第九章习题课-武汉大学数学物理方法

~ (ω ) ~ (ω ), F [ψ ( x )] = ψ ~ (ω , t ), F [ϕ ( x )] = ϕ 解 : (1) 记 F [u ( x, t )] = u ~ (ω , t ) d 2u 2 4~ + a ω u (ω , t ) = 0 (4) 2 dt 则 ~ (ω ) ~ (ω ,0 ) = ϕ u (5)
2 2 2
傅氏变换习题课
4π ⎡ 1 − μr ⎤ ⎡ 1 ⎤ 4π (μ > 0 ) 证明 : (1 ) F ⎢ ⎥ = 2 ; (2 ) F ⎢ e ⎥ = 2 2 ⎣r ⎦ ω ⎣r ⎦ ω +μ v v ∞ 4π 1 v −1 ⎡ 4 π ⎤ iω ⋅r e d ω 提示 : F ⎢ 2 ⎥ = 3 ∫ ∫ ∫− ∞ 2 ω ω (2 π ) ⎣ ⎦
4π ∞ 2π π 1 iωr cos θ 2 = e ω sin θ dθ dϕdω 3 ∫0 ∫0 ∫0 2 ω (2π ) x = cos θ 1 ∞ 1 = ∫ ∫ e iωrx dxd ω
π
0
−1
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二、有关性质及其应用
已知： ∫− ∞
∞
∞
傅氏变换习题课
求 f (x ) = ? 解:
−1
~ (ω , t )] u ( x, t ) = F −1 [u ~ (ω ) cos aω 2t ] − F −1 [ ~ (ω ) sin aω 2t ] = F −1 [ϕ ψ
−1
F e
−1
[ ]
iaω 2t
[
−1 −1 2 ( ) − F F ψ x ∗ F sin a ω t cos aω t
∫
∞
−∞
→ 2πh c( p ) = ∫ ψ ( x )e
−∞
i x ⎛ p⎞ 2πh c( p )e h d ⎜ ⎟ 2πh ⎝h⎠ p
∞
p −i x h
dx
dx
c( p ) =
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∫ 2πh
1
∞
−∞
ψ (x )e
p −i x h
一、傅氏变换或傅氏逆变换
v 4.设 r = x + y + z = r , v 2 2 2 ω = ω1 + ω 2 + ω 3 = ω
(b − a )
= e , F⎢ 2 2⎥ ⎣x +b ⎦ b
a (b − a ) 1 → f ( x) = πb x 2 + (b − a) 2
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三、傅氏变换法
1.求解上半平面的狄氏问题 Δu = 0, y > 0 (1)
傅氏变换习题课
{
u
y =0
= f ( x ) ( 2),
傅氏变换习题课
a − ω > 0, a + ω > 0
⎡ sin ax ⎤ F⎢ =π ⎥ ⎣ x ⎦
①则当ω > 0时有 : ω = a, ⎡ sin ax ⎤ π ∞ sin (a + ω )x ∞ sin (a − ω )x π F⎢ = dx = dx = 0 , ⎥ ∫0 ∫0 ⎣ x ⎦ 2 2 x x ②则当ω < 0时有 : ω = − a, ∞ sin (a − ω )x π ∞ sin (a + ω )x ⎡ sin ax ⎤ π dx = , F⎢ = dx = 0 ∫0 ⎥ ∫ x 2 0 x ⎣ x ⎦ 2
Methods in Mathematical Physics 第九章 积分变换法
The Method of Integral Transforms 武汉大学物理科学与技术学院
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傅氏变换习题课
一、傅氏变换或傅氏逆变换 二、傅氏变换的有关性质及其应用 三、傅氏变换法
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傅氏变换习题课
∫
∞
0
sin (a + ω )x π dx = x 2
⎡ sin ax ⎤ F⎢ =0 ⎥ ⎣ x ⎦ ⎡ sin ax ⎤ F⎢ =0 ⎥ ⎣ x ⎦
②则当ω < 0时, a − ω > 0, a + ω < 0
⎧π , a > ω ⎪π ⎡ sin ax ⎤ ⎪ F⎢ =⎨ ,a= ω ⎥ ⎣ x ⎦ ⎪2 ⎪ ⎩0, a < ω
∞
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三、傅氏变换法
⎧ut = u xx , − ∞ < x < ∞ ⎨ ⎩u ( x,0) = cos x
傅氏变换习题课
3、无限长的杆沿杆长方向有温差，设其热导系数 为1，初始温度分布为 cos x 求此热导问题。
~ (ω , t ), 则 解：记 F [u ( x, t )] = u ~ ⎧ du ~ (ω , t ) = 0 ~ (ω , t ) = π [δ (1 − ω ) + δ (1 + ω )]e −ω t ⎪ − (iω ) 2 u → u ⎨ dt ~ (ω ,0) = π [δ (1 − ω ) + δ (1 + ω )] ⎪ u ⎩ ∞ 1 −1 ~ u ( x, t ) = F [u (ω , t )] = π ∫ e −ω t [δ (ω − 1) + δ (ω + 1)]eiωx dω 2π −∞
2
[
] ( x, t ) = F −1 [u
= F −1F [ϕ ( x ) ∗ F −1 [cos aω 2t ]] + F −1F [ ψ ( x ) ∗ F −1 [sin aω 2t ]]
⎛π ξ2 ⎞ ⎟ → u ( x, t ) = − ϕ (x − ξ ) cos⎜ dξ ∫ ⎜ ⎟ 2 πat −∞ ⎝ 4 4at ⎠ ∞ ⎛π ξ2 ⎞ 1 ψ ( x − ξ )sin⎜ dξ − − ⎟ ⎜ ⎟ ∫ − ∞ 2 πat ⎝ 4 4at ⎠ 1
一、傅氏变换或傅氏逆变换
傅氏变换习题课
∫
− i ωx ⎡ sin ax ⎤ ( ) ( ) [ ] F f x = f x e dx 1. 求 F ⎢ = ? > 0 a −∞ ⎥ ⎣ x ⎦ iax − iax ∞ e e − −iωx ⎡ sin ax ⎤ = e dx 解: F⎢ −∞ ⎥ 2ix x ⎣ ⎦ ∞ sin (a − ω )x ∞ sin (a + ω ) dx dx + ∫ =∫ 0 0 x x ⎧π > , A 0 ∞ ∞ sin x ⎪ sin Ax π dx = ⎨ 2 dx = → ∫0 π 0 x 2 x ⎪− , A < 0 ⎩ 2
− iω x ∞ cos ωx ∞ 1 e ⎤ ⎡ dx =∫ 2 F⎢ 2 dx = 2∫ 2 2 2⎥ 2 0 x +a ⎣ x + a ⎦ −∞ x + a 1 z →∞ ⎯ ⎯ ⎯→ 0, 奇点 : ±ia 2 2 z +a
(1), (2) → F ⎢ 2 = e 2⎥ ⎣x +a ⎦ a
F [ f ( x )] = a −ω e b
{
~ d 2u 2~ − ω u (ω , y ) = 0 2 dy
~ −1 ~ (3) u (x, y ) = F [u (ω , y )] = F f (ω )e − ω y
−1
y → ±∞
= F F f (x ) ∗ F
−1
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[
[
−1
[e ]]
−ω y
]
三、傅氏变换法
~ (ω ) ~ (ω ,0 ) = −aω 2ψ u t
(6)
~ (ω , t ) : （ 2）求 u
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~ (ω ) cos aω 2t −ψ ~ (ω )sin aω 2t ~ (ω , t ) = ϕ u
三、傅氏变换法
傅氏变换习题课
(3)
= F F [ϕ ( x ) ∗ F
2
]]
[
[
]]
1 ∞ iaω 2t iωx = e e dω ∫ 2π −∞ 2 x ⎞ ⎛ x2 ω + ⎟ 1 −i 4 at ∞ iat ⎜ 2 at ⎠ ⎝ = e e dω ∫ − ∞ 2π 2
1 1 e iξ e = e dξ = π at 2π at −∞
−i x 4 at
∫
∞
2
x2 −i 4 at
(1), (2), (3) →
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一、傅氏变换或傅氏逆变换
傅氏变换习题课
2.在量子力学中一维体系中的一个状态在 坐标表象中的波函数为
1 ψ (x ) = 2πh
∫ c( p )e
−∞
∞
p i x h
dp
求该状态在动量表象中的波函数 c(p)
1 解 :ψ ( x ) = 2π
∫
∞
∫
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一、傅氏变换或傅氏逆变换
∫
∞
0
∞ sin (a + ω )x sin (a − ω )x π dx = ∫ dx = 0 x 2 x
(1) 若 a > ω , 则有
∞ sin (a − ω )x ∞ sin (a + ω )x ⎡ sin ax ⎤ dx + ∫ dx =∫ F⎢ ⎥ 0 0 x x ⎣ x ⎦
~ (ω , y ) , 解 : (1) 记 F [u (x, y )] = u
x + y →∞
2
lim u = 0 (3) 2
~ F [ f ( x )] = f (ω )