内蒙古2021届高三高考一模数学(理科)试题
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3．C
【分析】
根据单位向量 ， 的夹角为 ，可得 ．由向量 ， ，且 ，可得 ，解得 ．进而得解．
【详解】
解：单位向量 ， 的夹角为 ，∴ ．
∵向量 ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
则 ．
故选C．
【点睛】
本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．D
由题意可得出： 从 , , 任选一个；或者 从 , 任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果．
【详解】
解：根据条件得： 从 , , 任选一个, 从而 , , 任选一个,有 种选法；
或 时, ,有两种选法；
共 种选法；
C中元素有 个．
故选A．
【点睛】
本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型.
3．已知单位向量 ， 的夹角为 ，若向量 ， ，且 ，则 ( )
A． B．2C．4D．6
4．已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，点 是双曲线 上与 不重合的动点，若 ， 则双曲线的离心率为( )
A． B． C．4D．2
5．在 中，角 的对边分别为 ，若 ．则角 的大小为( )
A． B． C． D．
6．如图所示的茎叶图为高三某班 名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的 ， ， ， ， 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 ， 分别是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 ,若 恒成立,则整数 的最大值为()
A． B． C． D．
二、填空题
12．如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ，且 ，现有如下四个结论：
； 平面 ；
三棱锥 的体积为定值； 异面直线 所成的角为定值，
其中正确结论的序号是______．
13．已知 的终边过点 ，若 ，则 __________．
A． B． C． D．
8．函数 的大致图象为( )
A． B． C． D．
9．经过对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力
4
6
8
10
识图能力
3
5
6
8
由表中数据，求得线性回归方程为 ，若某中学牛的记忆能力为14，则该中学生的识图能力为（ ）
A．7B．9.5C．11.1D．12
10．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（ ）
【省级联考】内蒙古2019届高三高考一模数学（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数 满足 ,则 ( )
A． B． C． D．
2．设集合 , , ,则集合 中元素的个数为( )
A． B． C． D．
14．设 , 满足约束条件 ,若目标函数 的最大值为 ,则 的最小值为______．
15．“雾霾治理”“延迟退休”“里约奧运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的 个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调査其中的 个热点,则“量子卫星”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的种数为______．
(Ⅰ)求 的值,并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)填写下面的 列联表,并判断在犯错误的概率不超过 的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．
女生
男生
总计
获奖
不获奖
总计
附表及公式：
其中 , ．
19．已知点 和椭圆 . 直线 与椭圆 交于不同的两点 .
(Ⅰ) 求椭圆 的离心率；
【解析】
【分析】
设 ， ， ，根据 可得 ①，再根据又 ②，由①②可得 ，化简可得 ，即可求出离心率．
【详解】
解：设 ， ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，①
又 ，②，
由①②可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．
(Ⅱ)当 时,求证： ．
22．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系 ，已知曲线 （ 为参数），在以 原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）过点 且与直线 平行的直线 交 于 ， 两点，求点 到 ， 的距离之积．
23．设函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：由 ，得 ，
∴ ．
故选C．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
2．A
【分析】
5．A
【解析】பைடு நூலகம்
【分析】
由正弦定理化简已知等式可得 ，结合 ，可得 ，结合范围 ，可得 ，可得 ，即可得解 的值．
【详解】
解：∵ ，
∴由正弦定理可得： ，
(Ⅱ) 当 时，求 的面积；
（Ⅲ）设直线 与椭圆 的另一个交点为 ，当 为 中点时，求 的值 .
20．如图，在梯形 中， ， ， ，四边形 是矩形，且平面 平面 .
（Ⅰ）求证: 平面 ；
（Ⅱ）当二面角 的平面角的余弦值为 ,求这个六面体 的体积.
21．已知函数 ．
(Ⅰ)当 时,讨论函数 的单调区间；
16．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，已知 ， ，则当 最大时，三棱锥 的体积为__________．
三、解答题
17．已知等比数列 的各项均为正数， ，公比为 ；等差数列 中， ，且 的前 项和为 ， ， .
（1）求 与 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求 的前 项和 .
18．在某外国语学校举行的 (高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为 ,且成绩分布在 ,分数在 以上(含 )的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取 人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
7．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得 , , , 个单位,递减的比例为 ,今共有粮 石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得 石,乙、丁衰分所得的和为 石,则“衰分比”与 的值分别为（ ）
【分析】
根据单位向量 ， 的夹角为 ，可得 ．由向量 ， ，且 ，可得 ，解得 ．进而得解．
【详解】
解：单位向量 ， 的夹角为 ，∴ ．
∵向量 ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
则 ．
故选C．
【点睛】
本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．D
由题意可得出： 从 , , 任选一个；或者 从 , 任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果．
【详解】
解：根据条件得： 从 , , 任选一个, 从而 , , 任选一个,有 种选法；
或 时, ,有两种选法；
共 种选法；
C中元素有 个．
故选A．
【点睛】
本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型.
3．已知单位向量 ， 的夹角为 ，若向量 ， ，且 ，则 ( )
A． B．2C．4D．6
4．已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，点 是双曲线 上与 不重合的动点，若 ， 则双曲线的离心率为( )
A． B． C．4D．2
5．在 中，角 的对边分别为 ，若 ．则角 的大小为( )
A． B． C． D．
6．如图所示的茎叶图为高三某班 名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的 ， ， ， ， 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 ， 分别是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 ,若 恒成立,则整数 的最大值为()
A． B． C． D．
二、填空题
12．如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ，且 ，现有如下四个结论：
； 平面 ；
三棱锥 的体积为定值； 异面直线 所成的角为定值，
其中正确结论的序号是______．
13．已知 的终边过点 ，若 ，则 __________．
A． B． C． D．
8．函数 的大致图象为( )
A． B． C． D．
9．经过对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力
4
6
8
10
识图能力
3
5
6
8
由表中数据，求得线性回归方程为 ，若某中学牛的记忆能力为14，则该中学生的识图能力为（ ）
A．7B．9.5C．11.1D．12
10．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（ ）
【省级联考】内蒙古2019届高三高考一模数学（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数 满足 ,则 ( )
A． B． C． D．
2．设集合 , , ,则集合 中元素的个数为( )
A． B． C． D．
14．设 , 满足约束条件 ,若目标函数 的最大值为 ,则 的最小值为______．
15．“雾霾治理”“延迟退休”“里约奧运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的 个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调査其中的 个热点,则“量子卫星”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的种数为______．
(Ⅰ)求 的值,并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)填写下面的 列联表,并判断在犯错误的概率不超过 的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．
女生
男生
总计
获奖
不获奖
总计
附表及公式：
其中 , ．
19．已知点 和椭圆 . 直线 与椭圆 交于不同的两点 .
(Ⅰ) 求椭圆 的离心率；
【解析】
【分析】
设 ， ， ，根据 可得 ①，再根据又 ②，由①②可得 ，化简可得 ，即可求出离心率．
【详解】
解：设 ， ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，①
又 ，②，
由①②可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．
(Ⅱ)当 时,求证： ．
22．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系 ，已知曲线 （ 为参数），在以 原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）过点 且与直线 平行的直线 交 于 ， 两点，求点 到 ， 的距离之积．
23．设函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：由 ，得 ，
∴ ．
故选C．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
2．A
【分析】
5．A
【解析】பைடு நூலகம்
【分析】
由正弦定理化简已知等式可得 ，结合 ，可得 ，结合范围 ，可得 ，可得 ，即可得解 的值．
【详解】
解：∵ ，
∴由正弦定理可得： ，
(Ⅱ) 当 时，求 的面积；
（Ⅲ）设直线 与椭圆 的另一个交点为 ，当 为 中点时，求 的值 .
20．如图，在梯形 中， ， ， ，四边形 是矩形，且平面 平面 .
（Ⅰ）求证: 平面 ；
（Ⅱ）当二面角 的平面角的余弦值为 ,求这个六面体 的体积.
21．已知函数 ．
(Ⅰ)当 时,讨论函数 的单调区间；
16．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，已知 ， ，则当 最大时，三棱锥 的体积为__________．
三、解答题
17．已知等比数列 的各项均为正数， ，公比为 ；等差数列 中， ，且 的前 项和为 ， ， .
（1）求 与 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求 的前 项和 .
18．在某外国语学校举行的 (高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为 ,且成绩分布在 ,分数在 以上(含 )的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取 人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
7．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得 , , , 个单位,递减的比例为 ,今共有粮 石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得 石,乙、丁衰分所得的和为 石,则“衰分比”与 的值分别为（ ）