二项式定理的十一种考题解法

二项式定理的十一种考题解法

1．二项式定理： 2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r

n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.

③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式

④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用

1r n r r r n T C a b -+=表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，

是升幂排列。各项的次数和等于n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是

012,,,,,,.r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n

n n

n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L

令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n

n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L 5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，

即0n n n C C =，···1k k n n C C -=

②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为

0122r n

n n n n n n C C C C C ++++++=L L ，

变形式1221r n

n n

n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n

n n n

n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321

11

222

r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=L

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n

C 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项

式系数1

2n n

C

-,12n n

C

+同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设

展开式中各项系数分别

为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112

r r

r r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，

从而解出r 来。

6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用；

例：12321666 .n n n

n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=L 解：012233(16)6666n n

n n n

n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅L 与已知的有一些差距， 练：1231393 .n n

n

n n n C C C C -++++=L 解：设1231393n n

n n n n n S C C C C -=++++L ，则

122330122333333333331(13)1

n n n n

n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-L L (13)141

33

n n n S +--∴==

题型二：利用通项公式求n

x 的系数；

例：在二项式n

的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？

解：由条件知245n n C -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，

由

2102

1

10343

4110

10

()()r r r r

r

r r T C x x C x

--

+--+==，由题意102

3,643

r r r --

+==解得， 则含有3x 的项是第7项63

36110

210T C x x +==,系数为210。 练：求29

1()2x x

-

展开式中9x 的系数？

解：291821831999111

()()()()222

r r r r r r r r r r r T C x C x x C x x ----+=-

=-=-，令1839r -=,则3r = 故9x 的系数为339121()22

C -=-

。 题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(

x +

的展开式中的常数项？

解：5202102

110

10

1()

()2r r r

r

r r r T C x C x --+==，令5

2002r -=，得8r =，所以

88

910145()2256

T C ==

练：求二项式6

1(2)2x x

-

的展开式中的常数项？ 解：

666216611(2)(1)(

)(1)2()22r

r r r r r r r r

r T C x C x x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以

3346(1)20

T C =-=-

练：若21()n x x

+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =

解：4244421251()()n n n n T C x C x

x --==，令2120n -=，得6n =.

题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式

9展开式中的有理项？

解：1271

936

219

9

()()(1)r r r

r

r

r r T C x x C x

--+=-=-，令276r

Z -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或，

所以当3r =时，2746r

-=，3344

49(1)84T C x x =-=-，