标号法求最短路径例题详解
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L2=v0v1v4v5, w(L2)=12, L3=v0v2v4v5, w(L3)精品=课1件1.
标号法(E.W.Dijkstra, 1959)
设带权图G=<V,E,w>, 其中eE, w(e)0. 设V={v1,v2,,vn}, 求v1到其余各顶点的最短路径
p标号(永久性标号)l
( i
r
):
第r步获得的v1到vi最短路径的
0
1
2
3
4
5
w0
v1
v2
v3
v4
v5
1 4
1/v0 4 8
6
4/v0 8
5
8 5/v2 6
8
6/v4
8/v1
1485
6
=v0v1v2v4v3v5, w()=6
同理得到第五行，只是得到第五行以后所有都标红了，也就是所有都结束
了，最后加一行，把所有标红的数字重新写一遍，这些数字就是到达相应
vi所需要的最短路径
vj(j=2,3,,n)获t
标
号:
l
( j
0
)
=wij.
令r1.
2. 设
l(r1) i
vm jTri1{nl(jr1)},
vi获得p标号:
l(r) i
li(r1)
.
令 Pr=Pr-1{vi}, Tr=Tr-1-{vi}.
若Tr=, 则结束.
3. vjTr, 令 l(jr) mi{ln(jr1),li(r)wij}
权
t到标达号v(i临的时路性径标的号最)小l i(权r ) :,
第r步获得的v1经过p标号顶点 是v1到vi的最短路径的权的上
界
第r步通过集Pr={v | v在第r步已获得永久性标号} 第r步未通过集Tr=V-Pr
精品课件
标号法(续)
算法:
1. v1获p标号:
l
( i
0
)
=0,
P0={v1},
T0=V-{v1},
最短路径
带权图G=<V,E,w>, 其中w:ER. eE, w(e)称作e的权. e=(vi,vj), 记w(e)=wij .
若vi,vj不 相邻, 记wij =.
设L是G中的一条路径, L的所有边的权之和称作L的 权, 记作w(L). 例u和1 v之L1间=v的0v1最v3短v5,路w径(L:1)u=和10v,之间权最小的通路.
标号法求v0到v5的最短路径
r vi
v0
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
1
1/v0 3 8
6
2
3/v0 8
4
因为第二步得到的数字当中3最小，v2最短为3。
因为通过v2不能直接到达v3，所以v3下面还是8。
通过v2到达v4需要4
到达不了v5
精品课件
标号法求最短路径 第四步：
标号法求v0到v5的最短路径
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
1
1/v0 3 8
6
因为第一步得到的数字当中除了已经确定的0以外，1最小， 所以到达v1的最短路径确定了，为1，并且通过v0。 因为通过v1到达v2需要3步，比4小，所以v2处写3。 同理，因为通过v1到达v3和v4的权重和小于正无穷。
精品课件
标号法求最短路径 第三步：
令r=r+1, 转2.
精品课件
标号法求最短路径
第一步：
标号法求v0到v5的最短路径
r vi
v0
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
因为第一步v0只能够到达v1和v2，所以v1和v2下面写到达的 权重，而v3~v5写无穷大。
精品课件
标号法求最短路径 第二步：
标号法求v0到v5的最短路径
r vi
v0
r vi
v0
v1
v2
v3
0
014
1
1/v0 3 8
2
3/v0 8
3
7
v4
v5
6
4
4/v2 10
精品课件
标号法求最短路径 第五步：
标号法求v0到v5的最短路径
r vi
v0
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
1
1/v0 3 8
6
2
3/v0 8
4
3
7 4/v2 10
4
7/v4
9
精品课件
r vi v0
0
精品课件
第六步：
求v0到v5的最短路径
r vi v0
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
1
1/v0 3
8
6
2
Hale Waihona Puke Baidu
3/v1 8
4
3
7 4/v2 10
4
7/v4
9
5
9/v3
w0
1374
9
=v0v1v2v4v3v5, w()=9
精品课件
标号法(E.W.Dijkstra, 1959)
设带权图G=<V,E,w>, 其中eE, w(e)0. 设V={v1,v2,,vn}, 求v1到其余各顶点的最短路径
p标号(永久性标号)l
( i
r
):
第r步获得的v1到vi最短路径的
0
1
2
3
4
5
w0
v1
v2
v3
v4
v5
1 4
1/v0 4 8
6
4/v0 8
5
8 5/v2 6
8
6/v4
8/v1
1485
6
=v0v1v2v4v3v5, w()=6
同理得到第五行，只是得到第五行以后所有都标红了，也就是所有都结束
了，最后加一行，把所有标红的数字重新写一遍，这些数字就是到达相应
vi所需要的最短路径
vj(j=2,3,,n)获t
标
号:
l
( j
0
)
=wij.
令r1.
2. 设
l(r1) i
vm jTri1{nl(jr1)},
vi获得p标号:
l(r) i
li(r1)
.
令 Pr=Pr-1{vi}, Tr=Tr-1-{vi}.
若Tr=, 则结束.
3. vjTr, 令 l(jr) mi{ln(jr1),li(r)wij}
权
t到标达号v(i临的时路性径标的号最)小l i(权r ) :,
第r步获得的v1经过p标号顶点 是v1到vi的最短路径的权的上
界
第r步通过集Pr={v | v在第r步已获得永久性标号} 第r步未通过集Tr=V-Pr
精品课件
标号法(续)
算法:
1. v1获p标号:
l
( i
0
)
=0,
P0={v1},
T0=V-{v1},
最短路径
带权图G=<V,E,w>, 其中w:ER. eE, w(e)称作e的权. e=(vi,vj), 记w(e)=wij .
若vi,vj不 相邻, 记wij =.
设L是G中的一条路径, L的所有边的权之和称作L的 权, 记作w(L). 例u和1 v之L1间=v的0v1最v3短v5,路w径(L:1)u=和10v,之间权最小的通路.
标号法求v0到v5的最短路径
r vi
v0
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
1
1/v0 3 8
6
2
3/v0 8
4
因为第二步得到的数字当中3最小，v2最短为3。
因为通过v2不能直接到达v3，所以v3下面还是8。
通过v2到达v4需要4
到达不了v5
精品课件
标号法求最短路径 第四步：
标号法求v0到v5的最短路径
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
1
1/v0 3 8
6
因为第一步得到的数字当中除了已经确定的0以外，1最小， 所以到达v1的最短路径确定了，为1，并且通过v0。 因为通过v1到达v2需要3步，比4小，所以v2处写3。 同理，因为通过v1到达v3和v4的权重和小于正无穷。
精品课件
标号法求最短路径 第三步：
令r=r+1, 转2.
精品课件
标号法求最短路径
第一步：
标号法求v0到v5的最短路径
r vi
v0
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
因为第一步v0只能够到达v1和v2，所以v1和v2下面写到达的 权重，而v3~v5写无穷大。
精品课件
标号法求最短路径 第二步：
标号法求v0到v5的最短路径
r vi
v0
r vi
v0
v1
v2
v3
0
014
1
1/v0 3 8
2
3/v0 8
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7
v4
v5
6
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4/v2 10
精品课件
标号法求最短路径 第五步：
标号法求v0到v5的最短路径
r vi
v0
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
1
1/v0 3 8
6
2
3/v0 8
4
3
7 4/v2 10
4
7/v4
9
精品课件
r vi v0
0
精品课件
第六步：
求v0到v5的最短路径
r vi v0
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
1
1/v0 3
8
6
2
Hale Waihona Puke Baidu
3/v1 8
4
3
7 4/v2 10
4
7/v4
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1374
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=v0v1v2v4v3v5, w()=9
精品课件