湖南四大名校内部资料高一年级数学2018—2019—2师大附中高一第二次质量检测数学试卷
湖南师大附中2018-2019学年高一下学期期末考试数学含答案
湖南师大附中2018-2019学年度高一第二学期期末考试命题：柳 叶 审题：谭泽仁时量：120分钟 满分：150分得分： ____________第I 卷(满分100分)一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.1. 若a , b , c 是平面内任意三个向量，入€ R ,下列关系式中，不一定成立的是A . a + b = b + aB .入(a + b )=扫+AbC . (a + b ) + c = a + (b + c )D . b =扫2. 下列命题正确的是A .若a 、b 都是单位向量，贝U a = bB .若AB = DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形C. 若两向量a 、b 相等，则它们是起点、终点都相同的向量D. AB 与BA 是两平行向量3. cos 12° cos 18°— sin 12° sin 18°的值等于3 1 1 3A .~2B .2C . — 2D •— ~2" 4. 函数f(x) = tan X 2的最小正周期为 1 + tan x n nA.~B.2 C . n D . 2 n5. 设a , b 是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是A . |a + b |w |a 汁 |b |B . |a |— |b |< |a + b |C . |a |— |b |< |a |+ |b |D . |a |< |a + b |6. 函数 f(x) = Asi n( 3X +$)A ,3, $为常数，A > 0, 3> 0, W |< 专 I示，贝 U f( n )=C. 7. 如图，角a B 均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A 、B ,贝U OA OB =1 zS B.(n y(n \ 19. 已知 a€ 0, "2，cos "6 + a = 3，则 Sin a 的值等于 2 [2— \ 3 2 j'2 + ... 3 2 .：6 — 12 ,'6 — 1 A. 6 B. 6 C.6D . — 6 10. 将函数y = 3sin 2x +才的图象向右平移 寺个单位长度，所得图象对应的函数 A .在区间12，7i2上单调递减B .在区间n 号上单调递增11 .设O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三点 ，动点P 满足OP = OA + AB AC入 ------- + ------ ，入€ [0，+^)，则点P 的轨迹必经过△ ABC 的(AB | c os B |A C I C OS C 丿A .夕卜心B .内心C .重心D .垂心答题卡题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.n12. __ 已知直线x =匸是函数f(x) = sin(2x +柏的图象上的一条对称轴，则实数$的最小正值 为 __________ .13. 已知 sin a + cos 3 = 1， cos a + sin 3 = 0，贝U sin( a+ 3= ____________ .A . sin( a — 3B . sin(a+ 3C . cos(a — 3D . cos(a+ 3nn 已知 ~4v a< 2， 且 sin a •s a 3 小 =10,贝y sina — cos a 的值是 C. 在区间D. 在区间上上 n 3n3 冗一 6 冗-6 单调递减 单调递增14. 已知AB丄AC，|AB||AC|= 1.点P为线段BC上一点，满足AP = 巫 +」A^.若点I I|AC||A B|4|AC|Q ABC 外接圆上一点，则AQ AP 的最大值等于三、解答题：本大题共3个小题，共30分.15. (本小题满分8分) (1)求tan a 的值；⑵求tan 2a + 4的值.已知 5sin a — COS a COS a + Sin a1.16. (本小题满分10分)已知向量 a = ( 2sin a , 1), b= 1, sin a + —.(1)若角a的终边过点(3, 4),求a b的值；⑵若a// b,求锐角a的大小.17. (本小题满分12分)已知函数f(x) = sin =■— x sin x —^3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；⑵讨论f(x)在n,务上的单调性.第n卷(满分50分)一、填空题：本大题共2个小题，每小题6分.18. 两等差数列｛a n｝和｛b n｝,其前n项和分别为S n、T n,且Sn= 7n+j ,则严20等于T nn+ 3 b7+ b i5(x+ 1) + sin x19. ------------------------------ 设函数f(x) = _________________________________________----------------------------------------- 的最大值为M ,最小值为m,贝V M + m = __________________ .x十1二、解答题：本大题共3个小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD 中，PA丄底面ABCD , AD 丄AB , AB // DC , AD = DC = AP = 2, AB = 1,点E为棱PC的中点.(1) 证明：BE丄DC ;(2) 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.21. (本小题满分13分)在四边形ABCD中，AD // BC ,(1)求AD的长；⑵若/ BCD = 105° ,求四边形7122.(本小题满分13分) 已知函数 f(x) = x|x — a|+ bx(a , b € R ). (1)当b =— 1时，函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a 的值； ⑵当b = 1时， ① 若对于任意x € [1 , 3],恒有f (x x )三2 x + 1,求a 的取值范围; ② 若a >0,求函数f(x)在区间[0, 2]上的最大值g(a). 湖南师大附中2018-2019学年度高一第二学期期末考试 数学参考答案 、选择题1. D 【解析】 选项A ，根据向量的交换律可知正确；选项 B ,向量具有数乘的分配律， 可知正确；选项C ,根据向量的结合律可知正确； 选项D , a , b 不一定共线,故D 不正确.故 选D.2. D 【解析】A.单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A 不对；B.A 、B 、C 、D 四点可能共线,故B 不对；C.只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终 点无关，故C 不对; D.因AB 和BA 方向相反，是平行向量，故D 对.故选D. 【解析】 cos 12° cos 18°— sin 12 ° sin 18 ° = cos (12°+ 18° )= cos 30° 故选A. 【解析】 tan x sin xcos x 1 2 n 函数f(x)=齐岳=cos 2x +sin 2x = 1sin 2x 的最小正周期为 选C. 由向量模的不等关系可得： |a |一 |b |w |a + b |w |a |+ |b |. 5. |a + b |< |a + |b |,故 A 恒成立. |a |—|b |w |a + b |,故 B 恒成立. |a |—|b |w |a + b |w |a |+ |b |,故 C 恒成立. 令 a = (2, 0), b = (— 2, 0),则 |a |= 2, |a + b |= 0,贝U D 不成立.故选 D. 6. B 【解析】根据函数的图象 A = ,2. 【解析】 由图象得：T = 4 所以 3= 2|7= 2. 号+A k n ,—号 + k n .k €z . 由于|『2,取k = 1,解得：片n ,所以f(x) = -2sin : 2x + 3 .则：f( n )=扌，故选B.7. C 【解析】根据题意，角a, B 均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A , B , 则 A(cos a ，sin a )， B(cos 3 , sin 3 ),故选C. 则有OAOB = cos a cos 3+ sina sin 3 = cos ( a —3)；8. B=(sin 2 【解析】T (sin a — cos 2a+ cos a ) — 2sin a COSa )2= sin 2 a — 2sin a cos a+ cos 2aa ；又■/ sin2i 2 “ ・a + cos a= 1 , sin a cos a 10'/• (si n—cos得sin—cos a=±10； 由才V n aV"2， 2 知2<sin a <1, 0<cos故有 sin a — cos a> 0,则sin=sin —+ \6a cos 丁 cos n + ；sin n =寧半—2 x 1=吟故选 C ./ 6\6 y 6 32 3 2 6 •故选7t10 . Bn图象向右平移勺个单位长度后得到y =7t3sin 2 lx — y = 3sin 2x2 n 〜 n 2 n n才的图象，令一—+ 2k n W 2x — 丁+ 2k n , k € Z , 化简可得n x € —+ k nJ2 ,k € Z ,即函数 y = 3sin 2x —号 的单调递增区间为n五+k n故选B.7 n , 12 + k nk € Z ,令i 2 nk = 0,可得 y = 3sin 2x —三区间n 7 nJ2， 12单调递增，11. 【解析】由题意可得 OP — OA = AP =AC入+ T<|ABI COS B|AC I C OS CAB BC + (AB| cos B |AC|cos C 经过△ ABC的垂心，故选D.二、填空题12. n 【解析】(略)113. —2 【解析】sin a + cos 3= 1,两边平方可得：sin 2a + 2sin a cos 3 + cos 23 = 1,①，cos a + sin 3= 0,两边平方可得：cos a + 2cos a sin 3+ sin 3 = 0,②，由① + ②得：2 + 2(sin a cos 3 + cos a sin 3 ) = 1,即 2 + 2sin( a+ 3) = 1, 2sin( a+ 3) = —1.••/小 1--si n( a+ 3 = —217 打r f f f f 114.y 【解析】T AB丄AC , |AB||AC|= 1 ,建立如图所示坐标系，设B \, 0 , C(0, t),f 1 f f AB AC 丄1 1 1 1AB = 7，0, AC = (0, t), AP= i + ^ = t[ , 0+ 4t(0 , t) = (1, 4, • P••• P为线段BC上一点，•可设PC = XPB ,从而有—1 , t—:=入勺BC中点，•点P ABC外接圆圆心.Q在厶ABC外接圆上，又当AQ过点P时|A Q|有最大值为2|A P|=—夢,此时A P与A Q夹角为9= 0° ° cos 9 = 1.^ (A P A Q ) =^T7^^T^=17max 2 4 8、解答题即5tan a — 1 = 1 + tan a ,解得tan. 心2tan a 4AC BC所以AP BC =入=〈—|BC|+ |BC|)= 0,所以A P丄B C,即点P在BC边的高所在直线上，即点P的轨迹|AB| 4|AC|1 1解之得t=2.t—4 =— 4 人15.【解析】（1）由题意，cos a^ 0 ,5sin a —cos acos a + sin a可得5tan a —11 + tan a a= ；(4 分)• B(2, o) , C 0 , 2 •显然P(2)由(1)得tan 2 a= 厂=1—tan a16.【解析】(1)角a的终边过点(3 , 4) , • r= ,32+ 42= 5 ,• sin a = — 4, cos a =兰=|；r 5r 5• a • b = 2sin a + sin a + —•—n2sin a + sin a cos^ + cos a =2 X 5+ 4 冷 + 5 撐=孚.(5 分)⑵若 a // b ,贝2sin a sin=cos xsin x -于(1 + cos 2x)2x + sin x =++1 ,易知函数g(x)为奇函数关于原点对称，•函数f(x)图象关于点(0, 1)对称•若x x ~+ =x 0时，函数f(x)取得最大值 M ,则由对称性可知，当x =— x 0时，函数f(x)取得最小值m ,因此，M + m = f(x O ) + f( — x o )= 2.20.【解析】(1)如图，取PD 中点M ,连接EM 、AM.由于E 、M 分别为PC 、PD 的中点，1故EM // DC ,且EM = 2DC ,又由已知，可得EM // AB 且EM = AB ,故四边形ABEM 为平行 四边形，所以BE // AM..n sin 4即 2sin asin a cos -^ + cos• sin a+ sin a cos a= 1 ,2--Sin a cos a= 1 — Sin a = 对锐角a 有 cos a^ 0,na sin = 1,4丿2COS a ,二 tan •••锐na= 7.(10 分)cos 2x1 3 =^sin 2x — —cos 2x — ?因此f(x)的最小正周期为n 亞=sin ： 亚=sin2x —3 — 2， 2—、3八,最大值为⑵当x €2n 牛时，O W 2x —亍W n n n n 5 n,从而当O W 2x —三W —,即$ W x w 〒2时，f(x)n 单调递增；■— W 2x — — W n 237t即鳥冗W x < 12 3时，f(x)单调递减.n综上可知,f(x)在〒, 5 n 12单调递增；在5 n 2 n -12， 3 单调递减.(12分)14918药 19. 2【解析】生±他=型±鱼=S 21 =他.b 7+ b 15 b 1+ b 21 T 21242 .x + 1 + 2x + sin x 2x + sin x ,、人【解析】可以将函数式整理为 f(x) = - 2 = 1 + x ++1 ，不妨令g(x)x 2 + 1 17.【解析】 ⑴f(x) = sin因为PA丄底面ABCD ,故PA丄CD ,而CD丄DA ,从而CD丄平面PAD,因为AM祚平面PAD,于是CD丄AM ,又BE // AM ,所以BE丄CD.（5分）（2）连接BM ,由⑴有CD丄平面PAD,得CD丄PD,而EM // CD，故PD丄EM ,又因为AD = AP, M为PD的中点,故PD丄AM , 可得PD 丄BE,所以PD丄平面BEM ,故平面BEM丄平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE丄EM,可得/ EBM为锐角，故/ EBM为直线BE与平面PBD所成的角.依题意，有PD = 2 2,而M为PD中点，可得AM = 2,进而BE =-, 2•故在直角三角形BEM 中，tan/ EBM =器=ABE ，因此sin / EBM =申.所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 f.（13分）21.【解析】⑴•••在四边形ABCD中，AD // BC, AB = .3, /A = 120° , BD = 3.•由余弦定理得cos 120 ° =2 c3 + AD —9 -2 x ：3x AD ,解得AD = ,3(舍去AD = - 2 3),••• AD的长为3.(5分)(2) •/ AB = AD = .3, / A = 120° , ADB = £(180 ° - 120 ° ) = 30° ,又AD // BC , / DBC = / ADB = 30° .•// BCD = 105 ° , / DBC = 30 ° , BDC = 180°- 105从而S A BDC = ^BC-BDsin / DBC = (3 3 —3)x 3x sin 30°= 4( . 3—1). (10 分)S A ABD = 2AB x ADsin A = ^x ^x 羽x sin 120 ° =泅.(11 分)22.【解析】(1)当b =—1 时，f(x) = x|x —a|— x = x(|x —a|—1), 由f(x) = 0,解得x= 0 或|x —a|= 1,由|x —a|= 1,解得x = a+ 1 或x = a— 1.•/f(x)恰有两个不同的零点且a+1丰a—1,•- a + 1 = 0 或a—1 = 0,得a = ±1.(4 分)(2)当b= 1 时，f(x) = x|x —a|+ x,①•••对于任意x € [1 , 3],恒有30°= 45° , △ BCD 中，由正弦定理得BCsin 453sin 105,解得BC = 3,3 — 3.(9 分)…S = S A ABD+ S A BDC = .(13 分)xy = f(x)在 0, a + 1 2 「单调递增，在 a + 1 2 , 单调递减，在［a , 2］上单调递增，(a + 1) 24, f(2) = 6 — 2a ,(a + 1) 2(a + 5) 2— 48 —(6 — 2a)= ----- : ------ ,• g(a) = max f宁-f(2)=4当 1 v a v 4 3 — 5 时，g(a)= f(2) = 6— 2a ；a + C (a + 1) 2 T = 4；当 4 .3— 5W a v 2 时，g(a)= fa — 1 a + 1当 2w a v 3 时，-^<—^<2 w a ,这时 y = f(x)在 ||0,(a +1) 2 =；「单调递增，在 当a > 3时，专 > 2, y = f(x)在［0 , 2］上单调递增， 此时 g(a)= f(2) = 2a — 2.单调递减， 即x|x - a|+ X w 2 x + 1,即 |x — a|< 2 x + 1 — 1,•/x € ［1 , 3］时，2 x + 1 —1>0 , ••• 1 — 2 x + 1 <x — a <2 x + 1 — 1, a w x + 2\/x + 1 — 1,即x € ［1 , 3］时恒有丿 ___ 成立.^a > x — 2p x + 1 + 1,令 t = x + 1,当 x € ［1 , 3］时，t € ［2, 2］, x = t 2— 1. ••• x + 2 x + 1 — 1 = t 2+ 2t — 2 = (t + 1)2— 3> ( 2 + 1)2— 3= 2 2,• x — 2 x + 1 + 1 = t 2— 2t = (t — 1)2— 1w 0,当0 v a w 1时，号w 0,旦+」》a , 这时y = f(x)在［0, 2］上单调递增， 此时 g(a)= f(2) = 6— 2a ; 当 1 v a v 2 时，O v <a+^ v a v 2,2 2综上，a 的取值范围是［0 , 2 2］. (8分)(a + 1 F (a +1) -x — -2-' ② f(x)=2—x + ax + x , x w a x 2 — ax + x , x>a)2+4 , x w a ,(a — 1) 24, x >a.f (2) 此时g(a)= f综上所述,x€ [0, 2]时，g(a) = 6—2a, 0<a<4 3—5（叮［4 3 —5< a<3（13 分）2a—2, a>3.。
2019-2020学年湖南师大附中高一(上)第二次大练习数学试卷
．
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
( + )
7
2( ― )
17．（10 分）已知 f（θ） = ( ― ) ― ( + ) ― 1 ― (3 + )，若 sin（ ― θ）
则称函数 f（x）为区间 D 上的“平底型”函数．
（1）判断函数 g（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|是否为 R 上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）设 g（x）是（1）中的“平底型”函数，k 为非零常数，若不等式|t﹣k|+|t+k|≥|k|•g
（x）对一切 t∈R 恒成立，求实数 x 的取值范围；
2
11．（5 分）已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜2）图象如图所示，则下
列关于函数 f（x）的说法中正确的是（ ）
A．对称轴方程是 x = 6 + kπ（k∈Z）
B．对称中心坐标是（3 + kπ，0）（k∈Z）
C．在区间（ ― 2，2）上单调递增
D．在区间（﹣π， ―
||
＞0，
但题目中显示在（0，π）的一个子区间（2，3）上函数值为负，故选项 D 不满足，
故选：B．
9．【分析】利用分段函数的解析式，结合函数的性质，列出方程求解即可．
{
【解答】解：∵函数 f（x） = 2(，0＜＜1
― 1)， ≥ 1，函数在各自定义域内，都是增函数，
实数 a 满足 f（a）＝f（a+1），
A．2
B．5
C．4
2018年湖南师大附中高考数学二模试卷(理科)
2018 年湖南师大附中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）设复数 z 知足 z+2 =6+i （i 是虚数单位），则复数 z 在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5 分）已知全集 U=R，N={ x|＜2x＜1}，M={ x| y=ln（﹣x﹣1）}，则图中阴影部分表示的会合是（）A．{ x| ﹣ 3＜ x＜﹣ 1}B．{ x| ﹣3＜x＜0} C． { x| ﹣ 1≤ x＜ 0}D．{ x| x＜﹣ 3} 3．（5 分）从某公司生产的某种产品中抽取若干件，经丈量得这些产品的一项质量指标值 Z 听从正态散布 N（200， 150），某用户从该公司购置了 100 件这类产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，则 E（X）等于（）附：2≈12.2．若 Z～N（μ，σ），则 P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ） =0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ） =0.9544．A．34.13 B．31.74 C．68.26D．95.444．（5 分）已知 a=18，b=log17，c=log18，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a5．（ 5 分）履行以下程序框图，若输出 i 的值为 3，则输入 x 的取值范围是（）A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．1≤x＜3 D．1＜x≤36．（5 分）如图是一个旋转体被挖掉一个最大部分球后获取的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．14πB．15πC．16πD．18π7．（5 分）函数 f（ x） =sin（ωx+φ）（ω＞0，| φ| ＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后获取的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．对于点（，0）对称B．对于点（﹣，0）对称C．对于直线 x=﹣对称D．对于直线 x=对称8．（5 分）若二项式（ 2﹣x）n（n∈ N*）的睁开式中全部项的系数的绝对值之和是 a，全部项的二项式系数之和是b，则的最小值是（）A．2B．C．D．9．（5 分）在高校自主招生中，某中学获取 6 个介绍名额，此中中南大学 2 名，湖南大学 2 名，湖南师范大学 2 名，而且湖南大学和中南大学都要求一定有男生参加，学校经过选拔定下 3 男 3 女共 6 个介绍对象，则不一样的介绍方法共有（）A ．54B ．45C ．24D ．72．（ 分）已知函数 f （ ） 3+ax 2﹣ 9x+b 的图象对于点（ 1，0）对称，且对满 10 5 x =x 足﹣ 1≤s ＜ t ≤m 的随意实数 s ，t ，有 f （ s ）＞ f （t ），则实数 m 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．（ 5 分）已知 F 为双曲线 C ：=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，过原点O的直线 l 与双曲线交于 M ，N 两点，且 | MN| =2| OF| ，若△ MNF 的面积为 ab ，则该双曲线的离心率为（）A ．3B ．2C ．D ．12．（ 5 分）已知平面四边形 A BCD 中，AB=AD=2，∠ BAD=60°，BC ⊥ CD ，BC=CD ，沿 BD 将△ BCD 折起形成三棱锥 C ﹣ABD ，当三棱锥 C ﹣ABD 的外接球的体积最小时，对于三棱锥 C ﹣ABD 有以下说法：①平面 BCD ⊥平面 ABD ；②取 BD 的中点O ，则 OC ⊥BA ；③三棱锥 C ﹣ABD 的外接球的体积是 ；④对棱 BC 与 AD所成的角的余弦值是．这些说法中正确的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．13．（ 5 分）点 A 从（ 1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点 B的坐标是（），记∠ B=α，则 sin2 α=．2（+ y ﹣ 4）214（．5 分）若圆 A （： x ﹣1） =a 上起码存在一点 P 落在不等式组表示的平面地区内，则实数 a 的取值范围是 ．．（ 分）已知 AB 为圆 O ：x 2+y 2 =1 的直径，点 P 为椭圆=1 上一动点， 15 5则?的最小值为．第 3页（共 30页）16．（ 5 分）已知函数 f（x） =e x（ x﹣ 1）﹣ ax+1，若存在独一的整数 x0，使得 f （ x0）≤ 0，则 a 的取值范围是三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（ 12 分）已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，且 S6=3a7﹣a2， S7=2a11+7．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）若 b1=3，数列 { b n} 的第 n 项 b n是数列 { a n} 的第 b n﹣1项（ n≥2）．（ⅰ）证明： { b n﹣1} 是等比数列；（ⅱ）求数列 { a n b n} 的前 n 项和 T n．18．（ 12 分）某高校在自主招生时期，把高三学生的平常成绩按“百分制”进行折算，选出前 n 名学生，并对这 n 名学生按成绩分组，第一组 [ 75，80），第二组[ 80，85），第三组 [ 85，90），第四组 [ 90，95），第五组 [ 95，100] ，如图为频次散布直方图的一部分，此中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数挨次成等差数列．且第四组的学生人数为60，第五组对应的小长方形的高为0.02．（Ⅰ）请在图中补全频次散布直方图；（Ⅱ）若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生顶用分层抽样的方法抽取6 名学生进行面试，而且在这 6 名学生中随机抽取 3 名学生接受考官 B 的面试，设第三组有ξ名学生被考官 B 面试，求ξ的散布列和数学希望．第 4页（共 30页）∠ ABC=60°，BM ⊥平面 ABCD ，BM ∥ DN ，BM=2DN ，点 E 是线段 MN 上随意一点．（ Ⅰ）证明：平面 EAC ⊥平面 BMND ；（ Ⅱ）若∠ AEC 的最大值是，求三棱锥 M ﹣NAC 的体积．20．（ 12 分）如图，点 F 是抛物线 E ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，点 A 是抛物线上的定点，且 =（2，0）．点 B ， C 是抛物线上的动点，直线 AB ，AC 的斜率分别 为 k 1， 2，且 k 2 ﹣1 ，以 为圆心， | AF| 的长为半径的圆分别交直线 ，k k =2A AB AC 于点 M ， N ，抛物线 E 在点 B ，C 处的切线订交于 D 点．（ Ⅰ）求抛物线的方程；（ Ⅱ）记△ BCD 的面积为 S 1，△AMN 的面积为 2，求 的最小值．S21．（ 12 分）已知 f （ x ）=e x +ax 2﹣ x ﹣ 1，此中 a 为实数．（Ⅱ）设 g（ x） =f（x） +6ln（2a+2）+2a2﹣6a﹣（a＞﹣ 1），若对随意x≥0，g（ x）≥ 0，务实数 a 的取值范围．请考生在第（ 22）、（23）两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分． [ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．（ 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为（r ＞ 0，φ为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线l 的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线 C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线 C 上取两点 M，N 与原点 O 组成△ MON，且知足，求面积△ MON 的最大值．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．已知对于 x 的不等式 | x﹣m|+ 2x≤0 的解集为 { x| x≤﹣ 1} ，此中 m＞0．（Ⅰ）求 m 的值；（Ⅱ）若正数 a，b，c 知足 a+b+c=2，求证：+ +≥2．2018 年湖南师大附中高考数学二模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）设复数 z 知足 z+2 =6+i （i 是虚数单位），则复数 z 在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【剖析】设 z=a+bi（a，b∈ R），代入 z+2 =6+i，得 a+bi+2（a﹣bi）=6+i，由复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求．【解答】解：设 z=a+bi（ a，b∈ R），由 z+2 =6+i，得 a+bi+2（ a﹣ bi）=6+i，即 3a﹣ b i=6+i，∴，解得a=2，b=﹣1．∴复数 z 在复平面内所对应的点的坐标为（2，﹣ 1），位于第四象限．应选： D．【评论】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5 分）已知全集 U=R，N={ x|＜2x＜1}，M={ x| y=ln（﹣x﹣1）}，则图中阴影部分表示的会合是（）A．{ x| ﹣ 3＜ x＜﹣ 1}B．{ x| ﹣3＜x＜0} C． { x| ﹣ 1≤ x＜ 0}D．{ x| x＜﹣ 3} 【剖析】暗影部分用会合表示为N∩C U M ，只需求出 M、N 进行会合的运算即可．【解答】解：图中暗影部分表示的会合N∩C U M ，由 N={ x| ＜ 2x＜1} ={ x| ﹣3＜x＜0} ， M={ x| y=ln（﹣ x﹣1）={ x| x＜﹣ 1} ，则 C U M={ x| x≥﹣ 1} ，则 N∩C U M={ x| ﹣1≤x＜0} ．应选： C．【评论】正确理解会合 M、N 所表达的含义，以及真确理解韦恩图所表达的会合是解决此题的重点．3．（5 分）从某公司生产的某种产品中抽取若干件，经丈量得这些产品的一项质量指标值 Z 听从正态散布 N（200， 150），某用户从该公司购置了 100 件这类产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（ 187.8，212.2）的产品件数，则 E（X）等于（）附：2≈12.2．若 Z～N（μ，σ），则 P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ） =0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ） =0.9544．A．34.13 B．31.74 C．68.26D．95.44【剖析】由题意知， P（187.8＜Z＜212.2）=0.682 6，得出 X～B（100，0.682 6），计算数学希望 E（X）的值即可．【解答】解：因为≈12.2，则P（187.8＜ Z＜212.2） =P（200﹣ 12.2＜Z＜200+12.2） =0.682 6，所以一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为 0.682 6，依题意， X～ B（ 100，0.682 6），∴E（ X） =100× 0.682 6=68.26．应选： C．【评论】此题考察了正态散布以及失散型随机变量的数学希望计算问题，是基础题．4．（5 分）已知 a=18，b=log17，c=log18，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【剖析】利用指数函数与对数函数的单一性即可得出．【解答】解：∵ a= ＞1，b=log17=17 ∈，log 18c=log18= log1817∈，∴a＞ b＞ c，应选： A．【评论】此题考察了指数函数与对数函数的单一性，考察了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（ 5 分）履行以下程序框图，若输出 i 的值为 3，则输入 x 的取值范围是（）A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3【剖析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．【解答】解：该程序框图履行以下程序：i=1，x=2x+1；i=2，x=2（2x+1）+1=4x+3；i=3，x=2（4x+3）+1=8x+7，则由，可得： 1＜x≤3，应选： D．【评论】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运转过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．（5 分）如图是一个旋转体被挖掉一个最大部分球后获取的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．14πB．15πC．16πD．18π【剖析】利用已知条件，联合三视图的数据，求解几何体的表面积即可．【解答】解：一个圆锥被挖掉一个最大部分球后获取的几何体，圆锥的底面半径为2，高为： 2，母线为4，球的半径为r，则4r=2×，解得r=，所以几何体的表面积为：+22π﹣=15π．应选： B．【评论】此题考察三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，考察空间想象能力计算能力．7．（5 分）函数 f（ x） =sin（ωx+φ）（ω＞0，| φ| ＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后获取的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．对于点（，0）对称B．对于点（﹣，0）对称C．对于直线 x=﹣对称D．对于直线 x=对称【剖析】利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数（fx）=sin（ωx+φ）（ω＞0，| φ| ＜）的最小正周期为=π，∴ω=2．若其图象向左平移个单位后获取的函数为y=sin[ 2（ x+）+φ] =sin（2x++φ），再依据 y=sin（2x+ +φ）为奇函数，∴+φ=kπ，k∈ Z，即φ=kπ﹣，可取φ=﹣．故 f（ x）=sin（2x﹣）．当 x=时，f（x）=≠0，且f（x）=不是最值，故f（ x）的图象不对于点（，0）对称，也不对于直线x=对称，故清除A、D；故 x=﹣时，f（x）=sin=1，是函数的最大值，故f（x）的图象不对于点（﹣，0）对称，但对于直线x=对称，应选： C．【评论】此题主要考察函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8．（5 分）若二项式（ 2﹣x）n（n∈ N*）的睁开式中全部项的系数的绝对值之和是 a，全部项的二项式系数之和是b，则的最小值是（）A．2B．C．D．【剖析】取 x=﹣ 1 求得 a，由二项式系数的性质求得b，而后利用函数的单一性求得的最小值．【解答】解：取 x=﹣1，得 a=3n，又 b=2n，∴，∴=≥．应选： B ．【评论】此题考察了二项式定理、 函数的单一性， 考察了计算能力， 属于基础题．9．（5 分）在高校自主招生中，某中学获取 6 个介绍名额，此中中南大学 2 名，湖南大学 2 名，湖南师范大学 2 名，而且湖南大学和中南大学都要求一定有男生参加，学校经过选拔定下 3 男 3 女共 6 个介绍对象，则不一样的介绍方法共有（ ）A ．54B ．45C ．24D ．72【剖析】依据题意，分 2 种状况议论： ①，将 3 个男生每个大学各介绍1 人，②，将 3 个男生疏成两组分别介绍给湖南大学和中南大学， 分别求出每一种状况的方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】 解：依据题意，分 2 种状况议论：①，将 3 个男生每个大学各介绍 1 人，共有 A 33A 33=36 种介绍方法；②，将 3 个男生疏成两组分别介绍给湖南大学和中南大学，其他 3 个女生从剩下的大学中选，共有C 32A 22C 32=18 种介绍方法．故共有 36+18=54 种介绍方法，应选： A ．【评论】此题考察摆列、组合的应用，注意依照题意，分状况进行议论，属于基础题．．（ 分）已知函数 f （ ） 3+ax 2﹣ 9x+b 的图象对于点（ 1，0）对称，且对满10 5 x =x足﹣ 1≤s ＜ t ≤m 的随意实数 s ，t ，有 f （ s ）＞ f （t ），则实数 m 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【剖析】 由 f （x ）+f （ 2﹣x ）=0，可得 x 3+ax 2 ﹣9x+b+（2﹣x ）3+a （2﹣x ）2﹣9（ 2﹣ x ）+b=0，化为（ 2a+6）x 2﹣（ 12+4a ）x+4a+2b ﹣10=0，利用恒等式解得 a ，b ．可得 f （x ），令 f ′（x ）≤ 0，解得 f （x ）的单一递减区间，依据对知足﹣ 1≤s＜ t ≤m 的随意实数 s ，t ，有 f （ s ）＞ f （t ），即可得出实数 m 的最大值．【解答】解：由 f （x ）+f （ 2﹣ x ） =0，∴x 3+ax 2﹣9x+b+（ 2﹣ x ）3+a （2﹣x ）2﹣9（ 2﹣ x ）+b=0，化为 x3+ax2﹣9x+b+（2﹣x）3 +a（2﹣x）2﹣9（2﹣x） +b=0，∴（ 2a+6）x2﹣（ 12+4a）x+4a+2b﹣10=0，∴2a+6=0，﹣（ 12+4a）=0， 4a+2b﹣10=0，解得 a=﹣3，b=11，故 f（ x）=x3﹣3x2﹣9x+11，令 f ′（x） =3（x2﹣ 2x﹣3）≤ 0，解得 f（x）的单一递减区间为（﹣ 1，3），∵对知足﹣ 1≤s＜ t≤m 的随意实数 s，t ，有 f（ s）＞ f（t ），则实数 m 的最大值为 3，应选： C．【评论】此题考察了利用导数研究函数的单一性、恒等式、不等式的解法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．11．（ 5 分）已知 F 为双曲线 C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过原点O 的直线 l 与双曲线交于 M ，N 两点，且 | MN| =2| OF| ，若△ MNF 的面积为 ab，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【剖析】由 M， N 对于原点对称及 | MN| =2| OF| ，知 MF⊥NF，设 M （x0， y0），N（﹣ x0，﹣ y0），此中 x0＞ 0， y0＞0，经过?=0，M（x0， y0）在双曲线上，联合△ MNF 的面积为 ab，推出 a=b，进而获取双曲线的离心率．【解答】解：由 M ，N 对于原点对称及 | MN| =2| OF| ，知 MF⊥NF，设 M （x0， y0）， N（﹣ x0，﹣ y0），此中 x0＞0，y0＞0，则 =（c﹣x0，﹣ y0）， =（c+x0，y0），因为 ? =0，所以（ c﹣x0）（0）﹣，即2﹣，c+x =0 =c而 M （x0，0）在双曲线上，所以，y所以，化简可得 y0．=又因为△ MNF 的面积为 ab，所以 ?c?y0 0，即0 ，+ ?c?y =ab y =所以 = ，即 a=b，进而离心率为．应选： D．【评论】此题考察双曲线的简单性质的应用，考察转变思想以及计算能力．12．（ 5 分）已知平面四边形A BCD中，AB=AD=2，∠ BAD=60°，BC⊥ CD，BC=CD，沿 BD 将△ BCD折起形成三棱锥 C﹣ABD，当三棱锥 C﹣ABD 的外接球的体积最小时，对于三棱锥 C﹣ABD 有以下说法：①平面 BCD⊥平面 ABD；②取 BD 的中点O，则 OC⊥BA；③三棱锥 C﹣ABD 的外接球的体积是；④对棱BC与AD 所成的角的余弦值是．这些说法中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4【剖析】依据题意画出图形，联合图形判断外接球的球心与△ ABD的中心重合时，三棱锥 C﹣ ABD的外接球体积最小，此时平面 BCD⊥平面 ABD；求出此时外接球的半径，计算它的体积，判断 OC⊥平面 ABD，再求出对棱 BC与 AD 所成角θ的余弦值．【解答】解：如下图，设正△ ABD的中心是 G，三棱锥 C﹣ ABD的外接球球心是Q，则 QG⊥平面 ABD，QO⊥平面 CBD，设外接球半径是 R，则 R2=AG2 +QG2= +QG2，当 QG=0时三棱锥 C﹣ABD的外接球的体积最小，此时 Q 与 G 重合，所以平面 BCD⊥平面 ABD，①正确；此时外接球的半径是，体积是，∴③正确；此时 AC=2，取 BD 的中点 O，则 OC⊥平面 ABD，第14页（共 30页）即 OC⊥ BA，∴②正确；由对棱 BC与 AD 所成的角θ知足：| cos θ|====，∴④正确；综上，正确命题序号为①②③④．应选： D．【评论】此题考察了空间中的地点关系与应用问题，也考察了空间几何体外接球的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．13．（ 5 分）点 A 从（ 1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B，若点 B 的坐标是（），记∠ B=α，则 sin2 α=﹣．【剖析】由已知联合随意角的三角函数的定义可得sin α，cosα的值，再由二倍角的正弦求解．【解答】解：由题意可得： sin α=，cosα=﹣，∴ sin2 α=2sin αcos×α=2×（）=﹣，故答案为：﹣．【评论】此题考察随意角的三角函数的定义，考察二倍角公式的应用，是基础题．2 2 上起码存在一点落在不等式组+（ y﹣ 4）14．（5 分）若圆 A：（ x﹣1）=aP表示的平面地区内，则实数 a 的取值范围是[ ] ．【剖析】圆 A 与不等式组表示的平面地区有交点，作出图象后易求得 a 的取值范围【解答】解：作出不等式组图象，圆 A 与不等式组表示的平面地区有交点，可知圆的圆心（1，4）到直线 3x﹣ y﹣ 1=0 的距离为：= ，解得，距离的最大值为： 2，可得，所以 a 的取值范围是 [] ．故答案为： [] ．【评论】此题考察线性规划的简单应用， 注意 a 与圆的半径的关系，考察数形结合以及计算能力．．（ 分）已知 AB 为圆 O ：x 2+y 2 =1 的直径，点 P 为椭圆=1 上一动点，15 5则?的最小值为2．【剖析】方法一：经过对称性取特别地点，设出 P 的坐标，利用向量的数目积转变求解最小值即可．方法二：利用向量的数目积，转变为向量的和与差的平方，经过圆的特别性，转变求解即可．【解答】解：依照对称性， 不如设直径 AB 在 x 轴上，P （2cos x ， sin x ），A （﹣1，0），B （1，0）．进而?=（2cos x ﹣1）（ 2cos x+1） +3sin 2x=2+cos 2x ≥2．故答案为： 2．方法二：? = = =2﹣1=| PO| 2﹣1，而 | PO| min = ，则答案为 2．故答案为： 2．【评论】此题考察直线与圆的地点关系椭圆方程的综合应用． 考察转变思想以及计算能力．16．（ 5 分）已知函数f（x） =e x（ x﹣ 1）﹣ ax+1，若存在独一的整数 x0，使得 f （ x0）≤ 0，则 a 的取值范围是[ 0，1）【剖析】结构函数，经过分类议论求出函数的值域，利用函数的导数判断函数的单一性，经过数形联合求解 a 的范围即可．【解答】解：设 g（ x）=e x（x﹣1），y=ax﹣1，由题知存在独一的整数x0，使得 g （x0）≤ ax0﹣1．因为 g′（x）=xe x．当 x＜0 时， g′（ x）＜ 0，即 g（x）单一递减， g（ x）的值域为（﹣ 1，0）；当 x=0 时， [ g（x）] min=﹣1；当 x＞0 时， g′（ x）＞ 0，即 g（x）单一递加， g（ 1） =0 且 g（x）的值域为（﹣1，+∞），直线 y=ax﹣1 恒过点（ 0，﹣ 1）．作出图象：图象中红色直线不知足题意，蓝色直线知足题意，当且仅当 a∈[ 0，1）时知足题设．故答案为： [ 0， 1）．【评论】此题考察函数的导数的应用，函数的单一性的应用，考察数形联合以及计算能力．三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（ 12 分）已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，且 S6=3a7﹣a2， S7=2a11+7．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；（ Ⅱ）若 b 1=3，数列 { b n } 的第 n 项 b n 是数列 { a n } 的第 b n ﹣ 1 项（ n ≥2）．（ ⅰ）证明： { b n ﹣1} 是等比数列；（ ⅱ）求数列 { a n b n } 的前 n 项和 T n ．【剖析】（Ⅰ）设等差数列 { a n 的公差为 ，运用等差数列的通项公式、 乞降公式，} d 解方程可得首项、公差，即可获取所求通项；（ Ⅱ）（ⅰ）求得 n ≥ 2 时， b n =a n ﹣ 1﹣ ，两边减 1 ，联合等比数列的定=2b1义，即可得证；（ ⅱ）运用等比数列的通项公式和乞降公式，数列的乞降方法：错位相减法，化简整理可得所乞降．【解答】 解：（Ⅰ）设等差数列 { a n 的公差为 d ，由 6 7﹣2，7 11 ，}S =3a a S =2a +7 得 6a 1 + （ 1 ）﹣（ 1 ），且 1 （ 1 ） +7 ，d=3 a +6d a +d 7a + d=2 a +10d即 2a 1﹣d=0，且 5a 1+d=7，解得 a 1 =1，d=2，所以 a n =1+（ n ﹣ 1）× 2=2n ﹣1；（ Ⅱ）（ⅰ） 证明：依题意， n ≥2 时， b n=a n ﹣1 ﹣ ，=2b1所以 b n ﹣ 1=2（b n ﹣ 1﹣ 1），又 b 1﹣1=2，进而 { b n ﹣1} 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列；（ ⅱ）由（ ⅰ）知 b n ﹣ 1=2?2n ﹣ 1=2n ，即 b n =2n +1．故 a n b n =（2n ﹣1）（2n +1）=（2n ﹣1） 2n +（2n ﹣ 1），所以 T n =1?2+3?22+5?23+ +（ 2n ﹣1）?2n +（1+3+5+ +2n ﹣1），可令 M n =1?2+3?22+5?23+ +（2n ﹣1） ?2n ， 2M n =1?22+3?23+5?24+ +（2n ﹣1）?2n +1，相减可得﹣ M n =2+2（22+23+ +2n ）﹣（ 2n ﹣1）?2n +1=2+2?﹣（ 2n ﹣1）?2n +1，化为 M n =（ 2n ﹣3）?2n +1+6，可得 T n =（2n ﹣3）?2n +1+6+ n （ 1+2n ﹣ 1）=（2n ﹣3）?2n +1+6+n 2．【评论】此题考察等差（等比）数列的通项公式和乞降公式的运用，以及数列的乞降方法：错位相减法，考察方程思想和运算能力，属于中档题．18．（ 12 分）某高校在自主招生时期，把高三学生的平常成绩按“百分制”进行折算，选出前 n 名学生，并对这 n 名学生按成绩分组，第一组 [ 75，80），第二组 [ 80，85），第三组 [ 85，90），第四组 [ 90，95），第五组 [ 95，100] ，如图为频次散布直方图的一部分，此中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数挨次成等差数列．且第四组的学生人数为60，第五组对应的小长方形的高为0.02．（Ⅰ）请在图中补全频次散布直方图；（Ⅱ）若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生顶用分层抽样的方法抽取6 名学生进行面试，而且在这 6 名学生中随机抽取 3 名学生接受考官 B 的面试，设第三组有ξ名学生被考官 B 面试，求ξ的散布列和数学希望．【剖析】（Ⅰ）因为第四组的学生人数为60，且第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的学生人数挨次成等差数列，可得总人数为n=5×60=300，由频次分布直方图可知，第五组的学生人数为0.02×5×300=30，又公差为=15，可得：第一、二三组的学生人数．即可得出第一、二、三、四组的频次．补全频次散布直方图如图．（Ⅱ）由题意得，用分层抽样的方法在第三、四、五组中应分别抽取的学生人数为 90×=3，60×=2，30×=1，则ξ的全部可能取值为 0，1，2，3．利用 P（ξ=k）=，可得：散布列与数学希望．【解答】解：（Ⅰ）因为第四组的学生人数为60，且第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的学生人数挨次成等差数列，所以总人数为n=5×60=300，由频次散布直方图可知，第五组的学生人数为0.02× 5× 300=30，又公差为=15，所以第一组的学生人数为45，第二组的学生人数为75，第三组的学生人数为90．故第一、二、三、四组的频次分别为=0.15，=0.25，=0.3，=0.2．补全频次散布直方图如图：（Ⅱ）由题意得，用分层抽样的方法在第三、四、五组中应分别抽取的学生人数为 90×=3，60×=2，30×=1，则ξ的全部可能取值为 0，1，2，3．利用 P（ξ =k）=，可得： P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ =2）=，P（ξ =3）=．所以ξ的散布列为：ξ012 3PE（ξ）=0×+1×+2×+3×=．【评论】此题考察了频次散布直方图的性质及其应用、超几何散布列与数学希望，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（ 12 分）如图，已知多面体MNABCD的一个面 ABCD是边长为 2 的菱形，且∠ABC=60°，BM⊥平面 ABCD，BM∥ DN，BM=2DN，点 E 是线段 MN 上随意一点．（Ⅰ）证明：平面 EAC⊥平面 BMND；（Ⅱ）若∠ AEC的最大值是，求三棱锥M﹣NAC的体积．【剖析】（Ⅰ）推导出 AC⊥ BM，AC⊥ BD，进而 AC⊥平面 BMND，由此能证明平面 EAC⊥平面 BMND．（Ⅱ）由 AE=CE＞ 1，cos∠AEC=1﹣，∠AEC∈（0，π），获取当AE最短时∠AEC最大，即 AE⊥MN，CE⊥MN 时∠ AEC最大，∠ AEC是二面角 A﹣MN﹣C 的平面角，大小是 120°，AE=．取MN得中点H，连结H与AC、BD的交点O，由题意知 OH⊥平面 ABCD，建系，利用向量法能求出三棱锥M﹣ NAC的体积．V M ﹣NAC=V M﹣EAC+V N﹣EAC．【解答】证明：（Ⅰ）∵ BM⊥平面 ABCD，∴ AC⊥BM，又四边形 ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，∵BM∩ BD=B，∴ AC⊥平面 BMND，∵AC? 平面 EAC，∴平面 EAC⊥平面 BMND．（ 5 分）解：（Ⅱ）由已知得 AE=CE＞1，cos∠ AEC= =1﹣，∠ AEC∈（ 0，π），∴当 AE 最短时∠ AEC最大，即 AE⊥MN，CE⊥MN 时∠ AEC最大，同理得∠ ANC＜60°，∠ AMC＜60°，此时，∠ AEC是二面角 A﹣ MN﹣C 的平面角，大小是 120°，AE= ．（7 分）取 MN 得中点 H，连结 H 与 AC、BD 的交点 O，由题意知 OH⊥平面 ABCD，如图建系，设 ND=a，则 A（1，0，0），N（0，﹣，a），M（0，，2a），则 =（﹣ 1，﹣， a）， =（﹣ 1，，2a），设平面 AMN 的法向量 =（ x， y，z），则，取 z=1，得 =（，﹣，1），同理求得平面 CMN 的法向量 =（﹣），所以 | cos∠ AEC| ===，解之得： a= 或 a= （舍去），（ 10 分）MN= =△ EAC= AE2 °× ×=，=，S sin 120 =M﹣NAC M ﹣ EAC N﹣ EAC △ EAC?MN= ．（12 分）V=V +V= S【评论】此题考察面面垂直的证明， 考察几何体的体积的求法， 考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识， 考察运算求解能力， 考察函数与方程思想，是中档题．20．（ 12 分）如图，点 F 是抛物线 E ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，点 A 是抛物线上的定点，且 =（2，0）．点 B ， C 是抛物线上的动点，直线 AB ，AC 的斜率分别为 k 1， 2，且 k 2﹣1 ，以为圆心， | AF| 的长为半径的圆分别交直线 ，k k =2AAB AC 于点 M ， N ，抛物线 E 在点 B ，C 处的切线订交于 D 点．（ Ⅰ）求抛物线的方程；（ Ⅱ）记△ BCD 的面积为 S 1，△AMN 的面积为 2，求 的最小值．S【剖析】（Ⅰ），设 A （ x ， ），求出 A 的坐标，代入抛物线中， 即可求出 p 的值，0 y 0 （ Ⅱ）设 B （x 1， x 12），C （x 2， x 22），分别求出 直线 BD 的方程是 y= x ﹣ x 1 2， 直线 CD 的方程为 y=x ﹣ x 22．可得点 D ，P 的坐标，则 S 1 可求出，再依据三角形的面积公式表示出 S 2，即可求出答案．【解答】 解：（Ⅰ）设 A （x 0，y 0 ），依题意知 F ，则 =（﹣ x 0， ﹣y 0）=（2，0），可得 x 0=﹣2，y 0= ，代入抛物线方程中得： p=2，则抛物线方程为 x 2=4y ．（ Ⅱ）设 B （x 1 ， x 12）， C （ x 2 ，x 22），由（ Ⅰ）知 A （﹣ 2， 1），所以 k 2﹣ 1﹣=．k =又 k 2﹣k 1=2，所以 x 2﹣x 1=8．（ 5 分）设直线 BD 的方程是 y ﹣ x 12=k （x ﹣ x 1），与 x 2=4y 联立得 x 2﹣ 4kx+4kx 1﹣ x 12=0．令△ =16k 2﹣4（4kx 1﹣x 12）=0，解得 k=，所以直线 BD 的方程是 y ﹣ x 12=（x﹣ x 1），即 y= x ﹣ x 12．同理可得直线 CD 的方程为 y=x ﹣ x 22．联立直线 BD 和 CD 的方程，解得 x D =， y D =．设 BC 的中点为 P ，则 P 的坐标为（，），所以 S 1 △BDP +S △ CDP = | DP| ?（h 1 2）﹣| ?| x2﹣ 1（ 2﹣ 1）=S +h = |x | = x x3=32，另一方面， S 2= | AM| ?| AN| ?sin ∠MAN=2sin ∠ MAN ，所以= = ≥16，等号成即刻，∠ MAN=90°，即 k 1k 2=﹣1，又 k 2﹣k 1=2，故 k 1=﹣1，k 2=1．所以 的最小值为 16．【评论】此题主要考察直线与抛物线的相对地点关系等问题， 探究结构三角形面积最值，属较难题．21．（ 12 分）已知 f （ x ）=e x +ax 2﹣ x ﹣ 1，此中 a 为实数．（ Ⅰ）若 a ≥0，求 f （x ）的单一区间；（ Ⅱ）设 g （ x ） =f （x ） +6ln （2a+2）+2a 2﹣6a ﹣ （a ＞﹣ 1），若对随意 x ≥0，g（ x ）≥ 0，务实数 a 的取值范围．【剖析】（Ⅰ ）先求导，即可求出单一区间，（ Ⅱ）对随意 x ≥0，g （ x ）≥0 等价于 g （x ）≥g （ 0）=6ln （2a+2）+2a 2﹣6a ﹣ ；结构函数令 h （a ）=6ln （ 2a+2）+2a 2﹣6a ﹣ ，（ a ≥﹣ ），分类议论，求出函数的最值即可【解答】 解：（Ⅰ）f ′（x ）=e x +2ax ﹣ 1，当 a ≥0 时， f ′（ x ）=e x +2ax ﹣1 为单一增函数，且 f ′（ 0） =0，故当 x ∈（ 0，+∞）时， f ′（x ）＞ 0，即 f （x ）在（ 0，+∞）上单一递加；当 x∈（﹣∞， 0）时， f ′（ x）＜ 0，即 f （x）在（﹣∞， 0）上单一递减．（Ⅱ）因为 g′（x）=e x+2ax﹣ 1， g″（x）=e x+2a．若 a≥﹣，则对随意 x≥0，有 g″（x）=e x+2a≥1+2a≥0，即 g′（x）在（ 0， +∞）上单一递加，则g′（ x）≥ g′（0）=0，所以有g（x）在（ 0，+∞）上单一递加，则g（ x）≥ g（ 0） =6ln（2a+2）+2a2 ﹣6a﹣；令 h（a）=6ln（ 2a+2）+2a2﹣6a﹣，（ a≥﹣），则 h′（a）=，当 a∈[ ﹣，0）时， h′（a）＞ 0，即 h（a）在∈ [ ﹣，0）上单一递加；当 a∈（ 0，）时， h′（a）＜ 0，即 h（a）在（ 0，）上单一递减；当 a∈[ ，+∞）时， h′（a）＞ 0，即 h（a）在∈ [ ， +∞）上单一递加；又因为 h（﹣）=+3﹣=0，h（）=6（ln 3﹣1）＞0，所以当 a∈ [ ﹣，+∞）时，g（x）≥ 0．若﹣ 1＜a＜﹣，g″（0）=1+2a＜0，而g″（x）单一递加，且必定存在x0＞0 使得 g″（x0） =0，此时，对随意的x∈（ 0，x0），g″（x）＜ 0，即 g′（x）在（ 0，x0）上单一递减，则 g′（x）≤ g′（ 0） =0，所以有 g（x）在（ 0，x0）上单一递减，于是当 x∈（ 0， x0）时， g（ x）＜ g（ 0） =6ln（2a+2）+2a2﹣6a﹣；令 m（a）=6ln（2a+2） +2a2﹣ 6a﹣，（﹣ 1＜a＜﹣），则 m′（a）=＞0，又因为m（﹣）=+3﹣0，故当 a∈（﹣ 1，﹣）时， m（a）＜ 0；于是当 a∈（﹣ 1，﹣），g（0）＜0，与题设不符；综上，所务实数 a 的取值范围是 [ ﹣，+∞）【评论】此题主要考察了导数和函数的极值的关系，参数的取值范围，结构函数是重点，属于难题．请考生在第（ 22）、（23）两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分． [ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．（ 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为（r ＞ 0，φ为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线l 的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线 C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线 C 上取两点 M，N 与原点 O 组成△ MON，且知足，求面积△ MON 的最大值．【剖析】（Ⅰ）求出直线 l 的直角坐标方程为y=+2，曲线 C 是圆心为（，1），半径为 r 的圆，直线 l 与曲线 C 相切，求出 r=2，曲线 C 的一般方程为（ x﹣）2+（ y﹣ 1）2，由此能求出曲线C 的极坐标方程．=4（Ⅱ）设 M （ρ1，θ）， N （ρ2，），（ρ1 ＞0，ρ2 ＞0），由=2sin（ 2 ） + ，由此能求出△ MON 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线 l 的极坐标方程为，∴由题意可知直线 l 的直角坐标方程为 y= +2，曲线 C 是圆心为（， 1），半径为 r 的圆，直线 l 与曲线 C 相切，可得 r= =2，∵曲线 C 的参数方程为（r ＞0，φ为参数），∴曲线 C 的一般方程为（ x﹣）2+（y﹣1）2 ，=42所以曲线 C 的极坐标方程为ρ﹣2 ρcos﹣θ2ρsin θ，=0即．（ Ⅱ）由（ Ⅰ）不如设 M （ρ1， θ）， N （ρ2，），（ρ1＞ ， ρ2＞ ），0 0==4sin （ ） sin （ ） =2sin θ cos+2θ=sin2 θ+=2sin （ 2）+ ，当时，，所以△ MON 面积的最大值为 2+．【评论】此题考察曲线的极坐标方程的求法， 考察三角形的面积的最大值的求法，考察参数方程、 极坐标方程、 直角坐标方程的互化等基础知识， 考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是中档题．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．已知对于 x 的不等式 | x ﹣m|+ 2x ≤0 的解集为 { x| x ≤﹣ 1} ，此中 m ＞0．（ Ⅰ）求 m 的值；（ Ⅱ）若正数 a ，b ，c 知足 a+b+c=2，求证：+ + ≥2．【剖析】（Ⅰ ）分 x ≥m ， x ＜ m 取绝对值即可求解．（ Ⅱ） 由均值不等式有：+a ≥2b ， +b ≥2c ， +c ≥2a ，三式相加可得：+a+ +b+ +c ≥2b+2c+2a ，即可证明．【解答】 解：（Ⅰ）由 | x ﹣m|+ 2x ≤0，即或 化简得： 或因为 m ＞ 0，所以不等式组的解集为 { x| x ≤﹣ m} ，由题设可得﹣ m=﹣1，故 m=1．（ Ⅱ）a+b+c=2，又由均值不等式有：+a ≥2b ， +b ≥ 2c ， +c ≥2a ，三式相加可得：+a+ +b++c ≥2b+2c+2a ，所以+ +≥a+b+c=2．（10 分）【评论】考察了证明不等式，绝对值不等式的解法，属于中档题．。
湖南省长沙市师大附中集团2018-2019高一下学期期末考试数学试卷(无答案)
湖南师大附中集团2018-2019高一下学期期末考试数学试卷一.选择题1.不等式2450x x -->的解集是（ ） A.1{}5|x x x ≤-≥或 B.1{}5|x x x <->或C.{}1|5x x -<<D.{}1|5x x -≤≤2.在△ABC 中，若a cos cos cosbc A B C==，则△ABC 是（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形3.已知数列{}n a 中，12a =，112n n a a +=+()n N *∈，则101a 的值为（ ） A.49 B.50 C.51 D.524.在△ABC 中，已知222a b c bc =+-，则角A 为（ ） A.6π B.3π C.23π D.3π或23π 5.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，35sin α=，则tan 4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+等于（ ） A.17 B.7 C.17- D.7- 6.设110a b<<，则（ ）A.22a b >B.a b +>C.2ab b <D.22a b a b +>+7.关于简单随机抽样，下列说法中正确的是（ ）①它要求被抽取样本的总体的个数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③它是一种不放回抽样；④它是一种等可能性抽样。
A.①②③④B.③④C.①②③D.①③④11，两数的等比中项是（ ）A.1B.1-C.1±D.129. 已知11a =，()1n n n a n a a +=-，()n N +∈，则数列{}n a 的通项公式是（ ）A.21n a n =-B.11n n n a n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭C.2n a n =D.n a n = 10.若1a b >>，P =，()1lg lg 2Q a b =+，lg 2a b R +=，则（ ） A.R P Q << B.P Q R << C.Q P R << D.P R Q <<11.在△ABC 中，D 为AB 的中点，∠A=60︒且2AB AC AB CD ⋅=⋅，若△ABC的面积为则AC 的长为（ ）A.B.3C. 3D.12.已知函数()[]()22sin ,1,22,1,1sin x x a a x x x x x a f a ⎧⎪=⎨-+∈+∞++-∈-⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥对任 意1[)x ∈-+∞，恒成立，则实数a 的范围是（ ）A. []0,2B.(][],01,2-∞⋃C.(][),02,?-∞⋃+∞D.[][)0,12,⋃+∞二.填空题13.已知()4,3a =-,()5,6b =，则23a 4a b -= .14.已知等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项为 . 15.已知函数245x y a +=-1()0a a >≠，且的图像恒过定点P ，若点P 在直线20Ax By ++=上，且0AB >，则12A B+的最小值为 . 16.定义：如果十个数列从第二项起，后一项与前一项的和相等且为同一常数，这样的数列 叫“等和数列”，这个常数叫公和。
2018-2019学年湖南师范大学附属中学高一下学期第二次阶段性检测数学试题(含答案解析)
2018-2019学年湖南师范大学附属中学高一下学期第二次阶段性检测数学试题一、单选题1．若点()cos ,sin P θθ在直线20x y -=上,则tan 2θ=( ) A ．45-B ．43C ．43-D ．45【答案】C【解析】先由点在直线上，得到2cos sin 0θθ-=，根据弦化切，以及二倍角的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为点()cos ,sin P θθ在直线20x y -=上， 所以2cos sin 0θθ-=，所以tan 2θ=， 因此22tan 44tan 21tan 143θθθ===---. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求三角函数值，熟记二倍角公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.2．已知α是第二象限角,1sin cos 5αα=-,则cos sin αα-=( )A 35B ．35C ．355-35 D ．75【答案】B【解析】先由题意，得到cos 0α<，sin 0α>，再由同角三角函数基本关系，即可求出结果. 【详解】因为α是第二象限角，所以cos 0α<，sin 0α>， 又1sin cos 5αα=-，所以()2235cos sin cos sin 12sin cos 15αααααα-=-=-=+=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数化简求值的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.3．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a A ．100 B ．99C ．98D ．97【答案】C【解析】试题分析：由已知，1193627{,98a d a d +=+=所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 4．函数22cos sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 【答案】C【解析】先由二倍角公式将原式化简，得到sin 2y x =，再由sin 2y x =的最小正周期，即可得出结果. 【详解】因为22cos sin cos 2sin 2442y x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又sin 2y x =的最小正周期为22T ππ==，函数sin 2y x =的图像是将sin 2y x =图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方， 因此函数sin 2y x =的最小正周期为：2π.【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，熟记二倍角的余弦公式，正弦型函数的周期，以及函数的翻折变换即可，属于基础题型.5．在△ABC 中，若AB u u u r 2BC -u u ur 2=AB AC ⋅u u u r u u u r ，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】由已知利用平面向量数量积的运算，余弦定理可求c 2=a 2+b 2，利用勾股定理即可判断得解． 【详解】解： 22C AB B AB AC -=⋅u u u v u u u v u u u v Q u u u v22cos c a bc A ∴-=，化简可得：222c a b =+，∴△ABC 是直角三角形． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．6．已知12,e e r r是两个单位向量，且夹角为3π，则12e te +r r 与12te e +r r 数量积的最小值为（ ）A ．32-B ．36-C ．12D ．33【答案】A【解析】通过数量积运算律，可将数量积化为211222t t ++，根据二次函数可求得最小值. 【详解】由题意：()()()222112122211te e te t e e t t e e e ⋅=++++⋅+r r r rrr r r()22221122111cos 2322t e t e e t e t t π=+++=++r r r r∴当2t =-时，最小值为：11344222⨯-+=-本题正确选项：A本题考查向量数量积的运算律，结合二次函数求得最值，关键是能通过运算律将问题转化为模长和夹角运算的问题，难度不大.7．如图,已知OAB V ,若点C 满足3AC CB =u u u r u u u r ,(),OC xOA yOB x y R =+∈u u ur u u u r u u u r ,则11x y+=( )A ．14B ．34C ．316D ．163【答案】D【解析】先由题意，根据平面向量的线性运算，得到1344OC OA OB =+uuu r uu r uu u r，结合题中条件，求出13,44x y ==，即可得出结果.【详解】因为3AC CB =u u u r u u u r，所以()333OC OA OB OC OB OC -=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即1344OC OA OB =+uuu r uu r uu u r ，又(),OC xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r ，所以13,44x y ==，所以11416433x y +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用平面向量基本定理求参数，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.8．将函数cos()3y x π=-的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．6x π=C ．x π=D ．2x π=【解析】将函数3y cos x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的解析式为：123y cos x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位得到函数为11cos 26324y cos x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令124x k ππ-=，解得22x k ππ=+ 故函数的对称轴为22x k k Z ππ=+∈，结合选项可得函数图象的一条对称轴为2x π=故选D点睛：这是一道关于三角函数对称轴以及三角函数平移的题目， 解答本题的关键是掌握三角函数的平移规律．由函数3y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得123y cos x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，向左平移6π个单位可得1cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由余弦函数的对称性即可解答．9．已知3sin 2252πααπ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭,()1tan 2αβ-=-,则()tan αβ+等于( )A ．-2B ．-1C ．211-D ．211【答案】C【解析】先由同角三角函数基本关系求出tan2α，再由两角差的正切公式，根据()()tan tan 2αβααβ+=--⎡⎤⎣⎦，即可求出结果.【详解】因为3sin 2252πααπ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，所以234cos 2155α⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因此3tan 24α=-，又()1tan 2αβ-=-，所以()()()()31tan 2tan 242tan tan 2311tan 2tan 11142ααβαβααβααβ-+--+=--===-⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记两角差的正切公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.10．已知{}n a 为无穷等比数列,且公比1q >,记n S 为{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A ．21a a > B ．120a a +> C ．{}2na 是递增数列D ．n S 存在最小值【答案】C【解析】根据题意，由等比数列的首项正负不确定，结合等比数列的求和公式与通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 为无穷等比数列，且公比1q >，但首项的正负不确定， 所以21a a q =与1a 的大小关系不能确定，()1211a a a q +=+也不一定大于0， 故A 、B 选项错误； C 选项，()12221n n a a q -=，所以数列{}2na 是首项为210a>，公比为2q 的等比数列，所以()()()()11222222222111110nn n n n a a a q a q a q q--+-=-=->，因此数列{}2n a 是递增数列；故C 正确；D 选项，因为n S 为{}n a 的前n 项和，所以111n n nn S a S a q ++-==，因为首项的正负不确定，所以n S 的增减性不确定，故n S 不一定存在最小值；即D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查等比数列的相关判断，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.11．已知ABC V 中,a 、b 分别是角A 、B 所对的边,且()0a x x =>,4b =,60A =︒,若三角形有两解,则x 的取值范围是（ ）A ．23x >B ．234x ≤≤C ．34x <<D ．234x <≤【答案】C【解析】根据题中条件，先由正弦定理，得到3sin B x=，为使三角形有两解，只需3sin sin 1A B x<=<且a b <，即可求出结果. 【详解】因为ABC V 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，且()0a x x =>，4b =，60A =︒，由正弦定理可得：sin sin a b A B =4sin 3B =，所以3sin B x=， 又三角形有两解， 所以23sin sin 1A B x<=<且a b <， 因此234x <<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由三角形解的个数求参数的问题，熟记正弦定理即可，属于常考题型.12．已知O 为ABC V 的外心,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若CO AB BO CA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则222a b c +的值是（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】分别取AB ，AC ，BC 中点为D ，E ，F ，连接OD ，OE ，OF ，根据向量数量积的几何意义，得到221122CO CA CA b ⋅==u u u r u u u r u u u r ，221122CO CB CB a ⋅==u u u r u u u r u u u r ，221122BO BA BA c ⋅==u u u r u u u r u u u r ，221122BO BC BC a ⋅==u u u r u u u r u u u r ，再由CO AB BO CA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 推出2221122a b c =+，即可得出结果.【详解】分别取AB ，AC ，BC 中点为D ，E ，F ，连接OD ，OE ，OF ， 则⊥OD AB ，OE AC ⊥，OF BC ⊥，所以221122CO CA CA b ⋅==u u u r u u u r u u u r ，221122CO CB CB a ⋅==u u u r u u u r u u u r ，221122BO BA BA c ⋅==u u u r u u u r u u u r ，221122BO BC BC a ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又CO AB BO CA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()()CO CB CA BO BA BC ⋅-=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即CO CB CO CA BO BA BO BC ⋅-⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，因此222211112222a b c a -=-，即2221122a b c =+， 所以22212a b c =+. 故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟记平面向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.二、填空题13．化简()()12sin 6cos 6ππ-++______. 【答案】cos6sin 6-【解析】根据诱导公式与同角三角函数基本关系，直接化简，即可得出结果. 【详解】()()212sin 6cos 612sin 6cos6(sin 6cos6)cos6sin 6ππ-++=-=-=-.因为3622ππ<<，所以cos60>，sin60<，因此cos6sin60->； 所以原式等于cos6sin 6-. 故答案为：cos6sin 6-.本题主要考查三角函数的化简问题，熟记诱导公式与同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.14．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,现将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象,则函数()g x 的解析式为______.【答案】()2sin 2g x x =【解析】先由函数图像，确定A 和周期，得到()()2sin 2f x x ϕ=+，再由23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ，确定()f x 的解析式，最后根据函数的平移，即可得出结果. 【详解】由图像可得：2A =，2236T ππππω⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，则2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即22sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以22,32k k Z ππϕπ+=+∈， 即2,6k k Z πϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，故()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 因为将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，所以()2sin 22sin 2126g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：()2sin 2g x x =.本题主要考查由三角函数的图像确定函数的解析式，以及求平移后的函数解析式，熟记正弦型三角函数的性质，以及三角函数的平移原则即可，属于常考题型. 15．已知函数()1f x x x=+,则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+11134201912f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭______. 【答案】40372【解析】先由()1f x xx=+得()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而可求出结果. 【详解】因为()1f x x x =+，所以111111x f x xx⎛⎫== ⎪+⎝⎭+，因此()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭； 所以()()()()111341123201201992f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+++⋅⋅⋅+++⎝⎝⎭⎭⎪ ()()()()1111232019232019f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+++++⋅⋅⋅++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎦⎣⎦⎣⎝⎭⎝⎦⎭ ()11140372018220182222f f ⎡⎤⎛⎫=+⨯+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：40372. 【点睛】本题主要考查求函数值的和，熟记函数的概念，灵活运用分组求和的方法即可，属于常考题型.16．对于数列{}n a ,定义1123242n nn a a a a T n-+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“好数”,已知某数列{}n a 的“好数”为12n n T +=,记数列{}n a pn -的前n 项和为n S ,若8n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立,则实数p 的取值范围为______.【答案】20994p ≤≤ 【解析】先由题意，得到111232422n n n a a a n a +-+++⋅⋅⋅+=⋅，求出n a ，再由等差数列的性质，得到关于p 的不等式，求解，即可得出结果. 【详解】由题意，111232422n n nn a a a a T n -++++⋅⋅⋅+==，即111232422n n n a a a n a +-+++⋅⋅⋅+=⋅①，当1n =时，14a =；当2n ≥时，21231(142)22n n na a n a a --+++=-⋅⋅⋅⋅+②，①-②得112(1)21)22(n n n n n n n n a +-=⋅--⋅=+⋅，所以22(2)n n a n =+≥，显然14a =也满足22n a n =+，所以*22()n n n N a =+∈，因此()22n a pn p n -=-+，即数列{}n a pn -是以4p -为首项，以2p -为公差的等差数列，又8n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 所以8900a a ≥⎧⎨≤⎩ ，即18802090p p -≥⎧⎨-≤⎩，解得：20994p ≤≤. 故答案为：20994p ≤≤. 【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，熟记等差数列的通项公式，以及等差数列的性质即可，属于常考题型.三、解答题17．已知在ABC V 中,A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若2228a b c +=+,3C π=.（1）求ABC V 的面积；（2）若23c =,求sin sin A B +的值. 【答案】（1）23（2）32. 【解析】（1）根据余弦定理，由题中条件，得到8ab =；再由三角形面积公式，即可得出结果；（2）先由正弦定理，得到sin 4a A =，sin 4bB =，再由题中条件，求出6a b +=，即可得出结果. 【详解】（1）因为在ABC V 中，2228a b c +=+，3C π=，所以由余弦定理可得：22222cos 82cos3ab C ab c a b c π=-=++-，所以8ab =；因此ABC V 的面积为113sin 82322ABC S ab C V ==创= （2）因为23c =，所以由正弦定理可得：234sin sin sin 3a b c A B C ====， 所以sin 4a A =，sin 4b B =， 由2228208a b c ab ⎧+=+=⎨=⎩得()222236a b a b ab +=++=， 所以6a b +=，因此3sin sin 42a b A B ++==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.18．在数列{}n a 中,12a =,1122n n n a a ++=+,设2nn na b =. （1）证明：数列{}n b 是等差数列并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和.【答案】（1）证明过程见详解；2n n a n =⋅；（2）1(1)22n n ++⋅-.【解析】（1）根据题意，计算11n n b b +-=，根据等差数列的定义，即可得出结论成立；进而可求出n b n =，从而得出{}n a 的通项公式；（2）先记数列{}n a 的前n 项和为n T ，根据错位相减法，即可求出结果. 【详解】（1）因为1122n n n a a ++=+，2nn na b =， 所以111112212222n n nn n n n n n n n a a a a b b +++++-=-=-=+，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列； 又12a =，所以11112a b ==，因此n b n =，即2n n a n =⋅； （2）记数列{}n a 的前n 项和为n T ，则21212222nn n T a a a n =++⋅⋅⋅+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅①所以231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅②①-②得2112(12)2222212n n nn n n n T ++-=++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅--1112222(1)2n n n n n +++=--⋅=-+⋅所以1(1)22n n T n +=+⋅-.【点睛】本题主要考查由递推关系证明等差数列，以及求数列的通项与数列的求和问题，熟记等差数列概念，通项公式，等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.19．ABC V 中,记角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ,已知a 、b 、c 依次成等比数列且2a 、2b 、2c 依次成等差数列. （1）求B 的大小；（2）若a c b λ+=,求λ的取值范围. 【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）根据题中条件，由余弦定理，得到1cos 2B =，即可得出结果； （2）根据题中条件，得到22(4)a c b =+，求得2a c b +=，即可得出结果.【详解】（1）因为在ABC V 中，a 、b 、c 依次成等比数列且2a 、2b 、2c 依次成等差数列，所以22222b ac b a c ⎧=⎨=+⎩， 由余弦定理可得，222221cos 222a b b B ac b c =-=+=，所以3B π=；（2）由（1）知22222b ac b a c⎧=⎨=+⎩，所以22224c ac a b ++=， 因此22(4)a c b =+，所以2a c b +=， 又a c b λ+=，所以2λ=. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.20．已知函数()22sin 3214x f x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,x ∈R .（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC V 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且满足()2cos cos a c B b C -=,若方程()1f A m +=恰有两个不同的解,求实数m 的取值范围. 【答案】（1）5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）13m <<. 【解析】（1）先将函数解析式化简整理，得到()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求解，即可得出结果；（2）先由题意，根据正弦定理，得到3B π=，求出2,33A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，令2,33t A πππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，画出()2sin f t t =在,3t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的大致图像，将方程()1f A m +=恰有两个不同的解，转化为()y f t =与1y m =-有两不同交点，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】（1）因为()22sin 32132co 2s 24x x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2322sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为()2cos cos a c B b C -=，所以()2sin sin cos sin cos A C B B C -=， 即2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B B C B C B C A =+=+=，所以1cos 2B =， 故3B π=，所以20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此2,33A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以3sin 2,13A π⎛⎤⎛⎫-∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，令2,33t A πππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则()2sin f t t =， 作出函数()2sin f t t =在,3t ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的大致图像如下， 因为方程()1f A m +=恰有两个不同的解，则()y f A =与1y m =-有两不同交点， 即()y f t =与1y m =-有两不同交点， 由图像可得，只需012m <-<，即13m <<.【点睛】本题主要考查求正弦型三角函数的单调区间，以及根据方程根的个数求参数的问题，熟记辅助角公式，正弦函数的单调区间，正弦定理等，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.21．如图所示,在xOy 平面上,点()1,0A ,点B 在单位圆上且()0AOB ααπ∠=<<.（1）若点34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求tan 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （2）若OA OB OC +=u u u r u u u ru u u r,四边形OACB 的面积用S 表示,求S OA OC +⋅u u u r u u u r的最大值. 【答案】（1）1731；（2）12+【解析】（1）先由三角函数的定义，得到4tan 3α=-，根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，即可求出结果；（2）先由三角形面积公式，得到2sin AOB S S α==V ，再由向量数量积的运算，得到1cos OA OC α⋅=+u u u r u u u r ，进而得到124S OA OC πα⎛⎫+⋅=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，根据正弦函数的性质，即可得出结果. 【详解】（1）因为34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角函数的定义可得：445tan 335α==--，所以282tan 243tan 2161tan 719ααα-===--， 因此241tan 2tan1774tan 2244311tan 2tan 147παπαπα--⎛⎫-=== ⎪⎝⎭+⋅+； （2）由题意，2sin sin AOB S S OA OB AOB α==⋅∠=V ，()21cos 1cos OA OC OA OA OB OA OA OB OA OB αα⋅=⋅+=+⋅=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，因此sin 1cos 124S OA OC πααα⎛⎫++=+⎪⎝⎭+⋅ =u u u r u u u r ，因为0απ<<，所以5444ππαπ<+<， 因此当42ππα+=，即4πα=时，sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，即124S OA OC πα⎛⎫++⋅=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 的最大值为12+【点睛】本题主要考查由两角差的正切公式求三角函数值，以及三角函数性质的应用，熟记两角差的正切公式，二倍角的正切公式，三角函数的定义，正弦函数的性质等即可，属于常考题型.22．已知数列{}n a 满足2112n n n a a a +=+,*n N ∈. （1）若120a -<<,证明：10n n a a +<<；（2）若10a >,记12111222n n S a a a =++⋅⋅⋅++++,问：是否存在常数M ,使得n S M <对*n N ∈均成立.【答案】（1）证明过程见详解；（2）存在常数11M a ≥，使得n S M <对*n N ∈均成立. 【解析】（1）根据数学归纳法证明20n a -<<，即可得出结论成立；（2）先由（1）的方法，得到0n a >恒成立；根据题中条件，用裂项的方法得到11112n n n a a a +=-+，求出1111n n S a a +=-，即可得出结果.【详解】（1）先用数学归纳法证明20n a -<<如下： 当1n =时，因为120a -<<显然成立；假设()2n k k =≥时，20n a -<<成立；则022k a <+<，1102k a -<<， 所以()()211122,022k k k k k a a a a a +=+=+∈-也成立； 即1n k =+时，也满足20n a -<<成立； 综上，20n a -<<对任意*n N ∈恒成立； 所以()21112022n n n n n a a a a a +=+=+<显然成立； 21102n n n a a a +-=>也成立，即1n n a a +>，因此10n n a a +<<；（2）由10a >，同（1）可得：0n a >恒成立； 因为()2111222n n n n n a a a a a +=+=+， 所以()1121122n n n n n a a a a a +==-++，即11112n n n a a a +=-+， 所以1212123111111111222nn n n S a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭⎭111111n a a a +=<-， 为使n S M <对*n N ∈均成立，只需11M a ≥即可. 即存在常数11M a ≥，使得n S M <对*n N ∈均成立. 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，以及数列的求和，熟记数学归纳法的一般步骤，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型.。
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湖南师大附中20182019-学年度高一第二学期第二次阶段性检测
数学
命题：苏萍 苏林 赵优良
审题：赵优良
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点()cos ,sin P θθ在直线20x y -=上，则tan 2θ=（ ） A. 45
-
B.
43
C. 43
-
D.
45
2. 已知α是第二象限角，1sin cos 5
αα=-，则cos sin αα-=（ ）
A.
B. C.
或 D.
7
5
3. 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ） A. 100
B. 99
C. 98
D. 97
4. 函数22cos sin 44y x x ππ⎛⎫
⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的最小正周期为（ ）
A. 2π
B. π
C.
2
π
D.
4
π 5. 在ABC ∆中，若2
2
AB BC AB AC -=⋅，则ABC ∆是（ ） A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
6. 已知1e 、2e 是两个单位向量，且夹角为3
π
，则12e te +与12te e +数量积的最小值为（ ）
A. 32
-
B. 6
-
C.
12
D.
3
7. 如图，已知OAB ∆，若点C 满足3AC CB =，OC xOA yOB =+(),x y R ∈，则11
x y
+=（ ） A.
14
B.
34
C.
316
D.
163
8. 将函数3y cos x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
，再向左平移6
π
个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ） A. 4
x π=
B. 6
x π=
C. x π=
D. 2
x π=
9. 已知3sin 2252πααπ⎛⎫
=
<< ⎪⎝⎭
，()1tan 2αβ-=-，则()tan αβ+等于（ ） A. 2-
B. 1-
C. 2
11
-
D.
211
10. 已知{}n a 为无穷等比数列，且公比1q >，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A. 21a a >
B. 120a a +>
C. {}
2
n a 是递增数列
D. n S 存在最小值
11. 已知ABC ∆中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，且()0a x x =>，4b =，60A =︒，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）
A. x >
B. 4x ≤≤
C. 4x <<
D. 4x <≤
12. 已知O 为ABC ∆的外心，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若CO AB BO CA ⋅=⋅，则2
22
a b c
+的值是（ ） A. 13
B.
12
C. 1
D. 2
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. = ； 14. 函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫
>><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，现将此图象向左平移
12
π
个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为 ；
15. 已知函数()1x
f x x
=+，则()()()(
)111112320192342019f f f f f
f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
16. 对于数列{}n a ，定义11
23242n n
n a a a a T n
-+++
+=为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”为
12n n T +=，记数列{}n a pn -的前n 项和为n S ，若8n S S ≤对任意的n N *∈恒成立，则实数p 的取值范围
为 .
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）
已知在ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2
2
2
8a b c +=+，3
C π
=.
（1）求ABC ∆的面积；
（2）若c =，求sin sin A B +的值.
在数列{}n a 中，12a =，1
122n n n a a ++=+，设2
n
n n a b =
. （1）证明：数列{}n b 是等差数列并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和.
19. （本小题满分12分）
ABC ∆中，记角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 依次成等比数列且2a 、2b 、2c 依次成等
差数列.
（1）求B 的大小；
（2）若a c b λ+=，求λ的取值范围.
已知函数()2
2sin 214f x x x π⎛⎫
=+-
⎪⎝⎭
，x R ∈. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，若方程()1f A m +=恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.
21. （本小题满分12分）
如图所示，在xOy 平面上，点()1,0A ，点B 在单位圆上且()0AOB ααπ∠=<<. （1）若点34,
55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求tan 24πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值；
（2）若OA OB OC +=，四边形OACB 的面积用S 表示，求S OA OC +⋅的最大值.
已知数列{}n a 满足2
112
n n n a a a +=
+，n N *∈. （1）若120a -<<，证明：110n a a +<<； （2）若10a >，记1211
122
2
n n S a a a =+++
+++，问：是否存在常数M ，使得n S M <对n N *
∈均成立.。