6.4 基变换与坐标变换
§4 基变换与坐标变换
解：设 1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0), 3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
③
又由基 1, 2 ,L , n到1,2 ,L ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
(1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )BA
(1,2 ,L ,n ) (1,2 ,L ,n ) AB
Q 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 都是线性无关的,
a22 L an2
L L L
a2n x2
L ann
xMn
⑥
x1 a11 a12 L a1n 1 x1
或
x2 xMn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2
xMn
⑦
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
例1 在Pn中，求由基 1,2,L ,n 到基1,2,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的
的基变换公式．
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
1基变换与坐标变换
1 2
1 1
3 2 1 1 1 1
2 1
1 0
1 2 2 2 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
~ 初等行变换
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 0
0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
(2) W1 W2 W1 W2 W1;
(3) W1 W2 W1 W1 W2; (4) W1 W2 W1 W2 W1 W2或W2 W1 .
定义7 1 , 2 , , r是V中的一组向量，
L1 , 2 , , r
11 2 2 r r 1 , , r F
称为1 , 2 , , r 生成（张成）的子空间.
（4）若向量组
1 ,2 ,
,
是线性空间
r
V
的一个
基，则 V 可表示为
V x 11 2 2 r r 1 , , r F
V :基所生成的线性空间 1 , 2 , , r :向量x在基1 , 2 , , r下的坐标
例7 在线性空间P[ x]3中，p1 1，p2 x，p3 x 2，
p4 x 3是一组基，而q1 1，q2 x 2，q3 x 22， q4 x 23也是一组基．
线性空间的性质
(1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的．
(3) 0 0; 1 ; 0 0.
(4) 如果 0，则 0或 0.
定义2 设 x(1) , x(2) , , x(k) 是线性空间V 中的任一组
向量，1, 2 , , k 是F 中任一组数，
k
y 1 x(1) 2 x(2) k x(k ) i x(i ) i 1
基变换与坐标变换
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5 14 11 7 3 72 2 1 2 3 1 1 139 14 20 7
高等代数北大版64
,?
n
)
? ? ??
a2 an
? b2 M ? bn
? ? ??
若? 1,? 2,L ,? n 线性无关，则
? a1 ?
? b1 ?
(? 1,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
aaM2n ????
?
(?
1,?
2 ,L
,?
n
)
? ? ??
bbMn2 ????
?
? a1 ? ? b1 ?
? ? ??
aaMn2 ????
1)? 1,? 2 ,L ,? n ? V ,a1,a2,L , an , b1,b2,L , bn ? P
? a1 ?
? b1 ?
? a1 ? b1 ?
(? 1,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
aaMn2 ????
?
(?
1
,?
2
,L
,? n )????bbMn2 ???? ? (? 1,? 2,L
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
1、V为数域 P上的 n 维线性空间，? 1,? 2 ,L ,? n 为
V 中的一组向量， ? ? V ，若
? ? x1? 1 ? x2? 2 ? L ? xn? n
则记作
? x1 ?
?
? (? 1 ,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
xxMn2 ????
§6.4 基变换与坐标变换
二、基变换
1、定义 设V为数域P上n维线性空间，?1 ,?2 ,L ,?n ；
?1?,?2?,L ,?n? 为V中的两组基，若
§4基变换与坐标变换.
一线性空间的基变换，基的过渡矩阵
设V/K是n维线性空间，设 和 是两组基，且
将其写成矩阵形式
，
定义4.11我们称矩阵
为从 到 的过渡矩阵。
命题4.6设在n维线性空间V/K中给定一组基 。T是K上一个n阶方阵。命
则有 是V/K的一组基，当且仅当T可逆。
证明：
若 是线性空间V/K的一组基，则 线性无关。
考察同构映射
构造方程
，其中 ，
，
，
。
于是 线性无关。
构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆；
反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程
，其中 ，
两边用 作用，得到
。
，
证毕。
二向量的坐标变换公式； 中的两组基的过渡矩阵
1、向量的坐标变换公式
设V/K有两组基为 和 ，
又设 在 下的坐标为 ，即
，
在 下的坐标为 ，即
。
现在设两组基之间的过渡矩阵为T，即
记
， ，
于是
。
于是，由坐标的唯一性，可以知道 ，这就是坐标变换公式。
2、 中两组基的过渡矩阵的求法
我们设 中两组基分别为
和
而
按定义，T的第i个列向量分别是 在基 下的坐标。
将 和 看作列向量分别排成矩阵
；
，
则有
，
将A和B拼成 分块矩阵 ，利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E，则右边出来的就是过渡矩阵T，示意如下：
6.4 基变换与坐标变换
第六章 线性空间学习单元4： 基变换与坐标变换_________________________________________________________● 导学 学习目标：了解线性空间的两个基之间的关系，掌握两个基之间的过渡矩阵的概念及过渡矩阵的计算；掌握一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
学习建议：建议大家多看书，正确理解概念，自己动手，用具体例子对比定义理解概念，多看例题，多做习题。
重点难点：重点：会计算两个基之间的过渡矩阵。
难点：一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
_________________________________________________________● 学习内容一、基变换及过渡矩阵命题 设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 与''1,,n εεL 为V 的两个基，则1,,n εεL 与''1,,n εεL 等价，即它们可以互相线性表示。
定义 设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 与''1,,n εεL 为V 的两个基，令'11112121'21212222'1122(1)n nn n nn n nn n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩L L L LL ，称矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L 为由基12,,,n εεεL 到基''1,,n εεL 的过渡矩阵。
记号 将11n n x x αεε=++L 写成11(,,)n n x x αεε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M ， 于是（1）可写成''1(,,)n εε=L 1(,,)n A εεL 。
性质 设11,,;,,n n ααββL L 为V 中两个向量组，A,B 为两个n 阶方阵，则 （1）11((,,))(,,)()n n A B AB αααα=L L ；（2）111(,,)(,,)(,,)()n n n A B A B αααααα+=+L L L ； （3）11(,,)(,,)n n A A ααββ+L L 11(,,)n n A αβαβ=++L 。
维数基与坐标 基变换与坐标变换
§3.维数、基、坐标复习1. ⎧⎪⎨⎪⎩线性组合、线性表出基本概念向量组等价线性无关（相关） 1101112210,0,r rk k r r r r k k k k k ααααααα===⎧−−−−−→⎪+++=⎨−−−−−−−→⎪⎩只有存在不全为的，线性无关线性相关2. 性质：1）α线性相关⇔0α=；2）1r αα⇔，，线性相关其中一个向量是其余向量线性组合； 3）s r >且r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出，则r ααα,,,21 线性相关；r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出且r ααα,,,21 线性无关，则s r ≤；4）两个等价线性无关向量组含有相同个数向量； 5）r ααα,,,21 线性无关，βααα,,,,21r 线性相关⇒1,,r βαα可以被线性表出；6）1n ,,αα无关则其部分组1,,r αα也无关（整体无关则部分相关，部分相关则整体相关）；新课一 线性空间的基与维数定义1 在线性空间V 中，若存在n 个元素n ααα,,,21 ，满足： 1）n ααα,,,21 线性无关，2）V 中任意元素α总可由n ααα,,,21 线性表出，那么n ααα,,,21 就称为线性空间V 的一组基，n 称为线性空间V 的维数.Note :1）维数为n 的线性空间称为n 维线性空间，记作n V ；2）当一个线性空间V 中存在任意多个线性无关的向量时，就称V 是无限维的；例：=V { 所有实系数多项式 } 3）若n ααα,,,21 为n V 的一组基，则n V 可表示为： },,,{212211R x x x x x x V n n n n ∈+++== αααα 4）基不唯一，维数一定.[]n P x 中12,,,,1-n x x x 是n 个线性无关的向量，每一个()[]n f x P x ∈都可以由12,,,,1-n x x x 线性表出，即12,,,,1-n x x x 是[]n P x 的一组基.二 元素在给定基下的坐标定义2 设n ααα,,,21 是线性空间n V 的一组基，对于任意元素n V ∈α，总有且仅有一组有序数n x x x ,,,21 使得n n x x x αααα+++= 2211，则有序数组n x x x ,,,21 称为元素α在基n ααα,,,21 下的坐标，并记为),,,(21'n x x x .例2：在n 维空间n P 中 12(1,0,,0)(0,1,,0)(0,0,,1)n εεε=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 是一组基，设12(,,)n n a a a P α=∈，有'1'21122'(1,1,,1)(0,1,,1)(0,0,,1)n n n a a a εεαεεεε⎧=⎪=⎪=++→⎨⎪⎪=⎩基'''112121,()()n n n nP a a a a a ααεεε-∀∈=+-+-则§问题：在n 维线性空间n V 中，任意n 个线性无关的向量都可以作为n V 的一组基.对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的，那么不同的基之间有怎样的联系呢？同一个向量在不同基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何变化呢？ 1 基变换公式设12,,n εεε及'''12,,nεεε均是维线性空间n V 的一组基，且有 '11112121'21212222'1122n nn nn n n nn na a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=++⎩↓⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''n nn nnn n n a a a a a a a a a εεεεεε 2121222121211121↓A n n ),,,(),,,(2121εεεεεε =''' 称此公式为基变换公式. 2 过渡矩阵在基变换公式A n n ),,,(),,,(2121εεεεεε ='''中，矩阵A 称为由基12,,n εεε到基'''12,,nεεε的过渡矩阵. Note :1）过渡矩阵A 是可逆的.2）设n ααα,,,21 和n βββ,,,21 是n V 中两个向量组)(ij a A =，)(ij b B =是两个n n ⨯矩阵，那么))(,,,()),,,((2121AB B A n n αααααα =；))(,,,(),,,(),,,(212121B A B A n n n +=+ααααααααα ； A A A n n n n ),,,(),,,(),,,(22112121βαβαβαβββααα+++=+ . 3 坐标变换公式设向量α是线性空间n V 中的任意元素，在基12,,n εεε下的坐标为),,,(21'n x x x ，在基'''12,,nεεε下的坐标为),,,(21''''n x x x ，于是有12112212(,,,)n n n n x x x x x x αεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭'1''''''''11221'(,,)n n n n x x x x x εεεεε⎛⎫⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭即 ()11121'121222''111'1211,,(,,)(,,)(,,)n n n n n n n n nn n n a a a x a a a A x a a a x x εεεεαεεεε⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭而基向量线性无关，则'11'n nx x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1'1112111'2122222'12n n n n nn n n a a a x x a a a x xa a a x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例题分析：在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在所指基下坐标1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 1234(,,,)x x x x ξ=在1234,,,ηηηη下的坐标小结：↓→↓⎧→⎨⎩向量线性相（无）关 基维数 基变换坐标坐标变换。
基变换与坐标变换
辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数 第 6.4.1 页
§4
基变换与坐标变换
通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何
，y n )由等式(7)联系着． 标( y1，y 2，
例1
取 V2 的两个彼此正交的单位向量 1， 2 ，作成 V2 的一个
分别是由1 和2 旋转角 所得的向量(图 61)，则 ε1 ，ε 2 也 基．令 1, 2
是 V2 的一个基，且有
1
ε1 cos ε2 sin ε1 ， ε1 sin ε2 cos ε 2
一章讲的矩阵乘法形式．
， n ) 是 V 的 两 个 向 量 组 ， ， n ) 与 ( 1， 2， 设 ( 1， 2，
A=(aij)nn，B=(bij)∈Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：
n )A)B=( 1， 2， n )(AB)， (( 1， 2， n )A+( 1， 2， n )B=( 1， 2， n )(A+B)， ( 1， 2， n )A+( 1， 2， ， n n )A. ， n )A= ( 1 1 , 2 2， ( 1， 2，
， n 是 V 的一个基， 1， ， n V，且 命题 6.4.2 设 1， 2， n )A． ， n )=( 1， 2， ( 1， 2， ， n 是 V 的一个基． 若 A 可逆，则 1， 2， ， n 线性无关即可．假设 证 只要证 1， 2， k1 1 k 2 2 k n n 则 k1 k1 1， 2， ， n 1，a 2， ， n A ． k k n n
基变换公式坐标变换公式坐标旋转公式平面解析几何
(a1 a2 a3 , b1 b2 b3 a1a2 a1a3 a2a3 ) ；
同理可得 (a1,b1) ((a2 ,b2 ) (a3,b3 )) 上式右端结果，故 2)成立. 3) 取 (0,0) V, 则 (0,0) (a,b) (0 a,0 b 0 0) (a,b) ,即 (0,0) 是 V 的零向量.
线性空间的维数与数域有关.
6.1.作业习题解疑：
P267. 习题3 （5）：
分析： 题设之加法 ，数乘 易证是 V {(a,b) | a,b R} 上的代数运算， 关键在于验证 8 条算律成立.这里仅给出 2),3),4)的验证，其它算律略.
2) (a1,b1), (a2 ,b2 ), (a3,b3 ) V , ((a1,b1) (a2 ,b2 )) (a3 ,b3 )
基变换与坐标变换
一 基变换公式 二 坐标变换公式 三 过渡矩阵
* 问题的提出：
• dimV=n →
V
基1, 2 , , n
( x1, x2 , , xn )
基1/
,
/ 2
,
,
/ n
( x1/ , x2/ ,
, xn/ )
向量 ξ 在不同基下坐标有何换算关系？
•例： V2={α：始点为坐标原点的平面矢量}
记成 {1,2 , ,n} ；
是 P117 向量线性相关概念在一般线性空间中的推广.
定义 3 {1,2 , ,r }与{ 1, 2 , , s }等价 { 1,2 , ,r } { 1, 2 , , s }且{ 1, 2 , , s } { 1,2 , ,r }.
高等代数-6.4基变换与坐标变换
3）若由基1,2 , ,n到基1, 2 , , 过n 渡矩阵为A, 由基 1, 2 , , n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为B，则 由基 1,2 , ,n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为AB.
事实上,若 (1, 2 , , n ) (1,2 , ,n ) A
( 1, 2 , , n ) (1, 2 , , n )B 则有，( 1, 2 , , n ) ((1,2 , ,n ) A)B
下的坐标分别为 ( x1, x2 , , xn ) 与 ( x1 , x2 , , xn ) ，
§6.4 基变换与坐标变换
即，
(1, 2 ,
x1
,
n
)
x2
与
(1, 2 ,
xn
x1 a11 a12
则
x2
a21
a22
xn an1 an2
a1n x1 a2n x2
练习：已知 P 22 的两组基：
E11
1 0
0 0
, E12
0 0
1 0
, E21
0 1
0 0
, E22
0 0
0 1
;
F11
1 0
0 0
, F12
1 0
1 0
, F21
11 10
, F22
11 11
求由基 E11, E12,E21, E22到F11, F12,F21, F22 的过渡矩阵，
过渡矩阵．其中
1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0, ,0,1)
1 (1,1, ,1),2 (0,1, ,1), ,n (0, ,0,1)
并求向量 (a1,a2 , ,an )在基1,2 , ,n下的坐标.
1基变换与坐标变换共34页
对于通常的多项式的加法和数乘运算不能构成线性 空间．
例4 AAm nCm n,V x C nA 0 x ,F=C，
定义与 C n中相同的运算， V 构成一个复线性空间，
叫做矩阵Ａ的零空间（或核），也叫做方程 Ax0
的解空间，记为N(A)．
例5 AAm nCm n, V y C m y A ,x x C n ,
第一章 预备知识
第一节 线性空间
➢ 定义、性质及例子 ➢ 基与维数 ➢ 基变换与坐标变换 ➢ 子空间和维数定理
一、线性空间的定义、性质及例子
定义１ 设V 是一个非空集合，F 是一个数域（实数 域或复数域），在集合V 的元素之间定义了一种代数
运算，叫做加法，即对于任意两个元素与 ，在V 中都有惟一的一个元素 与它们对应，称为与 的
线性表示．
定义4 设S 是线性空间V 上的子集，如果S 的任意 有限子集都线性无关，且V 的任何向量均可被S 表 出，则称S 是V 的基．
定理2 如果线性空间V 的基S 恰含n 个向量，则V 的任何基都恰含n 个向量．
有上述性质的线性空间为有限维线性空间，n 为空间的维数，即作dimV=n ．
Cn、Rn是 n维空间，Cmn、 Rmn是 m×n维空间，
x (i)
i
i 1
也是V中的向量，称y 是向量组 x (1 ),x (2 ), ,x (k )的一
k
个线性组合， i x (i) 叫做y 的一个线性表出． i1
例１ V x x 1 ,2 , ,n T ,i C ,F=C，又设
y 1 ,2 , ,n T V , C , 对于通常的加法和数乘
线性空间的性质
(1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的．
基变换与坐标变换
问题：在 n 维线性空间 V 中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设 1 , 2 , , n 及 1 , 2 , , n 是线性空间 两个基 , 且有
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n P
２．坐标变换公式
x1 x1' x2 x2' P , xn xn '
或
用初等变换计算
B
1
A.
B
2 1 A 0 1 1 0 0 0
0 1 2 2 0 1 0 0
2 1 1 2 0 0 1 01 1 0 1
1 1 1 1
1 2 1 1 1 0 0 1
3 2
k1 k2 k3 k4 0
故 x , x x , x 1 , x 1 线性无关
3
, 是 P [ x ] 3 的一个基
.
又令 a 1 x a 2 ( x x ) a 3 ( x 1) a 4 ( x 1)
3 3 2
x 2 x 3,
x1 ' x2' xn '
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n P
1 , 2 , , n x1 x2 1 , 2 , , n P xn x1' x2' . xn '
高等代数-6.4基变换与坐标变换
任取V的一组基 1,2 , ,n ,
n
令 j aiji , j 1,2, , n
i 1
于是有， (1, 2 , , n ) (1,2 ,
, n ) A
§6.4 基变换与坐标变换
由A可逆，有 (1,2, ,n ) (1, 2, , n )A1
即，1,2 , ,n也可由 1, 2 , , n 线性表出.
2
,3
,
4
)
(
1
,
2
,
3
,
4
)
1 0 1
1 2 2
1 1 2
3
1 2
从而有
1 1 1 11 2 0 2 1
(1
,
2
,
3
,4
)
(1
,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
1 1 1 11 2 0 2 1
(1
,2
,3
,4
)
E21
,
E22
)
0 0 0
1 0 0
1 1
1 0
11
又 A 3E11 5E12, 4E21 2E22
设A在基 F11, F12,F21, F22下的坐标为( x1, x2 , x3 , x4 ),
§6.4 基变换与坐标变换
x1 1 1 1 11 3
则
x2 x3 x4
0 0 0
1 a111 a212
2
a121
a22 2
n a1n1 a2n2
an1n an2n annn
高等代数§6.4 基变换与坐标变换
则
x1 x2 xn
a11 a 21 a n1
( 1 , 2 , , n ) 与 a12 a1 n x 1 a 22 a 2 n x 2 ⑥ a n 2 a nn x n x1 x2 xn
①
即，
a11 a12 a 21 a 22 ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) a n1 a n 2
a1n a2n a nn
②
则称矩阵
a11 a 21 A a n1
( a 1 , a 2 , , a n ) 在基 1 , 2 , , n 下的坐标就是
( a 1 , a 2 , , a n )
设 在基 1 , 2 , , n下的坐标为 ( x 1 , x 2 , , x n ) ，则
x1 x2 xn 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 a1 a1 0 a 2 a 2 a1 0 a n a n a n1 1
若 1 , 2 , , n 线性无关，则
a1 a2 ( 1 , 2 , , n ) a n b1 b2 ( 1 , 2 , , n ) b n a 1 b1 a 2 b2 a b n n
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
基变换和坐标变换例题
基变换和坐标变换例题
基变换和坐标变换是线性代数中的重要概念。
下面是一个简单的例题，涉及基变换和坐标变换：
假设有两个坐标系，分别是标准基下的坐标系和非标准基下的坐标系。
标准基下的坐标系的基向量为 {i, j}，非标准基下的坐标系的基向量为 {u, v}。
已知非标准基下的坐标系中的一个向量的坐标为 (3, 4)，求其在标准基下的坐标。
解答：
首先，我们需要进行基变换，将非标准基向量表示为标准基向量的线性组合。
假设向量 u 和v 可以表示为标准基向量的线性组合，即：
u = a * i + b * j
v = c * i + d * j
其中 a、b、c、d 是待求的系数。
然后，我们可以将非标准基下的坐标 (3, 4) 表示为非标准基向量的线性组合：
(3, 4) = x * u + y * v
将 u 和 v 的表达式代入上式，得到：
(3, 4) = (a * x + c * y) * i + (b * x + d * y) * j
由于等式两边的向量在同一个坐标系下，所以它们的坐标必须相等。
比较系数，我们可以得到以下方程组：
a * x + c * y = 3
b * x + d * y = 4
解这个方程组，可以得到 a、b、c、d 的值。
然后，将 a、b、c、d 的值代入 (3, 4) = x * u + y * v，就可以求得向量在标准基下的坐标。
请注意，这只是一个简单的例题，实际的基变换和坐标变换问题可能更加复杂。
在实际应用中，可能需要考虑更多的维度和变量。
6.4 基变换与坐标变换
ε 2 = 0ε 1 + 1ε 2 + 0ε 3 ε 3 = 0ε 1 + 0ε 2 + 1ε 3 , ε = 1ε + 0ε + 0ε 1 2 3 1
0 0 1 A = 1 0 0 0 1 0
方法2 直接利用矩阵来计算. 方法2：直接利用矩阵来计算.
注意 :
1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的”. 因为 基变换公式的矩阵形式是“形式的” 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下， 不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会 出毛病的. 出毛病的 2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , … , anj ), 就是第二组基向量 εj′ 在第一组ε 1 , ε 2 , … , ε n下的 坐标. 坐标
(2)
证明： 证明： 因
线性无关, 由于 ε 1 , ε 2 , L , ε n 线性无关 故即有关系式 (2).
′ x1 x1 ′ x2 x2 ′ ′ ′ (ε1 , ε 2 , L, ε n ) = ξ = (ε1 , ε 2 , L, ε n ) M M x x′ n n ′ x1 x′ 2 = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) A M x′ n
(α1 ,α 2 ,L ,α n ) A = (α1 ,α 2 ,L ,α n ) B ⇔ A = B .
二、基变换
V为数域 P上的 n 维线性空间， 为数域 上的 维线性空间， α1 ,α 2 ,L,α n 为V 中的一组线性无关向量，而 中的一组线性无关向量， 引理
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1',L,
n'的过渡矩阵。
记号将
x
1
1Lx
n
n写成
x
1
，
(
1,L,
n)
M
x
n
于是（1）可写成
(
1',L,
n')(
1,L,
n)A。
性质设
1,L,
n;
1,L,
n为V中两个向量组，A,B为两个n阶方阵，则（1）
((
1,L,
n)A)B(
1,L,
n)(AB)；
（2）
(
1,L,
n)A(
1,L,
n)B(
1,L,
_________________________________________________________
拓展资料
1．同一向量在不同基下的坐标是否一定不同？不同向量在同一基下的坐标是否可以相同？
2．证明
x2x,x2x,x1是P[x]
3的一个基，求出3x27x3在这基下的坐标。
_________________________________________________________
1,
2,
3下的坐标为(4,2,1)。
设在基
1,
2,
3下的坐标为(y
1,y
2,y
3)，又因
1,
2,
3到
1,
2,
3的过渡矩阵为y
101042
010
y100
100，所以
2
2
4
，所以在基
1,
2,
3下的坐标为(2,4,1)。
y
001
1
1
001
3
1
【教师解读】
过渡矩阵给出了两个基之间的关系，利用过渡矩阵可得到一个向量在两个基下的坐标的关系。
学习单元
_________________________________________________________
导学
学习目标：
了解线性空间的两个基之间的关系，掌握两个基之间的过渡矩阵的概念及过渡矩阵的计算；掌握一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
学习建议：
建议大家多看书，正确理解概念，自己动手，用具体例子对比定义理解概念，多看例题，多做习题。
重点难点：
重点：会计算两个基之间的过渡矩阵。
难点：一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
_________________________________________________________
学习内容
一、基变换及过渡矩阵
命题设V为Pxxn维线性空间，
1,L,
n与
1',L,
n'为V的两个基，则
30，所以
1,
2,
3
k3k5k0
23
1
线性无关，又dimV= 3，所以
1,
2,
3为V的基。
010010
100100
又：
(
1,
2,
3)(
1,
2,
3)，而
为可逆矩阵，所以
1,
2,
3也为V的
001
001
123123112233
x
12x
24x
34
2x
1x
2x
311
x3x5x7
23
1。
解得
x
14,x
22,x
31，所以在基
（2）若
1,L,
n线性无关，A可逆，则
1,L,
n线性无关；
（3）若
1,L,
n线性无关，A可逆，则
1,L,
n线性无关。
例在
P[x]
4中求由基
11,
2x,
3x2,
4x3到基
11,
21x,
31xx2,
41xx2x3的过渡矩阵。
解因为
0
(
1,
2,
3,
4)(
1,
2,
3,
4)
0
0
111
，
011
001
111
111
1
MAM
'
x
n
x
n
例设V为数域P上全体2阶对称矩阵对矩阵的加法和数与矩阵的数乘作成的线性空间，证明：
1
122141211241；
,,,,12
2
3
321
13
15
13
21
15
411
都是V的基，并求出
在这两个基下的坐标。
117
k
12k
24k
30
证：设
k
1
1k
2
2k
3
30，则
2k
1k
2k
30，解得
k
1k
2k
011
001
1
0
所以由基
1,
2,
3,
4到基
1,
2,
3,
4的过渡阵为A
0
0
二、坐标变换
定理设V为P上n维线性空间，
1,L,
n与
1',L,
n'为V的两个基，由
1,L,
n到'
1',L,
n的过渡矩阵为A，V，在
1,L,
n及
1',L,
n'下的坐标分别为(x
1,L,x
n)与(
x
1',L,x
n')，则
x
1'x
1
。
1,L,
n与'
1',L,
n等价，即它们可以互相线性表示。
定义设V为Pxxn维线性空间，
1,L,
n与
1',L,
n'为V的两个基，令
1'a
11
1a
21
2La
n1
n
'
2a
12
1a
22
2La
n2
n
L
'aaLa
1n12n2nnn
nL(1)，
称矩阵
aa
22L
21
A
LL
a
n1a
n2La
2n
L
a
nn
为由基
1,
2,L,
讨论交流
讨论主题：如何利用线性空间的一个基构造出另外一个基。
教师提示：回顾过渡矩阵的定义。
n)(AB)；
（3）
(
1,L,
n)A(
1,L,
n)A(
1
1,L,
n
n)A。
定理设V为P上n维线性空间，则V的两个基之间的过渡矩阵是可逆的。
1,L,
n;
1,L,
n为V中两个向量组，APnn，命题设V为P上n维线性空间，
且
(
1,L,
n)(
1,L,
n)A，则
（1）若
1,L,n;ຫໍສະໝຸດ 1,L,n线性无关，则A可逆；