2012考研数学二真题及参考答案

2012考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn - 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)【解析】：由于0na >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n=a 1+a 2+…a n为正项级数1n n a ∞=∑的前n 项和。

正项级数前n 项和有界与正向级数1nn a∞=∑收敛是充要条件。

故选A（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3. 【答案】：(D) 【解析】：：2sin kx k eI e xdx=⎰看为以k为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin k x k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1.(C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】：(D) 【解析】：(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的，关于变量y 是单调递减的。

因此，当1212,x x y y <>必有1122(,)(,)f x y f x y <，故选D （6）设区域D 由曲线,1,2,sin =±==y x x y π围成，则())(15⎰⎰=-dxdy y xππ--)(2)(2)()(D C B A【答案】：（D ）【解析】： 由二重积分的区域对称性，())(πππ-=-=-⎰⎰⎰⎰-dy y xdx dxdy y xx1sin 522511（7）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα（C ）134,,ααα （D ）234,,ααα 【答案】：（C ）【解析】：由于()13411341111,,011011c c c c ααα--=-==-，可知134,,ααα线性相关。

故选（C ）（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】：（B ）【解析】：100110001Q P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则11100110001Q P --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，故11100100100110011101101101110100100100120012Q AQ P AP --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选（B ）。

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e-+=所确定的隐函数，则dydx=________。

【答案】：21yxe + 【解析】：方程21yx y e-+=两端对x求导，有2y dy dy x edx dx-=，所以21ydy xdx e =+ （10）计算22222111lim 12x n nn n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭…________。

【答案】：4π【解析】：原式11220111lim arctan .141nn i dx x n x i n π0→∞=====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑⎰ （11）设1ln z f x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂________。

【答案】：0.【解析】：因为211,z z f f x x y y ⎛⎫∂∂''=⋅=⋅- ⎪∂∂⎝⎭，所以20.z z x y x y ∂∂+=∂∂ （12）微分方程2(3)0ydx x y dy +-=满足初始条件|x y =1=1的解为________。

【答案】：2xy =【解析】：21(3)03dx ydx x y dy y x dy y+-=⇒=-13dx x y dy y ⇒+=为一阶线性微分方程，所以112133dy dy yy x ey e dy C y dy C y-⎡⎤⎰⎰⎡⎤=⋅+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰31()y C y =+ 又因为1y=时1x =，解得0C =，故2x y =.（13）曲线2(0)y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是________。

【答案】：()1,0- 【解析】：将21,2y x y =+=’”代入曲率计算公式，有323/222||2(1)21(21)y K y x ''==='+⎡⎤++⎣⎦整理有2(21)1x +=，解得01x =-或，又0x <，所以1x =-，这时0y =， 故该点坐标为()1,0-（14）设A 为3阶矩阵，3A =,*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ,则*BA =________。

【答案】：-27【解析】：由于12B E A =，故**121212||3BA E A A A E E =⋅==， 所以，*31212|||3|3||27*(1)27BA E E ===-=-.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 已知函数11()sin ,x f x x x +=-，记0lim ()x a f x →=（1）求a 的值（2）若当0x →时，()f x a -是kx 的同阶无穷小，求k 【解析】：（1）200011sin lim ()lim(1)lim 11sin x x x x x f x x x x→→→-=-+=+=，即1a = （2）,当0x →时，由11sin ()()1sin sin x xf x a f x x x x x --=-=-=又因为,当0x →时，sin x x -与316x 等价，故1()~6f x a x -，即1k =（16）（本题满分10分）求()22,2x y f x y xe +=-的极值。

【解析】：()22,2x y f x y xe +=-，先求函数的驻点. ()(),0,,0x y f x y e x f x y y ''=-==-=，解得函数为驻点为(),0e . 又()()(),01,,00,,01xx xy yy A f e B f e C f e '''==-====-，所以20,0B AC A -<<，故(),f x y 在点(),0e 处取得极大值()21,02f e e =. （17）（本题满分10分）过点（0，1）点作曲线L ：x y ln =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

【解析】： 设切点坐标为()00,ln A x x ，斜率为01x ，所以设切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又因为该切线过(0,1)B ，所以20x e =，故切线方程为：211y x e=+ 切线与x 轴交点为()2,0B e - 0(2⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）()()()()()22222222212211221122212ln 38ln 2ln 3842ln 238221333e e e e e V e e xdx e x x xdx e e x x dx e e e πππππππππ⎡⎤=⋅⋅---⎣⎦⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=--=+⎰⎰⎰ （18）（本题满分10分） 计算二重积分⎰⎰Dxyd σ，其中区域D 为曲线()πθθ≤≤+=0cos 1r 与极轴围成。

【解析】：⎰⎰⎰⎰+⋅⋅=Drdr r r d xyd πθθθθσ0cos 10sin cos⎰+⋅⋅=πθθθθ04)cos 1(cos sin 41d22cos )12cos 2(2cos 2sin16820θθθθθπd -=⎰⎰⎰-=220911cos sin 16cos sin 32ππtdt t tdt t5838-=1516= （19）（本题满分11分）已知函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+1）求表达式)(x f 2）求曲线的拐点dt t f x f y x⎰-=022)()(【解析】：1）特征方程为022=-+r r ，特征根为2,121-==r r ，齐次微分方程()()2()0f x f x f x '''+-=的通解为x x e C e C x f 221)(-+=.再由'()()2x f x f x e +=得21222x x x C e C e e --=，可知121,0C C ==。