正交小波变换中边界延拓方法分析

《现代信号处理》之报告

正交小波变换中边界延拓方法分析

唐良瑞

(北京邮电大学B991班)

1、引言

小波分析是八十年代中后期发展起来的一个新的数学分支，同时也被广泛运用于信号处理学科中。利用小波变换作图象压缩，由于它的高压缩比和好的恢复图象质量而引起了大家的注意，而且出现了许多基于小波变换的图象压缩方法；特别是在某些特殊的应用方面，它有着其它压缩方法不可代替的位置。

尽管如此，基于小波变换的图象压缩技术还有待于改进，还有许多问题值得探讨，其中之一就是边界处理问题。我们知道，小波变换是针对无限信号来进行的，但实际信号却是有限长度的。另外，二次镜像滤波器是非因果的，需要将来和过去的信号值。这在有限长度的信号首端和结束端的小波系数的计算中会引起麻烦，因为在这些地方的滤波器卷积运算中需要用到一些实际中并不知道的数据值。这就需要进行边界处理，一般常采用的方法就是边界延拓，其中包括零延拓、对称性延拓和周期性延拓。下面主要对此进行探讨。

2、信号小波分解和重建的Mallat 算法

设正交小波由低通滤波{k h }唯一确定，其对应的高通滤波为{k g }，它们满足以下条件： m n k m k n k h h

,22δ=∑-- （1）

n n n h g --=1)1( （2）

022=∑--k m k n k g h （3） 21122==∑∑+k k k k h h

（4）

φ和ψ分别是相应的尺度函数和小波函数，{j V }和{j W }是它们生成的空间。φ和ψ满足：

⎪⎩

⎪⎨⎧-=-=∑∑k k k k k x g x k x h x )2(2)()2(2)(φψφφ （5） 小波分解步骤为：

⎪⎩

⎪⎨⎧==∑∑----k j k

l k j l k j k l k j l c g d c h c 2121 （6） 注意到，1-j c 和1-j d 都是由j

c 使用分解序列作为“权”的“移动平均”方法得到，除了那些移动平均只在偶整数点抽样外。这称为向下抽样。因此，图1中的每个箭头都指出在偶指标向下抽样时的移动平均。

1-N d

2-N d M N d -

N c 1-N c 2-N c … M N c - 图1 小波分解过程

而在重建过程中，可通过1-j c

和1-j d 计算出j c ： ∑∑----+=

l j l l k l j l l k j k d g c h c 1212 （7） 这里，j c 由1-j c 和1-j d 使用重构序列作为“权”的两个移动平均得到，除了在进行移

动平均之前需要向上抽样外，更确切地说，当对{m h }和{m g }取离散卷积时，抽样1-j c 与

1-j d 在偶指标l m 2=使用而零在奇指标12+=l m 使用。

M N d

- 2-N d 1-N d

M N c

- 1+-M N c … 1-N c N

c 图2 小波重建过程 3、边界延拓

实际使用时，我们假定当L k ≤≤0时，0≠k h ，同时选取k L k k h g --=)1(，从而)0(0L k g k ≤≤≠。在[0, 1]区间上的函数)(x f 用n 2个系数n l c 近似表示，分解时从n 层

的n 2个系数n l c (n l 20≤≤)开始进行计算，在j 层时需要计算j

2个系数j l c 和j l d

(j l 20≤≤)。这样，可将分解公式(6)改写成：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑∑=+-=+-L k j l k k j l L k j l k k j l c g d c h c 021021 （8） 式(8)表明，在计算12-j 个系数1-j l c 和1-j l d 时，在右边界处有1-L 个系数j j c 2，…，

j L j c 22-+是一些实际中并不知道的数据值

（超出边界），而重建时，将会在左边界处丢失数据。为了解决这个问题，一般采用下列三种边界延拓方法：（假定n j ≤≤0）

● 零延拓：当0j i 时，0=j i c ；

● 对称性延拓：如果0j i 时，j i

j i j c c --=)12(2； ●

周期性延拓：j i j i j c c 2mod =。 4、三种延拓方法的比较

对于正交小波变换来说，前两种延拓方法实现起来比较简单，但重建时会产生边界效应，而且分解的层数越多，产生的边界效应越显著。零延拓方法给人一种跳跃的感觉。至于对称性延拓，由于正交小波滤波器一般都是非对称性的（Harr 小波基虽然是正交的，但它是非连续的），重建图象给人一种错位的感觉。相比较而言，只有最后一种延拓方式可以得到比较精确的重建结果，它不仅能保证分解与重建正确计算，而且恢复的质量也好。不过，周期性延拓方法虽然是常用的三种方法中比较好的方法，但会导致信号边缘的非连续性，从而会使得较高频率（子带）层的小波系数很大，即使信号本身相当平滑。从信号压缩的角度看，大的系数是希望避免的。信号的对称延拓可避免边缘的非连续性问题。然而，对称延拓只能和对称的小波滤波器一起适用。如果降低正交性要求，选择双正交小波变换，对称性延拓不失为一种好的方法。