(完整版)一轮复习三角函数的基本概念

3
3
(3)函数f (x) = 2sin x 1 lg(2cos x 2)
的定义域为
______[_2k.
6
,
2k
4
)(k
z)
当x
[0,
2
]时，sin
x
cos
x的解集为
[ , 5 ]
___4__4__
.
已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.
10
(1)若 = 60 , R = 10cm,求扇形的弧长l； 3 (2)若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角为
2100
-1500
6600
如图，角α=210°，β=－150°，γ=660°
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
y
2、象限角
(1)角的顶点与坐标原点重合
(2)始边与X轴的非负半轴重合
o
x
终边落在第几象限就称角是第几象限角
终边落在坐标轴上就称角是非象限角（轴 线角）
3、与角 终边相同的角的表示：
r 13
tan = y = 5
x 12
cos = x = 12
r 13
2、已知角的终边上一点P15a,8aaR且a 0，
求角的sin, cos, tan的值.
解：由于x = -15a, y = 8a,
所以r = 15a2 8a2 = 17 a a 0
1若a 0则r =17a,于是
sin = 8a = 8 , cos = 15a = 15 , tan = 8a = 8
2020年8月9日星期日
*
1.角的概念的推广
⑴角的概念
平面内一条射线绕着端点
终边
从一个位置旋转到另一个
B
位置所成的图形叫做角。
顶
点o
始边 A
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转
终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫
做角α的顶点．
记法：角 或 ，可简记为
(2)任意角的分类：
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：射线不作旋转时形成的角
2
180°
当 k = 2n(n Z ) 时 ，
y
90°
0°
O
360° x
n 360 n 360 45 ，n Z
故
2
是第一象限的角 .
270°
2
当 k = 2n 1(n Z ) 时 ，
n 360 180 n 360 225 ，n Z
故
2
是第三象限的角 .
综上2 可知： 是第一或第三象限的角 .
17a 17
17a 17
15a 15
2若a 0则r = -17a,于是
sin = 8a = 8 , cos = 15a = 15 , tan = 8a = 8
17a 17
17a 17
15a 15
已知点p( 3，m）是角终边上的一点，
1
且sin = 13 ,则m = ____2__________
边在 ___C_
A. 第一象限
B. 第三象限
C. 第四象限
D. 第二象限
例3. 已知角 是第一象限的角，
试问 2 、 、 各是第几象限的角？
23
180°
y
90°
0°
O
360° x
270°
解：由角 是第一象限的角 可知：
k 360 k 360 90 ，k Z
又 k 180 k 180 45 ，k Z .
2cos 1
2
y
1
3
-1 O
2k
3
,2k
5
3
k
Z -1
1
x=1 x
2
5
3
高考调研P66例4
(1)不等式sin x 3 的解集为 _______ .
2
[2k , 2k 2 ](k z)
3
3
(2)不等式cos x 1的解集为 _______ .
2
[2k 2 , 2k 2 ](k z)
x OA
y α终边
y
PT
P
O
y
P M
O
MA x
MO
正弦线
余弦线
y
T 正切线
Ax
O
Ax T
M Ax
P
PT
(1)将－570°用弧度制表示出来，并指 出它所在的象限．
(2)将
用角度制表示出来，并在－
720°～0°之间找出与它有相同终边的所
有角．
高考调研P65
思考题1.(1)与2020 终边相同的角是（D ）
S={ β| β=α+k·3600 , K∈ Z}
注:（1） K ∈ Z
（2） 是任意角
（3）相等的角终边一定相同，但终边相同的 角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它 们相差360°的整数倍
y
O
x
α 终边所在的象限
角 α 的集合
第一象限
{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限
AOB=1rad
AOC=2rad
角度与弧度间的换算
360 = 2rad 180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l = r
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
A.40 B.140 C. 40 D. 140
(2)有下列各式：① sin1125 ;② tan 37 sin 37 ;
12
12
③ sin 4 ;④ sin | 1|,其中为负值的个数是 ___2____ .
tan 4
例2．(2008·全国)若sinα＜0且tanα＞0时，
则α是( )
A．第一象限
{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°， k∈Z}
第三象限
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°， k∈Z}
第四象限
{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}
y
O
x
α 终边所在的轴 X 轴正半轴
X 轴负半轴
角 α 的集合 {α|α=k·360°，k∈Z}
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 因为sinα＜0，所以α在第三或 四象限；而且tanα＞0，即α在第一或三象 限，所以选C.
练习.1.若sinθ cosθ 0,则θ在 ___B_____ .
A. 第一、二象限 C. 第一、四象限
B. 第一、三象限 D. 第二、四象限
练习.2.若 cos θ 0，且sin2 0则θ的终
② 扇形面积公式 S = 1 lr = 1 | | r2
22
其中l是扇形弧长，r 是圆的半径。
三角函数的定义：
设角 是一个任意角， P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P与原点的距离 r = x2 y2 0
那么①
y 叫做 的正弦，即
r
sin = y
r
②
x r
叫做
的余弦，即
cos = x
13
解析：r = 3 m2
m
13
=
3 m2
13
13m2 = m2 3
m2 = 1 4
例5. 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:
⑴sin = 1 ;
5 2
6
(2)sin 1 ;
角的终 y 边
2
1
P
6
y=1 2
-1
O
M1
x
[ 2k , 5 2k ]
6
6
-1
(k Z)
练习：在单位圆中作出符合条件的角的终边:
2、余弦函数值cos = x
r
第一象限：x 0, r 0,故 x 为正值；
r
y
第二象限：x 0, r 0,故 x 为负值；
r
o
x
第三象限：x 0, r 0,故 x 为负值； r
第四象限：x 0, r 0,故 x 为正值. r
3、正切函数值 tan = y
x
第一象限：x 0, y 0,故 y 为正值；
tan
三角函数线：用有向线段的数量来表示。
当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 OM，MP
都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫
有向线段．
y
sin = y = MP = MP (正弦线)
r OP
PT
cos = x = OM = OM(余弦线)
r OP
O MAx
tan = y = AT = AT (正切线)
x
y
第二象限：x 0, y 0,故 y 为负值；
x
o
x
第三象限：x 0, y 0,故 y 为正值； x
第四象限：x 0, y 0,故 y 为负值. x
确定三角函数值在各象限的符号
y
（+） +
y
（ - ） （ +）
（
o
-）（
-）x
（
o
-）
x
（+）
sin
cos
y
（ - ） （ +）
o
x
（+） （- ）
r
③
y x
叫做 的正弦，即
tan = y x 0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P在角的终
边上的位置无关.
1、正弦函数值sin = y
第一象限：y
0,
r
0,
r
故
y
为正值；
r
y
第二象限：y 0, r 0, 故 y 为正值；
r
o
x
第三象限：y 0, r 0, 故 y 为负值；
r
第四象限：y 0, r 0, 故 y 为负值. r
2
如图
几何法
如图
高考调研P65例3
例4.若角的终边在直线y = 3x上， 则10sin 3 = __0_____ .
cos
巩固 提高
练习 1、已知角 的终边过点 P12,5，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r = x2 y2 = 122 52 =13
于是，sin = y = 5
多少弧度时，这个扇形的面积最大？ = 2
(3)若 = , R = 2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.
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2 3
3
{α|α=k·360°＋180°， k∈Z}
Y 轴正半轴 Y 轴负半轴
{α|α=k·360°＋90°， k∈Z}
{α|α=k·360°+270°，k∈Z}
弧度制
我们把长度等于半径长的弧所对的
圆心角叫做1弧度的角.
单位符号 ：rad
B
读作:弧度
C
l = 2r
l =r
1rad
Oo r
A
2rad
A
r
Oo