应用随机过程张波课后答案

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应用随机过程第五版张波商豪教案

应用随机过程第五版张波商豪教案

应用随机过程第五版张波商豪教案
随机过程是概率论与数理统计中的一个重要概念,涉及随机事件在时间上的变
化规律。

《应用随机过程第五版》是由张波和商豪合著的教材,旨在帮助读者深入理解随机过程的应用。

本教案的主要内容包括以下几个方面:
1. 随机过程的基本概念和性质:教案首先介绍了随机过程的定义和基本性质,
包括随机过程的样本函数、状态空间和参数、马尔可夫性质等,以及常见的随机过程模型,如泊松过程、马尔可夫链等。

2. 随机过程的分类和描述:教案对随机过程进行了分类和描述。

通过引入随机
过程的状态空间、状态转移概率等概念,教案详细介绍了离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链,并给出了相关的数学推导和例题。

3. 随机过程的应用:教案重点介绍了随机过程在实际问题中的应用。

通过生活
实例和工程案例,教案阐述了随机过程在通信系统、排队论、金融领域等方面的应用。

同时,教案还涉及了随机过程的稳态分析、极限定理和随机过程的仿真等内容。

总的来说,《应用随机过程第五版》张波商豪教案为读者提供了一个系统、全
面的学习随机过程的教程。

通过教案的学习,读者可以掌握随机过程的基本概念、分类与描述,了解随机过程在实际问题中的应用,并具备进行随机过程的分析与仿真的能力。

这无疑为读者在概率论与数理统计领域的研究和应用打下了坚实的基础。

应用随机过程

应用随机过程
(1) X是随机变量;
( 2 ) { :X () a } F , a R ;
( 3 ) {:X () a } F ,a R ;
( 4 ) { :X () a } F ,a R .
定义1.7 设X()是F上的随机变量,函数
F(x) P (:X ( ) x ), x
称为随机 X的 变分 量布函数。
( 1 )如 A 1 A 2 果 A n , An A
则nlimAn
An
n 1
( 2 )如 A 1 A 2 果 A n ,An A
则nlimAn
n 1
An
结论: 单调事 (集件 合 )序列必有 . 极限
(8) 概率的连续性:
定理:若 { A n ,n 1 } 是单 (或 调 )的 递 递 事 减 增 件
( 3 ) 若 i 果 , 1 , 2 , , 则 i 1i ;
( 4 ) 若 , , 则 果 , ;
(5)-代数必为代. 数
例1.1 由 的一切事件类 构是 成 事 的 -代 件 事 .数
(常常它为称为最广 -代泛数 .的 )
例1.2 由 F{,},则 F是事 -件 代数。 称作平凡 -事 代件 数 .
所有可能的结果称为样本空间。 记作
的子A集 由基本事件—组A称成为事件。
事件的性质 假设A,B,C是任意事件,则他们满足:
(1)交换律 A B B A
ABCABC (2)结合律
A A AB B BC C CA A AB B BC A AC C (3)分配律
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
例1.3 对任 A 意 , F事 { , 件 A, A, }
是事件 -代数。

(完整版)随机过程习题答案

(完整版)随机过程习题答案

(完整版)随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数,)1,0(~N V ,求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V,所以1,0==DV EV ,b Vt t X +=)(也服从正态分布,b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ,)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π,),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ,令Yt e t X -=)(,0,0>>Y t ,求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解对于任意0>t,Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量,根据随机变量函数的分布的求法,}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=,0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验,定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求:(1))(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和;(2))(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ;(3))(t X 的均值)1(),(X X m t m ,⽅差 )1(),(22X Xt σσ。

随机过程答案一初稿

随机过程答案一初稿
i=1
P (Ai )
(5) eAn ∈ F …An ↑ A, KP (A) = limN →∞ P (An ).
dAn ↑ A• A=
n
An ,
A ∈ F , ¿…An ⊂ A
∴ P (A) ≥ P (An ) -Cn = Ac n An+1 (n ≥ 2), K
n
Cn =
n
An = A, Cn
Cm = ∅(m = n)
A
¼ê

+∞
Ψ(t) = E [eitx ] =

eitxω p(dω ) =
−∞
eitx dF (x)
k.5
10
|Ψ(t)| ≤ 1 = Ψ(0) |Ψ(t)| = |

eitxω P (dω )| |eitxω |P (dω ) = 1 = Ψ(0)

≤ Ψ(−t) =

e−itxω P (dω ) =
A = Ac (B − A)
P (B ) = P (A) + P (B − A) + P ((B − A)
A) = P (A) + P (B − A)
(3) eA, B ∈ F …A ⊂ B , KP (A) ≤ P (B ).
B=A
(B
Ac ) Ac = ∅
A ⊂ B =⇒ B ∵ A, B ∈ F ∴B Ac ∈ F
,

ω ∈ {ω |ω –õØáuk•õ‡An } é?¿

K7•3n1 ¦

k ≥ n, ω ∈ Ak (ÄKω ØáuÕõ‡An )

∴ω∈
k=n1
Ak ,
ω∈

李晓峰应用随机过程课后习题_随机过程答案CH1

李晓峰应用随机过程课后习题_随机过程答案CH1

习 题一、习题编号本次作业:1,2, 7,9,12,17,18,19,23,25 二、习题解答1.1 设随机试验E 是将一枚硬币抛两次,观察H -正面,T -反面出现的情况,试分析它的概率空间(),,P Ω。

解1.1: 样本空间:Ω = {HH, HT, TH, TT}集类:F = { Ø, Ω, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},{HH,HT}, {HH, TH}, {HH,TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HT, TH, TT}, {TH, TT, HH}, }概率:P: P{HH} = P{HT} = P{TH} = P{TT} = 1/41.2 设,A B ∈Ω,集类{},A B =。

试求:()σ的所有元素。

解1.2:因为:{},A B =所以:(){},,,σ=∅Ω1.3 设四个黑球与两个白球随机地等分为A 与B 两组,记A 组中白球的数目为X ;然后随机交换A 与B 中一个球,再记交换后A 组中白球的数目为Y 。

试求:(1)X 的分布律;(2)Y|X 的分布律;(3)Y 的分布律。

解1.3:(1)总计有2个白球,因此,X 的取值为0,1,2。

等分共有36C 种分法,等分后,X 取值分别为0,1,2的概率为:3211244242333666012012131()()555XX C C C C C P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)交换一个球后,1)如果X 中没有白球,则交换后Y 可能取值为0、1 2)如果X 中有一个白球,则交换后Y 可能取值为0、1、2 3)如果X 中有两个白球,则交换后Y 可能取值为1、2|0|01|00|11|12|11|22|21225221(|)3399933Y XP Y X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3)20()(|)()i P Y P Y X i P X i ====∑2(0)(0|)()1123359515i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯=∑2(1)(1|)()21532135953535i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯+⨯=∑2(2)(2|)()23110953515i P Y P Y X i P X i =======+⨯+⨯=∑故Y 的分布律为:012131()555YP Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1.4 设A 与B 是概率空间(),,P Ω上的事件,且()01P B <<,试证明:A 与B独立的充要条件为:()()|=|P A B P A B 。

《随机过程及其在金融领域中的应用》习题四答案

《随机过程及其在金融领域中的应用》习题四答案

第四章 习题41、对泊松过程{},0t N t ≥(1)证明:当s t <时,{}1,0,1,,kn ks t n s s P N k N n k n k t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)当2λ=时,试求:()()()112112;1,3;21P N P N N P N N ≤==≥≥(3)设顾客到达某商店是泊松事件,平均每小时以30人的速度到达。

求下列事件的概率:相继到达的两顾客的时间间隔为大于2分钟、小于2分钟、在1分钟到3分钟之间。

答:(1)证明:{}()()()()()()()()()()()()()()()()()()(),,!!!!!!!1!!s t s t s s t s s t t t t n kkt s sk n kn k nk n ktn kk n kk nP N k N n P N k N n k P N k P N n k P N k N n P N n P N n P N n t s s e ek n k s t s n k n k t t t e n n s t s n s s k t k n k t t λλλλλλλλλλ------------====-==-========-⎡⎤⎣⎦--==--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)()()()()()()()()11110121112222201211120!1!2!225P N P N N N e e e e e e e λλλλλλλ-------≤==+=+==++-=++=()()()()12121224111,31,3112224P N N P N N P N P N ee e----=====-=====()()()()()()()()()()111111121112112,122111121011311101P N N P N P N N P N P N P N P N P N e P N P N e --≥≥≥≥≥==≥≥-<-=-=-===-<-=-(3) 解法一:顾客到达事件间隔服从参数为λ的指数分布:()()()30,03030,0x x Z Z f t e x f t e x λλλ--=≥=⇒=≥①()30301111303023030106030x x P Z e dx e e e ∞∞----⎧⎫>===--=⎨⎬-⎩⎭⎰②()11303011303000230301116030x x P Z e dx e e e ----⎧⎫<===--=-⎨⎬-⎩⎭⎰ ③1131133030202022221160601330301606030x x P Z e dx e e e e e ------⎛⎫⎧⎫<<===--=-⎨⎬ ⎪-⎩⎭⎝⎭⎰解法二:()3030==0.560λ∴平均每小时有人到达人/分钟根据齐次Poisson 过程的到达时间间隔{},1,2,n X n =是独立同分布于均值为1λ的指数分布的,故可有: 相继到达的顾客的时间间隔大于2分钟的概率为:()12t n P X e e λ-->== 相继到达的顾客的时间间隔小于2分钟的概率为:()1211t n P X e e λ--<=-=-相继到达的顾客的时间间隔在1分钟到3分钟之间的概率为:()()()()1.50.50.5 1.5133111n n n P X P X P X e e e e ----<<=<-<=---=-2、{},0t N t ≥是强度为λ的泊松过程。

应用随机过程第五版张波商豪教案

应用随机过程第五版张波商豪教案

应用随机过程第五版张波商豪教案摘要:随机过程是概率论中的重要内容,通过对随机过程的学习和应用,可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

本教案分析了应用随机过程的相关案例,并结合张波商豪教授的第五版教材进行教学设计。

引言:应用随机过程是一个有趣且实用的领域,它可以帮助我们了解和模拟现实世界中的随机现象。

在现代科学和工程领域,应用随机过程的知识和方法被广泛应用于通信、金融、电力系统、生物医学工程等诸多领域。

通过学习和应用随机过程,我们可以更好地理解和预测这些领域中的随机现象,提高问题解决的效率和准确性。

主体:1. 应用随机过程的基本概念和性质1.1 随机过程的定义和分类1.2 随机过程的性质:平稳性、独立增量性、Markov性2. 马尔可夫链的建模和分析2.1 马尔可夫链的定义和特性2.2 马尔可夫链的转移概率矩阵2.3 马尔可夫链的平稳分布2.4 马尔可夫链的应用案例3. 排队论的应用3.1 排队论的基本概念和模型3.2 M/M/1排队模型3.3 M/M/1排队模型的应用4. 随机过程在金融工程中的应用4.1 随机过程模型在金融衍生品定价中的应用4.2 随机过程模型在风险评估中的应用4.3 随机过程模型在投资组合优化中的应用5. 随机过程在通信系统中的应用5.1 随机过程模型在信道建模中的应用5.2 随机过程模型在网络性能评估中的应用5.3 随机过程模型在调度算法设计中的应用结论:应用随机过程是一个广泛而深入的领域,通过学习和应用随机过程的方法,我们可以更好地理解和解决实际问题。

本教案以张波商豪教授的第五版教材为基础,结合相关案例进行教学设计,旨在帮助学生掌握随机过程的基本概念和方法,并将其应用到实际问题中。

通过本教案的学习,学生将能够提高问题解决的能力和创新思维,为将来的学习和研究打下坚实的基础。

随机过程-第四章 更新过程

随机过程-第四章 更新过程
定义 4.2 的理解:我们依次观察诸 X n ,以 N 记在停止观察之前所观察的次数。若
N n ,则在观察 X1 ,, X n 之后与观察 X n1 , X n 2 , 之前我们停止观察。
例 4.2(a)掷硬币试验的停时:设 X n , n 1, 2, 相互独立且使得
1 P X n 0 P X n 1 , 0表示反面,1表示正面 2
所以
mk j
t Tmk t
( m 1) k 1 n mk
P T
n
t kP Tmk t
综合以上得
M (t ) Fn (t ) P Tn t
n 1 n 1


P Tn t P Tn t
n 1 nk
验,设成功的概率为 P ,失败的概率为 1 P 。以试验成功作为事件(更新) ,则此过程是 更新过程。求 P{N (t ) n} 和更新函数 M (t ) 。 解:依题意易知,过程的时间间隔 X i 服从独立的同几何分布,即
P{X i n} P(1 P)n1 , i 1, 2,, n 1, 2,
则第 k 次成功(更新)发生的时刻 Tk
X
i 1
k
i
具有负二项分布
C k 1P k (1 p)n k , n k P{Tk n} n 1 0, n k
上式表示:在第 n 次贝努利试验取得第 k 次成功(更新)的概率。 因此
P{N (t ) k} Fk (t ) Fk 1 (t ) P{Tk t} P{Tk 1 t}
命题 4.3 当 t 时,以概率 1 保证
证明:因为 TN (t ) t TN (t ) 1 ,于是有

应用数学系研究生课程介绍(西安交通大学)

应用数学系研究生课程介绍(西安交通大学)

研究生课程介绍课程编码:091002课程名称:计算方法(A)Computational Methods (A)学分:3课内总学时数:72上机(实验)学时数:18课程内容简介:本课程讲授电子计算机上使用的各种基本的数值计算方法, 如插值法, 最小二乘法, 最佳一致逼近, 数值微积分, 方程求根法, 线性与非线性代数方程组解法, 矩阵特征值与特征向量求法, 常微分方程初值问题的解法, 求解数理方程定解问题的差分法, 有限元法等. 书中重点讨论了各种计算方法的构造原理和使用, 对稳定性, 收敛性, 误差估计等也作了适当讨论. 本课程适合于计算数学专业以外的理工科各专业研究生学习。

先修课:高等数学, 线性代数, C 语言或FORTRAN 语言参考书目:1. 邓建中,刘之行编, 计算方法,西安交通大学出版社,2002执笔人:梅立泉、李乃成、高静审定人:彭济根课程编码:091003课程名称:计算方法(B)Computational Methods (B)学分:3课内总学时数:54上机(实验)学时数:48课程内容简介:由于现代计算机技术的迅速发展,数值方法已成为科学研究的最重要的手段之一。

本课程在介绍数值计算的基本问题,包括浮点数、误差形成等的基础上,主要介绍:线性方程组的直接解法与迭代解法、离散数据的连续化处理(包括多项式插值、分段插值和最小二乘法)、数值积分和数值导数、非线性方程解法简介、常微分方程数值解法、以及最优化方法简介。

通过听课与相应的上机练习等途径,理解数值方法的形成原理,掌握最基本的数值方法,了解采用数值方法时应注意的主要问题,为以后在科研和工程技术工作中设计算法、应用数值软件进行数值计算奠定必要的基础。

先修课:高等数学、线性代数、算法语言(Fortran、C、C++、或Matlab 等)参考书目:1.凌永祥、陈明逵编,计算方法教程(第二版)西安交通大学出版社,2005执笔人:黄昌斌、苏剑、马军审定人:彭济根课程名称:工程优化方法及其应用Engineering Optimization Methods and Its Applications学分:2课内总学时数:40上机(实验)学时数:课程内容简介:讲述工程优化的数学基础,凸集、凸函数、凸规划的基本概念与基本理论;突出非线性规划各类算法的共性分析及其在计算机上可实现的步骤,并指出每类算法中所包含各种常用和著名算法;简介工程中常用到的几类特殊规划,如:线性规划、二次规划、几何规划和多目标规划的基本概念、常用和最新算法;简介工程优化设计应用实例(包括建立优化模型,根据模型特点构造或选用相适应的算法、计算流程图)。

安徽大学2013—2014学年第二学期《应用随机过程》A卷及其参考答案

安徽大学2013—2014学年第二学期《应用随机过程》A卷及其参考答案

安徽大学2013—2014学年第二学期 《 应用随机过程 》考试试卷(A 卷)(闭卷 时间120分钟)院/系 年级 __专业 姓名 学号一、填空题(每小题4分,共16分)1、设X 是概率空间(),,F P Ω上的一个随机变量,且EX 存在,C 是F 的子σ-域,定义()E X C 如下:(1)____________________________; (2) ___________________________________________________; 2、设(){},0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程,则()N t 具有________、 ________增量,且0t ∀>,0h >充分小,有:()(){}()0P N t h N t +-== ________,()(){}()1P N t h N t +-==_____________;3、设(){},0W t t ≥为一维标准Brown 运动,则0t ∀>,()W t ~_______,且与Brown 运动有关的三个随机过程_______________、_________ ___________、___________________________都是鞅(过程);4、倒向随机微分方程(BSDE )典型的数学结构为_______________ ______________________________,其处理问题的实质在于________ __________________________________________________________。

二、证明分析题(共10分,选做一题)(1)设X 是定义于概率空间(),,F P Ω上的非负随机变量,并且具有指数分布,即:{}()1x P X x e λ-≤=-,0x >,其中λ是正常数。

设λ是另一个正常数,定义:()XZ e λλλ--=,由下式定义:()A P A ZdP =⎰,A F ∀∈;(i )证明:()1P Ω=;(ii )在概率测度P 下计算的分布函数:{}()P X x ≤,0x >;(2)设(){},0W t t ≥是P 下的标准Brown 运动,试分别由鞅的定义及Ito-Doeblin (伊藤—德布林)公式证明:(){},0X t t ≥是鞅(过程),这里,()()()33X t W t tW t =-。

(完整版)随机过程习题和答案

(完整版)随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为:试求:在时,求。

解:当时,==1.2 设离散型随机变量X服从几何分布:试求的特征函数,并以此求其期望与方差。

解:所以:2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程,其中是常数,与是相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解:(1)与无关(2),所以(3)只与时间间隔有关,所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E.321)方差函数)协方差函数;()均值函数;((2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且数。

试求它们的互协方差函2.5,试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少?3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲)解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

随机过程课后习题14页word文档

随机过程课后习题14页word文档

1.设随机变量X 服从几何分布,即:(),0,1,2,...k P X k pq k ===。

求X 的特征函数、EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

2.(1)求参数为(p,b )的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为(2)求其期望和方差;(3)证明对具有相同的参数b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。

3.设X 是一随机变量,F (x )是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。

(1)(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数;(2)Z=ln F()X ,并求()k E Z (k 为自然数)。

4.设12,,...,n X X X 相互独立,具有相同的几何分布,试求 的分布。

5.试证函数 为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。

6.试证函数 为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。

7.设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ,试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布,并求出其均值向量和协方差矩阵,再求 的概率密度函数。

8.设X 、Y 相互独立,且(1)分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布;(2)分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。

求X+Y 的分布。

9.已知随机向量(X, Y )的概率密度函数为 试求其特征函数。

10.已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234()服从正态分布,均值向量为0,协方差矩阵为B σ⨯kl 44=(),求(X ,X ,X ,X E 1234)。

11.设X 1,X 2 和X 3相互独立,且都服从(0,1)N ,试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

12.设X 1,X 2 和X 3相互独立,且都服从2(0,)N σ,试求:(1)随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数;(2)设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++,求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数;(3)121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

随机过程习题及部分解答(共享).docx

随机过程习题及部分解答(共享).docx

随机过程习题及部分解答习题一1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo<r<+oo,式中4为(0, 1)上均匀分布的随机变量,求X(/)的一维概率密度Px(x;t)。

2.设随机过程X(/) = 4cos(初+ 其中振幅A及角频率①均为常数,相位&是在[-兀,刃上服从均匀分布的随机变量,求X(/)的一维分布。

习题二1.若随机过程X(/)为X(t)=At -00 < r < +00 ,式中4为(0,1)上均匀分布的随机变量,求E[xa)],7?xa』2)2.给定一随机过程X(/)和常数Q,试以X(/)的相关函数表示随机过程y(0 = X(/ + a) —X(/)的自相关函数。

3.已知随机过程X(/)的均值阪⑴和协方差函数Cx (爪© , 0(/)是普通函数,试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)是普通函数,试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)的均值和协方差函数。

4.设X(t) = A cos at + B sin at,其中A, B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布N(0Q2)的随机变量,a为常数,试求X(/)的值与相关函数。

习题三1.试证3.1节均方收敛的性质。

2.证明:若X(t),twT;Y(t),twT均方可微,a0为任意常数,则aX(t) + bY(t) 也是均方可微,且有[aX (?) + b Y(/)]' = aX'(/) + b Y'(/)3.证明:若X⑴,twT均方可微,/X/)是普通的可微函数,则f(Z)X(Z)均方可微且[f(ox(or-/w(o+/(ox,(o4.证明:设X⑴在[a,b]上均方可微,且X0)在[a,切上均方连续,则有X'⑴ dt = X(b) — X(a)J a5•证明,设X(t\t eT =[a,b];Y{t\t eT = [a,b]为两个随机过程,且在T上均方可积,a和0为常数,则有(*b (*b (*bf [aX(/) + 0Y(/)M = a [ Xit)dt + /3\ Y⑴ dtJ a J a J aeb rc rbaX (t)dt = X (t)dt + XQ) dt,aWcWbJ a J a Jc6.求随机微分方程X'(/) + aX ⑴二丫⑴ze[0,+oo]'X(0) = 0的X(t)数学期望E [X(0]。

应用随机过程第五版张波商豪教案

应用随机过程第五版张波商豪教案

很高兴能为您撰写有关《应用随机过程第五版张波商豪教案》的文章。

这是一个非常有深度和广度的主题,需要我们全面评估,并以由浅入深的方式来探讨。

在文章中,我将重复多次提及这个指定的主题文字,并在总结和回顾性的内容中共享我的个人观点和理解。

让我们开始吧。

**1. 概述**在现代科学与工程领域,随机过程是一个重要的数学工具,对于研究和解决实际问题具有重要意义。

而《应用随机过程第五版张波商豪教案》作为一本经典教材,在随机过程领域中具有很高的地位和影响力。

本文将对这本教案进行深入分析,探讨其中的重要内容和理论,帮助读者更深入地了解随机过程的应用。

**2. 教案内容概述**《应用随机过程第五版张波商豪教案》主要包括对随机过程的理论基础、概率分布、马尔可夫链、泊松过程、随机过程的统计特性等内容的深入讲解。

教案通过丰富的案例和实践应用,帮助读者理解随机过程在实际问题中的应用。

**3. 随机过程的理论基础**随机过程是在一定概率规律下随机变量的演化过程。

教案通过对随机过程定义、性质、分类以及基本概念的介绍,为读者打下坚实的理论基础,为后续内容的学习打下基础。

**4. 概率分布与密度函数**在随机过程中,概率分布与密度函数是非常重要的概念,它们描述了随机变量的分布规律。

教案详细地介绍了常见的概率分布和密度函数,并通过例题引导读者掌握如何应用它们来解决实际问题。

**5. 马尔可夫链**马尔可夫链是随机过程中的一个重要内容,它描述了一个系统在给定当前状态下,未来状态只与当前状态有关,而与过去状态无关。

张波商豪教案详细介绍了马尔可夫链的基本概念、性质和应用,帮助读者深入理解这一内容。

**6. 泊松过程**泊松过程是一个具有很强实际应用价值的随机过程,它描述了稀疏事件到达的规律。

在教案中,作者详细地介绍了泊松过程的定义、性质和特点,并通过实例分析帮助读者理解泊松过程在实际中的应用。

**7. 随机过程的统计特性**随机过程的统计特性是对随机过程进行描述和分析的重要工具。

随机过程(二)

随机过程(二)

第三章 泊松过程(Possion Process )定义3.1 如果对任何12,,,n t t t T ∈ ,12n t t t <<< ,随机变量211()(),,()()n n X t X t X t X t --- 相互独立,则称{(),}X t t T ∈为独立增量过程。

如果对任何12,t t ,有1122()()()()dX t h X t X t h X t +-=+-,则称{(),}X t t T ∈为平稳增量过程。

兼有独立增量和平稳增量过程称为平稳独立增量过程。

平稳独立增量过程主要有⏹随机游动⏹泊松过程⏹布朗运动⏹Cauchy过程⏹稳定过程(Stable Process)本章主要内容⏹泊松过程的定义⏹与泊松过程有关时刻的分布⏹泊松过程的推广⏹非齐次泊松过程⏹复合泊松过程⏹条件泊松过程⏹更新过程⏹排队论*一、泊松过程的定义定义3.2 随机过程{(),0}N t t≥称为计数过程,如果N(t)表示从时刻0到t时刻内某一事件A发生的次数,它具备以下两个特点:1.()0N t≥且取值为整数;2.s<t时,()()-表示(,]N t N s≤且()()N s N ts t时间内事件A 发生的次数。

定义3.3 计数过程{(),0}N t t≥称为参数为λ的泊松过程,如果1.(0)0N=2.过程有独立增量;3.对任意,0s t≥,λ称为泊松过程的强度或速率,表示单位时间内发生事件的平均次数。

常见的泊松过程✧火车站售票数✧保险公司的索赔数✧到达电话总机的呼叫数目例:设从早上8:00开始,某火车站售票处开始连续售票,乘客以10人/小时的平均速率达到,请问:(1)从9:00到10:00这一个小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少。

(2)假设每位乘客平均购买1张车票,从8:00到12:00,此售票处平均售出多少张车票。

解:我们用一个泊松过程来描述购票的乘客数。

设8:00为0时刻,则9:00为1时刻,参数10λ=。

随机过程习题答案

随机过程习题答案

随机过程习题解答(一)第一讲作业:1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。

(a)分别写出随机变量和的分布密度(b)试问:与是否独立?说明理由。

解:(a)(b)由于:因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为:因此与独立。

2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。

(a)试求和的相关系数;(b)与能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。

解:(a)利用的独立性,由计算有:(b)当的时候,和线性相关,即3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为,且是一个周期为T的函数,即,试求方差函数。

解:由定义,有:4、考察两个谐波随机信号和,其中:式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。

(a)求的均值、方差和相关函数;(b)若与独立,求与Y的互相关函数。

解:(a)(b)第二讲作业:P33/2.解:其中为整数,为脉宽从而有一维分布密度:P33/3.解:由周期性及三角关系,有:反函数,因此有一维分布:P35/4. 解:(1) 其中由题意可知,的联合概率密度为:利用变换:,及雅克比行列式:我们有的联合分布密度为:因此有:且V和相互独立独立。

(2)典型样本函数是一条正弦曲线。

(3)给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且所以。

(4)由于:所以因此当时,当时,由(1)中的结论,有:P36/7.证明:(1)(2) 由协方差函数的定义,有:P37/10. 解:(1)当i =j 时;否则令,则有第三讲作业:P111/7.解:(1)是齐次马氏链。

经过次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。

(2)由题意,我们有一步转移矩阵:P111/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有:(2)由齐次马氏链的性质,有:,(2)因此:P112/9.解:(2)由(1)的结论,当为偶数时,递推可得:;计算有:,递推得到,因此有:P112/11.解:矩阵 的特征多项式为:由此可得特征值为:,及特征向量:,则有:因此有:(1)令矩阵P112/12.解:设一次观察今天及前两天的天气状况,将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态,则此问题就是一个马氏链,它有8个状态。

应用随机过程张波课后答案

应用随机过程张波课后答案

应用随机过程张波课后答案【篇一:随机过程期末论文】ass=txt>【摘要】:通过市场调查研究发现,很多现象是可以用随机过程来描述的。

比如说,企业在人力资源需求方面就是一个随着时间不断变化的随机过程。

本文试图将马尔科夫链引入,并运用其原理以及特性,对企业人力资源需求方面进行分析和预测,从而帮助企业明确未来人力需求趋势,做好人才储备工作。

【关键字】:马尔科夫链;人力资源;预测;需求一、马尔科夫链原理简介一个经济系统x(t)是随时间t变化的随机变量。

人们可根据该经济系统在时刻t0所处的状态推出它在任何一个较后时刻t(t0)的状态。

由此原则,可得到这样一个基本方法:系统内x(t)在给定的时刻tn的状态x(tn)=xn,可根据它在任何较早时刻tn?1(tn)所处的状态x(tn?1)=xn-1推出,而不依赖于系统在时刻以tn?1前的历史状态。

满足这一条件的系统所观测结果的随机过程,就称之为马尔科夫过程。

而马尔科夫链是状态离散的一类特殊马尔可夫过程, 即过程的发展可看作是在某些值(称为过程的“状态”)之间一系列转移, 而且具有下面性质:一旦过程处于一给定状态, 则过程未来发展只依赖于这个状态, 而与它过去到达过的状态无关。

假设过程的时间参数集任意n个时刻为t1t2......tn,系统x(t)在时刻ti 处于状态xi,即x(ti)=xi(i=1,2,...,n-1),则x(tn)的条件概率分布只依赖于x(tn-1)=xn-1最近的已知值,即:p{x(tn)?xn|x(t1)=x1,...,x(tn-1)=xn-1}=p{x(tn)xn|x(tn-1)=xn-1} 可以直观地解释为当给定过程“现在”的条件下,它的“将来”与“过去”无关。

二、状态转移矩阵运用马尔科夫链进行预测的关键在于:建立状态转移概率矩阵(指系统在时刻t所处状态,转变为时刻t+1所处状态时与之相对应的一个条件概率)。

因此,企业人力资源需求的预测,其关键也就在于通过调查,确定预测期内企业对人才需求的状况。

通信原理 第三章 随机过程 学习要点及习题解答

通信原理 第三章 随机过程 学习要点及习题解答

第三章 随机过程学习目标通过对本章的学习,应该掌握以下要点: 随机过程的基本概念随机过程的数字特征(均值、方差、相关函数);平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度;高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数;随机过程通过线性系统、输出和输入的关系;窄带随机过程的表达式和统计特性;正弦波加窄带高斯过程的统计特性;高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。

3.1 内容概要3.1.1 随机过程的基本概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程,具有不可预知性,不能用确切的时间函数来描述。

1.定义角度一:随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。

角度二:随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

这说明,在任一观察时刻t 1,ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。

可见,随机过程具有随机变量和时间函数的特点。

研究随机过程正是利用了它的这两个特点。

2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数:ξ(t )在11111(,)[()]F x t P t x ξ=≤含义:随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。

如果存在1111111),(),(x t x F t x f ∂∂=则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。

同理,任意给定12n t t t T ∈ ,,,,则ξ(t )的n 维分布函数为{}12121122(,,,;,,)(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤如果此能在n21n 21n 21n n n 21n 21n x )t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ,,,;,,,,,,;,,,则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。

显然,n 越大,对随机过程统计特性的描述就越充分。

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应用随机过程张波课后答案【篇一:随机过程期末论文】ass=txt>【摘要】:通过市场调查研究发现,很多现象是可以用随机过程来描述的。

比如说,企业在人力资源需求方面就是一个随着时间不断变化的随机过程。

本文试图将马尔科夫链引入,并运用其原理以及特性,对企业人力资源需求方面进行分析和预测,从而帮助企业明确未来人力需求趋势,做好人才储备工作。

【关键字】:马尔科夫链;人力资源;预测;需求一、马尔科夫链原理简介一个经济系统x(t)是随时间t变化的随机变量。

人们可根据该经济系统在时刻t0所处的状态推出它在任何一个较后时刻t(t0)的状态。

由此原则,可得到这样一个基本方法:系统内x(t)在给定的时刻tn的状态x(tn)=xn,可根据它在任何较早时刻tn?1(tn)所处的状态x(tn?1)=xn-1推出,而不依赖于系统在时刻以tn?1前的历史状态。

满足这一条件的系统所观测结果的随机过程,就称之为马尔科夫过程。

而马尔科夫链是状态离散的一类特殊马尔可夫过程, 即过程的发展可看作是在某些值(称为过程的“状态”)之间一系列转移, 而且具有下面性质:一旦过程处于一给定状态, 则过程未来发展只依赖于这个状态, 而与它过去到达过的状态无关。

假设过程的时间参数集任意n个时刻为t1t2......tn,系统x(t)在时刻ti 处于状态xi,即x(ti)=xi(i=1,2,...,n-1),则x(tn)的条件概率分布只依赖于x(tn-1)=xn-1最近的已知值,即:p{x(tn)?xn|x(t1)=x1,...,x(tn-1)=xn-1}=p{x(tn)xn|x(tn-1)=xn-1} 可以直观地解释为当给定过程“现在”的条件下,它的“将来”与“过去”无关。

二、状态转移矩阵运用马尔科夫链进行预测的关键在于:建立状态转移概率矩阵(指系统在时刻t所处状态,转变为时刻t+1所处状态时与之相对应的一个条件概率)。

因此,企业人力资源需求的预测,其关键也就在于通过调查,确定预测期内企业对人才需求的状况。

设马尔科夫链xt,t?t状态空间为s={1,2,3,...,n},则称由一步转移概率pij(i,j=1,2,...,n)构成的n阶方阵:p?(pij)n?np11p21pn1p12...p1n?p22...p2n??...pn2...pnn?为一步状态转移概率矩阵。

一般地,由k步转移概率pij(k),(i,j=1,2,...,n)构成的n阶方阵: p11(k)p12(k)...p1n(k)p(k)p(k)...p(k)21222n...p(k)...p(k)p(k)n2nn?n1?p(k)?(pij(k))n?n为k步状态转移概率矩阵。

其具有以下性质:设p?(pij)n?n与p(k)?(pij(k))n?n分别为马尔科夫链的一步和k步转移概率矩阵,则p(k)?p,k=1,2,3,...,n即k步转移概率矩阵恰好等于一步转移概率矩阵的k次幂。

k三、人力资源预测概述(一)、关于人力资源预测随着全球经济的一体化,竞争的范围迅速扩大,竞争的程度空前加剧。

只有占据人力资源优势的地区、国家和企业才是竞争的胜利者。

因为经济的竞争实质是人才的竞争,即人力资源综合素质的竞争。

企业为维持核心竞争力,要培养好、使用好现有人才,同时必须对当前和未来人力资源的供求进行科学的预测和规划。

人力资源预测是企业根据战略目标和发展规划,对未来一定时期内人力资源供需状况的推测。

人力资源预测可分为人力资源需求预测和人力资源供给预测。

人力资源供给预测是确定企业是否能够保证员工具有必要能力以及员工来自何处的过程;人力资源需求预测是指企业为实现既定目标而对未来所需员工数量和种类的估算。

企业人力资源需求预测可以帮助企业明确未来人力需求趋势,做好人才储备工作;同时也可以帮助企业合理预测未来各部门、各类职位人员的需求情况,做好企业的定岗定编工作。

面对日益复杂、变化更加剧烈的内外部环境,更需要企业对动态环境中企业人力资源需求做出科学预测。

(二)、影响人力资源需求的一般因素影响企业人力资源需求预测的因素有很多,下面列出几种影响比较大的因素:1、企业的规模的变化。

企业规模的变化有两个方面,一是原有业务范围内扩大或压缩规模,二是新增业务或者放弃旧业务。

以上两个方面都会对人力资源需求的数量和结构产生重大影响。

2、企业技术、设备性能的提高。

企业生产技术的提高以及设备的更新都有可能导致企业对员工数量方面需求的减少。

并且如果企业员工的专业知识、技术技能跟不上企业发展的步伐,那么也有可能被企业在裁员的过程中裁掉。

3、企业经营战略方向的调整同样也会对人力资源需求产生结构性的变化。

4、其他因素。

企业劳动力成本、员工培训、竞争对手、工作时间等等,都会直接或者间接地影响人力资源的需求。

(三)、人力资源需求预测的一般方法下图展现的是人力资源需求的主要方法:(四)、人力资源预测的一般步骤下图清晰的展现了人力资源预测的一般步骤:四、马尔科夫链在人力资源需求预测方面的应用(一)、应用马尔科夫链预测企业人力资源需求的必要前提 1、企业人力资源需求随机过程的马尔科夫性假定即企业人力资源需求随机过程必须符合马尔科夫性,将来t+1时刻企业人力资源需求数依赖第t期企业人力资源需求的分布,与过去时刻t-1,t-2...的分布及转移状态无关。

2、转移概率稳定性假定马尔科夫链理论是以固定的转移概率矩阵为根本规律和特征。

应用马尔科夫链模型,企业人力资源需求也要求转移概率矩阵具有相对稳定性。

对于一个比较稳定企业,在短时期内可以认为企业人力资源需求的转移概率矩阵是相对稳定的。

(二)、利用马尔科夫方法进行预测的特点1、转移概率矩阵中的元素是根据近期企业的保留与得失流向资料确定的。

2、下一期的概率只与上一期的预测结果有关,不取决于更早时期的概率。

3、利用转移概率矩阵进行决策,其最后的结果取决于转移矩阵的组成,不取决于原始条件,即最初企业的人力资源需求。

(三)、企业人力资源需求预测第一期企业各层次人力资源需求预测值:(1)(0)s?(s,s,...,s)?sp 12n(1)(1)(1)(1)s即:p1n11p12...ppp...p(0)(0)(0)2n??(s1,s2,...,sn)?2122............pn1pn2...pnn可见,第1期企业人力资源需求的预测值向量,就是以初始期企业人力资源需求为条件的各层次人力资源需求的条件期望值。

同理,第k期企业各层次人力资源需求的预测值:s(k)?(s1,s2,...,sn)?s(0)p(k)?s(0)pk当转移概率矩阵不变时,不管企业人力资源需求如何变化,最后总会达到平衡状态,即稳定状态,此时企业人力资源需求不再变化,称此企业人力资源需求为最后的企业人力资源需求,设为s?(s1,s2,...,sn),即:(k)(k)(k)p11p(s1,s2,...,sn)?21...pn1第一步:进行人力资源调查p1n?12...pp22...p2n??.........?s1?s2?...?sn?1pn2...pnn?(四)、应用马尔科夫链预测企业人力资源需求的步骤1、企业在研究期初i个层次的人力资源数量,获得初始分布s(0)?(s1,s2,...,sn)假设研究期初i个层次的人力资源数量为n1,n2,...,ni,则si(0)(0)(0)(0)ni/ni【篇二:随机过程知识点总结】.3,1.41、计算指数分布的矩母函数.2、计算标准正态分布x~n(0,1)的矩母函数.3、计算标准正态分布x~n(0,1)的特征函数.第二章:1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理3. 独立增量过程、平稳增量过程,独立增量是平稳增量的充要条件 1、设随机过程z(t)?x?yt,t??.若已知二维随机变量(x,y)的协方差矩阵为??12??,求z(t)的协方差函数. ?22?2、设有随机过程{x(t),t?t}和常数a,y(t)?x(t?a)?x(t),t?t,计算y(t)的自相关函数(用rx(s,t)表示).3、设x(t)?z1cos?t?z2sin?t,其中z1,z2~n(0,?2)是独立同分布的随机变量,?为实数,证明x(t)是宽平稳过程.4、设有随机过程z(t)?xsint?ycost,其中x和y是相互独立的随机变量,它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1,证明z(t)是宽平稳过程.第三章:1. 泊松过程的定义(定义3.1.2)及相关概率计算2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义1、设{n(t),t?0}是参数??3的poisson过程,计算:(1). p{n(1)?3}; (2). p{n(1)?1,n(3)?3};(3). p{n(1)?2n(1)?1}.2、某商场为调查顾客到来的客源情况,考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程.(1).试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布;(2). 在已知t时刻有50人到达的条件下,试求其中恰有30位女性的概率,平均有多少个女性顾客?3、某商店顾客的到来服从强度为4人/小时的poisson过程,已知商店9:00开门,试求:(1). 在开门半小时中,无顾客到来的概率;(2). 若已知开门半小时中无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。

4、设有一泊松过程{n(t),t?0},若有两个时刻s,t,且s?t,试证明k?s? p{n(s)?kn(t)?n}?cnt?k?s??1t?n?k, k?0,1,,n.5、设顾客以泊松分布抵达银行,其到达速率为?.若已知在第一个小时内有两个顾客抵达银行,试计算:(1).此两个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率;(2).至少有一个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率.第四章:1. 更新过程、更新方程及其解得存在唯一性2. wald等式3. 更新定理及其在概率计算中的应用n121、设p{xi?1}?,p{xi?2}?,令tn??xi,n?1.对于更新过程33i?1n(t)?sup{n:tn?t},计算n(1)和n(2)的概率分布.2、某控制器用一节电池供电,设电池寿命xi(i?1,2,?)服从(30,60)(单位:h)内的均匀分布,电池失效时需要去仓库领取,领取新电池的时间yi(i?1,2,?)服从期望为0.5小时的均匀分布.计算长时间工作时控制器更换电池的速率.3、设有一个单服务员银行,顾客到达可看作速率为20(人/小时)的poisson分布,服务员为每一位顾客服务的时间是随机变量,服从均值为2(分钟/人)的指数分布.顾客到达门口只有在服务员空闲时才准进来.试求:(1).顾客进银行的速率;(2).服务员工作的时间所占营业时间的比例.第五章:1. markov链的定义,转移概率矩阵,c-k方程2. 状态的周期,常返态、非常返态的定义及判别(定理5.2.3,推论5.3.3,5.3.4)3. 极限定理及平稳分布1、设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关.又设今天下雨明天也下雨的概率为0.7,而今天无雨明天有雨的概率为0.4,计算星期一有雨,星期四天仍有雨的概率.2、设某厂的商品的销售状态(按一个月计)可分为三个状态:滞销(用1表示)、正常(用2表示)、畅销(用3表示)。

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