相关分析Correlation Analysis
科研常用的实验数据分析与处理方法
科研常用的实验数据分析与处理方法对于每个科研工作者而言，对实验数据进行处理是在开始论文写作之前十分常见的工作之一。
但是，常见的数据分析方法有哪些呢？常用的数据分析方法有：聚类分析、因子分析、相关分析、对应分析、回归分析、方差分析。
1、聚类分析(Cluster Analysis)聚类分析指将物理或抽象对象的集合分组成为由类似的对象组成的多个类的分析过程。
聚类是将数据分类到不同的类或者簇这样的一个过程，所以同一个簇中的对象有很大的相似性，而不同簇间的对象有很大的相异性。
聚类分析是一种探索性的分析，在分类的过程中，人们不必事先给出一个分类的标准，聚类分析能够从样本数据出发，自动进行分类。
聚类分析所使用方法的不同，常常会得到不同的结论。
不同研究者对于同一组数据进行聚类分析，所得到的聚类数未必一致。
2、因子分析(Factor Analysis)因子分析是指研究从变量群中提取共性因子的统计技术。
因子分析就是从大量的数据中寻找内在的联系，减少决策的困难。
因子分析的方法约有10多种，如重心法、影像分析法，最大似然解、最小平方法、阿尔发抽因法、拉奥典型抽因法等等。
这些方法本质上大都属近似方法，是以相关系数矩阵为基础的，所不同的是相关系数矩阵对角线上的值，采用不同的共同性□2估值。
在社会学研究中，因子分析常采用以主成分分析为基础的反覆法。
3、相关分析(Correlation Analysis)相关分析(correlation analysis)，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度。
相关关系是一种非确定性的关系，例如，以X和Y 分别记一个人的身高和体重，或分别记每公顷施肥量与每公顷小麦产量，则X与Y显然有关系，而又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这就是相关关系。
4、对应分析(Correspondence Analysis)对应分析(Correspondence analysis)也称关联分析、R-Q 型因子分析，通过分析由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。
利用相关分析研究变量间的相关性
利用相关分析研究变量间的相关性相关分析（Correlation Analysis）是一种统计方法，旨在研究变量之间的相关关系。
通过相关分析，我们可以判断变量之间是正相关、负相关还是无关，并且可以估计相关性的强度。
本文将介绍相关分析的概念、应用、计算方法以及解读结果的技巧。
一、相关分析的概念和应用相关分析是一种描述和评估两个或多个变量之间关系强度和方向的方法。
这些变量可以是数量型变量，例如年龄和身高；也可以是分类变量，例如性别和学历。
相关分析对于确定变量之间的关联性以及预测行为和趋势具有重要作用。
在实际应用中，相关分析广泛用于各个领域。
例如，金融学中使用相关分析研究股票收益率之间的相关性，以此来选择组合投资；医学领域使用相关分析来研究各项生物指标之间的关系，以预测疾病的发展趋势等。
通过相关分析，我们可以了解变量之间的联系，进而作出科学合理的判断和决策。
二、计算相关系数相关系数是衡量变量之间相关性强弱的指标，常用的相关系数包括皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）、斯皮尔曼相关系数（Spearman's Rank Correlation Coefficient）等。
皮尔逊相关系数适用于两个数量型变量之间的相关性分析。
它的取值范围为-1到1，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示无相关。
计算皮尔逊相关系数的公式如下：ρ = (Σ(Xi - X)(Yi - Y)) / [√(Σ(Xi - X)²)√(Σ(Yi - Y)²)]斯皮尔曼相关系数适用于两个变量之间的等级关系相关性分析，即变量之间的相关性不仅仅取决于数值，还与排名有关。
斯皮尔曼相关系数的取值范围同样为-1到1，其计算公式如下：ρ = 1 - [6∑di² / (n(n²-1))]其中，di表示变量排序之间的差异，n表示变量个数。
三、解读相关分析结果在进行相关分析后，我们需要正确解读结果以获得有价值的信息。
名词解释
1、相关分析：相关分析（correlation analysis），相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
2、计量经济学：计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系。
主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。
3、区间估计：参数估计的一种形式。
通过从总体中抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的区间，以作为总体的分布参数(或参数的函数)的真值所在范围的估计。
4、假设检验：假设检验是数理统计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。
具体作法是：根据问题的需要对所研究的总体作某种假设，记作H0；选取合适的统计量，这个统计量的选取要使得在假设H0成立时，其分布为已知；由实测的样本，计算出统计量的值，并根据预先给定的显著性水平进行检验，作出拒绝或接受假设H0的判断。
常用的假设检验方法有u—检验法、t检验法、χ2检验法(卡方检验)、F—检验法，秩和检验等。
5、正态分布：正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
6、t分布，又称Student t分布，记作t~t(v)。
t分布十分有用，它是总体均数的区间估计和假设检验的理论基础。
自由度(degree of freedom, df)在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。
相关分析和检验
问题的第2个方面： 评价相关是否显著－相关显著性检验
对容易一个r值，如r = 0.25，可能会 想到两种情况： ▪ 由于r=0.25>0，说明两变量之间在总体上 是相关的。 ▪ 虽然r=0.25>0，但这可能是偶然情况，是 取样造成，实际两变量在总体上是不相关 的。所以需要进行检验。
针对实例问题： r= 0.892 df=n-2=46-2=44
查相关系数显著性表得到临界r值： r0.05 = 0.288
因r= 0.892> r0.05 = 0.288 所以判断在安徽岳西地区降雨量和土壤侵 蚀的相关性是显著的。
等级相关
▪ 计算积差相关前提或要求：两变量正态分布； 两变量为等距或等比数据。
延伸的问题：
如果有很多相关系数需要检验，怎么办？
t
r 0
~ t (n 2)
1r 2
n2
• 统计学家为方便应用，根据上述t检验制成了相关系数显著 性表
• 在实际应用中，更多的是直接根据相关系数大小查相关系 数显著性表判断r是否显著
方法－根据自由度和显著性水平查相关系数显著性表得到 临界r值，如果计算r值大于临界r值，则相关性显著。
▪ 相关不等于有因果。相互关联事物的至少2种解释：
X是Y的因或果；
X与Y均为第3个变量的因或果
相关类型图
相关系数——两个变量相关程度大小的数 量化指标（r表示）。
rkL
1 n
n i 1
(
xki
Sk
xk )
(xli Sl
xl )
▪ 这种相关计算方法称积差相关或积矩相关，是由英国统计 学家皮尔逊（Pearson）提出的，又称皮尔逊相关。反映的 是线性相关。
相关性分析的五种方法
相关性分析的五种⽅法相关分析（Analysis of Correlation）是⽹站分析中经常使⽤的分析⽅法之⼀。
通过对不同特征或数据间的关系进⾏分析，发现业务运营中的关键影响及驱动因素。
并对业务的发展进⾏预测。
本篇⽂章将介绍5种常⽤的分析⽅法。
在开始介绍相关分析之前，需要特别说明的是相关关系不等于因果关系。
相关分析的⽅法很多，初级的⽅法可以快速发现数据之间的关系，如正相关，负相关或不相关。
中级的⽅法可以对数据间关系的强弱进⾏度量，如完全相关，不完全相关等。
⾼级的⽅法可以将数据间的关系转化为模型，并通过模型对未来的业务发展进⾏预测。
下⾯我们以⼀组⼴告的成本数据和曝光量数据对每⼀种相关分析⽅法进⾏介绍。
以下是每⽇⼴告曝光量和费⽤成本的数据，每⼀⾏代表⼀天中的花费和获得的⼴告曝光数量。
凭经验判断，这两组数据间应该存在联系，但仅通过这两组数据我们⽆法证明这种关系真实存在，也⽆法对这种关系的强度进⾏度量。
因此我们希望通过相关分析来找出这两组数据之间的关系，并对这种关系进度度量。
1，图表相关分析（折线图及散点图）第⼀种相关分析⽅法是将数据进⾏可视化处理，简单的说就是绘制图表。
单纯从数据的⾓度很难发现其中的趋势和联系，⽽将数据点绘制成图表后趋势和联系就会变的清晰起来。
对于有明显时间维度的数据，我们选择使⽤折线图。
为了更清晰的对⽐这两组数据的变化和趋势，我们使⽤双坐标轴折线图，其中主坐标轴⽤来绘制⼴告曝光量数据，次坐标轴⽤来绘制费⽤成本的数据。
通过折线图可以发现，费⽤成本和⼴告曝光量两组数据的变化和趋势⼤致相同，从整体的⼤趋势来看，费⽤成本和⼴告曝光量两组数据都呈现增长趋势。
从规律性来看费⽤成本和⼴告曝光量数据每次的最低点都出现在同⼀天。
从细节来看，两组数据的短期趋势的变化也基本⼀致。
经过以上这些对⽐，我们可以说⼴告曝光量和费⽤成本之间有⼀些相关关系，但这种⽅法在整个分析过程和解释上过于复杂，如果换成复杂⼀点的数据或者相关度较低的数据就会出现很多问题。
典型相关分析
一、典型相关分析的概念典型相关分析(canonical correlation analysis ) 就是利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。
它的基本原理是：为了从总体上把握两组指标之间的相关关系，分别在两组变量中提取有代表性的两个综合变量U1和V1 (分别为两个变量组中各变量的线性组合)，利用这两个综合变量之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性。
二、条件：典型相关分析有助于综合地描述两组变量之间的典型的相关关系。
其条件是，两组变量都是连续变量，其资料都必须服从多元正态分布。
~*、相关计算如果我们记两组变量的第一对线性组合为U1 1X V1 1Y1(a11 1 1 a21 , , a p1 )1 (11 ,21 , ,q1 )Var (U1) 1Var (X ) 111 1Var (V1) 1Var (Y ) 1 1 22 1 1典型相关分析就是求和，使二者的相关系数达到最大。
1 1典型相关分析希望寻求 a 和b 使得p 达到最大，但是由于随 机变量乘以常数时不改变它们的相关系数， 为了防止不必要的结 果重复出现，最好的限制是令 Var(U) =1和Var (V ) = 11.实测变量标准化;2.求实测变量的相关阵R;XXl，…,X3.求A 和B;A1XXXY 1YYYX B1YY YX1XXXY4、求A 和B 的特征根及特征向量;A 关于 ，的特征向量(a i ,比，…，ap )，求B 关于i的特征向量(bi 1, b i2, •…bi P ) 5、计算Vi 和Wi ；V i b i1X 1 b i2X 21X Y Y Yrp1!qqb ip X p Wiai1Y 1ai2丫 2a iq Y qR「i6、Vi 和Wi 的第i 对典型相关系数应用典型相关分析的场合是：可以使用回归方法, 但有两个或两个以上的因变量；特别是因变量或准则 变量相互间有一定的相关性，无视它们之间相互依赖 的关系而分开处理，研究就毫无意义。
皮 尔逊相关性分析
皮尔逊相关性分析在统计学的广袤领域中，皮尔逊相关性分析（Pearson Correlation Analysis）犹如一颗璀璨的明星，为我们揭示变量之间线性关系的奥秘。
它是一种常见且强大的工具，被广泛应用于各个学科和实际问题的研究中。
要理解皮尔逊相关性分析，首先得搞清楚什么是相关性。
简单来说，相关性就是两个或多个变量之间相互关联的程度。
比如说，我们想知道一个人的身高和体重有没有关系，或者一个地区的降雨量和农作物产量之间的关联程度，这时候就需要用到相关性分析。
皮尔逊相关性分析主要关注的是两个变量之间的线性关系。
这里的线性关系指的是，如果把两个变量的值画在坐标轴上，它们的分布呈现出一条近似直线的趋势。
但要注意，皮尔逊相关性分析只能告诉我们变量之间线性关系的强弱，不能说明是否存在其他形式的关系。
那皮尔逊相关性系数（Pearson Correlation Coefficient）又是怎么一回事呢？它是一个介于－1 到 1 之间的数值。
当系数为 1 时，表示两个变量之间存在完全正线性相关，也就是说，一个变量增加，另一个变量也会按比例增加；当系数为－1 时，则表示完全负线性相关，一个变量增加，另一个变量会按比例减少；而当系数为 0 时，表示两个变量之间不存在线性相关关系。
比如说，我们研究每天学习时间和考试成绩之间的关系。
如果皮尔逊相关性系数接近 1，那就说明学习时间越长，考试成绩越高，两者呈现出很强的正线性相关；如果系数接近－1，可能意味着学习时间越长，考试成绩反而越低，这显然不符合常理；如果系数接近 0，那就说明学习时间和考试成绩之间没有明显的线性关系。
在实际应用中，皮尔逊相关性分析有着广泛的用途。
在医学研究中，它可以帮助我们了解某种药物的剂量和治疗效果之间的关系；在经济学中，能用来探究消费者收入和消费支出的关联；在金融领域，分析股票价格和市场指数的相关性有助于投资者做出决策。
然而，使用皮尔逊相关性分析也不是毫无限制的。
相关性分析(correlation_analysis)
相关性分析(correlation analysis)➢概述相关性分析可以用来验证两个变量间的线性关系，从相关系数r我们可以知道两个变量是否呈线性关系、线性关系的强弱，以及是正相关还是负相关。
➢适用场合·当你有成对的数字数据时；·当你画了一张散点图，发现数据有线性关系时；·当你想要用统计的方法测量数据是否落在一条线上时。
➢实施步骤尽管人工可以进行相关性分析，然而计算机软件可以使计算更简便。
按照以下的介绍来使用你的软件。
分析计算出相关性系数r，它介于－l到1之间。
·如果r接近0则两个变量没有线性相关性；·当r接近－l或者1时，说明两个变量线性关系很强；·正的r值代表当y值很小时x值也很小，当y值很大时r值也很大；·负的r值代表当y值很大时x值很小，反之亦然。
➢示例图表5.39到图表5.42给出了两个变量不同关系时的散点图。
图表5.39给出了一个近似完美的线性关系，r＝0.98；图表5.40给出了一个弱的负线性相关关系，R=－0. 69，与图表5.39比较，数据散布在更宽的范围内；在图表5.41中，两个变量不相关，r＝0.l5；在图表5.42中，相关性分析计算出相同的r值——＝0.15，但是，在这个情况下显然两个变量是相关的，尽管不是线性的。
➢注意事项·如果，r＝0，则变量不相关，但是可能有弯曲的相关性，如图表5.42那样。
为避免这种情况，首先画出数据的散点图来判断它们的关系。
相关性分析只对于存在线性关系的变量有意义。
·相关性分析可以证实两个变量间关系的强弱，但不能计算出那条回归线，如果想找到最符合的线，请参阅回归分析。
·对于系数的决定，回归分析中使用r2，它是相关系数r一的平方。
典型相关分析(CCA)简介
典型相关分析(CCA)简介一、引言在多变量统计分析中，典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，简称CCA）是一种用于研究两个多变量之间关系的有效方法。
这种方法最早由哈罗德·霍特林（Harold Hotelling）于1936年提出。
随着数据科学和统计学的发展，CCA逐渐成为多个领域分析数据的重要工具。
本文将对典型相关分析的基本原理、应用场景以及与其他相关方法的比较进行详细阐述。
二、典型相关分析的基本概念1. 什么是典型相关分析典型相关分析是一种分析两个多变量集合之间关系的方法。
设有两个随机向量 (X) 和 (Y)，它们分别包含 (p) 和 (q) 个变量。
CCA旨在寻找一种线性组合，使得这两个集合在新的空间中具有最大的相关性。
换句话说，它通过最优化两个集合的线性组合，来揭示它们之间的关系。
2. 数学模型假设我们有两个数据集：(X = [X_1, X_2, …, X_p])(Y = [Y_1, Y_2, …, Y_q])我们可以表示为：(U = a^T X)(V = b^T Y)其中 (a) 和 (b) 是待求解的权重向量。
通过最大化协方差 ((U, V))，我们得到最大典型相关系数 ()，公式如下：[ ^2 = ]通过求解多组 (a) 和 (b)，我们可以获得多个典型变量，从而得到不同维度的相关信息。
三、典型相关分析的步骤1. 数据准备在进行CCA之前，需要确保数据集满足一定条件。
一般来说，应对数据进行标准化处理，以消除可能存在的量纲差异。
可以使用z-score标准化的方法来处理数据。
2. 求解协方差矩阵需要计算两个集合的协方差矩阵，并进一步求出其逆矩阵。
给定随机向量 (X) 和 (Y)，我们需要计算如下协方差矩阵：[ S_{xx} = (X, X) ] [ S_{yy} = (Y, Y) ] [ S_{xy} = (X, Y) ]同时，求出逆矩阵 (S_{xx}^{-1}) 和 (S_{yy}^{-1})。
利用相关分析研究变量间的相关性
利用相关分析研究变量间的相关性引言：相关分析（correlation analysis）是一种用于衡量两个或多个变量之间关系强度和方向的统计方法。
通过利用相关分析，我们可以揭示变量之间是否存在相关性，以及相关性的强度和方向。
在科学研究和实际应用中，相关分析被广泛运用于各个领域，包括社会科学、经济学、医学和环境科学等。
本文将介绍相关分析的基本原理和常用方法，并以实例演示如何利用相关分析研究变量间的相关性。
一、相关分析基本原理相关分析的基本原理是通过计算两个或多个变量之间的相关系数来衡量它们之间的相关性。
相关系数是一个介于-1和1之间的数值，表示变量之间相关的程度和方向。
相关系数大于0表示正相关，相关系数小于0表示负相关，相关系数等于0表示无相关。
二、常用的相关分析方法相关分析有多种方法，常用的包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和判定系数。
1. 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是最常用的相关分析方法之一，用于衡量两个连续变量之间的线性相关关系。
计算公式为：其中，X和Y分别表示两个变量，n表示样本容量，x和y分别表示样本的观测值，x和ȳ分别表示样本的平均值。
皮尔逊相关系数的取值范围为-1到1，接近-1或1表示相关性强，接近0表示相关性弱或无相关。
2. 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种非参数的相关分析方法，用于衡量两个变量之间的单调关系，不要求变量呈现线性关系。
计算公式为：其中，d表示两个变量在排序中的差距，n表示样本容量，ρ表示斯皮尔曼相关系数。
斯皮尔曼相关系数的取值范围也是-1到1，与皮尔逊相关系数类似。
3. 判定系数判定系数用于衡量两个或多个自变量对因变量的解释程度。
判定系数的取值范围为0到1，表示自变量对因变量的解释程度的百分比。
判定系数越接近1，说明自变量对因变量的解释程度越高。
三、实例分析：汽车销量与广告投入之间的相关性为了演示如何利用相关分析研究变量间的相关性，我们以汽车销量和广告投入为例进行分析。
相关性分析的流程
相关性分析的流程（中英文版）Title: The Process of Correlation AnalysisTitle: 相关性分析的流程Introduction:Correlation analysis is a statistical method used to determine the strength and direction of the relationship between two variables.It is widely applied in various fields, including finance, economics, psychology, and social sciences.This document outlines the step-by-step process of conducting a correlation analysis.引言：相关性分析是一种统计方法，用于确定两个变量之间的强度和方向关系。
它广泛应用于金融、经济学、心理学和社会科学等领域。
本文概述了进行相关性分析的步骤。
Step 1: Define the Research QuestionBefore starting the correlation analysis, it is essential to clearly define the research question or objective.This will help in identifying the relevant variables and determining the appropriate correlation measure.第一步：定义研究问题在开始相关性分析之前，明确定义研究问题或目标至关重要。
这将有助于识别相关变量并确定适当的关联度量。
Step 2: Collect DataCollect relevant data for the variables of interest.Ensure that the data is accurate, reliable, and collected from a representative e appropriate data collection methods, such as surveys, experiments, or secondary data sources.第二步：收集数据收集感兴趣变量的相关数据。
5.1相关分析的概念及数学模型
5.1相关分析的概念及数学模型武汉大学引例某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。
为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期(每个销售周期为4周)公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格。
数据集：yagao.sas7bdat销售周期公司销售价格(元)x4其它厂家平均价格(元)x3广告费用(百万元)x2价格差(元)x1销售量(百万支)y1 3.85 3.80 5.50 -0.05 7.382 3.75 4.00 6.75 0.25 8.513 3.70 4.30 7.25 0.60 9.524 3.70 3.70 5.50 0 7.505 3.60 3.70 7.00 0.25 9.336 3.60 3.85 6.50 0.20 8.287 3.60 3.80 6.75 0.15 8.758 3.80 3.75 5.25 0.05 7.879 3.80 3.85 5.25 -0.15 7.1010 3.85 3.65 6.00 0.15 8.0011 3.90 4.00 6.50 0.20 7.8912 3.90 4.10 6.25 0.10 8.1513 3.70 4.00 7.00 0.40 9.1014 3.75 4.10 6.90 0.45 8.8615 3.75 4.20 6.80 0.35 8.90销售周期公司销售价格(元) 其它厂家平均价格(元)广告费用(百万元)价格差(元)销售量(百万支)16 3.80 4.10 6.80 0.30 8.8717 3.70 4.20 7.10 0.50 9.2618 3.80 4.30 7.00 0.50 9.0019 3.70 4.10 6.80 0.40 8.7520 3.80 3.75 6.50 -0.05 7.9521 3.80 3.75 6.25 -0.05 7.6522 3.75 3.65 6.00 -0.10 7.2723 3.70 3.90 6.50 0.20 8.0024 3.55 3.65 7.00 0.10 8.5025 3.60 4.10 6.80 0.50 8.7526 3.65 4.25 6.80 0.60 9.2127 3.70 3.65 6.50 -0.05 8.2728 3.75 3.75 5.75 0 7.6729 3.80 3.85 5.80 0.05 7.9330 3.70 4.25 6.80 0.55 9.26 分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订销售策略提供数量依据。
相关分析、回归分析、时间序列分析
1.2 相关分析类型和运用
1.2.1 皮尔逊相关（Pearson）直线相关
1. 定义： Pearson相关 (积差相关)是英国统计学家皮尔逊于20世纪初提出的一 种计算相关的方法。是一种运用较为普遍的计算相关系数的方法，也 是揭示两个变量线性相关方向和程度最常用和最基本的方法。
1.2.3 肯得尔相关（Kendall）等级相关
分析两个变量之间的相关，也可以用Kendall等级相关分析法。用一 个统计量来衡量以一个变量的等级为标准时，另一个变量的等级与它 不一致的情况。
不仅可以对两个变量作等级相关分析，还可以对多个变量作等级相关 分析。
Kendall等级相关系数也在-1与1之间变动。当 =0时，表示两变
(Pi P )(Qi Q ) (Pi P )2 (Qi Q )2
1.2 相关分析类型和运用 1.2.2 斯皮尔曼相关（Spearman）秩相关
4. Spearman相关系数ρ的假设检验： （1）当n≤50时，查“rs界值表” （2）当n＞50时，用 t 检验
t检验法
1.2 相关分析类型和运用
1.1 认识相关关系 1.1.4 研究相关关系的工具：
1.1 认识相关关系 1.1.4 研究相关关系的工具：
散点图
（a）完全正相 （b）完全负相关 （c）无相关关系 关
（d）非线性关系 （e）正相关
（f）负相关
对不同类型的变量应采用不同的相关系数来度量。
双变量关系强度测量的主要指标 定类
定序
定类
Classical Statistical Analysis Method I
Correlation analysis,analysis of regression,analysis of time series
相关分析和回归分析
回归分析和相关分析的联系和区别回归分析(Regression)：Dependant variable is defined and can be forecasted by independent variable.相关分析(Correlation)：The relationship btw two variables. --- A dose not define or determine B.回归更有用自变量解释因变量的意思，有一点点因果关系在里面，并且可以是线性或者非线形关系；相关更倾向于解释两两之间的关系，但是一般都是指线形关系，特别是相关指数，有时候图像显示特别强二次方图像，但是相关指数仍然会很低，而这仅仅是因为两者间不是线形关系，并不意味着两者之间没有关系，因此在做相关指数的时候要特别注意怎么解释数值，特别建议做出图像观察先。
不过，无论回归还是相关，在做因果关系的时候都应该特别注意，并不是每一个显著的回归因子或者较高的相关指数都意味着因果关系，有可能这些因素都是受第三，第四因素制约，都是另外因素的因或果。
对于此二者的区别，我想通过下面这个比方很容易理解：对于两个人关系，相关关系只能知道他们是恋人关系，至于他们谁是主导者，谁说话算数，谁是跟随者，一个打个喷嚏，另一个会有什么反应，相关就不能胜任，而回归分析则能很好的解决这个问题回歸未必有因果關係。
回歸的主要有二：一是解釋，一是預測。
在於利用已知的自變項預測未知的依變數。
相關係數，主要在了解兩個變數的共變情形。
如果有因果關係，通常會進行路徑分析(path analysis)或是線性結構關係模式。
我觉得应该这样看，我们做回归分析是在一定的理论和直觉下，通过自变量和因变量的数量关系探索是否有因果关系。
楼上这位仁兄说“回归未必有因果关系……如果有因果关系，通常进行路径分析或线性结构关系模式”有点值得商榷吧，事实上，回归分析可以看成是线性结构关系模式的一个特例啊。
相关分析与回归分析方案
明X是影响Y的主要因素
相关分析 与
回归分析
弱负相关关系，其特点是变量X增加，导致Y减少，但 减少幅度不明显，说明X是Y的影响因素，但不是唯一 因素。
非线性相关关系，其特点是X、Y之间没有明显的线性 关系，却存在着某种非线性关系，说明X仍是影响Y的 因素。
3、具体判断相关是否显著,要看显著性水平
相关分析 与
回归分析
相关系数的计算
样本的相关系数一般用r表示，总体的相关系数一般用p表 示。
对于不同类型的变量，相关系数的计算公式不同。在相关 分析中，常用的相关系数有： Pearson简单相关系数：对定距连续变量的数据进行计算。 如测度收入和储蓄，身高和体重。 Spearman等级相关系数：用于度量定序变量间的线性相关 关系。如军队教员的军衔与职称。 Kendall r相关系数：用非参数检验方法来度量定序变量间 的线性相关关系。计算基于数据的秩。
（1）
最小二乘估计就是寻找参数β0 、β1、… βp的估计值β̂0 、β ̂ 1、… β ̂p，使式（1）达到极小。通过求极值原理（偏导为零） 和解方程组，可求得估计值，SPSS将自动完成。
线性回归
相关分析 与
回归分析
回归方程的统计检验 回归方程的拟合优度检验（相关系数检验） 一元线性回归的拟合优度检验采用R2统计量，称为判定 系数或决定系数，数学定义为
线性回归
相关分析 与
回归分析
回归方程的统计检验 回归系数的显著性检验（t检验）
多元线性回归方程的回归系数显著性检验的零假设是βi=0， 检验采用t统计量，其数学定义为：
ti
ˆi ˆ
如何在Excel中使用Correlation进行相关性分析
如何在Excel中使用Correlation进行相关性分析相关性分析是一种常用的统计分析方法，用于确定两个或多个变量之间的关系强度和方向。
在Excel中，我们可以利用Correlation函数来计算变量之间的相关系数。
本文将介绍如何在Excel中使用Correlation 函数进行相关性分析。
1. 数据准备在开始相关性分析之前，我们需要准备好要分析的数据。
假设我们有两个变量X和Y，分别代表销售额和广告投入。
我们将在Excel工作表中将这些数据以表格形式准备好。
2. 打开Excel并导入数据首先，打开Excel并创建一个新的工作表。
然后，在工作表的不同列中输入变量X和Y的数据。
确保每个变量的观测值与其对应的观测值对齐。
3. 计算相关系数在Excel中，相关系数可以通过使用Correlation函数来计算。
在一个空白单元格中，输入以下公式:=Correlation(A2:A10,B2:B10)其中，A2:A10和B2:B10分别为X和Y变量的观测值的范围。
这个公式将计算X和Y变量之间的相关系数。
4. 解读结果计算完成后，Excel会显示相关系数的值。
相关系数的取值范围为-1到1。
相关系数接近于1表示两个变量之间存在强正相关关系，接近于-1表示存在强负相关关系，接近于0表示两个变量之间不存在线性相关关系。
5. 可视化相关性为了更好地理解变量之间的相关性，我们可以利用散点图来可视化数据。
选择X和Y变量的观测值，然后在Excel工具栏中选择"插入"选项卡。
接下来，在"插入"选项卡的"散点图"组中选择一个合适的散点图类型。
6. 分析其他变量如果我们有多个变量需要进行相关性分析，可以继续使用Correlation函数。
只需将所有变量的观测值作为参数传递给Correlation 函数即可。
7. 其他分析和注意事项除了Correlation函数外，Excel还提供了其他一些强大的数据分析工具，如回归分析和t检验。
相关性分析的方法及应用
相关性分析的方法及应用相关性分析（correlation analysis）是一种统计方法，通过计算两个或多个变量之间的关联程度来研究它们之间的相互关系。
相关性分析的主要目的是发现变量之间的线性关系，并判断这种关系的强度和方向。
下面将介绍相关性分析的方法和应用。
一、相关性分析的方法1. Pearson相关系数法：Pearson相关系数是一种衡量两个连续型变量之间线性关系强度的方法。
它的取值范围在-1到1之间，接近1表示正相关，接近-1表示负相关，接近0表示无相关。
计算Pearson相关系数时需要满足变量间的线性关系和正态分布的假设。
2. Spearman等级相关系数法：Spearman相关系数用于衡量两个有序变量之间的单调关系，可以是正相关或负相关。
它的取值范围也在-1到1之间，与Pearson相关系数不同的是，Spearman相关系数不要求变量间的线性关系和正态分布。
3. 判别分析法：判别分析用于识别两个或多个组之间的差异和相似性，并确定最能有效判别各组的变量。
它通过计算组间和组内的协方差矩阵，推导得到判别函数，以区分不同组别。
4. 因子分析法：因子分析用于识别潜在因素和测量变量之间的关系。
它通过将大量观测变量转化为较少的潜在因素来简化数据集，并揭示变量之间的共同性或相关性。
二、相关性分析的应用1. 经济领域：相关性分析在经济研究中具有广泛的应用。
例如，分析变量之间的相关性可以帮助理解宏观经济指标之间的关联，如GDP与失业率、通货膨胀率等。
相关性分析也可以用于股票市场的研究，帮助投资者理解不同公司股票之间的关系。
2. 市场研究：在市场研究中，相关性分析可以用来分析市场变量之间的关系，帮助预测消费者行为和市场趋势。
例如，可以分析广告投资和销售额之间的相关性，以评估广告效果。
3. 医学研究：相关性分析在医学研究中也非常有用。
例如，可以通过分析吸烟和肺癌之间的相关性来评估吸烟对肺癌风险的影响。
相关性分析还可以用于研究药物治疗的有效性和副作用。
第7章相关分析
7.1.2 相关分析
1. 相关分析的作用 (1) 判断变量之间有无联系。 (2) 确定选择相关关系的表现形式及相关分析方法。 (3) 把握相关关系的方向与密切程度。 (4) 相关分析不但可以描述变量之间的关系状况，而且用来进行预 测。 (5) 相关分析还可以用来评价测量量具的信度、效度以及项目的区 分度等。 2. 相关系数 相关系数是在直线相关条件下，说明两个变量之间相关程度以及 相关方向的统计分析指标。 相关系数的数值范围是介于–1～+1之间(即–1≤r≤1)，常用小数形式 表示，一般要取小数点后两位数字来表示，以便比较精确地描述 其相关程度。
n
(xi x)( yi y)
r
i 1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
7.2.1 简单相关分析的基本原理
2. 相关系数 (2) Spearman等级相关系数。
用来度量顺序水准变量间的线性相关关系。它是利用两变量的秩 次大小作线性相关分析，适用条件为： ①两个变量的变量值是以等级次序表示的资料； ②一个变量的变量值是等级数据，另一个变量的变量值是等距或 比率数据，且其两总体不要求是正态分布，样本容量n不一定大于 30。 从斯皮尔曼等级相关适用条件中可以看出，等级相关的应用范围 要比积差相关广泛，它的突出优点是对数据的总体分布、样本大 小都不做要求。但缺点是计算精度不高。斯皮尔曼等级相关系数 常用符号来表示。其基本公式为：
7.3.3 课堂练习：用偏相分析研究学生学习成 绩相关关系
3. 实例结果分析
(1) 描述性统计Байду номын сангаас表。
从下表中可以看出，参与偏相关两个变量的样本数是 20，体重的 平均值是 36.1，标准差是 6.5515，肺活量的平均值是 2.15，标准 差是 0.52815，身高的平均值是 151.08，标准差是 8.86588。
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ê ~ ¸ e Á Ø« ¥
6 8 10 12 14 16 18 20 22
40000 20000 0
Ш ± | µ { « × (¦~ )
由散佈圖可以很明顯地看出教育程度與目前薪資有正線 性相關。為測量兩變數之線性相關程度，以相關程序求 出兩變數間之相關係數。
相關 教 育程 度 (年 ) 目 前薪 資 教 育程 度 (年 ) Pearson 相 關 1.000 .661** 顯 著性 (雙 尾 ) . .000 個數 474 474 目 前薪 資 Pearson 相 關 .661** 1.000 顯 著性 (雙 尾 ) .000 . 個數 474 474 **. 在 顯著 水 準 為 0.01時 (雙 尾 )， 相 關顯 著 。
1
n(n 2 1)
6 D 2
是1減掉分子為排序差異分母為比較的樣本，所以數值為 介於0與1之間，而且排序排異愈大時，可能會產生負的 相關係數
負相關
如果換成真人的話，可能就不一定能和玩具兵 一樣都有相同的身形，可能矮胖、高瘦
The product-moment coefficient (r)
product-moment的意思
其實通常我們不會計算排序差異，而是計算真 實的身高和體重，如下表
3000 0.36 nSx S y 5 15 100
xy
Concordant
Disconcordant
相關分析
當變項為一個連續變數時，可以次數分配
和圖示來呈現資料的內容與特性，或者以 平均數和標準差來描繪資料的集中和離散 情形。 當兩個變數皆為連續變數時，則需利用相 關（correlation）或迴歸（regression）來 分析兩變數的關聯程度，又稱為共變 （covariance）關係。
依Pearson相關係數可知，教育程度和目前薪資的相 關係數為為0.661，P值為0.000。當顯著水準為0.01時， 可以得到教育程度與目前薪資有顯著相關的結論。
相關係數
對於定量、常態分配的變數而言，請選擇「Pearson」 相關係數。 如果資料不是常態分配，或已依類別排列，請選擇 「Kendall‘s tau-b」或「Spearman」，以便測量等級 排列之間的關聯。
Spearman’s
Rho（）等級相關係數
相關顯著性訊號
相關係數在 .05 水準顯著時，會以一個星號標 示，而在 .01水準顯著時，會以兩個星號標示。
等級觀察值
轉換＞等級觀察值
等級變項之相關係數為Spearman相關係數
相關 RANK of RANK of MIDTERM FINAL RANK of MIDTERM Pearson 相 關 1.000 .825** 顯 著 性 (雙 尾 ) . .003 叉 積 平方 和 82.000 67.250 共 變 異數 9.111 7.472 個數 10 10 RANK of FINAL Pearson 相 關 .825** 1.000 顯 著 性 (雙 尾 ) .003 . 叉 積 平方 和 67.250 81.000 共 變 異數 7.472 9.000 個數 10 10 **. 在 顯 著水 準 為 0.01時 (雙 尾 )， 相 關 顯著 。
等級相關 易理解 排序資料 Spearman rank-difference coefficient of correlation 常用 連續資料 Pearson product-moment coefficient
The product-moment coefficient (r)
相關係數（） 1.00
相關程度 完全相關
.70~.99
.40～.69 .10～.39 .10以下
高度相關
中度相關 低度相關 微弱或無相關
Pearson相關係數
相關係數值的大小，可以反應兩個變項關聯性 的強弱，但是相關係數是否具有統計上的意義， 必須透過統計檢定來判斷。
由樣本計算兩變項之相關係數Pearson’s r，若要推 論到母群 ，必須經由統計檢定由考驗其統計意義
沒有相關
140000 120000 100000 80000 60000
ê ~ ¸ e Á Ø« ¥
70 80 90 100
40000 20000
0 60
¦b ¥ » ¤ ½¥ q ª º ¦~ ¸ ê (¤ ë )
相關 目 前 薪資 目 前 薪資 Pearson 相 關 1.000 顯 著 性 (雙 尾 ) . 個數 474 在 本 公司 的 年 資 (月 )Pearson 相 關 .084 顯 著 性 (雙 尾 ) .067 個數 474 在 本 公司 的 年 資 (月 ) .084 .067 474 1.000 . 474
量化研究與統計分析
相關分析 Correlation Analysis
謝寶煖 台灣大學圖書資訊學系 pnhsieh@.tw 2006年4月29日
自變數 類別 類別 連續 連續
依變數 類別 連續 連續 類別
統計分析方法 交叉表 變異數分析 相關分析 迴歸分析
一個例子
很多時候，我們想要知道一件事物與另一
相關係數
皮爾森相關（Pearson）
由於Pearson樣本相關係數（）之機率分配會 依配對隨機變數（X,Y）之機率分配而變，所 以沒有固定的分配，因此在做假設檢定時，一 般是假設（X,Y）具有二元的常態分配。 Pearson相關係數之大小，可看出兩變項關係的 密切程度。相關係數愈高，兩變項之關係愈密 切，愈低表示愈不相關。
多個雙變量相關分析
相關 以 前的 資 生日 目 前薪 資 教 育程 度 (年 ) 歷 (月 ) 生日 Pearson 相 關 1.000 .144** .281** -.802** 顯 著性 (雙 尾 ) . .002 .000 .000 個數 473 473 473 473 目 前薪 資 Pearson 相 關 .144** 1.000 .661** -.097* 顯 著性 (雙 尾 ) .002 . .000 .034 個數 473 474 474 474 教 育程 度 (年 ) Pearson 相 關 .281** .661** 1.000 -.252** 顯 著性 (雙 尾 ) .000 .000 . .000 個數 473 474 474 474 以 前的 資 歷 (月 ) Pearson 相 關 -.802** -.097* -.252** 1.000 顯 著性 (雙 尾 ) .000 .034 .000 . 個數 473 474 474 474 **. 在 顯著 水 準 為 0.01時 (雙 尾 )， 相 關顯 著 。 *. 在 顯著 水 準 為 0.05 時 (雙 尾 )， 相 關顯 著 。
淨相關與部份相關
如果兩個連續變項之間的關係，可能受到第三個變項干擾 時，也可以以共變分析的做法，將第三個變項進行統計上 的控制。 淨相關
在計算兩個連續變項X1和X2的相關時，將第三變項（ X3 ）與兩 個相關變項的相關X13和X23 ，加以排除之後的單純相關，以 X12.3來表示。 淨相關是將第三個變項與兩個連續變項X1和X2的相關完全排除之 後，計算的單純相關。如果在計算排除效果時，只處理第三變項 與X1和X2當中的一個變項的相關時，所計算出來的相關係數，稱 之為部份相關(partial correlation) ，或稱半淨相關(semipartial correlation)。
Spearman’s Rho（）等級相關係數（順序變項） Kendall‘s tau-b （）等級相關係數（concordant和諧）
相關係數範圍的值在 1 (一百分比負關聯) 到 +1 (一百分 比正關聯) 之間。其中，數值 0表示沒有任何線性關係。 在解析結果時，請不要因為顯著的相關，而逕下任何 跟因果相關的結論。
70
60
50
40 150
160
170
180
HEIGHT
相關係數
兩個連續變項的關聯情形可以散布圖來呈現 精確的相關分析所產生的是一個相關係數 (correlation coefficient)，相關係數是介於－1與＋ 1之間的數。
若為＋1 ，則表示兩變數具有完全的正線性相關 若為－1，則表示兩變數具有完全的負線性相關 若相關係數趨近於0，則表示兩變數沒有線性相關 此一係數最早由Pearson所提出，又稱為皮氏積差相關 係數。
相關分析
程序1
統計圖散佈圖 X軸放自變項；Y軸放依變項 例：X軸為教育程度，Y軸為目前薪資 （dataset: employee） 由散佈圖可以很明顯地看出兩變數之相關程度。 再由相關程序求出兩變數之相關係數
程序2
分析相關 雙變數
140000 120000 100000 80000 60000
The rank-difference coefficient
將5個玩具兵的身高和體重加以排序
將相同序位以線段相連，線段形成階梯狀 計算每個玩具兵的身高和體重的排序差異（rank difference），請注意，所有的rank difference都是零 計算rank-difference coefficient，以(rho)表示
從散佈圖中可看出，它們具有線性關聯。我們 再從 1994、1995 NBA 球季分析資料得知， Pearson 的相關係數 (0.581) 在 0.01 水準時是有 意義的。於是可能猜想，每季所贏得的場次愈 多，則對手的得分愈少。這些變數為負相關 (0.401)，而相關在 0.05 水準時最顯著。
Concordant：若某一觀察值的兩個變項值