材料力学-拉压静不定问题

例6：等截面刚杆，已知：横截面积A=200 mm2，P=20 kN。 许用应力 =160 MPa，弹性模量E=200 GPa。
试校核杆的强度。
平衡方程
几何方程 物理方程
Y 0,
1.先解静不定
RA 3P RD 0
RA A a B 2P C P D a C a D
LP LRD
A P B 为得到变形协调方程,解除多余约束，分别
a
b
P
考虑外力和多余约束反力产生的位移叠加 设B为多余约束，此处的实际位移必须为0
RA
B
A P B A
RB 几何方程:
ΔlP 物理方程:
lP lRB
Pa lP , EA
RB Pb ab RA
lRB
RB (a b) EA
解：（一）绘受力图，列平衡方程，根据实际情况，杆 ②在 C 点安装后，杆②受拉，杆①受压，受力图如图示。
受力图一 根据平衡条件得：
M A 0, N1 a N 2 2a 0, N1 2 N 2 a
（二）绘变形几何关系图如图示
变形几何关系图一 根据图可得变形几何关系方程为
N2 E2 A2 P 0.72 P 4 E1 A1 E2 A2
求结构的许可载荷
N1 0.07P A1 1
角钢面积由型钢表查得: A1=3.086 cm2
P A1 1 / 0.07 308.6 160 / 0.07 705.4 kN 1
N 2 0.72P A2 2
§1－7 拉压静不定问题
1.拉伸与压缩静不定问题概念
2
静定结构
所有的未知力均能由静
力平衡方程确定的结构称为静定结构。
P
3
静不定结构
而仅仅用平衡方
程不能求得所有的未知力的结构
称为静不定结构或超静定结构。
1
2
P
2、超静定问题的解法 （1）静力平衡方程——力学——原有基础 （2）变形协调方程——几何——灵活思考
补充方程与平衡方程联立解得: N1 A N2
B
P
C
P 2P N1 ；N 2 5 5
例5：图示结构，三根杆的材料及横截 面积为 E1 E2 E3， A1 A2 A3
l1 l2 l cos , l3 l
1
3
2
试求三杆的轴力。 解：列平衡方程
P
N1
F 0: N N F 0: ( N N ) cos N
解得:
RB
ΔlR
代入平衡方程解得:
Pa ab
设杆的B段有初始间隙δ，求约束反力
解：设外力在B处的位移大于初始间隙δ
EA
EA
B处的实际位移为初始间隙δ
B
A
P
a
b
B
δ
ΔlP
B
几何方程:
物理方程:
lP lRB
lRB RB (a b) EA
A
P
Pa lP , EA
P
P
max
max
理论应力集中系数
P
P
P
P
max k 0
max
弹性力学计算 实验测试（光弹性实验）
圣文南(Saint-Venant)原理: 对弹性体某一局部区域的外 力系，若用静力等效的力系来代 替；则力的作用点附近区域的应 力分布将有显著改变，而对略远 处其影响可忽略不计。 如右图所示，根据现代力学 分析方法（有限元计算方法或光 弹性测试方法）的研究结果显示： 由于在杆端外力作用的方式不同， 将会对杆端附近处各截面的应力 分布产生影响（应力非均匀分 布），而对远离杆端的各个截面， 影响甚小或根本没有影响。
（二）绘变形几何关系图如图示
由图可列出变形几何关系方程
2 l N 2
2 lt l N 1 l N 2
即
化简后得
2 N 1a N 2a 2ta 2 EA EA
（三）求解内力和应力
N 1 2 N 2 1 2 N 1a N 2 a 2 2ta EA EA
解：平衡方程:
y y
Y 4N
1
N2 P 0
几何方程
L1 L2
物理方程及补充方程：
N1L1 N 2 L2 L1 L2 E1 A1 E2 A2
P P
解平衡方程和补充方程，得: E1 A1 N1 P 0.07 P 4 E1 A1 E2 A2
求解静不定问题的一般方法
1.画受力图,列平衡方程,判断静不定次数; 2.根据结构的约束条件画变形图,找变形 协调关系,列几何方程; 3.由力与变形(或温度与变形)的物理关系, 列物理方程; 4.联立几何方程与物理方程建立补充方程; 5.补充方程与平衡方程联立解全部未知力.
平衡方程 几何方程
物理方程
补充方程
相对误差:
6.7
B 2P
C P
a a
166.5 160 % 160 4% 5%
N(kN) D26.7
D
RD
结论:杆安全!
RA 33.3 kN, RD 26.7 kN
§1－8 温度应力和装配应力
一、温度应力
在超静定结构中，由于各个杆件的变形受到相互的 制约，当温度改变时，必然要在杆内引起附加应力，由 于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。 对于无约束的杆件，当温度变化为 t t2 t1 时，杆 件的变形为：
P A2 2 / 0.72 2502 12 / 0.72 1042 kN 2
P P
E1 A1 N1 P 4 E1 A1 E2 A2 E2 A2 N2 P 4 E1 A1 E2 A2
超静定结构的特点：
超静定结构中杆件的内力按照杆件的刚度占总刚度的比例 分配。即：杆的刚度越大，杆件承受的内力越大。 而静定结构杆件内力仅与外力相关。
解得:…
A
RB
ΔlR
需根据间隙大小进行分类讨论
例3 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木
材的许用应力分别为[]1=160 MPa和[]2=12 MPa，弹性模量
分别为E1=200 GPa 和 E2 =10 GPa；求许可载荷P。 P P P P 4N1 N2 N2
4N 1
两个概念 温度变形; 再次变形
LT
RA RB EA T
5.温度应力
RB
LR
RA EA T T E T A A
二、装配应力 在加工构件时，由于尺寸上的一些微小误差，对超静 定结构则会在构件内产生应力，这种应力称为装配应力。 例 两杆 EA 相同，水平杆为刚性杆。杆②比设计长度 l 短了 ，求安装后两杆的内力和应力。
联立(a)、(b)可得：
2 EA 2E N1 I 5l 5l N EA E 2 5l II 5l
§1－9 应力集中概念
应力集中：
由于结构或功能上的需要，使 构件截面尺寸或形状发生突变 引起的应力急剧增加的现象。
x 1 2
y 1 2
3
P
2

未知力3个；平衡方程只有2个。 这个问题就是一次静不定问题。
变形几何关系（变形协调方程） 补充 变形内力关系（物理方程） 方程
P
N1
P
N3 N2

A
P
例2 求图示两端固定等直杆的约束反力
解：解除约束,以已知方向约束反力代替 平衡方程: P RA RB 0 EA EA
P a 3P a LP EA EA RD 3a LRD EA
联立以上4式得:
A
a B 2P P a a
RA 33.3 kN, RD 26.7 kN RD
2.校核杆的强度
画杆的轴力图
最大轴力 N max 33.3 kN
y 33.3 RA A a
N max 33.3 103 max A 200 106 166.5 MPa
例4： 图示悬吊结构ABC梁刚性，各杆EA相同，求各杆内力 a 1
B
C A
a P l
解：1.平衡方程
M
A
0， N1 a N 2 2a P 2a 0 N1 2N2 2P 0
2.几何方程(以直代曲) 2l1 l2
l1
l2
2 l
3.物理方程
N1l N 2l l1 , l2 EA EA
A
RA
L
B
RB
解：1.平衡方程 (共线力系)
X 0, R
2一次静不定) LT RB LR
得：RA RB
LT (温度变形）=LR （再次变形）
2.几何方程
LT (温度变形）=LR （再次变形）
3.物理方程 RB L LR , LT T L EA RB L 4.补充方程 T L EA 补充方程与平衡方程联立解得:
lt t l
式中： ——为材料的线膨胀系数。
例 图示结构，杆①、杆② EA 均相同，当杆①温 度升高 t 度时，两杆的内力和应力为多少？
解（一）绘受力图如图示（设二杆均受压）
受力图
列平衡方程
M A 0, N1 a N 2 2a , N1 2 N 2 1
2l1 l2
即：
2N 1l N 2l b EA EA
（三）求解内力和应力
M A 0, N 1 a N 2 2a 0, N 1 2 N 2 a 2 N 1l N 2l b EA EA