6.4 基变换与坐标变换
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学习单元
_________________________________________________________
导学
学习目标：
了解线性空间的两个基之间的关系，掌握两个基之间的过渡矩阵的概念及过渡矩阵的计算；掌握一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
学习建议：
建议大家多看书，正确理解概念，自己动手，用具体例子对比定义理解概念，多看例题，多做习题。
n)(AB)；
（3）
(
1,L,
n)A(
1,L,
n)A(
1
1,L,
n
n)A。
定理设V为P上n维线性空间，则V的两个基之间的过渡矩阵是可逆的。
1,L,
n;
1,L,
n为V中两个向量组，APnn，命题设V为P上n维线性空间，
且
(
1,L,
n)(
1,L,
n)A，则
（1）若
1,L,
n;
1,L,
n线性无关，则A可逆；
_________________________________________________________
拓展资料
1．同一向量在不同基下的坐标是否一定不同？不同向量在同一基下的坐标是否可以相同？
2．证明
x2x,x2x,x1是P[x]
3的一个基，求出3x27x3在这基下的坐标。
_________________________________________________________
30，所以
1,
2,
3
k3k5k0
23
1
线性无关，又dimV= 3，所以
1,
2,
3为V的基。
010010
100100
又：
(
1,
2,
3)(
1,
2,
3)，而
为可逆矩阵，所以
1,
2,
3也为V的
001
001
123123112233
x
12x
24x
34
2x
1x
2x
311
x3x5x7
23
1。
解得
x
14,x
22,x
31，所以在基
1,
2,
3下的坐标为(4,2,1)。
设在基
1,
2,
3下的坐标为(y
1,y
2,y
3)，又因
1,
2,
3到
1,
2,
3的过渡矩阵为y
101042
010
y100
100，所以
2
2
4
，所以在基
1,
2,
3下的坐标为(2,4,1)。
y
001
1
1
001
3
1
【教师解读】
过渡矩阵给出了两个基之间的关系，利用过渡矩阵可得到一个向量在两个基下的坐标的关系。
011
001
1
0
所以由基
1,
2,
3,
4到基
1,
2,
3,
4的过渡阵为A
0
0
二、坐标变换
定理设V为P上n维线性空间，
1,L,
n与
1',L,
n'为V的两个基，由
1,L,
n到'
1',L,
n的过渡矩阵为A，V，在
1,L,
n及
1',L,
n'下的坐标分别为(x
1,L,x
n)与(
x
1',L,x
n')，则
x
1'x
1
。
n到基
1',L,
n'的过渡矩阵。
记号将
x
1
1Lx
n
n写成
x
1
，
(
1,L,
n)
M
x
n
于是（1）可写成
(
1',L,
n')(
1,L,
n)A。
性质设
1,L,
n;
1,L,
n为V中两个向量组，A,B为两个n阶方阵，则（1）
((
1,L,
n)A)B(
1,L,
n)(AB)；
（2）
(
1,L,
n)A(
1,L,
n)B(
1,L,
重点难点：
重点：会计算两个基之间的过渡矩阵。
难点：一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
_________________________________________________________
学习内容
一、基变换及过渡矩阵
命题设V为Pxxn维线性空间，
1,L,
n与
1',L,
n'为V的两个基，则
（2）若
1,L,
n线性无关，A可逆，则
1,L,
n线性无关；
（3）若
1,L,
n线性无关，A可逆，则
1,L,
n线性无关。
例在
P[x]
4中求由基
11,
2x,
3x2,
4x3到基
11,
21x,
31xx2,
41xx2x3的过渡矩阵。
解因为
0
(
1,
2,
3,
4)(
1,
2,
3,
4)
0
0
111
，
011
001
111
111
讨论交流
讨论主题：如何利用线性空间的一个基构造出另外一个基。
教师提示：回顾过渡矩阵的定义。
1,L,
n与'
1',L,
n等价，即它们可以互相线性表示。
定义设V为Pxxn维线性空间，
1,L,
n与
1',L,
n'为V的两个基，令
1'a
11
1a
21
2La
n1
n
'
2a
12
1a
22
2La
n2
n
L
'aaLa
1n12n2nnn
nL(1)，
称矩阵
aa
22L
21
A
LL
a
n1a
n2La
2n
L
a
nn
为由基
1,
2,L,
1
MAM
'
x
n
x
n
例设V为数域P上全体2阶对称矩阵对矩阵的加法和数与矩阵的数乘作成的线性空间，证明：
1
122141211241；
,,,,12
2
3
321
13
15
13
21
15
411
都是V的基，并求出
在这两个基下的坐标。
117
k
12k
24k
30
证：设
k
1
1k
2
2k
3
30，则
2k
1k
2k
30，解得
kBaidu Nhomakorabea
1k
2k
_________________________________________________________
导学
学习目标：
了解线性空间的两个基之间的关系，掌握两个基之间的过渡矩阵的概念及过渡矩阵的计算；掌握一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
学习建议：
建议大家多看书，正确理解概念，自己动手，用具体例子对比定义理解概念，多看例题，多做习题。
n)(AB)；
（3）
(
1,L,
n)A(
1,L,
n)A(
1
1,L,
n
n)A。
定理设V为P上n维线性空间，则V的两个基之间的过渡矩阵是可逆的。
1,L,
n;
1,L,
n为V中两个向量组，APnn，命题设V为P上n维线性空间，
且
(
1,L,
n)(
1,L,
n)A，则
（1）若
1,L,
n;
1,L,
n线性无关，则A可逆；
_________________________________________________________
拓展资料
1．同一向量在不同基下的坐标是否一定不同？不同向量在同一基下的坐标是否可以相同？
2．证明
x2x,x2x,x1是P[x]
3的一个基，求出3x27x3在这基下的坐标。
_________________________________________________________
30，所以
1,
2,
3
k3k5k0
23
1
线性无关，又dimV= 3，所以
1,
2,
3为V的基。
010010
100100
又：
(
1,
2,
3)(
1,
2,
3)，而
为可逆矩阵，所以
1,
2,
3也为V的
001
001
123123112233
x
12x
24x
34
2x
1x
2x
311
x3x5x7
23
1。
解得
x
14,x
22,x
31，所以在基
1,
2,
3下的坐标为(4,2,1)。
设在基
1,
2,
3下的坐标为(y
1,y
2,y
3)，又因
1,
2,
3到
1,
2,
3的过渡矩阵为y
101042
010
y100
100，所以
2
2
4
，所以在基
1,
2,
3下的坐标为(2,4,1)。
y
001
1
1
001
3
1
【教师解读】
过渡矩阵给出了两个基之间的关系，利用过渡矩阵可得到一个向量在两个基下的坐标的关系。
011
001
1
0
所以由基
1,
2,
3,
4到基
1,
2,
3,
4的过渡阵为A
0
0
二、坐标变换
定理设V为P上n维线性空间，
1,L,
n与
1',L,
n'为V的两个基，由
1,L,
n到'
1',L,
n的过渡矩阵为A，V，在
1,L,
n及
1',L,
n'下的坐标分别为(x
1,L,x
n)与(
x
1',L,x
n')，则
x
1'x
1
。
n到基
1',L,
n'的过渡矩阵。
记号将
x
1
1Lx
n
n写成
x
1
，
(
1,L,
n)
M
x
n
于是（1）可写成
(
1',L,
n')(
1,L,
n)A。
性质设
1,L,
n;
1,L,
n为V中两个向量组，A,B为两个n阶方阵，则（1）
((
1,L,
n)A)B(
1,L,
n)(AB)；
（2）
(
1,L,
n)A(
1,L,
n)B(
1,L,
重点难点：
重点：会计算两个基之间的过渡矩阵。
难点：一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
_________________________________________________________
学习内容
一、基变换及过渡矩阵
命题设V为Pxxn维线性空间，
1,L,
n与
1',L,
n'为V的两个基，则
（2）若
1,L,
n线性无关，A可逆，则
1,L,
n线性无关；
（3）若
1,L,
n线性无关，A可逆，则
1,L,
n线性无关。
例在
P[x]
4中求由基
11,
2x,
3x2,
4x3到基
11,
21x,
31xx2,
41xx2x3的过渡矩阵。
解因为
0
(
1,
2,
3,
4)(
1,
2,
3,
4)
0
0
111
，
011
001
111
111
讨论交流
讨论主题：如何利用线性空间的一个基构造出另外一个基。
教师提示：回顾过渡矩阵的定义。
1,L,
n与'
1',L,
n等价，即它们可以互相线性表示。
定义设V为Pxxn维线性空间，
1,L,
n与
1',L,
n'为V的两个基，令
1'a
11
1a
21
2La
n1
n
'
2a
12
1a
22
2La
n2
n
L
'aaLa
1n12n2nnn
nL(1)，
称矩阵
aa
22L
21
A
LL
a
n1a
n2La
2n
L
a
nn
为由基
1,
2,L,
1
MAM
'
x
n
x
n
例设V为数域P上全体2阶对称矩阵对矩阵的加法和数与矩阵的数乘作成的线性空间，证明：
1
122141211241；
,,,,12
2
3
321
13
15
13
21
15
411
都是V的基，并求出
在这两个基下的坐标。
117
k
12k
24k
30
证：设
k
1
1k
2
2k
3
30，则
2k
1k
2k
30，解得
kBaidu Nhomakorabea
1k
2k