向量的减法 PPT
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向量的减法运算及其几何意义 课件
指向被减向量的终点的向量．
题型二 向量减法法则的运用
【例 2】 (1)向量M→N可以写成：①M→O＋O→N；②M→O－O→N；③ O→M－O→N；④O→N－O→M． 其中正确的是________(填序号)． 解析 ①M→O＋O→N＝M→N；②M→O－O→N＝－O→M－O→N ＝－(O→M＋O→N)≠M→N；③O→M－O→N＝N→M；④O→N－O→M＝M→N， 故填①④．
答案 B
(2)如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．
解 如图所示，在平面内任取一点 O， 作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d． 则 a－b＝B→A，c－d＝D→C．
规律方法 求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，
题型三 向量减法的应用
【例 3】 如图所示，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是 平行四边形，且A→B＝a，A→C＝b，A→E＝c，试用向量 a，b，c 表示向量B→D，B→C，B→E，C→D及C→E．
解 ∵四边形 ACDE 是平行四边形， ∴C→D＝A→E＝c， B→C＝A→C－A→B＝b－a， B→E＝A→E－A→B＝c－a， C→E＝A→E－A→C＝c－b， ∴B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c．
答案 ①④
(2)化简：①B→A＋O→D－O→A－B→C； ②(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 ①B→A＋O→D－O→A－B→C＝(B→A－B→C)＋(O→D－O→A) ＝C→A＋A→D＝C→D． ②(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－O→C＋O→B ＝A→C＋C→O＋O→B＋B→A＝A→B＋B→A＝0．
题型二 向量减法法则的运用
【例 2】 (1)向量M→N可以写成：①M→O＋O→N；②M→O－O→N；③ O→M－O→N；④O→N－O→M． 其中正确的是________(填序号)． 解析 ①M→O＋O→N＝M→N；②M→O－O→N＝－O→M－O→N ＝－(O→M＋O→N)≠M→N；③O→M－O→N＝N→M；④O→N－O→M＝M→N， 故填①④．
答案 B
(2)如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．
解 如图所示，在平面内任取一点 O， 作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d． 则 a－b＝B→A，c－d＝D→C．
规律方法 求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，
题型三 向量减法的应用
【例 3】 如图所示，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是 平行四边形，且A→B＝a，A→C＝b，A→E＝c，试用向量 a，b，c 表示向量B→D，B→C，B→E，C→D及C→E．
解 ∵四边形 ACDE 是平行四边形， ∴C→D＝A→E＝c， B→C＝A→C－A→B＝b－a， B→E＝A→E－A→B＝c－a， C→E＝A→E－A→C＝c－b， ∴B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c．
答案 ①④
(2)化简：①B→A＋O→D－O→A－B→C； ②(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 ①B→A＋O→D－O→A－B→C＝(B→A－B→C)＋(O→D－O→A) ＝C→A＋A→D＝C→D． ②(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－O→C＋O→B ＝A→C＋C→O＋O→B＋B→A＝A→B＋B→A＝0．
2.2.2向量的减法(共18张PPT)
例2、如图,已知向量AB
a,
AD
b，DAB
120o，
且
|
a||
b
|
3，求
|
a
b|
和
|
a
b
|
解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD， C
由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形
由向量的加减法知
AC
a
b，DB
a
b
故
|
AC
||
a
b
|
，| DB
||
a
b
|
D b
12O`0o a B
起点，作 BC b，
连接AC， 那么向量 AC c 称为向量 a 与 b
的和，记作 a b ，即 c a b ．
a
注意求和过程：
c
b
b a
这种作出两向量之和的方法叫三角形法则． 三角形法则 “首尾相接，首尾连”
平行四边形法则：
当向量 a 与 b 不平行时， 作 AB a ，AD b， 以AB、
A
因为DAB 120O，所以DAC 60O
所以ADC是正三角形，则 | AC | 3 由于菱形对角线互相垂直平分
所以AOD是直角三角形， | OD || AD | sin 60o 3 3 3 3
22
所以 |
a
b
|
3，| a
b |
3
3
uuur 例3、如图，平行四边形ABCD中，AB
ar，
那么向量的减法有什么规律呢？
我们来看一个例子：已知向量a、b求作向量a-b。
a
a-b
b
从加法的概念考虑, 所求的向量a-b与b的 和为a，因而向量a-b 应以b的末端开始， 指向a的末端。
向量的减法运算ppt课件
法则进行几何表示，那么向量的减法该如何用几何
表示？ B
设 由向量减法的定义知
O D
A C
连接AB，在四边形OCAB中， ∵OB∥CA∴OCAB是平行四边形
∴
二、向量减法的几何意义
思考 ：不借助向量的加法法则你能直接作出
吗？
①将两向量平移,使它们 有相同的起点.
②连接两向量的终点.
③箭头的方向是指向 “被减数”的终点. “共起点，连终点，指向被减向量”.长度相等、方向相反1、相反向量零向量
练习：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量．( × ) (2)向量 与 是相反向量．( √ ) (3)相反向量是共线向量．( √ )
2、向量减法 即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
思考：向量的加法可以用三角形法则或平行四边形
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1.向量加法的三角形法则 2.向量加法的平行四边形法则
首尾相连，起点指向终点. 起点相同，对角为和.
一、向量的减法
向量是否有减法?如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数， 如:5-1=5+(-1)
向量的减法是否也有类似的法则？
一架飞机由北京飞往香港,然后再由香港返回北京,我们把北京记作A点, 香港记作B点,那么这架飞机的位移是多少?怎样用向量来表示呢?
“共起点，连终点，指向被减向量”.
“共起点，连终点，指向被减向量”.
平行向量
共线同向
共线向量
共线反向
D C
例3：
如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形
外一点，且
试用向量
表示向量
人教版数学第二章2 向量减法运算及其几何意义 (共25张PPT)教育课件
?
如何作图得到
思考2：分组讨论 合作探究
B
A
o
B
B
C
O
A
o
A
D
C
思考3：
1 在 平 面 内 任 取 一 点 O
B
b
b
a
O
a
A
共起点, 连终点, 指向被减向量
向量减法 几何意义
测测你的反应速度
尝试运用法则
bd c
a
bd
c
a
作 法 :
A
BD
C
bd
a
c
O•
1.在 平 面 上 任O取 ,作O 点Aa,OBb,OC
；书一笔
清远，盈
一抹恬淡
，浮华三
千，只做
自己；人
间有
情，心中有爱
，携一米
阳光，微
笑向暖
。
口
罗
不
是
。
■
电
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
很
正
式
给
人
一
种
威
严
感
。
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
第6章6.2.2向量的减法运算课件(人教版)
第6章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.2 向量的减法运算
导入新课
向量加法的三角形法则是什么?
向量加法的平行四边形法则是什么?
使用向量加法的三角形法则与平行四边形法则分别要注意什么?
使用三角形法则时各向量“首尾相连”,和向量由第一个向量的起
点指向最后一个向量的终点;使用平行四边形法则时向量起点要相同.
如何定义向量减法?用怎样的符号表示呢?如何理解向量的减法及
其几何意义呢?
精彩课堂
1.相反向量
在实数运算中,减去一个数等于加上这个数的相反数.类比相反数,
在学习向量时,是否也有这样的相反向量呢?
一架飞机由天津到香港,再由香港返回天津,飞机的两次位移分别
是什么?
在物理学中,学习过作用力与反作用力的概念,它们是如何定义的呢?
法的定义知a－b=a+(－b) =+=.
在四边形OCAB中,OB＝CA,所以OCAB是平行四
边形.所以==a－b.
精彩课堂
a－b的作图方法:
如图,已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a－b.
a－b的几何意义:a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点
生活情境中涉及的两个向量, 具有怎样的关系呢?
大小相等, 方向相反.
精彩课堂
我们规定,与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,
记作－a.
结合以上特点,能否在正六边形中, 找到也具有这种特点的两个向量?
根据相反向量的特征,相反向量有哪些性质?
－(－a)=a.
规定:零向量的相反向量仍是零向量.
向量的减法可以转化成向量的加法来进行,减去一个向量相当于
加上这个向量的相反向量,因此向量减法运算的问题可以通过转化为
6.2 平面向量的运算
6.2.2 向量的减法运算
导入新课
向量加法的三角形法则是什么?
向量加法的平行四边形法则是什么?
使用向量加法的三角形法则与平行四边形法则分别要注意什么?
使用三角形法则时各向量“首尾相连”,和向量由第一个向量的起
点指向最后一个向量的终点;使用平行四边形法则时向量起点要相同.
如何定义向量减法?用怎样的符号表示呢?如何理解向量的减法及
其几何意义呢?
精彩课堂
1.相反向量
在实数运算中,减去一个数等于加上这个数的相反数.类比相反数,
在学习向量时,是否也有这样的相反向量呢?
一架飞机由天津到香港,再由香港返回天津,飞机的两次位移分别
是什么?
在物理学中,学习过作用力与反作用力的概念,它们是如何定义的呢?
法的定义知a－b=a+(－b) =+=.
在四边形OCAB中,OB＝CA,所以OCAB是平行四
边形.所以==a－b.
精彩课堂
a－b的作图方法:
如图,已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a－b.
a－b的几何意义:a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点
生活情境中涉及的两个向量, 具有怎样的关系呢?
大小相等, 方向相反.
精彩课堂
我们规定,与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,
记作－a.
结合以上特点,能否在正六边形中, 找到也具有这种特点的两个向量?
根据相反向量的特征,相反向量有哪些性质?
－(－a)=a.
规定:零向量的相反向量仍是零向量.
向量的减法可以转化成向量的加法来进行,减去一个向量相当于
加上这个向量的相反向量,因此向量减法运算的问题可以通过转化为
向量的减法ppt课件
4.判断下列说法是否正确:
(1) a b与 b a 是相反向量 (2) a b (a b) (3)a b (b a) (4)a b c a c b (5)在三角形ABC中, AB BC AC 0
(6)在平行四边形ABCD中,
( AB BC) (DA CD) 0
5.如图,向量 AB a, AC b,CD c,则
向量 BD可以表示为( C )
A.a b c B.a b c
D
c
C
C.b a c
b
D.b a c A
a
B
D 6.在等边三角形ABC中,下列各式不成立的是
A. | AC AB || BC |
A
B.| AB CA || BC AB |
OA OB B__A_ .
3.化简:
(1) AB BC CA __0__; (2)( AB MB) BO OM _A__B__; (3)OA OC BO CO _B__A__; (4) AB AC BD CD __0__;
(5)OA OD AD __0__; (6) AB AD DC _C__B__; (7)NQ QP MN MP __0___ .
E
(a b c) a b c.
1.如图,在 ABCD中, AB a, AD b, D
C
用 a 、b 表示向量 AC _a____b_, b
DB _a____b_ .
2.填空:
A aB
AB AD D__B_, BA BC C__A_,
BC BA _A_C_, OD OA _A_D_,
作法: a
b
Oa
A
b
ab
B
“起点相同,指向被减”
图中向量AB=__b___a___.
向量的减法及其几何意义课件
向量的减法及其几何意义课 件
目 录
• 向量的概念 • 向量的减法 • 向量减法的应用 • 向量减法的扩展知识
01
向量的概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的一种量，它由大小和方向两个要素组成。在二维平面上，向量通常表示为 一条有向线段，起点为原点，终点为任意点。在三维空间中，向量则表示为一个有向线段，其起点和终点都是空 间中的点。
向量的模
总结词
向量的模是衡量向量大小的一个量，用于描述向量在空间中的长度。
详细描述
向量的模定义为向量起点到终点的距离，即向量的长度。在二维平面上，向量的模可以通过勾股定理 计算得到；在三维空间中，向量的模则是通过欧几里得距离公式计算得到的。向量的模具有传递性、 非负性、齐次性和三角不等式等性质。
02
THANKS
感谢观看
如果有一个标量$k$和一个向量 $vec{A}$，则数乘后的向量是 $kvec{A}$。
向量减法与数乘的关系
向量$vec{A} - vec{B}$可以看作是标 量1与$vec{A}$的数乘减去标量1与 $vec{B}$的数乘，即$vec{A} - vec{B} = 1vec{A} - 1vec{B}$。
向量减法的几何意义
总结词
向量减法的几何意义是平移和反向延长。
详细描述
向量减法的几何意义可以通过平移和反向延长来解释。给定两个向量$vec{A}$和 $vec{B}$，向量$vec{A} - vec{B}$表示将向量$vec{B}$平移到向量$vec{A}$的终点，
然后反向延长至向量$vec{A}$的起点得到的向量。这个过程可以理解为将向量 $vec{B}$沿其方向相反的方向延长相同的长度，得到的结果就是$vec{A} - vec{B}$。
目 录
• 向量的概念 • 向量的减法 • 向量减法的应用 • 向量减法的扩展知识
01
向量的概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的一种量，它由大小和方向两个要素组成。在二维平面上，向量通常表示为 一条有向线段，起点为原点，终点为任意点。在三维空间中，向量则表示为一个有向线段，其起点和终点都是空 间中的点。
向量的模
总结词
向量的模是衡量向量大小的一个量，用于描述向量在空间中的长度。
详细描述
向量的模定义为向量起点到终点的距离，即向量的长度。在二维平面上，向量的模可以通过勾股定理 计算得到；在三维空间中，向量的模则是通过欧几里得距离公式计算得到的。向量的模具有传递性、 非负性、齐次性和三角不等式等性质。
02
THANKS
感谢观看
如果有一个标量$k$和一个向量 $vec{A}$，则数乘后的向量是 $kvec{A}$。
向量减法与数乘的关系
向量$vec{A} - vec{B}$可以看作是标 量1与$vec{A}$的数乘减去标量1与 $vec{B}$的数乘，即$vec{A} - vec{B} = 1vec{A} - 1vec{B}$。
向量减法的几何意义
总结词
向量减法的几何意义是平移和反向延长。
详细描述
向量减法的几何意义可以通过平移和反向延长来解释。给定两个向量$vec{A}$和 $vec{B}$，向量$vec{A} - vec{B}$表示将向量$vec{B}$平移到向量$vec{A}$的终点，
然后反向延长至向量$vec{A}$的起点得到的向量。这个过程可以理解为将向量 $vec{B}$沿其方向相反的方向延长相同的长度，得到的结果就是$vec{A} - vec{B}$。
向量的减法运算课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
D.不确定
Ԧ|的取值范围.
Ԧ|,则四边形
(1)答案 B
解析 ∵ Ԧ =
∵| Ԧ −
Ԧ ,∴四边形 ABCD 为平行四边形,
Ԧ|=| Ԧ −
Ԧ |,∴|
Ԧ|=| Ԧ|.
∴四边形 ABCD 为矩形.故选 B.
(2)解 ∵|| Ԧ |-| Ԧ||≤| Ԧ −
∴3≤| Ԧ −
Ԧ|≤| Ԧ|+| Ԧ|,且| Ԧ|=9,| Ԧ|=6,
本节课重点
向量减法的定义、向量减法的三角形法则
本 课 结 束
A
O
A
B
B
|a − b| = |a| + |b|
a b
||a| − |b|| < |a − b| < |a| + |b|
|||
Ԧ − ||| ≤ |Ԧ − | ≤ ||
Ԧ + ||
|a − b| = |a| + |b|成立的充要条件是与反向或
Ԧ
与中至少有一个为零向量；
Ԧ
|a − b| = ||a| − |b||成立的充要条件是与同向或
Ԧ − ≥ Ԧ − ，当且仅当 Ԧ 与同向时取等号，或至少有一个为零向量.
二、课堂练习
探究一
向量减法的几何意义
例 1.
(1)如图所示,四边形 ABCD 中,若 Ԧ=a, Ԧ=b, Ԧ =c,则 Ԧ=(
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
(2)如图所示,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
(2)起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.
向量减法PPT课件
04
向量减法的应用
向量减法在物理中的应用
01 速度与加速度
在物理中，向量减法常用于计算速度和加速度。 例如，在平抛运动中，通过向量减法可以计算出 物体在任意时刻的速度和加速度。
02 力的合成与分解
在力学中，向量减法用于计算合力与分力。通过 将多个力向量进行减法运算，可以确定合力的大 小和方向。
03 振动分析
在振动分析中，向量减法用于描述振动位移、速 度和加速度的变化。通过向量减法，可以分析振 动的相位差和振动模式。
向量减法在解析几何中的应用
01 向量模的计算
在解析几何中，向量减法用于计算向量的模长。 通过向量减法，可以得出向量的起点和终点坐标 ，进而计算出向量的长度。
02 向量夹的角度。通过 向量减法，可以计算出两个向量的夹角，进一步 分析向量的方向和关系。
光照计算
在3D渲染中，光照是一个重要的因素。通过向量减法，可 以计算出光线与物体表面的角度和方向，进而确定光照的 强度和颜色。
动画制作
在动画制作中，向量减法用于描述动画帧之间的变化。通 过向量减法，可以计算出动画帧之间的位移、旋转和缩放 ，进而生成平滑的动画效果。
05
练习题
基础练习题
总结词：掌握向量减法的 定义和性质
向量减法的零向量性质
总结词
零向量性质表明，任何向量减去零向量都等于原向量本身。
详细描述
如果向量a减去零向量（即没有任何向量），结果仍然是向量 a本身。在数学表达式上，这可以表示为：a - 0 = a。这一性 质是向量减法的基本定义之一，它确保了任何向量都可以通 过减去零向量来获得其本身。
03
向量减法的运算规则
通过比较向量的各个分量，计算出两个 向量的差值。
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
平面向量的减法运算ppt课件
(3) OA OB BC ；
(4) BA BC ；
(5) AB BC AD ；
(6) AB DA BD BC CA ．
课堂探究
小结
相反向量
与向量 Ԧ 长度相同，方向相反的向量，
叫做 Ԧ 的相反向量，记作−．
Ԧ
向量的
减法运算
减法运算
向量 加上的相反向量，叫做
数的减法法则来定义向量的减法？
与实数运算类似，我们利用“相反
向量”，通过向量的加法来定义减
法．
自学指导1
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向
量，叫做的相反向量，记作−．
−
➢ 任意向量与其相反向量的和是零向量，即a + −a = 0
➢ 如果a，互为相反向量，那么a = −, a + = 0
学习目标
1.识记相反向量的概念及相关性质.
2.类比实数的减法运算，识记平面向量的减法运算法则及几何意义.
3.会利用向量的减法法则解决实际问题.
准备好学案6.2.2
课本、笔记本、草稿纸
平面向量的减法运算
高中必修二第六章
2
复习巩固
已知非零向量a, b, 求a b.
①向量加法的三角形法则：(位移）
➢ 零向量的相反向量仍是零向量。
自学指导1
我们规定，向量 加上
Ԧ
的相反向量，叫做Ԧ 与 的差，
即 − = + (−)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们看到，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向
量相当于加上这个向量的相反向量.
向量的减法运算
问：结合着向量加法的学习，思考向量减法的几何意义是什么呢？
向量的减法PPT教学课件
3、在运用公式求平行直线间的距离 d
C1 C2
A2 B2
时，一定要把x、y前面的系数化成相等。
课前热身
1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则
(1)过点P且与直线l平行的直线方程为_2_x_+_y_-_4_=_0__，
(2)过点P且与直线l垂直的直线方程为__x_-2_y_+_3_=_0___；
直 线 l1：x+y+1=0 和 l2：x+y+6=0 截
长为5。求直线l的方程。
l2 l1
得
的线 y
段
之
A
P (3,1)
〖解三〗设直线l与l1、l2分别相交于 B A（x1，y1）、B（x2，y2），则
O
x
x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。 两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5
θ A1
于直角的角，简称夹角.到角的公式是 tanθ k2 - k1 ，
夹
tanθ k2 - k1
1 k1k2
角公式是
1 k1k2 ，以上公式适用于两直线斜率
都
存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.
点与直线的位置关系：
设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By+C=0上，则有 （1）点在直线上：Ax0+By0+C=0； （2）点不在直线上，则有Ax0+By0+C≠0
① ②联立 ① ②又，可(x得1-x2)x2+1-(xy21=-y52)2=或25
B1
x1-x2=0
y1-y2=0
y1-y2=5
由〖上可思知，维直线点l的倾拨斜〗角为；00或要900，求直线方程只要有：点和 又斜由直率线（l过点可P（有3，倾1）斜，故角所求算l的，方程也为x可=3或以y=1先。 找两点）。
C1 C2
A2 B2
时，一定要把x、y前面的系数化成相等。
课前热身
1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则
(1)过点P且与直线l平行的直线方程为_2_x_+_y_-_4_=_0__，
(2)过点P且与直线l垂直的直线方程为__x_-2_y_+_3_=_0___；
直 线 l1：x+y+1=0 和 l2：x+y+6=0 截
长为5。求直线l的方程。
l2 l1
得
的线 y
段
之
A
P (3,1)
〖解三〗设直线l与l1、l2分别相交于 B A（x1，y1）、B（x2，y2），则
O
x
x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。 两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5
θ A1
于直角的角，简称夹角.到角的公式是 tanθ k2 - k1 ，
夹
tanθ k2 - k1
1 k1k2
角公式是
1 k1k2 ，以上公式适用于两直线斜率
都
存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.
点与直线的位置关系：
设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By+C=0上，则有 （1）点在直线上：Ax0+By0+C=0； （2）点不在直线上，则有Ax0+By0+C≠0
① ②联立 ① ②又，可(x得1-x2)x2+1-(xy21=-y52)2=或25
B1
x1-x2=0
y1-y2=0
y1-y2=5
由〖上可思知，维直线点l的倾拨斜〗角为；00或要900，求直线方程只要有：点和 又斜由直率线（l过点可P（有3，倾1）斜，故角所求算l的，方程也为x可=3或以y=1先。 找两点）。
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4．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝ 5，则|a－b|＝________. 5 [根据平行四边形法则，∵( 5)2＝12＋22，
∴平行四边形为矩形，那么|a－b|＝|a＋b|＝ 5.]
合作探究 提素养
向量减法法则的应用 【例 1】 如图所示，已知向量 a、b、c、d，求作向量 a－b、c －d.
2．在△ABC 中，A→B＝a，A→C＝b，则B→C＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．b－a C [B→C＝A→C－A→B＝b－a.]
D．－a－b
3．设正方形 ABCD 的边长为 2，则|A→B－C→B＋A→D－C→D|＝________. 4 2 [如图，原式＝|(A→B＋A→D)－(C→B＋C→D)|＝|A→C－ C→A|＝|A→C＋A→C|＝2|A→C|， ∵正方形边长为 2.∴2|A→C|＝4 2.]
定义
向量 a 加上 b 的_相__反__向__量__，叫作 a 与 b 的差，即 a－b＝a ＋_(_－__b_) ，求两个向量差的运算，叫作向量的减法
几何 如图，设O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b， 意义 即 a－b 表示为从向量 b 的终点指向向量
a 的终点的向量
思考：向量减法的三角形法则是什么？ [提示] (1)两个向量 a，b 的始点移到同一点； (2)连接两个向量(a 与 b)的终点； (3)差向量 a－b 的方向是指向被减向量的终点． 这种求差向量 a－b 的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为 “移为共始点，连接两终点，方向指被减”．
2．化简下列式子： (1)N→Q－P→Q－N→M－M→P； (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． [解] (1)原式＝N→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝N→P－N→P＝0. (2)原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0.
向量加减法的综合应用
4．向量的模与平行四边形形状的几何结论有哪些？ [提示] 在▱OACB 中，O→A＝a，O→B＝b，则：
(1)若|a|＝|b|，则▱OACB 为菱形．
(2)若|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB 为矩形． (3)若|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB 为正方形．
法二：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M ＝A→B＋(M→B＋B→O)＋O→M＝A→B＋M→O＋O→M ＝A→B＋0＝A→B. (2)法一：原式＝D→B－D→C＝C→B. 法二：原式＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B.
化简向量的和差的方法 1如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算 的去掉括号. 2可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化 简. 3化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向 量的终点. 提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.
(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出 a －b.如图②所示，作O→A＝a，O→B＝b，A→C＝－b，则O→C＝a＋(－b)， 即B→A＝a－b.
1．如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量
a＋b－c. [解] 如图所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，则O→B
把与 a 长度_相__等__、方向_相__反__的向量，叫作 a 的相反向量， 定
记作_－__a__； 义
规定：零向量的相反向量仍是零向量
(1)零向量的相反向量仍是__零__向__量__，于是－0＝0；
性 (2)互为相反向量的两个向量的和为_0_，即 a＋(－a)＝(－a)
质 ＋a＝0；
(3)若 a＋b＝0，则 a＝_－__b_，b＝_－__a_
[探究问题] 1．向量减法的实质是什么？ [提示] 加法的逆运算． 2．|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系如何？
[提示] |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
3．怎样求两个向量的差？ [提示] 两个向量的差也可用平行四边形法 则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两 个向量也是共起点，和向量是对角线所对应的向 量点，和向量是对角线所对应的向量A→C，而差向 量是另一条对角线所对应的向量D→B，方向是从减向量指向被减向量； 用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从 减向量的终点指向被减向量的终点．即作非零向量 a，b 的差向量 a －b，可以简记为：共起点，连终点，指向被减．
向量的减法
学习目标
核心素养
1.知道向量减法的定义，理 1.通过学习向量减法的定义及相反向
解相反向量的意义． 量，体会数学抽象素养．
2．掌握向量减法的运算及 2．通过向量减法的运算及几何意义作
几何意义，能作出两个向量 出向量的差，体会数学直观素养.
的差向量.
自主预习 探新知
向量的减法 (1)相反向量
＝a＋b，再作O→C＝c，则C→B＝a＋b－c.
向量加减法的混合运算
【例 2】 化简下列各式： (1)(A→B＋M→B)＋(－O→B－M→O)； (2)A→B－A→D－D→C. [解] (1)法一：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O)＋(O→M＋ M→B)＝A→O＋O→B＝A→B.
[解] 如图所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d.
则 a－b＝B→A，c－d＝D→C.
利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量 a，b，如图①所示，作O→A＝a，O→B＝b，利用向量减 法的三角形法则可得 a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放 在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终 点为终点的向量．
1．下列等式中，正确的个数是( )
①a＋b＝b＋a；
②a－b＝b－(－a)＝0.
A．1
B．2
C．3
D．4
C [由向量的加法及几何意义，可得：①a＋b＝b＋a，正确；由 向量的减法及其几何意义，得 a－b＝－(b－a)，即②错误；0－a＝－ a，③正确；根据相反向量的定义及性质得－(－a)＝a，④正确；而 a ＋(－a)＝0≠0，⑤错误．]