标号法求最短路径例题详解
标数法： 用来解决计算最短路线问题的方法,在给出的图形中
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
7.
一只密蜂从 A 处出发， A 回到家里 B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而 不准逆行，共有多少种回家的方法？
1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 B
8. 在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出 “ APPLE ”的路线共有多少条？
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
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1.
A E1 1 C 1 F2 3 1 D
3G 6 B
H
I
2. 首先明确三天所走的路线有什么不同？每天的路线有无限制条件？若有， 是什么？搞清 楚这些问题后，仍然用标数法求解．第一天（无限制条件）共有 16 条；第二天（必须 经过公园）共有 8 条；第三天（必须不经过公园）共有 8 条． 3. 因为 B 在 A 的右下方，由标号法可知，从 A 到 B 的最短路径上，到达任何一点的走法 数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和． 有积水的街道不可能有路线 经过，可以认为积水点的走法数是 0．接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依 次向下向右填上到各点的走法数．如右上图，从 A 到 B 的最短路线有 22 条．
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
标数法： 用来解决计算最短路线问题的方法，在给出的图形中 的每一个结点标出到达该点的方法 数，最后利用相加的原则求出到达目 的地的方法数。
从 A 到 B 的最短路线有多少条？
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
5. 用“标数”求出：从学校到养老院共 126 条．必经过市中心的 60 条，所以可行的路有： 126 60 66 （条） ．
六级下册奥数试题——最短路线.人教版
六级下册奥数试题——最短路线.人教版六年级下册奥数试题——最短路线.〔含答案〕人教版8-8最短路线教学目标 1.准确运用“标数法〞解决题目.2.培养学生的实际操作能力．知识精讲知识点说明从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短．⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力．例题精讲【例 1】一只蚂蚁在长方形格纸上的点，它想去点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？【解析】〔方法一〕从点走到点，不管怎样走，最短也要走长方形的一个长与一个宽，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于．这样我们走的这条路线才是最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路〞，只能向右和向下走．所有最短路线：、、、、这种方法不能保证“不漏〞．如果图形再复杂些，做到“不重〞也是很困难的．〔方法二〕遵循“最短路线只能向右和向下走〞，观察发现这种题有规律可循．①看点：只有从到的这一条路线．同样道理：从到、从到、从到也都只有一条路线．我们把数字“〞分别标在这四个点上．②看点：从点出发到，可以是，也可以是，共有两种走法．那么我们在点标上数字“〞〔〕．③看点：从有三种走法，即：、、．在点标上数字“〞〔〕．④看点：共有三种走法，即：、、，在点标上“〞〔〕．⑤看点：从上向下走是，从左向右走是，那么从出发点有六种走法，即：、、、、、，在点标上“〞〔〕，观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点到这点的所有最短路线的条数．此法能够保证“不重〞也“不漏〞，这种方法叫“对角线法〞或“标号法〞．【稳固】如下图，从点沿线段走最短路线到点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？【解析】这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．从到的各种不同走法中先选择一条路线来分析^p ：如果按路线→→→→→来走，这条路线共有条线段，每次走一步或两步，要求从走到，会有几种走法？这不是“上楼梯〞问题吗．根据“上楼梯〞问题的解法可得在→→→→→这条路线中有8种符合条件的走法．而对于从到的其他每条最短路线而言，每一条路线都有5条线段，所以每条路线都有8种走法．进一步：从到共有多少条最短路线？这正是“最短路线〞问题！用“标数法〞来解决，有10条．综上所述，满足条件的走法有种．【稳固】从到的最短路线有几条呢？【解析】图中从到的最短路线都为6条．【稳固】有一只蜗牛从点出发,要沿长方形的边或对角线爬到点,中间不许爬回点,也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？【解析】共有种，即：、、、、、 ,最短的路是:．【例 2】阿呆和阿瓜到少年宫参加北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？【解析】从学校到少年宫的最短路线，只能向右或向下走．我们可以先看点：从学校到点最短路线只有种走法，我们在点标上．、、、点同理．再看点：最短路线可以是、共条，我们在点标上．我们发现正好是对角线点和点上的数字和．所有的最短路线都符合这个规律，最终从学校到少年宫共有种走法．【稳固】方格纸上取一点作为起点，再在的右上方任取一点作为终点，画一条由到的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？【解析】根据“标号法〞可知共有种，如图．【稳固】如图，从点出发到点，走最短的路程，有多少种不同的走法？【分析^p 】共有种．【稳固】小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮助呀！【分析^p 】根据“对角线法〞知共有种，如图．【例 3】“五一〞长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？【解析】采用对角线法〔如图〕这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．从北京到黄山最近的道路共有条．【稳固】从甲到乙的最短路线有几条？【解析】有条．【例 4】古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪明过人．人一天一位将军向他请教一个问题：如下列图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？【解析】此题主要表达最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题．【例 5】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村〔如图〕．爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？【解析】我们采用对角线法〔如图〕，从学校到李家村共有种不同的最短路线．［拓展］亲爱的小朋友们，你们觉得从到共有几条最短路线呢？【解析】此题与上题不同，但方法相同．我们采用对角线法〔如图〕可知：可以选择的最短路线共有条．【例 6】阿花和阿红到少年宫参加北京奥运会志愿者培训．他们从学校出发到少年宫最多有多少种不同的行走路线？【解析】采用对角线法〔如图〕．可得从学校到少年宫共有种走法．［铺垫］小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？【解析】“对角线〞法〔如图〕，共条．【例 7】阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？【解析】仍然用对角线法求解．第一天〔无限制条件〕共有条；第二天〔必须经过公园〕共有条；第三天〔必须不经过公园〕共有条．【稳固】大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如下图),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！【解析】〔方法一〕用“对角线法〞求出：从学校到养老院共条．必经过市中心的条，所以可行的路有：〔条〕．〔方法二〕可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有条．【例 8】如图，从到最短路线总共有几种走法？【分析^p 】如图，共有种．【例 9】如图，从到沿网格线不经过线段和的最短路径的条数是多少条？【解析】由于不能经过线段和，所以我们必须先在网络图中撤除和，然后再在撤除了和以后的网络图中进行标数(如下列图所示)．运用标数法可求出满足条件的最短路径有78条．【稳固】下列图为某城市的街道示意图，处正在挖下水道，不能通车，从到处的最短路线共有多少条？【解析】从到的最短路线有条.【例 10】按图中箭头所指的方向行走，从到共有多少条不同的路线？【解析】此题中的运动方向已经由箭头标示出来，所以关键要分析^p 每一点的入口情况．通过标数法我们可以得出从到共有条不同的路径．【例 11】按图中箭头方向所指行走，从到有多少种不同的路线？【解析】运用标数法原理进行标数，整个标数流程如下列图从到共有条不同的路线．【稳固】⑴按下列图左箭头方向所指，从到有多少种不同的路线？⑵如下列图右所示，这个问题有一个规那么：只能沿着箭头指的方向走，你能否根据规那么算出所有从入口到出口的路径共有多少条？［分析^p ］⑴利用标数法求得到有种不同的路线，如下列图左所示．⑵由题将路线图转化为下列图右所示，根据标数法求得从入口到出口的路径共有10条．【例 12】⑴如下列图左，如果只允许向下移动，从点到点共有多少种不同的路线？⑵如下列图右，要从点到点，要求每一步都是向右，向上或者斜上方，问共有多少种不同的走法？【解析】⑴按题目要求，只能向下移动，利用标数法求得到共有路线种，如下列图左所示．⑵按题目要求，只能走下列图右的3个方向，利用标数法求得共有22种不同的走法，如下列图右．【稳固】图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间，从1号房间走到10号房间共有多少种不同走法？【分析^p 】图中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间〞这句话实际上就规定了行走的方向．如下列图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从1号走到10号房间共有22种不同的走法．【例 13】一只密蜂从处出发，回到家里处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？【解析】蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行〞这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可运用标准法进行计算．如下图，小蜜蜂从出发到处共有种不同的回家方法．【例 14】在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“〞的路线共有多少条？［分析^p ］要想拼出英语“〞的单词，必须按照“〞的次序拼写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下列图所示，运用标数法原理标数不难得出共有31种不同的路径．［铺垫］图中的“我爱希望杯〞有多少种不同的读法．［分析^p ］从我〔个〕、爱〔个〕、希〔个〕、望〔个〕、杯〔个〕中组成“我爱希望杯〞即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有(种)．注意图中的三个字母“〞，左、右的两个字母“〞只能由一个字母“〞去到达．［拓展］如下列图左所示，科学家“爱因斯坦〞的英文名拼写为“〞，按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“〞.［分析^p ］因为“〞的拼读顺序为“〞，每一种拼法都对应着网络图中的一条最短路径，所以可以运用标数法来解决．如上图右所示，从点到点的最短路径有30条，所以共有(种)不同拼法.2021年部编版五年级语文下册期末测试题及答案20__-2021学年下学期五年级期末检测卷班级：姓名：总分值：100分考试时间：90分钟题序一二三四五六七八九总分得分一、用“〞画出加点字的正确读音。
标号法
标号法标号法是一种最佳算法，多用于求图的最短路问题。
一、标号法的概念：所谓标号，是指与图的每一个顶点相对应的一个数字。
标号法可以说是动态规划，它采用顺推的方法，对图的每一边检测一次，没有重复的回溯搜索，因此标号法是一种最佳算法。
二、标号法的算法流程：现有一图G，求从起点Vs到终点Ve的最短距离。
设：Sum(j)───顶点Vj的标号，代表的是Vs到Vj的最短距离。
Vj•已标味着Vs到Vj的最短路以及这条路径的长度已求出。
M(i,j)───Vi到Vj的非负长度。
H(j)───顶点Vj的前趋结点。
标号法的算法流程如下：sum（s）←0↓Vs进入队列L↓-----→移出队列L的队首Vk←-----| ↓ || Vk是不是Ve------------------|---→计算结束打印路径| N∣ Y || ↓ || 由Vk扩展出结点Vj || （Vk与Vj之间相连） || Sj←Sum(k)+M(k，j) || ↓ || Sj小于Sum（j） || | || Y | N || | --------------------| || ↓| Sum（j）←Sj| H（j）← Vk| Vj加入队列L并对队列L按Sum值由小到大排序| ↓---------------注意：1.只有两个顶点间的距离为非负时，才可用标号法。
2.只有队列的首结点是目标结点时，才可停止计算。
•否则得出的不一定是最优解。
三、例题解析：1.相邻项序列(GDOI97第四题)问题描述：对于一个N*N(<=100)的正整数矩阵M，存在从M[A1，•B1] •开始到M[A2，B2]结束的相邻项序列.两个项M[I，J]和M[K，L]•相邻的件是指满足如下情况之一：(1)I=K+-1和J=L(2)I=K和J=L+-1。
任务：从文件中输入矩阵M，再读入K(K<=4)组M[A1，B1]和M[A2，B2]的值。
对于每一组M[A1，B1]和M[A2，B2]，求一相邻项序列，使得相邻项之差的绝对值之和为最小。
最短路径与标号法
最短路径与标号法前面我们学习过动态规划的应用，图中没明显阶段求最短路径的问题属于无明显阶段的动态规划，通常用标号法求解，求最短路径问题是信息学奥赛中很重要的一类问题，许多问题都可转化为求图的最短路径来来解，图的最短路径在图论中有经典的算法，本章介绍求图的最短路径的dijkstra算法、Floyed算法，以及标号法。
一、最短路径的算法1、单源点最短路径（dijkstra算法）给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是一个非负实数，另外，还给定V中的一个顶点，称为源点。
求从源点到所有其他各顶点的最短路径长度。
这个问题称为单源最短路径问题。
求单源最短路径可用dijkstra算法求解。
（dijkstra算法）算法思想：设源点为x0，dist[i]表示顶点i到源点x0的最短路径长度，map[i,j]表示图中顶点i到顶点j的长度，用数组mark对所有的顶点作标记，已求出源点到达该点J的最短路径的点J记为mark[j]=true,否则标记为false。
初始时，对源点作标记，然后从未作标记的点中找出到源点路径长度最短的顶点minj，对该顶点作标记，并对其它未作标记的点K作判断：if dist[minj]+map[minj,k]<dist[k] then dist[k]= dist[minj]+map[minj,k]。
重复处理，直到所有的顶点都已作标记，这时求出了源点到所有顶点的最短路径。
算法过程：const maxn=100;varmap: array[1..maxn,1..maxn] of integer;dist: array[1..maxn] of integer;mark: array[1..maxn] of Boolean;n,k: integer;procedure dijkstra;var I,j,min,minj,temp:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),0);for I:=1 to n do dist[i]:=maxint;dist[k]:=0;for I:=1 to n-1 dobeginmin:=maxint;for j:=1 to n doif (not mark[j]) and (dist[j]<min) thenbeginmin:=dist[j]; minj:=j;end;mark[minj]:=true;for j:=1 to n doif (not mar[j]) and (map[minj,j]>0) thenbegintemp:=dist[minj]+map[minj,j];if temp<dist[j] then dist[j]:=temp;end;end;end;以上只是求出了从源点到其它所有点的最短路径长度，所经过的具体路径没有保存，如果要求出具体的路径来，那么在求最短路径的过程中要将经过的中间点记录下来。
dijkstra标号法例题
dijkstra标号法例题
Dijkstra标号法是一种用于求解带权图中单源点最短路径的算法。
以下是一个Dijkstra标号法的例题：
题目：已知一个带权图，求顶点A到其他所有顶点的最短路径。
图中的顶点及其权重如下：
顶点：A(0)，B(4)，C(3)，D(2)，E(1)
边权：AB(1)，AC(2)，AD(3)，AE(4)，BC(1)，BD(2)，BE(3)，CD(1)，DE(1)
以下是使用Dijkstra标号法求解的过程：
1. 初始化：将起点A的标号设为0，其他顶点的标号设为无限大。
2. 将起点A加入优先队列中。
3. 从优先队列中取出距离起点最近的点，这里是最小权值为0的A。
将A的邻接顶点B、C、D、E的标号更新为1（即距离A的最短路径长度为1）。
4. 修改从A出发到集合V-S（已找到最短路径的顶点）上任一顶点K 的最短路径长度。
如果d[K]大于d[A] + a[A,K]，则修改为d[K] = d[A] + a[A,K]。
在本例中，修改B、C、D、E到其他顶点的距离。
5. 重复步骤3和4，直到所有顶点都获得最短路径。
最终得到的最短路径如下：
A -> B(1) -> E(2) -> D(3) -> C(4)
需要注意的是，Dijkstra标号法得到的最短路径是单源点A到其他顶点的最短路径，而非A到B、A到C等两点之间的最短路径。
如需求解两点之间的最短路径，可以分别以两个顶点为起点，重复上述过程。
最短路径问题的求解
最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点， 处理后得到如下图的最终结果：
5、由上图可以得出结论：点C、B、D、E就是点A到它们的最短路径（注意：这些路径并不是经过了 所有点，而是只经过了其中的若干个点，而且到每一个点的那条路径不一定相同）。因而A到E的最 短距离就是13。至于它经过了哪几个点大家可在上述过程中加以记录即可。
最短路径问题的求解
三、等代价搜索法 等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与 启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之 处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值， 也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是： 1、 从A点开始依次展开得到AB（7）、AC（3）、AD（10）、AE（15）四个新 结点，把第一层结点A标 把未展开过的AB、AC、AD、AE四个结点中距离最小的一个展开，即展开AC （3）结点，得到ACB（8）、ACD（16）、ACE（13）三个结点，并把结点AC标记为 已展开； 3、 再从未展开的所有结点中找出距离最小的一个展开，即展开AB（7）结点， 得到ABC（12）、ABD（20）、ABE（19）三个结点，并把结点AB标记为已展开； 4、 再次从未展开的所有结点中找出距离最小的一个展开，即展开ACB（8）结 点，……； 5、 每次展开所有未展开的结点中距离最小的那个结点，直到展开的新结点中 出现目标情况（结点含有5个字母）时，即得到了结果。
最短路径问题的求解
[问题分析] 对于一个含有n个顶点和e条边的图来说，从某一个顶点Vi到其余任一顶点Vj的最短路径，可 能是它们之间的边（Vi，Vj），也可能是经过k个中间顶点和k+1条边所形成的路径(1≤k≤n-2)。 下面给出解决这个问题的Dijkstra算法思想。 设图G用邻接矩阵的方式存储在GA中，GA[i,j]=maxint表示Vi，Vj是不关联的，否则为权值 （大于0的实数）。设集合S用来保存已求得最短路径的终点序号，初始时S=[Vi]表示只有源点， 以后每求出一个终点Vj，就把它加入到集合中并作为新考虑的中间顶点。设数组dist[1..n]用来 存储当前求得的最短路径，初始时Vi，Vj如果是关联的，则dist[j]等于权值，否则等于maxint， 以后随着新考虑的中间顶点越来越多，dist[j]可能越来越小。再设一个与dist对应的数组 path[1..n]用来存放当前最短路径的边，初始时为Vi到Vj的边，如果不存在边则为空。 执行时，先从S以外的顶点（即待求出最短路径的终点）所对应的dist数组元素中，找出其 值最小的元素（假设为dist[m]），该元素值就是从源点Vi到终点Vm的最短路径长度，对应的 path[m]中的顶点或边的序列即为最短路径。接着把Vm并入集合S中，然后以Vm作为新考虑的中 间顶点，对S以外的每个顶点Vj，比较dist[m]+GA[m,j]的dist[j]的大小，若前者小，表明加入 了新的中间顶点后可以得到更好的方案，即可求得更短的路径，则用它代替dist[j]，同时把Vj 或边（Vm，Vj）并入到path[j]中。重复以上过程n-2次，即可在dist数组中得到从源点到其余 各终点的最段路径长度，对应的path数组中保存着相应的最段路径。 对于上图，采用Dijkstra算法找出C1到Ci之间的最短路径(2≤i≤6)的过程如下：
dijkstra 标号法 floyd
dijkstra 标号法floyd全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：Dijkstra算法和Floyd算法是两种最经典的图论算法，用来解决最短路径问题。
它们分别有着独特的算法思想和实现方式，在不同的场景中表现出各自的优势。
本文将介绍Dijkstra算法和Floyd算法的基本原理和应用，以及它们之间的区别和优缺点。
让我们来了解一下Dijkstra算法。
Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫·迪克斯特拉于1956年提出的，用来解决单源最短路径问题。
所谓单源最短路径问题，就是给定一个带权有向图G=(V, E)，其中V为顶点集合，E为边集合，每条边的权值为正数，以及一个源点s，求出从源点s到图中其他所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法的基本思想是以源点为中心，逐步找出源点到其他各顶点的最短路径。
具体步骤如下：1. 创建一个集合S，用来存放已确定最短路径的顶点，初始时将源点加入其中；2. 初始化一个数组dist，用来记录从源点到各顶点的最短距离，初始时将源点到自身的距离设为0，其余顶点的距离设为无穷大；3. 重复以下步骤直到集合S包含所有顶点：a. 从dist中找出当前距禓源点最近的顶点u，将其加入集合S；b. 更新以u为起点的边的权值，更新dist数组中相应的距禓；4. 得到源点到其他各顶点的最短路径。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数，这主要取决于选取最短路径顶点的方式。
当使用最小堆或斐波那契堆优化时，时间复杂度可以降至O(E+VlogV)。
1. 初始化一个二维数组dist，用来记录任意两顶点之间的最短路径距禓，初始时将dist[i][j]设为顶点i到顶点j的直接距禓，如果i和j 之间没有直接边，则设为无穷大；2. 重复以下步骤直到二维数组dist不再更新：a. 遍历所有顶点对(i, j)，尝试以顶点k为中转点，更新dist[i][j]的值；3. 得到任意两顶点之间的最短路径。
最短路径问题的求解PPT精选文档
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最短路径问题的求解
三、等代价搜索法 等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与
启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之 处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值， 也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是：
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最短路径问题的求解
二、 启发式搜索 在宽度优先搜索算法的基础上，每次并不是把所有可展开的结点展开，
而是对所有没有展开的结点，利用一个自己确定的估价函数对所有没展开 的结点进行估价，从而找出最应该被展开的结点（也就是说我们要找的答 案最有可能是从该结点展开），而把该结点展开，直到找到目标结点为止。
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最短路径问题的求解
八、Dijkstra算法（从一个顶点到其余各顶点的最短路径，单源最短路径） 例3、如下图，假设C1,C2,C3,C4,C5,C6是六座城市，他们之间的连线表示两 城市间有道路相通，连线旁的数字表示路程。请编写一程序，找出C1到Ci 的最短路径(2≤i≤6)，输出路径序列及最短路径的路程长度。
3、由数轴可见，A与A'点相比，A点离原点近，因而保留A点，删除A'点，相应的，B、B'点保留B点， D、D'保留D'，E、E'保留E'，得到下图：
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最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点， 处理后得到如下图的最终结果：
matlab最短路径问题标号法
一、介绍MATLAB是一种非常流行的数学建模和仿真软件，被广泛应用于工程、科学和金融领域。
在MATLAB中，最短路径问题是一个常见的优化问题，通常会涉及到图论、线性代数和优化算法等知识。
在解决最短路径问题时，我们常常需要使用标号法来求解，本文将对MATLAB中最短路径问题的标号法进行介绍。
二、什么是最短路径问题最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中寻找两个顶点之间的最短路径。
在实际应用中，最短路径问题通常涉及到网络规划、路线规划、物流配送等方面。
我们需要求解城市之间的最短路径来设计公交线路，或者求解货物在仓库之间的最短路径来优化物流方案。
三、最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以使用标号法（Label Correcting Algorithm）来求解最短路径问题。
标号法是一种基于节点标号的启发式算法，它通过不断更新节点的标号信息来逐步搜索最短路径。
下面是标号法的基本思路：1. 初始化：我们需要对图中的节点进行初始化，设置起点的标号为0，其他节点的标号为无穷大。
2. 标号更新：我们开始不断更新节点的标号。
对于每个节点，我们计算通过它能够到达的节点的距离，并将这些距离与当前节点的标号进行比较。
如果通过当前节点到达某个邻居节点的路径距离更短，则更新该邻居节点的标号为当前节点的标号加上当前节点到邻居节点的距离。
3. 节点选择：在标号更新的过程中，我们需要选择一个未加入最短路径的节点，并将其标记为已加入最短路径。
这个过程通常会涉及到优先级队列等数据结构的使用，以便快速找到最短路径的下一个节点。
4. 终止条件：当所有节点都已加入最短路径，或者找到目标节点时，算法终止，最短路径即为标号信息所指示的路径。
四、MATLAB实现最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以利用图论工具箱和优化工具箱来实现最短路径问题的标号法。
下面是一个简单的MATLAB示例：```matlab创建图N = 5; 节点数E = [1, 2; 1, 3; 2, 3; 2, 4; 3, 4; 3, 5; 4, 5]; 边集L = [1, 2, 3, 4, 5]; 标号W = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]; 权重G = digraph(E(:, 1), E(:, 2), W);最短路径求解[s, t] = deal(1, N); 起点和终点[P, D] = graphshortestpath(G, s, t, 'Method', 'positive');```在这个例子中，我们首先创建了一个有向图G，并指定了节点数N、边集E、节点标号L和边权重W。
最短路径：标号校正算法
前驱图
假设我们Update(5) 且pred(5)=4
27
前驱图
假设我们Update(4) 且pred(4) := 8. 那么4-8-5-4 有负代价.
在Update(4)前, 以下为 真: d(5) = d(4) + c45 d(8) = d(5) + c58 d(4) > d(8) + c84
d(j) ≤d(i) + cij ，i ∈N ，j ≠1.
(1)
d(1) = 0.
(2)
那么对于每个 j 有 d(j) ≤d*(j).
证明：令 P 是任何一从结点 1 到结点 j的路径，其长度 是c(P)，且假设 P 有 k 条弧.
断言: d(j) ≤c(P). 注释: 如果 P 是从 1 到 j的最短路径，那么
当k遍以后，dk(j) ≤dk-1(i) + cij= d*(j).
14
证明结束
定理 FIFO 标号纠正算法对于所有的在N中的j,在 O(nm)步找到从路径1到j的最小路径长度，或者说明 存在一个负代价圈.
证明：如果没有负代价圈，从 1 到j 的最短通路有至多有 n-1条弧，因此n-1遍后，对于所有的j 有d(j) = d*(j).
通过前面的定理得到： d(j) = d*(j).
9
更多关于有限性
如果数据不被要求是整数，将发生什么？ 算法仍然是有限的，但是需要使用不同的证明.
如果有一个负代价圈，将会发生什么？ 算法也许不再有限. 可能，d(j)保持减小到 -∞ 但是当 d(j)<-nC的时候，我们可以停止它，既然这保 证存在一个负代价圈.
证明. d(j) ≤d*(j). 且, d(j) ≥d*(j)， d(j) 是从结点 1 到 结点 j 的某路径的长度. 因此 d(j) = d*(j).
标号法求最短路径例题详解
设带权图G=<V,E,w>, 其中eE, w(e)0. 设V={v1,v2,,vn}, 求v1到其余各顶点的最短路径 p标号(永久性标号)l i( r ): 第r步获得的v1到vi最短路径的 权 t标号(临时性标号) l i( r ) : 第r步获得的v1经过p标号顶点 到达vi的路径的最小权, 是v1到vi的最短路径的权的上 界 第r步通过集Pr={v | v在第r步已获得永久性标号} 第r步未通过集Tr=V-Pr
4
标号法求最短路径 第三步：
标号法求v0到v5的最短路径
r 0 1 2 vi v0 v1 v2 v3 v4 v5
0
1 1/v0
4 3 3/v0
8 8
6 4
所以v3下面还是8。 通过v2到达v4需要4 到达不了v5
0
1 1/v0
4 3 3/v0
8 8 7 7/v4
6 4 4/v2
10 9
7
r 0 1 2 3 4 5 w
vi 0
v0
v1
1 1/v0 4
v2
4 4/v0
v3
v4
v5
6 6/v4 6
0
1
4
8 6 8 5 8 5/v2 8 8/v1 8 5
=v0v1v2v4v3v5,
w()=6
8
同理得到第五行，只是得到第五行以后所有都标红了，也就是所有都结束 了，最后加一行，把所有标红的数字重新写一遍，这些数字就是到达相应 vi所需要的最短路径
1
标号法(续)
算法: 1. v1获p标号: l i( 0 )=0, P0={v1}, T0=V-{v1}, vj(j=2,3,,n)获t 标
最短路径与标号法
最短路径与标号法前面我们学习过动态规划的应用，图中没明显阶段求最短路径的问题属于无明显阶段的动态规划，通常用标号法求解，求最短路径问题是信息学奥赛中很重要的一类问题，许多问题都可转化为求图的最短路径来来解，图的最短路径在图论中有经典的算法，本章介绍求图的最短路径的dijkstra算法、Floyed算法，以及标号法。
一、最短路径的算法1、单源点最短路径（dijkstra算法）给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是一个非负实数，另外，还给定V中的一个顶点，称为源点。
求从源点到所有其他各顶点的最短路径长度。
这个问题称为单源最短路径问题。
求单源最短路径可用dijkstra算法求解。
（dijkstra算法）算法思想：设源点为x0，dist[i]表示顶点i到源点x0的最短路径长度，map[i,j]表示图中顶点i到顶点j的长度，用数组mark对所有的顶点作标记，已求出源点到达该点J的最短路径的点J记为mark[j]=true,否则标记为false。
初始时，对源点作标记，然后从未作标记的点中找出到源点路径长度最短的顶点minj，对该顶点作标记，并对其它未作标记的点K作判断：if dist[minj]+map[minj,k]<dist[k] then dist[k]= dist[minj]+map[minj,k]。
重复处理，直到所有的顶点都已作标记，这时求出了源点到所有顶点的最短路径。
算法过程：const maxn=100;varmap: array[1..maxn,1..maxn] of integer;dist: array[1..maxn] of integer;mark: array[1..maxn] of Boolean;n,k: integer;procedure dijkstra;var I,j,min,minj,temp:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),0);for I:=1 to n do dist[i]:=maxint;dist[k]:=0;for I:=1 to n-1 dobeginmin:=maxint;for j:=1 to n doif (not mark[j]) and (dist[j]<min) thenbeginmin:=dist[j]; minj:=j;end;mark[minj]:=true;for j:=1 to n doif (not mar[j]) and (map[minj,j]>0) thenbegintemp:=dist[minj]+map[minj,j];if temp<dist[j] then dist[j]:=temp;end;end;end;以上只是求出了从源点到其它所有点的最短路径长度，所经过的具体路径没有保存，如果要求出具体的路径来，那么在求最短路径的过程中要将经过的中间点记录下来。
-标号法求最短路径问题
2021年4月14日4时52分
南昌工学院
永永久久标标号号 临时标号
v1
0,0
例题1：v1出发到v8去，使总费用最小的旅行路线
v2 v1,6 1
v5
M,
∞ 2
v9 M, ∞
6 2
3 v3 v1,3
6
1
2
10
v4
v1,1
6
3
4 10
4
v6
2
v7
M, ∞
M, ∞
3
v8M, ∞
s并sttte将eeppvp314：2变：：在为始所其永点有久余临v标各1时号标点标永标号久的临标节时点号标中（号找0出,0数）值最小的节点v4,
v5
可用D于ij求ks解tra指算v定法1 两是点由间v荷2 的兰最科短v学3 路家问Div题j4ks，tr或a在从1指95定9年点提到出其的余， 各点的最短路问题。由于其以标号为主要特征，又称为标 号法。
条件：当所有 wij ≥0 时，用来求给定点vs到任一个点vj 最短 路的公认的最好方法。 原理：如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那 么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。最短路的子路是最短路
5
V2
V5 5
1
V1 2
4
4
5
2
V4
7
4
1
V6 5
V3
8
V7
3
V8
2021年4月14日4时52分
南昌工学院
2021年4月14日4时52分
南昌工学院
永久标号 临时标号
v1
0,0
v2 v1,6 1
v5 M, ∞ 2
v9 M, ∞
最短路问题
v6
9
7
4
1 1 1
1 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2
3
10 8
8 6
9
7
5 3 4
0 4 3
4 0 1
3
1
0
1 11
2 2 2
3 3 3
4 4 4
4 5 5
4
5 6
由于D(2) =D(3)，故D(3)中的元素就是vi到vj的 最短距离,D(3)称为最短距离矩阵。
1 1 2 2 3
到其他不直接邻接的节点的最短 距离不会发ห้องสมุดไป่ตู้变化。
②在v1到所有其他节点的最短距离中选择最小的距 离，找到节点 vk，使下式满足：
求 min{T (v j )}
vk
满足
T (vk
)
min{T
v jS
(v
j
)}
令：P(vk ) T (vk )
比较v1到所有其它节点的最短距离，找到 节点vk,并将最小的距离记录在P(vk)中。
的最短路。
（1）使用条件—没有负回路
（2）步骤：
①
令
d 1 j
w1 j，j
2,3,, N，其中
w1 j为起点v1
到 v j 的弧（v1, v j ）的权；
②用下列递推公式进行迭代：
d d k min
j
i
k 1
j
wij
j 2,3,, N
其中，
d k j
表示从起点 v1 到点 v j 走k步
的最短距离；
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数为最小的通路。（注意：在有向 图中，通路——开的初等链中所有的弧 应是首尾相连的。）
标数法： 用来解决计算最短路线问题的方法,在给出的图形中
5. 用“标数”求出：从学校到养老院共 126 条．必经过市中心的 60 条，所以可行的路有： 126 60 66 （条） ．
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
养老院
1 1 1 1
学校
养老院
5 4 3 2 1
15 10 6 3 1
35 20
70 35
126 56 21 6 1
10 10
30 20
60 30 10
10 市中心 15 4 1 5 1
1 1
学校
3 2 1
6 3 1
10 市中心 10
4 1
6. 通过标数法我们可以得出从 A 到 I 共有 29 条不同的路径。 7. 蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码 的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可运用标准法进行计算．
1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 B 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
如图所示，小蜜蜂从 A 出发到 B 处共有 89 种不同的回家方法．
8. 要想拼出英语“ APPLE ”的单词，必须按照“ A P P L E ”的次序拼写．在 图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径． 如下图所示， 运用标数法原理标数不难 得出共有 31 种不同的路径． 9. 因为“ Einstein ”的拼读顺序为“ E i n s t e i n ” ，每一种拼法都对应 着网络图中的一条最短路径，所以可以运用标数法来解决． 如上图右所示， 从 E 点到 n 点的最短路径有 30 条， 所以共有 30 30 60 (种)不同拼法.
学校
公园
图书馆
4最短路线（教师）
第四讲最短路线知识概述从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短。
⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力。
例题精讲【例1】如下图所示，小虎家在A地，姥姥家在B地。
一天，他要去看望姥姥，但不知有几条路可走，走哪条路最短，热心的小朋友们快帮帮他吧？【分析】两点之间，线段最短。
【拓展】如下图所示，从甲地到乙地一共有两条路可走，请问哪条路长？哪条路短？【分析】一样。
【拓展】观察下图，若黑猫与白猫奔跑速度相同，那么哪只猫先捉到老鼠？白猫黑猫鼠【分析】黑猫。
【拓展】有一只蜗牛从A点出发，要沿长方形的边或对角线爬到C点，中间不许爬回A点,也不能走重复的路，那么它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？ODCBA【分析】共有9种：A O C→→、A O D C A O B C→→→→→→、、A B C→→、A B O C→→→、A B O D C→→→→、A D C→→、A D O C→→→、A D OB C→→→→,最短的路是:A O C→→。
【例2】直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄。
现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪儿最好？乙甲BA【拓展】（2010年第十一届“中环杯”三年级初赛）如图，一个牧童从甲地出发，赶着羊群先到河边饮水，再将羊群赶到乙地吃草。
已知从甲地到河边饮水点，以及从饮水点到乙地都是直线路程，请问应该怎么选择河边饮水点的位置，使这群羊所走的路线为最短？请在图上表示出来并作文字说明。
【分析】轴对称知识的运用。
【拓展】 如图，在河里有A 、B 两岛，一次划船比赛从A 岛出发划向B 岛，赛程规定必须先划到北岸，然后再划到南岸，最后再划向B 岛，问应该怎样选择路线，才能使路程最短？【分析】 路线如右图所示。
最短路径问题的标签设置算法
最短路径问题的标签设置算法最短路径问题是图论中的经典问题之一，广泛应用于交通网络、通信网络等领域。
在实际应用中，为了更好地表示和描述路径的特征，需要为路径设置标签。
本文将介绍一种常用的最短路径问题的标签设置算法。
一、最短路径问题概述最短路径问题是在一个有向或无向的加权图中，寻找两个节点之间的最短路径。
最短路径可以用路径上的边的权重之和来度量，也可以用路径上经过的节点个数来度量。
二、标签设置算法原理标签设置算法是一种启发式算法，用于寻找最短路径的近似解。
它通过对每个节点设置标签，在每一次迭代中不断更新标签，以逐步逼近最短路径。
标签的更新基于节点的邻居节点以及它们的标签。
算法通过多次迭代，直到找到最短路径或达到设定的终止条件。
三、标签设置算法步骤1. 初始化：对于每个节点，设置一个初始标签。
一般将起点节点的标签设置为零，其他节点的标签设置为无穷大。
2. 迭代更新：对于每个节点，根据其邻居节点的标签和边的权重，更新该节点的标签。
更新公式为：新标签 = min(当前标签, 邻居节点标签 + 边的权重)。
3. 终止条件：如果到达终点节点或迭代次数达到设定的上限，则终止迭代。
4. 回溯路径：如果找到最短路径，通过回溯每个节点的标签值，可以得到最短路径。
四、示例分析以一个简单的无向图为例，探讨标签设置算法的具体应用。
假设图中有以下节点和边的关系：节点：A、B、C、D、E、F边及权重：AB（2）、AC（4）、BD（1）、CD（3）、DE（5）、EF（2）首先初始化所有节点的标签，起点节点标签为零，其他节点标签为无穷大。
迭代更新各个节点的标签，直到达到终止条件。
最后回溯得到最短路径。
五、算法优化与改进标签设置算法可以进行多种优化与改进。
例如，可以采用启发式策略，在每次迭代中优先更新与终点节点更接近的节点。
另外，可引入剪枝策略，通过设置阈值来提前终止迭代，以减少计算时间。
六、结论最短路径问题的标签设置算法是一种常用的求解近似最短路径的方法。
最短路问题的求解
最短路径问题的求解最短路径问题是信息学竞赛中常见的一类中等难题，这是一个非常能联系实际的问题，甚至有时一些看似跟最短路径问题无关的问题也可以归结为最短路径问题。
本文就简要分析一下此类问题的算法，以使大家一起探讨一下该类问题，也使没参加信息学竞赛的同学对信息学竞赛有个简单了解。
下面我们以具体例题来看看这类问题的解法：例1、假设A、B、C、D、E各个城市之间旅费如下图所示。
某人想从城市A 出发游览各城市一遍，而所用费用最少。
试编程序输出结果。
解这类题时同学们往往不得要领，不少同学采用穷举法把所有可能的情况全部列出，再找出其中最短的那条路径；或是采用递归或深度搜索，找出所有路径，再找出最短的那条。
这两种方法可见都是费时非常多的解法，如果城市数目多的话则很可能要超时了。
实际上我们知道，递归、深度搜索等算法一般用于求所有解问题（例如求A 出发每个城市走一遍一共有哪几种走法），而这几种算法对于求最短路径这类最优解问题显然是不合适的，以下介绍的几种算法就要优越很多。
首先，对于这类图我们都应该先建立一个邻接矩阵来存放任意两点间的距离数据，以便在程序中方便调用，如下：const dis:array[1..5,1..5] of integer =( ( 0, 7, 3,10,15),( 7, 0, 5,13,12),( 3, 5, 0, 5,10),(10,13, 5, 0,11),(15,12,10,11, 0));以下是几种解法：一、宽度优先搜索宽度优先搜索并不是一种很优秀的算法，只里只是简单介绍一下它的算法。
具体方法是：1、从A点开始依次展开得到AB、AC、AD、AE四个新结点（第二层结点），当然每个新结点要记录下其距离；2、再次以AB展开得到ABC、ABD、ABE三个新结点（第三层结点），而由AC结点可展开得到ACB、ACD、ACE三个新结点，自然AD可以展开得到ADB、ADC、ADE，AE可以展开得到AEB、AEC、AED等新结点，对于每个结点也须记录下其距离；3、再把第三层结点全部展开，得到所有的第四层结点：ABCD、ABCE、ABDC、ABDE、ABEC、ABED……AEDB、AEDC，每个结点也需记录下其距离；4、再把第四层结点全部展开，得到所有的第五层结点：ABCDE、ABCED、……、AEDBC、AEDCB，每个结点也需记录下其距离；5、到此，所有可能的结点均已展开，而第五层结点中最小的那个就是题目的解了。
小学奥数系列：第四讲 最短路线问题
第四讲最短路线问题在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。
例1下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？分析为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母.如图4—2.在这里，首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长？从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD 的一个长与一个宽，即AD＋DB.因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB.这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。
有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：A→C→D→G→B A→C→F→G→BA→C→F→I→B A→E→F→G→BA→E→F→I→B A→E→H→I→B通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线.如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”.当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的。
现在观察这种题是否有规律可循。
1.看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线.因此，从A到C只有一条路线。
同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。
我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4—2。
2.看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A →C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法.我们在图4—2中的F点标上数字“2”.2=1＋1.第一个“1”是从A→C的一种走法；第二个“1”是从A→E的一种走法。
3.看G点：从上向下走是D→G，从左向右走是F→G，那么从A→G我们在G点标上数字“3”.3＝2+1，“2”是从A→F的两种走法，“1”是从A→D的一种走法。
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标号法求v0到v5的最短路径
r viv0v1源自v2v3v4
v5
0
0 1 4
1
1/v0 3 8
6
2
3/v0 8
4
因为第二步得到的数字当中3最小，v2最短为3。
因为通过v2不能直接到达v3，所以v3下面还是8。
通过v2到达v4需要4
到达不了v5
精品课件
标号法求最短路径 第四步：
标号法求v0到v5的最短路径
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
1
1/v0 3 8
6
因为第一步得到的数字当中除了已经确定的0以外，1最小， 所以到达v1的最短路径确定了，为1，并且通过v0。 因为通过v1到达v2需要3步，比4小，所以v2处写3。 同理，因为通过v1到达v3和v4的权重和小于正无穷。
精品课件
标号法求最短路径 第三步：
L2=v0v1v4v5, w(L2)=12, L3=v0v2v4v5, w(L3)精品=课1件1.
标号法(E.W.Dijkstra, 1959)
设带权图G=<V,E,w>, 其中eE, w(e)0. 设V={v1,v2,,vn}, 求v1到其余各顶点的最短路径
p标号(永久性标号)l
( i
r
):
第r步获得的v1到vi最短路径的
令r=r+1, 转2.
精品课件
标号法求最短路径
第一步：
标号法求v0到v5的最短路径
r vi
v0
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
因为第一步v0只能够到达v1和v2，所以v1和v2下面写到达的 权重，而v3~v5写无穷大。
精品课件
标号法求最短路径 第二步：
标号法求v0到v5的最短路径
r vi
v0
权
t到标达号v(i临的时路性径标的号最)小l i(权r ) :,
第r步获得的v1经过p标号顶点 是v1到vi的最短路径的权的上
界
第r步通过集Pr={v | v在第r步已获得永久性标号} 第r步未通过集Tr=V-Pr
精品课件
标号法(续)
算法:
1. v1获p标号:
l
( i
0
)
=0,
P0={v1},
T0=V-{v1},
最短路径
带权图G=<V,E,w>, 其中w:ER. eE, w(e)称作e的权. e=(vi,vj), 记w(e)=wij .
若vi,vj不 相邻, 记wij =.
设L是G中的一条路径, L的所有边的权之和称作L的 权, 记作w(L). 例u和1 v之L1间=v的0v1最v3短v5,路w径(L:1)u=和10v,之间权最小的通路.
0
1
2
3
4
5
w0
v1
v2
v3
v4
v5
1 4
1/v0 4 8
6
4/v0 8
5
8 5/v2 6
8
6/v4
8/v1
1485
6
=v0v1v2v4v3v5, w()=6
同理得到第五行，只是得到第五行以后所有都标红了，也就是所有都结束
了，最后加一行，把所有标红的数字重新写一遍，这些数字就是到达相应
vi所需要的最短路径
r vi
v0
v1
v2
v3
0
014
1
1/v0 3 8
2
3/v0 8
3
7
v4
v5
6
4
4/v2 10
精品课件
标号法求最短路径 第五步：
标号法求v0到v5的最短路径
r vi
v0
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
1
1/v0 3 8
6
2
3/v0 8
4
3
7 4/v2 10
4
7/v4
9
精品课件
r vi v0
0
精品课件
第六步：
求v0到v5的最短路径
r vi v0
v1
v2
v3
v4
v5
0
0 1 4
1
1/v0 3
8
6
2
3/v1 8
4
3
7 4/v2 10
4
7/v4
9
5
9/v3
w0
1374
9
=v0v1v2v4v3v5, w()=9
精品课件
vj(j=2,3,,n)获t
标
号:
l
( j
0
)
=wij.
令r1.
2. 设
l(r1) i
vm jTri1{nl(jr1)},
vi获得p标号:
l(r) i
li(r1)
.
令 Pr=Pr-1{vi}, Tr=Tr-1-{vi}.
若Tr=, 则结束.
3. vjTr, 令 l(jr) mi{ln(jr1),li(r)wij}