概率论与数理统计课件(1-4)
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思考： 1.设事件A、B、C、D相互独立，则
A B与CD独立吗？
2. 一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次 至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇 到？
答:0.518, 0.4wenku.baidu.com6
三、事件独立性的应用
1、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互 独立, 则
2、在可靠性理论上的应用
P( B1 ) P( A | B1 )
P( B ) P( A | B )
i 0 i i
2
5 0.0848 0.8 1 0.1 4 0.112 5 19
0.1 4
例 6 (p18) 数字通讯过程中，信源发射 0 、 1 两种状态信号， 其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干 扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为 0 、 1 和“不清”。在发 1 的时候，接收端分别以概率 0.85 、 0.05 和0.1接收为 1、 0和“不清”。现接收端接收到一个“1” 的信号。问发端发的是0的概率是多少? 解：设A---发射端发射0， B--- 接收端接收到一个“1”的信号．
k 5
0.4 0.6 0.4 0.6
k
5 k
(3) P X 4 C
k 4
k 7
7k
由此可知第一种方案对系队最为有利(此时，对校队最为不利)．
2016年6月25日星期六 23
【例 24】 某人有一串 m 把外形相同的钥匙，其中只有 一把能打开家门．有一天该人酒醉后回家，下意识地每 次从 m 把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第 k 次才 把门打开的概率多大？
条件概率 小 结
条件概率 缩减样本空间 乘法公式 定义式
全概率公式
贝叶斯公式
1.5 事件的独立性
一、两事件独立
(P19) 定义1 设A、B是两事件，P(A) ≠0,若 P(B)＝P(B|A) 则称事件A与B相互独立。 式(1.5.1)等价于： (1.5.1)
P(AB)＝P(A)P(B)
(1.5.2)
1 (0.45)
1
(0.85)
清 0 (0.05)
不 (0.1)
狼来了：假定孩子喊“狼来了”是半真半假。孩 子说假话时，狼真的来了的概率是0.3；孩子说真话 时，狼真的来了的概率是0.75，受骗两次之后的村民 们在第三次听到“狼来了”时，还会上山吗？
解：设Ai---第i次孩子说的是假话， 即狼没来他说狼来了， i=1,2,3. B--- 狼没有来．则P(Ai)=0.5, P(B1 | A1 ) 0.75 P( B1 | A1 ) 0.3
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
n
, ( j 1,..., n)
(1.5.6)
式(1.4.6)就称为贝叶斯公式。
(P22) 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含 0，
1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一 箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱 .问这一箱含有一个次品的概率是多少？
P( A | A3 ) P( A1 A4 A2 A5 )
2p p
2
4
P( A | A3 ) P{( A1 A2 )( A4 A5 )} P( A | A3 ) P( A1 A2 ) P( A4 A5 )
(2 p p 2 ) 2
由全概率公式 P( A) P( A | A3 )P( A3 ) P( A | A3 )P( A3 ) 2 p 2 2 p3 5 p 4 2 p5
2016年6月25日星期六
k
10 k
0.994.
21
【例 23】 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行 对抗赛．校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与 一 个 系 队运 动 员 比赛 时 ， 校队 运 动 员获 胜 的 概率为 0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方 案： (1) 双方各出 3 人； (2) 双方各出 5 人； (3) 双方各出 7 人． 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利．问： 对系队来说，哪一种方案有利？
(1)事件 A 在第 k 次试验中首次“发生”的概率为
k 1 k 1 P p (1 p ) pq , (k 1, 2,3 , n) . k
(2)事件 A 恰好发生 k 次的概率为
k k n k k k n k P ( k ) C p (1 p ) C , (k 0,1, 2,, n) . n n n p q
§1.6 伯努里概型
2016年6月25日星期六
18
定义 13 设有两个试验 E1 和 E2 ，假如试验 E1 的任意一个 结果(事件)与试验 E2 的任意一个结果(事件)都是相互 独立的，则称这两个试验相互独立．类似地，假如 n 个 试验 E1 , E2 ,, En 满足： E1 的任意一个结果、 E2 的任意 一个结果… En 的任意一个结果都是相互独立的，则称试 验 E1 , E2 ,, En 相互独立．如果这 n 个试验还是相同的， 则称其为 n 重独立重复试验．如果在 n 重独立重复试验 中，每次试验的可能结果为两个： A 或 A ，则称这种试 验为 n 重伯努利试验．
解 设 10 台机床中正在开动着的机床台数为 X ，则
1 4 Pn k P( X k ) C 5 5
k 10
5 5 k 10
k
10 k
1 4 P( X 5) P( X k ) C 5 5 k 0 k 0
第四讲 全概率公式与贝叶斯公式
例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌 产品，已知三家工厂的市场占有率分别为 1/4、 1/4 、1/2 ， 且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上 该品牌产品的次品率。 设：B：买到一件次品
A1 : 买到一件甲厂的产品 A2 : 买到一件乙厂的产品 A3 : 买到一件丙厂的产品
解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品
已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1 P( A | B0 ) 1
由Bayes公式:
P( B1 | A)
4 4 C19 C18 4 12 P( A | B1 ) 4 P( A | B2 ) 4 C20 5 C20 19
分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，
则对任何事件B 有
P( B)＝ P( Ai ) P( B | Ai )
i 1 n
(1.4.5)
式(1.4.5)就称为全概率公式。
例5 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球， 1个红球，乙袋中有两个红球，一个白 球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中 任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取 一球，问此球是红球的概率？
P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C两两相互独立； 若在此基础上还满足：
(2)
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),
则称事件A、B、C相互独立。
(1.5.3)
一般地，设A1，A2，…，An是n个事件，如果对 任意k (1kn), 任意的1i1i2 … ik n，具有等式 P(A i1 A i2 … A ik)＝P(A i1)P(A i2)…P(A ik) (1.5.4) 则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。
解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；
A2——从甲袋放入乙袋的是红球； B——从乙袋中任取一球是红球； 1 2 3 1 7 P( B ) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 ) 2 3 4 3 12
甲 乙
思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放 入乙袋的是白球的概率是多少？
2016年6月25日星期六
19
在 n 重伯努利试验中主要考察两类事件的概率： (1)事件 A 在第 k 次试验中首次“发生”的概率； (2) n 次试验中事件 A 恰有 k 次“发生”的概率．
定 理 在 n 重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 P( A) p ，
P( A) 1 p q (其中 0 p 1 )，则
0.05 0.55 P( B A ) P ( A ) P(A B ) ＝ ＝ ＝ 0.067 0 . 05 0 . 55 0 . 85 0 . 45 P ( B A ) P( A ) P ( B A ) P ( A )
0 (0.55)
0 (0.9)
清 1 (0.05)
不
(0.05)
2016年6月25日星期六
20
【例 22】 金工车间有 10 台同类型的机床，每台机床配 备的电动机功率为 10 千瓦，已知每台机床工作时，平 均每小时实际开动 12 分钟，且开动与否是相互独立 的．现因当地电力供应紧张，供电部门只提供 50 千瓦 的电力给这 10 台机床，问这 10 台机床能够正常工作的 概率为多大？
从一副52张的扑克牌中任意抽取一张， 以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张 黑桃，问A与B是否独立？
定理、以下四件事等价： (1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；
(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。
二、多个事件的独立
定义2、(p20) 若三个事件A、B、C满足：
(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),
P{A1 A2 ... An ) 1 P( A1 )....P( An )
(1.5.5)
P23, 24．如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触 点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L 至R是通路的概率。
设A---L至R为通路,Ai---第i个继电器通,i=1,2,…5
2016年6月25日星期六
22
解 设系队得胜人数为 X ，则在上述三种方案中，系队 胜利的概率分别为
(1) P X 2 C
k 2 5
3
k 3
0.4 0.6
k k
3 k
0.352. 0.317. 0.290.
(2) P X 3 C
k 3 7
P( B) P( BA 1 ) P( BA 2 ) P( BA 3) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 ) P( B | A3 ) P( A3 ) 1 1 1 0.02 0.01 0.03 0.0225 4 4 2
P( A1 | B1 ) P A1 B1 P( B1 ) P( A1 ) P B1 | A1 P( A1 ) P B1 | A1 P( A1 ) P B1 | A1
0.5 0.7 70 0.5 0.7 0.5 0.25 95
说明狼没有来，小孩
答: P( A | B) P( A1 B) P( B | A1 ) P( A1 ) 4 1
P( B) 7 12 7
定理2 (p18) 设A1，…, An是S的一个划分，且P(Ai) > 0 ，(i＝1，…，n)，则对任何事件BS，有
P( Aj | B) P( Aj ) P( B | Aj )
EX1:一个学生欲到三家图书馆借一本参考书．每 家图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书 的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2．各家 图书馆是否购进该书相互独立．问该学生能够借 到书的概率是多少？ 第一章 小结
本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率 、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概 率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成
定义 (p17)事件组A1，A2，…，An (n可为)， 称为样本空间的一个划分，若满足：
(i) Ai ;
i 1
n
(ii) Ai Aj , (i j ), i, j 1, 2,..., n.
… … B … … A2
A1
An
…
定理1、(p17) 设A1，…, An是的一个划
A B与CD独立吗？
2. 一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次 至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇 到？
答:0.518, 0.4wenku.baidu.com6
三、事件独立性的应用
1、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互 独立, 则
2、在可靠性理论上的应用
P( B1 ) P( A | B1 )
P( B ) P( A | B )
i 0 i i
2
5 0.0848 0.8 1 0.1 4 0.112 5 19
0.1 4
例 6 (p18) 数字通讯过程中，信源发射 0 、 1 两种状态信号， 其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干 扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为 0 、 1 和“不清”。在发 1 的时候，接收端分别以概率 0.85 、 0.05 和0.1接收为 1、 0和“不清”。现接收端接收到一个“1” 的信号。问发端发的是0的概率是多少? 解：设A---发射端发射0， B--- 接收端接收到一个“1”的信号．
k 5
0.4 0.6 0.4 0.6
k
5 k
(3) P X 4 C
k 4
k 7
7k
由此可知第一种方案对系队最为有利(此时，对校队最为不利)．
2016年6月25日星期六 23
【例 24】 某人有一串 m 把外形相同的钥匙，其中只有 一把能打开家门．有一天该人酒醉后回家，下意识地每 次从 m 把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第 k 次才 把门打开的概率多大？
条件概率 小 结
条件概率 缩减样本空间 乘法公式 定义式
全概率公式
贝叶斯公式
1.5 事件的独立性
一、两事件独立
(P19) 定义1 设A、B是两事件，P(A) ≠0,若 P(B)＝P(B|A) 则称事件A与B相互独立。 式(1.5.1)等价于： (1.5.1)
P(AB)＝P(A)P(B)
(1.5.2)
1 (0.45)
1
(0.85)
清 0 (0.05)
不 (0.1)
狼来了：假定孩子喊“狼来了”是半真半假。孩 子说假话时，狼真的来了的概率是0.3；孩子说真话 时，狼真的来了的概率是0.75，受骗两次之后的村民 们在第三次听到“狼来了”时，还会上山吗？
解：设Ai---第i次孩子说的是假话， 即狼没来他说狼来了， i=1,2,3. B--- 狼没有来．则P(Ai)=0.5, P(B1 | A1 ) 0.75 P( B1 | A1 ) 0.3
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
n
, ( j 1,..., n)
(1.5.6)
式(1.4.6)就称为贝叶斯公式。
(P22) 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含 0，
1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一 箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱 .问这一箱含有一个次品的概率是多少？
P( A | A3 ) P( A1 A4 A2 A5 )
2p p
2
4
P( A | A3 ) P{( A1 A2 )( A4 A5 )} P( A | A3 ) P( A1 A2 ) P( A4 A5 )
(2 p p 2 ) 2
由全概率公式 P( A) P( A | A3 )P( A3 ) P( A | A3 )P( A3 ) 2 p 2 2 p3 5 p 4 2 p5
2016年6月25日星期六
k
10 k
0.994.
21
【例 23】 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行 对抗赛．校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与 一 个 系 队运 动 员 比赛 时 ， 校队 运 动 员获 胜 的 概率为 0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方 案： (1) 双方各出 3 人； (2) 双方各出 5 人； (3) 双方各出 7 人． 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利．问： 对系队来说，哪一种方案有利？
(1)事件 A 在第 k 次试验中首次“发生”的概率为
k 1 k 1 P p (1 p ) pq , (k 1, 2,3 , n) . k
(2)事件 A 恰好发生 k 次的概率为
k k n k k k n k P ( k ) C p (1 p ) C , (k 0,1, 2,, n) . n n n p q
§1.6 伯努里概型
2016年6月25日星期六
18
定义 13 设有两个试验 E1 和 E2 ，假如试验 E1 的任意一个 结果(事件)与试验 E2 的任意一个结果(事件)都是相互 独立的，则称这两个试验相互独立．类似地，假如 n 个 试验 E1 , E2 ,, En 满足： E1 的任意一个结果、 E2 的任意 一个结果… En 的任意一个结果都是相互独立的，则称试 验 E1 , E2 ,, En 相互独立．如果这 n 个试验还是相同的， 则称其为 n 重独立重复试验．如果在 n 重独立重复试验 中，每次试验的可能结果为两个： A 或 A ，则称这种试 验为 n 重伯努利试验．
解 设 10 台机床中正在开动着的机床台数为 X ，则
1 4 Pn k P( X k ) C 5 5
k 10
5 5 k 10
k
10 k
1 4 P( X 5) P( X k ) C 5 5 k 0 k 0
第四讲 全概率公式与贝叶斯公式
例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌 产品，已知三家工厂的市场占有率分别为 1/4、 1/4 、1/2 ， 且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上 该品牌产品的次品率。 设：B：买到一件次品
A1 : 买到一件甲厂的产品 A2 : 买到一件乙厂的产品 A3 : 买到一件丙厂的产品
解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品
已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1 P( A | B0 ) 1
由Bayes公式:
P( B1 | A)
4 4 C19 C18 4 12 P( A | B1 ) 4 P( A | B2 ) 4 C20 5 C20 19
分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，
则对任何事件B 有
P( B)＝ P( Ai ) P( B | Ai )
i 1 n
(1.4.5)
式(1.4.5)就称为全概率公式。
例5 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球， 1个红球，乙袋中有两个红球，一个白 球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中 任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取 一球，问此球是红球的概率？
P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C两两相互独立； 若在此基础上还满足：
(2)
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),
则称事件A、B、C相互独立。
(1.5.3)
一般地，设A1，A2，…，An是n个事件，如果对 任意k (1kn), 任意的1i1i2 … ik n，具有等式 P(A i1 A i2 … A ik)＝P(A i1)P(A i2)…P(A ik) (1.5.4) 则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。
解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；
A2——从甲袋放入乙袋的是红球； B——从乙袋中任取一球是红球； 1 2 3 1 7 P( B ) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 ) 2 3 4 3 12
甲 乙
思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放 入乙袋的是白球的概率是多少？
2016年6月25日星期六
19
在 n 重伯努利试验中主要考察两类事件的概率： (1)事件 A 在第 k 次试验中首次“发生”的概率； (2) n 次试验中事件 A 恰有 k 次“发生”的概率．
定 理 在 n 重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 P( A) p ，
P( A) 1 p q (其中 0 p 1 )，则
0.05 0.55 P( B A ) P ( A ) P(A B ) ＝ ＝ ＝ 0.067 0 . 05 0 . 55 0 . 85 0 . 45 P ( B A ) P( A ) P ( B A ) P ( A )
0 (0.55)
0 (0.9)
清 1 (0.05)
不
(0.05)
2016年6月25日星期六
20
【例 22】 金工车间有 10 台同类型的机床，每台机床配 备的电动机功率为 10 千瓦，已知每台机床工作时，平 均每小时实际开动 12 分钟，且开动与否是相互独立 的．现因当地电力供应紧张，供电部门只提供 50 千瓦 的电力给这 10 台机床，问这 10 台机床能够正常工作的 概率为多大？
从一副52张的扑克牌中任意抽取一张， 以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张 黑桃，问A与B是否独立？
定理、以下四件事等价： (1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；
(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。
二、多个事件的独立
定义2、(p20) 若三个事件A、B、C满足：
(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),
P{A1 A2 ... An ) 1 P( A1 )....P( An )
(1.5.5)
P23, 24．如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触 点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L 至R是通路的概率。
设A---L至R为通路,Ai---第i个继电器通,i=1,2,…5
2016年6月25日星期六
22
解 设系队得胜人数为 X ，则在上述三种方案中，系队 胜利的概率分别为
(1) P X 2 C
k 2 5
3
k 3
0.4 0.6
k k
3 k
0.352. 0.317. 0.290.
(2) P X 3 C
k 3 7
P( B) P( BA 1 ) P( BA 2 ) P( BA 3) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 ) P( B | A3 ) P( A3 ) 1 1 1 0.02 0.01 0.03 0.0225 4 4 2
P( A1 | B1 ) P A1 B1 P( B1 ) P( A1 ) P B1 | A1 P( A1 ) P B1 | A1 P( A1 ) P B1 | A1
0.5 0.7 70 0.5 0.7 0.5 0.25 95
说明狼没有来，小孩
答: P( A | B) P( A1 B) P( B | A1 ) P( A1 ) 4 1
P( B) 7 12 7
定理2 (p18) 设A1，…, An是S的一个划分，且P(Ai) > 0 ，(i＝1，…，n)，则对任何事件BS，有
P( Aj | B) P( Aj ) P( B | Aj )
EX1:一个学生欲到三家图书馆借一本参考书．每 家图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书 的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2．各家 图书馆是否购进该书相互独立．问该学生能够借 到书的概率是多少？ 第一章 小结
本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率 、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概 率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成
定义 (p17)事件组A1，A2，…，An (n可为)， 称为样本空间的一个划分，若满足：
(i) Ai ;
i 1
n
(ii) Ai Aj , (i j ), i, j 1, 2,..., n.
… … B … … A2
A1
An
…
定理1、(p17) 设A1，…, An是的一个划