6.3余角、补角、对顶角(1).
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（苏科版）
初中数学七年级上册
§6.3 余角、补角(1)
灌云县实验中学初一数学组
攻破目标一
问：图中∠α与∠β的度数之间有怎样的关系？
α
β
∠α＋∠β＝90°， 即∠α与∠β互为余角， ∠α的余角是∠β， ∠β的余角是∠α．
1．如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互 为余角，简称互余．其中的一个角叫做另一个角的余角．
补角性质：同角（或等角）的补角相等。
几何语言： 几何语言：
0
∵ ∠1+ ∠ 2=180
∠ 1+ ∠ 3 = 180 ∴ ∠2 = ∠3
∵ ∠1+ ∠ 2=180
0
0
∠ 3+ ∠ 4 = 180
又∵ ∠ 1
0
= ∠3
（同角的补角相等）
∴∠2 =∠4
（等角的补角相等）
【合作探究】
如图 5， OC AB, 1 3 , 2 与 4 有怎样的关系？为什么？
攻破目标一
问：图中∠α与∠β的度数之间有怎样的关系？
∠α＋∠β＝180°，
α β
即∠α与∠β互为补角， ∠α的补角是∠β， ∠β的补角是∠α．
2．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简 称互补． 其中的一个角叫做另一个角的补角．
攻破目标二
∠α的度数
50
0
45°
60°
n0 (0＜n＜90)
（ ×）
例题讲解： 已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α 大30°，求∠α、∠β的度数 ．
及时巩固：
1 1．若∠ 的余角是∠ 补角的 ，则∠ = 3
2．若一个角的补角比它的余角的 3 倍大 10 ， 则这个角为 °
°
攻破目标三
如图，如果∠1与∠ 2互为余角， ∠1与∠3互为余角， 那么∠2与∠3相等吗？为什么？
0
0
∠ 3+ ∠ 4 = 90
又∵ ∠ 1
0
= ∠3
= ∠3
（同角的余角相等）
∴∠2 =∠4
（等角的余角相等）
攻破目标三
如图，如果∠α与∠β互为补角，∠ α与∠γ互为 补角，那么∠ β与∠ γ相等吗？为什么？
解： ∠β与∠γ相等. 因为∠α与∠ β互为补角， ∠α与∠γ互补， 所以 ∠β＝ 180 °－∠α ，∠γ＝ 180 °－∠α 所以∠β ＝∠γ． 同角（或等角）的补角相等．
如图 6，直线 CD 过点 O ， OC 平分 AOB ,
AOD 与 BOD 有怎样的关系？为什么？
及时巩固
１.如图1，∠AOC＝900，∠BOD＝900，则∠１与∠３的关系是 同角的余角相等 相等 ，其理由是__________________________. _____
B ３２ O
图1
1450
1150
A组 B组 C组 （1）对A组中的每一个角，在B组中找出它的补角， 并用线连接； （2）B组中有哪些角的余角在C组中？分别找出这些 角，并用线连接．
思考：怎样的角有余角、怎样的角有补角?
判断：
⑴90°的角叫余角，180°的角叫补角。
（× ）
⑵如果∠1+ ∠ 2 +∠3=180 ° ，那么∠1、 ∠ 2与∠3互补。
解： ∠2与∠3相等. 因为∠1与∠ 2互为余角， ∠1与∠3互为余角，
所以 ∠ 2＝ 90 °－∠1， ∠3＝ 90 °－∠1，
所以∠2＝∠3． 同角（或等角）的余角相等；
余角性质：同角（或等角）的余角相等。
几何语言： 几何语言：
0
∵ ∠1+ ∠ 2=90
∠ 1+ ∠ 3 = 90 ∴ ∠2
∵ ∠1+ ∠ 2=90
，
3. 判断题： ⑴ 一个角一定小于它的余角，也小于它的补角。( )
⑵ 如两个角互补，则一个角为锐角，另一个为钝角。(
)
⑶ 互余的两个角的比是 4 : 6, 则这两个角分别是 40 、 60 。 ( ⑷ 如果 A 40 , B 60 , C 80 , 那么 A, B, C 互为补角。(
)
4. 如图，直线 AB 、 CD 相交于点 O , 1 2 . AOE 与 COF 相等吗？为什么？
5. 如图，点 O 是直线 PQ 上的点， OB 为任一条射线，
OA 、 OC 分别是 BOQ 和 BOP 的平分线。 ⑴ 指出图中 BOP 、 AOQ 的补角； ⑵ 当 BOQ 50 时，求 BOC AOB 的度数； ⑶ BOC 与 AOB 是什么关系？
A
C １ 1 D
２ 4 3
图２
2．如图2，∠1＋∠2＝1800，∠3＋∠4＝1800， 相等 ， 若∠1=∠3，则∠2与∠4的关系是_______ 等角的补角相等 其理由是_________________.
【测评反馈】
1. 已知∠ 3430' ，则∠ 的余角为 ∠ 的补角为 。
2. 已知∠ 的补角为 150 ，∠ 的余角为 50 ， 则 、 的大小关系为
∠α的余角
40°
450
Байду номын сангаас
30°
(90－n) °
∠α的补角
130°
135°
1200
(180－n) °
想一想：同一个角的补角与它的余角之间有怎样的数量关系？ 同一个角的补角与它的余角相差900．
做一做
10
0 0 0 0
350 800
100 150 350 550
55
75
1050 1250 1700
100
知识总结：
互为余角
图形 数量关系 性 质
1
互为补角
2 1
2
∠1＋∠2＝90° ∠1＋∠2＝180° 同角（或等角） 同角（或等角） 的余角相等 的补角相等
通过本节课的学习，你的收获是什
么？
初中数学七年级上册
§6.3 余角、补角(1)
灌云县实验中学初一数学组
攻破目标一
问：图中∠α与∠β的度数之间有怎样的关系？
α
β
∠α＋∠β＝90°， 即∠α与∠β互为余角， ∠α的余角是∠β， ∠β的余角是∠α．
1．如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互 为余角，简称互余．其中的一个角叫做另一个角的余角．
补角性质：同角（或等角）的补角相等。
几何语言： 几何语言：
0
∵ ∠1+ ∠ 2=180
∠ 1+ ∠ 3 = 180 ∴ ∠2 = ∠3
∵ ∠1+ ∠ 2=180
0
0
∠ 3+ ∠ 4 = 180
又∵ ∠ 1
0
= ∠3
（同角的补角相等）
∴∠2 =∠4
（等角的补角相等）
【合作探究】
如图 5， OC AB, 1 3 , 2 与 4 有怎样的关系？为什么？
攻破目标一
问：图中∠α与∠β的度数之间有怎样的关系？
∠α＋∠β＝180°，
α β
即∠α与∠β互为补角， ∠α的补角是∠β， ∠β的补角是∠α．
2．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简 称互补． 其中的一个角叫做另一个角的补角．
攻破目标二
∠α的度数
50
0
45°
60°
n0 (0＜n＜90)
（ ×）
例题讲解： 已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α 大30°，求∠α、∠β的度数 ．
及时巩固：
1 1．若∠ 的余角是∠ 补角的 ，则∠ = 3
2．若一个角的补角比它的余角的 3 倍大 10 ， 则这个角为 °
°
攻破目标三
如图，如果∠1与∠ 2互为余角， ∠1与∠3互为余角， 那么∠2与∠3相等吗？为什么？
0
0
∠ 3+ ∠ 4 = 90
又∵ ∠ 1
0
= ∠3
= ∠3
（同角的余角相等）
∴∠2 =∠4
（等角的余角相等）
攻破目标三
如图，如果∠α与∠β互为补角，∠ α与∠γ互为 补角，那么∠ β与∠ γ相等吗？为什么？
解： ∠β与∠γ相等. 因为∠α与∠ β互为补角， ∠α与∠γ互补， 所以 ∠β＝ 180 °－∠α ，∠γ＝ 180 °－∠α 所以∠β ＝∠γ． 同角（或等角）的补角相等．
如图 6，直线 CD 过点 O ， OC 平分 AOB ,
AOD 与 BOD 有怎样的关系？为什么？
及时巩固
１.如图1，∠AOC＝900，∠BOD＝900，则∠１与∠３的关系是 同角的余角相等 相等 ，其理由是__________________________. _____
B ３２ O
图1
1450
1150
A组 B组 C组 （1）对A组中的每一个角，在B组中找出它的补角， 并用线连接； （2）B组中有哪些角的余角在C组中？分别找出这些 角，并用线连接．
思考：怎样的角有余角、怎样的角有补角?
判断：
⑴90°的角叫余角，180°的角叫补角。
（× ）
⑵如果∠1+ ∠ 2 +∠3=180 ° ，那么∠1、 ∠ 2与∠3互补。
解： ∠2与∠3相等. 因为∠1与∠ 2互为余角， ∠1与∠3互为余角，
所以 ∠ 2＝ 90 °－∠1， ∠3＝ 90 °－∠1，
所以∠2＝∠3． 同角（或等角）的余角相等；
余角性质：同角（或等角）的余角相等。
几何语言： 几何语言：
0
∵ ∠1+ ∠ 2=90
∠ 1+ ∠ 3 = 90 ∴ ∠2
∵ ∠1+ ∠ 2=90
，
3. 判断题： ⑴ 一个角一定小于它的余角，也小于它的补角。( )
⑵ 如两个角互补，则一个角为锐角，另一个为钝角。(
)
⑶ 互余的两个角的比是 4 : 6, 则这两个角分别是 40 、 60 。 ( ⑷ 如果 A 40 , B 60 , C 80 , 那么 A, B, C 互为补角。(
)
4. 如图，直线 AB 、 CD 相交于点 O , 1 2 . AOE 与 COF 相等吗？为什么？
5. 如图，点 O 是直线 PQ 上的点， OB 为任一条射线，
OA 、 OC 分别是 BOQ 和 BOP 的平分线。 ⑴ 指出图中 BOP 、 AOQ 的补角； ⑵ 当 BOQ 50 时，求 BOC AOB 的度数； ⑶ BOC 与 AOB 是什么关系？
A
C １ 1 D
２ 4 3
图２
2．如图2，∠1＋∠2＝1800，∠3＋∠4＝1800， 相等 ， 若∠1=∠3，则∠2与∠4的关系是_______ 等角的补角相等 其理由是_________________.
【测评反馈】
1. 已知∠ 3430' ，则∠ 的余角为 ∠ 的补角为 。
2. 已知∠ 的补角为 150 ，∠ 的余角为 50 ， 则 、 的大小关系为
∠α的余角
40°
450
Байду номын сангаас
30°
(90－n) °
∠α的补角
130°
135°
1200
(180－n) °
想一想：同一个角的补角与它的余角之间有怎样的数量关系？ 同一个角的补角与它的余角相差900．
做一做
10
0 0 0 0
350 800
100 150 350 550
55
75
1050 1250 1700
100
知识总结：
互为余角
图形 数量关系 性 质
1
互为补角
2 1
2
∠1＋∠2＝90° ∠1＋∠2＝180° 同角（或等角） 同角（或等角） 的余角相等 的补角相等
通过本节课的学习，你的收获是什
么？