[逗留时间]=[等待时间]+[ ]8．系统中顾客数=在队列中等待服务的顾客数+（ ）。
9．稳态的物理含义是（ ）。
二、简答题1．简要说明等式)()1(q N L L p -=-μλ的实际含义2．简要解释无后效性。
3．简要解释生灭过程4．简要阐述排队论研究什么？三、计算题1．顾客按普阿松分布到达一个服务台。
如果到达率为每单位时间20个，在t=0时系统是空闲的。
（1）已知在t=15时系统中有10个顾客，求在t=30时系统中有20个顾客的概率（2）在t=10和t=20时系统中的平均顾客数2．汽车按照平均数为每小时90辆的普阿松分布到达快车道上的一个收费关卡。
通过关卡的平均时间（平均服务时间）是38秒，驾驶员埋怨等待时间太久。
主管部门想采用新装置，使通过关卡的时间减少到平均30秒，但这只有在老系统中等待的汽车超过平均5辆，新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的。
根据这个要求，问新装置是否合算？3．某车间的工具库只有一个管理员，平均每小时有4个工人来借工具，平均服务时间为6分钟。
到达为普阿松流，服务时间为指数分布。
由于场地等条件限制，仓库内能借工具的人最多不能超过3个，求：（1）仓库内没有人借工具的概率（2）系统中借工具的平均人数（3）排队等待借工具的平均人数（4）工人在系统中平均花费的时间（5）工人平均排队时间4．假定到达一个电话室的顾客服从普阿松分布，相继两个到达间的平均时间为10分钟，通话时间服从指数分布，平均数为3分钟。
求：（1）顾客到达电话室要等待的概率（2）平均队长（3）当一个顾客至少要等3分钟才能打电话时，邮电局打算增设一台电话机，问到达速度增加到多少时，装第二台电话机才是合理的？（4）打一次电话要等10分钟以上的概率是多少？（5）假定装了第二台电话机，顾客的平均等待时间是多少？。
排队论练习题
例1 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。
求1、收费处空闲的概率；2、收费处忙的概率；3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。
根据题意, λ=100辆/小时，μ1=15秒=2401（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。
因此125240100==μλ=ρ 系统空闲的概率为：583.012712511P 0==-=ρ-= 系统忙的概率为：417.0125)1(1P 10==ρ=ρ--=- 系统中有1辆车的概率为：243.014435127125)1(P 1==⨯=ρ-ρ= 系统中有2辆车的概率为：101.01728175127125)1(P 222==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=系统中有3辆车的概率为：0422.020736875127125)1(P 333==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=例2 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为200辆/小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒/辆。
求L 、Lq 、W 和Wq 。
根据题意，λ=200辆/小时，μ=240辆/小时，ρ=λ/μ=5/6。
)(7590W W )(90)(025.020024011W 17.45L L 511L 65q 65q 565秒秒小时=⨯=ρ===-=λ-μ==⨯=ρ==-=ρ-ρ=例3．设公用电话通话的持续时间平均为3分钟，一个人等待打电话的平均忍耐时间也是 3分钟。
求一个公用电话可以支持的最大呼叫量。
解：设为M/M/1模型。
平均服务时间：31)(==μts E 分钟 （隐含c ，每个呼叫的平均时间为3分钟）平均服务率：31=μ呼叫/分钟 （隐含c ）平均等待时间： 3)()(=-=λμμλw E 分钟故一个公用电话可以支持的最大呼叫量为： 613132=+=μλμ呼叫/分钟 此时：5.0==μλρ例4．分组交换网中所有信道（链路、线路）容量加倍，每个用户的数据量也加倍。
排队论
Ls n 1 npn 1 0.084 2 0.168 3 0.288 4 0.432
4
0.084 0.336 0.864 1.728 3.012
。
（5）每辆汽车在系统中逗留的时间 首先，
e (1 p4 ) 2 (1 0.432) 1.136 。 因 此 ， 每 辆 汽 车 在 系 统 中 的 逗 留 时 间
① 平均空闲的车位是 10 L 0，因此，
由于这个排队系统没有队列，所以 L
Ls Lq
e 9.999914 e 1.666652 6
10 Ls 8.333348
② 找不到空闲车位的概率为 P ③ 有效到达率为 λ 8.6 ∗ 10 ； 9.999914 ；
④ 每天平均有 10λ损 台车因找不到车位而离去
解: ① 依题意, 该问题是一个 M/M/1 等待制排队系统，系统容量和顾客源无限。顾客到达按 泊松流输入， e ＝4 人／小时，理发时间服从负指数分布， ＝10 人／小时。
0
1
2
….
K-2
K
K+1
….
② 理发店空闲的概率： p0 1
4 1 0.6 。 10
1
0.1889
1 1 10 P0 PC C ! 10 ! 6
有效到达率为，
10
0.1889 8.6 10 6
e 1 PC 10 (1 8.6 10 6 ) 9.999914
由于
p
k 0
4
k
1 ， p0 [1
3 2 3 3 3 4 1 32 ( ) ( ) ( ) ] 0.311 ( 1) 。 4 8 32 103
排队论-2-练习
Lq L 0.268
Wq
(1
)
4
（8） 用 T 表示顾客在系统中逗留的时间，则 T 服从参数为μ-λ的指数分布，于是
P(T 15)
(
15
)e()x dx
e ( )、某电话亭有一部电话，来打电话的顾客数服 从Poisson分布，相继两人到达间隔的平均时间为 10分钟，通话时间服从指数分布，平均通话时间为 3分钟。求
解6： λ=0.05人/分钟；μ=1/15=0.067人/分钟；ρ=0.75。
（1）顾客不必等待的概率： 0 1 0.25
（2）电视台内要求维修电视机的顾客数的平均数:
L 0.8 3 1 1 0.8
（3）要求维修电视机的顾客的平均逗留时间:
W L 60
（4）由题意：W>1.25X60=75分钟。则
（2）
L 1
(k 1) k1 1 k1
1.423
Lq
L
e
0.788
（3）
Wq
Lq
e
0.207
W L 0.374
e
（4） 5 5 0 0.048
例4、汽车平均以每分钟一辆的到达率去某加油 站加油，到达过程为Poisson分布过程。该加油 站只有一台加油设备，加油时间服从指数分布， 且平均需4分钟，求
当s=c时，系统的等待队列长度为0。即顾客到 达时，如果服务台有空闲，则进入服务台接受 服务。如果服务台没有空，顾客则当即离开。 许多服务系统具有这样的特征。如服务设施、 停车场、旅馆等。
系统客源有限的排队模型
设顾客源为有限个m个，服务台个数为s。且m>s。 顾客到达率为λ（如一台机器在单位时间内发生故 障的期望次数）。
（1）加油站内平均汽车数；
小学排队测试题及答案
小学排队测试题及答案
一、选择题
1. 小明在排队时，他前面有3个人，后面有2个人，那么这个队伍一共有（）个人。
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
答案：C
2. 小华在排队买票，他前面有5个人，他买了票后，后面又来了4个人，现在队伍中一共有（）个人。
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
答案：C
3. 小红在排队等候公交车，她前面有4个人，她后面有3个人，如果小红离开队伍，那么队伍中将剩下（）个人。
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
答案：A
二、填空题
4. 小刚在排队时，他前面有7个人，后面有4个人，如果队伍中每个人之间相隔1米，那么队伍的总长度是（）米。
答案：11
5. 小丽在排队时，她前面有6个人，后面有3个人，如果队伍中每个人之间相隔0.5米，那么队伍的总长度是（）米。
答案：4.5
三、判断题
6. 如果一个队伍有10个人，那么队伍中一定有9个间隔。
（）
答案：正确
7. 如果一个队伍有8个人，那么队伍中一定有7个间隔。
（）
答案：正确
四、简答题
8. 小明和小华一起排队，小明在小华前面，如果小明前面有2个人，小华后面有1个人，那么整个队伍中一共有几个人？
答案：小明前面有2个人，小华后面有1个人，加上小明和小华，整个队伍中共有5个人。
9. 小红和小刚一起排队，小红在小刚前面，如果小红前面有3个人，小刚后面有2个人，那么整个队伍中一共有几个人？
答案：小红前面有3个人，小刚后面有2个人，加上小红和小刚，整个队伍中共有6个人。
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第一章线性规划
第三章图与网络分析
第五章存储论
第七章对策论
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以上分别服从泊松分布和负指数分布。
为减轻打字员负担，有两个方案；一是增加一名打字员，每天费为 40 元，其工作效率同原打字员；二为购一台自动打字机，以提高打字效率，已知有三种类型打字机其费用及提高打字的效率如表 6-1 所示。
表 6-1
型号每天费用 / 元打字员效率提高程度 /%
1 37 50
2 39 75
3 43 150
据公司估测，每个文件若晚发出 1h 将平均损失 0.80 元。
设打字员每天工作 8h ，试确定该公司应采用的方案。
6.8 某商店收款台有 3 名收款员，顾客到达率为每小时 504 人，每名收款员服务率为每小时 240 人，设顾客到达为泊松流，收款服务时间服从负指数分布，分别求 P 0 、 L q 、 L s 、 W q 及 W s 。
6.9 某设备维修中心有 k 名工人，每天到达的需检修的设备服从λ=10 的负指数分布，每名工人维修设备的平均时间服从μ=3 的负指数分布。
现已知设置一名工人的服务成本为每天 4 元，而设备等待损失为每天 25 元，试决定此设备维修中心工人的最佳数字 k 。
6.10 考虑某个只有一个服务员的排队系统，输入为参数λ的普阿松流。
假定服务时间的概率分布未知，但期望值已知为 1/ μ。
(a) 比较每个顾客在队伍中的期望等待时间，如服务时间的分布为：①负指数分布；②定长分布；③爱郎分布，` 值为负指数分布的 1/2 ；
(b) 如与值均增大为原来的 2 倍，值也相应变化，求上述三种情况下顾客在队伍中期望等待间的改变情况。
6.11 汽车按泊松分布到达一个汽车服务部门，平均 5 辆 /h 。
洗车部门只拥有一套洗车设备，试分别计算在下列服务时间分布的情况下系统的 L s ， L q ， W s 与 W q 的值：
(a) 洗车时间为常数，每辆需 10min ；
(b) 负指数分布， 1/u=10min;
(c) t 为 5～15min 的均匀分布；
(d) 正态分布，μ=9min,Var(t)=42 ;
(e) 离散的概率分布 P （ t=5 ） =1/4 ， P(t=10)=1/2, P(t=15)=1/4 。
6.12 某仓库贮存的一种商品，每天的到货与出货量分别服从普阿松分布，其平均值为λ和μ，因此该系统可近似看成为（ M/M/1/ ∞ / ∞）的排队系统。
设该仓库贮存费为每天每件 c 1 元，一旦发生缺货时，其损失为每天每件 c 2 元，已知 c 2 >c 1 , 要求：
(a) 推导每天总期望费用的公式；
(b) 使总期望费用为最小的λ/ μ值。
6.13 设顾客按泊松流到达某服务台，平均到达率为λ=12 位 /h ，设每一位接收服务的顾客的等候成本为每小时 5 元，服务台的服务成本为每位顾客 2 元。
试确定使此服务台总费用最少的平均服务率μ* 。
6.14 填空
答案。