向量的减法 PPT

1．下列等式中，正确的个数是( )
①a＋b＝b＋a；
②a－b＝b－a；
③0－a＝－a；
④－(－a)＝a；
⑤a＋(－a)＝0.
A．1
B．2
C．3
D．4
C [由向量的加法及几何意义，可得：①a＋b＝b＋a，正确；由 向量的减法及其几何意义，得 a－b＝－(b－a)，即②错误；0－a＝－ a，③正确；根据相反向量的定义及性质得－(－a)＝a，④正确；而 a ＋(－a)＝0≠0，⑤错误．]
4．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝ 5，则|a－b|＝________. 5 [根据平行四边形法则，∵( 5)2＝12＋22，
∴平行四边形为矩形，那么|a－b|＝|a＋b|＝ 5.]
合作探究 提素养
向量减法法则的应用 【例 1】 如图所示，已知向量 a、b、c、d，求作向量 a－b、c －d.
2．化简下列式子： (1)N→Q－P→Q－N→M－M→P； (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． [解] (1)原式＝N→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝N→P－N→P＝0. (2)原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0.
向量加减法的综合应用
4．向量的模与平行四边形形状的几何结论有哪些？ [提示] 在▱OACB 中，O→A＝a，O→B＝b，则：
(1)若|a|＝|b|，则▱OACB 为菱形．
(2)若|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB 为矩形． (3)若|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB 为正方形．
(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出 a －b.如图②所示，作O→A＝a，O→B＝b，A→C＝－b，则O→C＝a＋(－b)， 即B→A＝a－b.
1．如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量
a＋b－c. [解] 如图所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，则O→B
＝a＋b，再作O→C＝c，则C→B＝a＋b－c.
向量加减法的混合运算
【例 2】 化简下列各式： (1)(A→B＋M→B)＋(－O→B－M→O)； (2)A→B－A→D－D→C. [解] (1)法一：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O)＋(O→M＋ M→B)＝A→O＋O→B＝A→B.
[探究问题] 1．向量减法的实质是什么？ [提示] 加法的逆运算． 2．|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系如何？
[提示] |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
பைடு நூலகம்
3．怎样求两个向量的差？ [提示] 两个向量的差也可用平行四边形法 则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两 个向量也是共起点，和向量是对角线所对应的向 量点，和向量是对角线所对应的向量A→C，而差向 量是另一条对角线所对应的向量D→B，方向是从减向量指向被减向量； 用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从 减向量的终点指向被减向量的终点．即作非零向量 a，b 的差向量 a －b，可以简记为：共起点，连终点，指向被减．
[解] 如图所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d.
则 a－b＝B→A，c－d＝D→C.
利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量 a，b，如图①所示，作O→A＝a，O→B＝b，利用向量减 法的三角形法则可得 a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放 在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终 点为终点的向量．
把与 a 长度_相__等__、方向_相__反__的向量，叫作 a 的相反向量， 定
记作_－__a__； 义
规定：零向量的相反向量仍是零向量
(1)零向量的相反向量仍是__零__向__量__，于是－0＝0；
性 (2)互为相反向量的两个向量的和为_0_，即 a＋(－a)＝(－a)
质 ＋a＝0；
(3)若 a＋b＝0，则 a＝_－__b_，b＝_－__a_
2．在△ABC 中，A→B＝a，A→C＝b，则B→C＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．b－a C [B→C＝A→C－A→B＝b－a.]
D．－a－b
3．设正方形 ABCD 的边长为 2，则|A→B－C→B＋A→D－C→D|＝________. 4 2 [如图，原式＝|(A→B＋A→D)－(C→B＋C→D)|＝|A→C－ C→A|＝|A→C＋A→C|＝2|A→C|， ∵正方形边长为 2.∴2|A→C|＝4 2.]
向量的减法
学习目标
核心素养
1.知道向量减法的定义，理 1.通过学习向量减法的定义及相反向
解相反向量的意义． 量，体会数学抽象素养．
2．掌握向量减法的运算及 2．通过向量减法的运算及几何意义作
几何意义，能作出两个向量 出向量的差，体会数学直观素养.
的差向量.
自主预习 探新知
向量的减法 (1)相反向量
定义
向量 a 加上 b 的_相__反__向__量__，叫作 a 与 b 的差，即 a－b＝a ＋_(_－__b_) ，求两个向量差的运算，叫作向量的减法
几何 如图，设O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b， 意义 即 a－b 表示为从向量 b 的终点指向向量
a 的终点的向量
思考：向量减法的三角形法则是什么？ [提示] (1)两个向量 a，b 的始点移到同一点； (2)连接两个向量(a 与 b)的终点； (3)差向量 a－b 的方向是指向被减向量的终点． 这种求差向量 a－b 的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为 “移为共始点，连接两终点，方向指被减”．
法二：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M ＝A→B＋(M→B＋B→O)＋O→M＝A→B＋M→O＋O→M ＝A→B＋0＝A→B. (2)法一：原式＝D→B－D→C＝C→B. 法二：原式＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B.
化简向量的和差的方法 1如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算 的去掉括号. 2可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化 简. 3化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向 量的终点. 提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.